Aufgaben zur Klausur. Aerodynamik

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1 AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder Aufgaben zur Klausur Aerodynamik Matr.-Nr. :... Name :... Unterschrift :... Hinweis: Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben: Klausur Aerodynamik DPO 99 Fragenteil, Konforme Abbildung, Traglinientheorie, Tropfentheorie 1

2 Integrale und Additionstheoreme Additionstheoreme sinx±y) = sinx) cosy)±siny) cosx) cosx±y) = cosx) cosy) sinx) siny) sin 2 x)+cos 2 x) = 1 sin2x) = 2 sinx) cosx) sinx) = 2 sinx/2) cosx/2) sin 2 x) = cos2x)) cos 2 x) = cos2x)) cos2x) = cos 2 x) sin 2 x) tan x 2 ) = 1 cosx 1+cosx tan x ) sinx) = 1 cosx) 2 sinx) sinnx) = 1 2 cos[n+1)x] cos[n 1)x]) sin[n+1)x] sin[n 1)x] = 2 cosnx) sinx) 1 n sinnϕ p) sinnϕ) = 1 4 ln 1 cosϕp +ϕ) ) 1 cosϕ p ϕ) n=1 Integrale 1 ax+b dx = 1 a lnax+b) x ax+b dx = x a b a 2 lnax+b) x 2 X dx = 1 [ 1 ] a 3 2 X) 2bX)+b2 lnx) mit X = ax+b sinax)dx = cosax) a cosax)dx = + sinax) a sin 2 ax)dx = x 2 1 4a sin2ax) cos 2 ax)dx = x a sin2ax) sin 3 ax)dx = cos3 ax) cosax) 3a a cos 3 ax)dx = sin3 ax) 3a + sinax) a cos 4 ax)dx = 3 sin2ax) x+ + sin4ax) 8 4a 32a sinax)cosax)dx = sin2 ax) 2a π sinn ϕ) cosp ϕ) = 0 π cosn ϕ) cosp ϕ) = 0 π sinn ϕ) sinp ϕ) = 0 Glauert-Integral π 0 { π/2 n = p 0 n p { π/2 n = p 0 n p { π/2 n = p 0 n p cosn ϕ ) cosϕ) cosϕ ) dϕ = π sinn ϕ) sinϕ) cosax) cosbx)dx = sin[a b)x] 2a b) + sin[a+b)x] 2a+b) a b } } } 2

3 1. Aufgabe: Fragenteil 15 Punkte) 1. In einem Windkanal soll die Umströmung eines Tragflügels untersucht werden. Als Messtechnik soll die Particle-Image Velocimetry eingesetzt werden. a) Nennen Sie die Vorteile der Particle-Image Velocimetry. b) Welche Bestandteile sind für den Messaufbau notwendig? c) Beschreiben Sie die Funktionsweise des Messsystems und wie die Messungen ausgewertet werden. 2. Gegeben ist das Ölanstrichbild eines gepfeilten Tragflügels bei der Machzahl M a = 0,921 und Anstellwinkel α = 0. Der Flügel ist einseitig an einer Wand eingespannt. Stromab der Vorderkante wird der laminar-turbulente Umschlag erzwungen. Interpretieren Sie das Stromlinienbild! Fertigen Sie gegebenenfalls eine Skizze an, in die Sie die Strömungsphänomene eintragen. v 3. Nennen Sie die Helmholtzschen Wirbelsätze und erläutern Sie diese. Welche Relevanz haben diese Sätze für die Umströmung eines Tragflügels endlicher Spannweite? 4. Das Strömungsfeld um ein Tragflügelprofil soll mit Hilfe des Quellen-Panel-Verfahrens berechnet werden. Dazu wird die Kontur in n Panel unterteilt, die in den Kontrollpunkten der jeweils anderen Panel ein Geschwindigkeitsfeld induzieren. a) Worin liegt der wesentliche Unterschied zwischen der Tropfentheorie und dem weitergehenden Quellen-Panel-Verfahren? b) Die Druckverteilung auf der Kontur des Tragflügels soll berechnet werden. Beschreiben Sie in Stichworten die Vorgehensweise bei der Anwendung des Quellen-Panel-Verfahrens! c) Wie würden Sie das Ergebnis Ihrer Rechnung überprüfen? 3

4 2. Aufgabe: Konforme Abbildung 12 Punkte) iy z Ebene R y 0 Γ ϕ β α x 0 a x Uoo Ein exzentrisch gelagerter, rotierender Zylinder, der unter einem Anstellwinkel α mit der Geschwindigkeit U angeströmt wird, soll mit Hilfe der Abbildungsfunktion nach Zhukovski abgebildet werden. Zhukovski-Abbildungsfunktion für den Koordinatenursprung: ζ = z + a2 z 1. Geben Sie die komplexe Strömungsfunktion Fz) für den oben dargestellten Fall an. 2. Welchen Effekt hat die Verschiebung des Mittelpunktes um x 0 und y 0 auf das resultierende Profil? 3. Erläutern Sie die Kuttasche Abflußbedingung und berechnen Sie die konjugiert komplexe Geschwindigkeit w ζ so, dass diese erfüllt ist. 4. Bestimmen Sie das resultierende Moment M 0 um den Koordinatenursprung in der z-ebene. Nutzen Sie dazu die II. Blasiussche Formel: M 0 = ρ ) 2 R w 2 z z dz. Hinweis: Erweitern Sie die Gleichung, indem Sie z 0 addieren und subtrahieren! 5. Welche Nachteile hat die Konforme Abbildung? Gegeben: Anstellwinkel α, Radius R, Anströmgeschwindigkeit U, a, x 0, y 0 Hinweis: fz)dz = i2π B 1 für fz) = B 0 + B 1 z + B 2 z B n z n +C 1 z ++C 2 z C n z n Potentialfunktionen: Parallelströmung: Fz) = u iv ) z Quelle/Senke: Fz) = ±E 2π lnz) Dipol: Fz) = M 2π z Potentialwirbel: Fz) = iγ 2π lnz) Staupunktströmung: Fz) = a z 2 4

5 3. Aufgabe: Traglinientheorie 15 Punkte) Ein Hubschrauber mit der Masse m fliegt im stationären Schwebeflug U = 0). Sein Rotor hat vier Blätter mit konstanter Breite b, bei denen nur der Anteil r 0 r R Auftrieb erzeugt. Vernachlässigen Sie die Dreidimensionalität des Strömungsfeldes und gehen Sie von einer stationären Anströmung jedes Rotorblattes aus. 1. Geben Sie die Gleichung für die Anströmgeschwindigkeit eines Rotorblattes an und skizzieren Sie diese für den tragenden Teil des Blattes. Tragen Sie in Ihre Skizze die Randwerte der Geschwindigkeitsverteilung ein. 2. Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Kutta-Zhukovski die Auftriebsverteilung L Blatt r) entlang eines Rotorblattes. 3. Welche Rotationsgeschwindigkeit ω ist notwendig, um das Gewicht mg des Hubschraubers im stationären Schwebeflug zu tragen? Bestimmen Sie die Verteilung des Auftriebsbeiwertes c L r), die sich für diesen Fall ergibt. Geben Sie die verwendeten Referenzgrößen explizit an! 4. Erläutern Sie ausführlich die Unterschiede zwischen dem hier betrachteten Fall und der Realität. Gegeben: Masse m, Anzahl der Rotorblätter s, Sehne der Rotorblätter b, Gravitation g, Radius R, Radius r 0 = 0.1 R, Zirkulation Γ 0 Hinweis: Kutta-Zhukovski: dl = ρ u Γ dr Zirkulationsverteilung: Γr) = Γ 0 [3 1 r ) r ) r ) ] R R R 5

6 4. Aufgabe: Tropfentheorie 18 Punkte) Es soll ein gepfeilter Flügel mit endlicher Spannweite, der mit der Geschwindigkeit U angeströmt wird, mit der Tropfentheorie untersucht werden. Der Flügel wird mit einem Anstellwinkel α = 0 angeströmt. Uοο y l 0 l 1 x 1. Welche Eigenschaft muss das Profil aufweisen, damit es mit der Tropfentheorie beschrieben werden kann? Wie kann dieses Profil mit Hilfe der Tropfentheorie erzeugt werden? Wie unterscheidet sich die Tropfentheorie von der Skelett-Theorie? 2. Erläutern Sie die Schließbedingung und geben Sie die Gleichung für den oben genannten Fall an! 3. Leiten Sie aus der Bedingung #» n #» V = 0 für eine beliebige Profilkontur die Formel für die kinematische Strömungsbedingung in der Form w = U +u) Z X +v Z Y her. Welche Annahmen kann man für diese Formel treffen und wie vereinfacht sich dann die Formel? 4. Bestimmen Sie die Gleichungen für die Komponenten u, v und w der induzierten Geschwindigkeit. Nutzen Sie dazu den aus der Potentialtheorie bekannten Zusammenhang zwischen dem Geschwindigkeitspotential Φ und den Geschwindigkeitskomponenten u, v und w. Welche Form nimmt die vereinfachte kinematische Strömungsbedingung dann an? Gehen Sie von einem dünnen Profil aus! Gegeben: Anströmgeschwindigkeit U, Quellintensität pro Fläche q, Anstellwinkel α, Profillänge l 0 und l 1 Hinweis: ΦX,Y,Z) = Q 4π 1 r 6

7 Lösung 1. Aufgabe: Fragenteil 15 Punkte) 1. a) Im Gegensatz zu vielen anderen Messverfahren ist die Particle-Image Velocimetry ein berührungsfreies und flächiges Messverfahren. b) Notwendig sind: Kamera, Laser, Lichtschnittoptik, Seeding, Computer, Synchronizer. c) Um die Strömung sichtbar zu machen, wird das Strömungsmedium mit Seeding versetzt. Mit dem Laser werden Lichtpulse erzeugt, die von der Lichtschnittoptik zu einem Lichtschnitt aufgefächert werden. Der Lichtschnitt beleuchtet das Seeding in der Messebene. Der Synchronizer löst die Kamera so aus, dass zu jedem Laserpuls ein Bild der Messebene erstellt wird. Zwei Bilder, die mit einem zeitlichen Abstand t erstellt wurden, werden anschließend mit einem Computer korreliert und so die Partikelverschiebung Richtung und Betrag in Pixeln) ermittelt. Aus der Partikelverschiebung und der Zeitdifferenz der beiden Bilder kann dann der Geschwindigkeitsvektor berechnet werden. Um die Partikelverschiebung von pix/s in m/s umzurechnen, ist es notwendig eine Kalibration durchzuführen. 2. Mögliche Lösungen sind: a) Ablösung stoßinduziert) b) Querströmung c) Gebiet mit abgelöster Strömung d) Umströmung der Flügelspitze 3. Wirbelsätze von Helmholtz: Kein Fluidteilchen kommt in Drehung, welches nicht von Anfang an in Drehung ist zeitliche Konstanz der Drehung). Die Flüssigkeitsteilchen, welche zu irgendeiner Zeit einer Wirbellinie angehören, bleiben auch bei der Fortbewegung Teil der gleichen Wirbellinie. Der Wirbelfluß Produkt aus Querschnitt und Drehgeschwindigkeit) ist längs der ganzen Wirbelröhre konstant und behält auch bei der Fortbewegung der Wirbelröhre dauernd gleichen Wert. Die Wirberöhren müssen deshalb entweder geschlossen sein oder können ins Unendliche fortgesetzt werden. 7

8 Relevant für die Umströmung eines Tragflügels mit endlicher Spannweite ist der 3. Helmholtzsche Wirbelsatz. Der gebundene Wirbel des Tragflügels kann nicht einfach an dessen Rändern enden. Vielmehr bildet sich ein Wirbelsystem, das aus dem gebundenen Wirbel, der beiden Flügelrandwirbel und dem Anfahrwirbel besteht. 4. a) Beim Quellen-Panel-Verfahren ist es möglich, beliebige Konturen zu berechnen. Außerdem können auch Strömungen mit Anstellwinkeln berechnet werden. b) Vorgehensweise bei der Berechnung des Druckverlaufs: Zielsetzung: Die Kontur des angeströmten Körpers muss zur Stromlinie werden. Annäherung des Profils durch Panel. Verteilung von ElementarströmungenQuellen/Senken mit jeweils konstanter Quellstärke pro Einheitslänge) auf den einzelnen Panels. Erfüllung der kinematischen Strömungsbedingung auf jedem Panel: Summe der Normalkomponenten Selbstinduktion, alle übrigen Panel, Anströmung) muss Null ergeben, damit das Panel ein Teil der Stromlinie wird. Für n Panel erhält man n Gleichungen mit n unbekannten Ergiebigkeiten pro Einheitslänge. Lösung des linearen n,n)-gleichungssystems zur Ermittlung der Singularitätenverteilung Berechnung der einzelnen Quellen/Senken). Bestimmung der tangentialen Geschwindigkeitsverteilung mit Hilfe der nun bekannten Quellstärken. Bestimmung der Druckverteilung. Überprüfung der Rechnung. c) Überprüfung der Rechnung mit der Schließbedingung geschlossener Körper): n λ j s j = 0 j=1 8

9 Lösung 2. Aufgabe: Konforme Abbildung 12 Punkte) 1. Fz) = U e iα z z 0 )+U e +iα R 2 z z 0 + iγ 2π lnz z 0) 2. Die Verschiebung des Mittelpunktes in x-richtung bewirkt eine Verschiebung der maximalen Dicke in Richtung von x 0. Durch die Verschiebung in y-richtung wird das resultierende Profil gewölbt. 3. Die Kuttasche Abflussbedingung besagt, dass bei Profilen mit scharfer Hinterkante keine Umströmung der Hinterkante auftritt. Das Fluid fließt an der Hinterkante glatt ab. Die Abflussbedingung kann einfacher in der z-ebene erfüllt werden. Der Staupunkt befindet sich bei z = a. Dies stimmt mit der Hinterkante des Profils in der ζ-ebene überein. Es gilt also: Hinterkante: z z 0 = R e iβ Staupunkt: w z = 0. dζ dz = 1 a2 z 2 w ζ = dfz) dζ = dfz) dz dz dζ = dfz) dz 1 dζ dz = [U e iα U e +iα R 2 z z 0 ) 2 + iγ ] 1 z 2 2π z z 0 z 2 a 2 w ζ = 0 = U e iα z 2 z 2 a 2 U e +iα R 2 z 2 z z 0 )z 2 a 2 ) + iγ z 2 2π z z 0 )z 2 a 2 ) Γ = 2πU e +iα R 2 z 2 z 2 ) z z0 ) z 2 a 2) i z z 0 )z 2 a 2 ) e iα z 2 a 2 z 2 = 2πR U e iα+β) +e iα+β)) i = 2πR U [ cosα+β)+isinα+β)+cosα+β)+isinα+β)] i = 4πR U sinα+β) w ζ = [U e iα +U e +iα R 2 z z 0 ) 2 +i 2R U ] sinα+β) z 2 z z 0 z 2 a 2 4. Bestimmung des Linienintegrals: w 2 zzdz = U e iα +U e +iα R 2 z z 0 ) 2 +i 2RU ) 2 sinα+β) z z 0 +z 0 ) dz z z 0 = U e iα +U e +iα R 2 z z 0 ) 2 +i 2RU ) 2 sinα+β) z z 0 ) dz z z 0 + U e iα +U e +iα R 2 z z 0 ) 2 +i 2RU ) 2 sinα+β) z 0 dz z z 0 9

10 Mit Hinweis: w 2 zzdz = 2πi [ 2R 2 U 2 4R 2 U 2 sin 2 α+β)+4ru 2 sinα+β) z 0 e iα] = 2πi [ 2R 2 U 2 4R 2 U 2 sin 2 α+β)+4ru 2 sinα+β) x 0 +iy 0 ) cosα isinα) ] = 2πi [ 2R 2 U 2 4R 2 U sin 2 2 α+β)+4ru sinα+β) 2 [x 0 cosα ix 0 sinα+iy 0 cosα+y 0 sinα] ] M 0 = ρ [ 2πi 4RU 2 2 sinα+β) ix 0 sinα+iy 0 cosα) ] = ρ [ 8π RU 2 2 sinα+β) x 0 sinα y 0 cosα) ] = 4π RU 2 ρsinα+β) x 0 sinα y 0 cosα) 5. Die Bestimmung der Abbildungsfunktion aus der Profilkontur kann aufwendig sein. Die Methode der Konformen Abbildung ist nur für 2D-Fälle gültig. 10

11 Lösung 3. Aufgabe: Traglinientheorie 15 Punkte) 1. ωr u Geschwindigkeit : ur) = ω r Steigung : dur) dr = ω ωr 0 r 0 R r 2. Kutta-Zhukovski: dl = ρ ur) Γr)dr 3. Auftrieb eines Blattes: L Blatt r) = dl dr L Blatt = = = ρ ur) Γr) = ρ ωr Γ 0 [3 1 r ) r R R = ρωγ 0 r 1 R) r [ 3 R R = 3ρωΓ 0 r 1 r ) r 2 R R) ρ ur) Γr)dr r 0 [ 3 r 0 ρ ωr Γ 0 = ρωγ 0 R r 0 r = ρωγ 0 R r 0 r = ρωγ 0 R r 0 r ) r ) ] R 1 2 r r ) 2 ) 6+6 R + r ] R R +3 1 r ) r ) r R R R) ] dr 1 R) r [ r r ) 2 ) 6+6 R + r ] R R +3 dr ] 1 r ) [ 3 6 r R R +3 r 2 r 6+6 R 1 R) r ) r 2 3 dr R) 5R 4r) r 4 R = 3ρωΓ 0 20 R 3 r [ 0 5R 4R) R 4 = 3ρωΓ 0 20 R 3 5R 4r 0) r0 4 ] 20 R 3 [ 1 = 3ρωΓ 0 20 R2 4,6R 10 4 R 4 ] 20 R 3 = 0,15 ρωγ 0 R 2 R +3 dr 11

12 m g = L ges = s L Blatt = s 0,15 ρωγ 0 R 2 m g ω = s 0,15 ργ 0 R 2 Referenzgrößen: Fläche eines Rotorblattes: F = b R r 0 ) Staudruck: qr = R) = 1 2 ρ u2 r = R) = 1 2 ρ ω2 R 2 Allgemeine Definition des Auftriebsbeiwert: dc L = dl/dr F q = = ρ ur) Γr) b R r 0 ) 1 2 ρ ω2 R 2 2 r Γ 0 [3 1 r ) r ) r ) ] R R R br r 0 ) ω R 2 4. Die Berechnung des Auftriebs mit Kutta-Zhukovski vernachlässigt die Dreidimensionalität und die Reibung, die in der Realität einen Widerstand erzeugen wird. Außerdem werden die Einflüsse des Flügelrandwirbels, der induzierten Abwärtsgeschwindigkeit und des Nachlauf eines Blattes auf das nachfolgende Blatt vernachlässigt. Dies führt dazu, dass die hier bestimmte Tragkraft des Rotors höher ist als sie in der Realität wäre. 12

13 Lösung 4. Aufgabe: Tropfentheorie 18 Punkte) 1. Das Profil muss symmetrisch sein und eine endliche Dicke haben. Das Profil kann durch die Überlagerung der Anströmung U und einer Quellen-Senkenverteilung auf der Fläche F erzeugt werden. Mit der Skelett-Theorie können nur dünne, gewölbte Profile untersucht werden. Verdrängungseffekte werden bei der Skelett-Theorie vernachlässigt. 2. Die Flügelkontur stellt eine Stromlinie dar, d.h., es gibt keinen Massentransport über die Kontur und die gesamte Masse, die aus den Quellen austritt, wird von den Senken wieder aufgenommen. Für den dreidimensionalen Fall gilt dann: qx,y)dxdy = Skalarprodukt: n #» #» x u+u n V = n y v = u+u ) n x +v n y +w n z = 0 n z w w = u+u ) n x n z v n y n z Bestimmung der Beziehung zwischen den Größen n x, n y, n z und X, Y, Z: y n y n dy x dx z n z n x Aus der Zeichnung ergibt sich: n x n y = y x Durch zyklische Vertauschung erhält man: n x nz = z x n y nz = z y w = U +u) Z Z +v X Y Man kann annehmen, dass U u und U v gilt. Dann folgt: w = U Z X 13

14 4. Es gilt: Quellbelegung: QX,Y ) = qx,y ) dx dy Radius: r = X X ) 2 +Y Y ) 2 +Z 2 Mit Hinweis: ΦX,Y,Z;X,Y ) = QX,Y ) 4π = 1 4π F) 1 r qx,y ) dx dy X X ) 2 +Y Y ) 2 +Z 2 Zusammenhang zwischen dem Geschwindigkeitspotential und den Geschwindigkeitskomponenten: u = Φ X = 1 1 ) 2X X ) 4π 2 X X ) 2 +Y Y ) 2 +Z 23 qx,y ) dx dy ux,y,z) = 1 4π v = Φ Y w = Φ Z F) F) vx,y,z) = 1 4π wx,y,z) = 1 4π qx,y ) X X r 3 dx dy F) F) qx,y ) Y Y r 3 dx dy qx,y ) Z r 3dX dy Die Quellen-/Senkenverteilung wird auf der Sehne angenommen Z 0): ux,y,0) = 1 qx,y X X ) dx dy ) 4π X X ) 2 +Y Y ) 23 vx,y,0) = 1 4π F) F) qx,y ) Y Y ) dx dy X X ) 2 +Y Y ) 23 Mit Hilfe des Residuensatz ergibt sich für wx,y,z) mit Z 0 siehe Übung): wx,y,0) = ± 1 2 qx,y) Einsetzen der Geschwindigkeitskomponente w in die kinematische Strömungsbedingung: qx,y) = ±2U Z X 14