Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10"

Transkript

1 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen, d.h. durch eine Strecke, der man einen Richtungssinn zuordnet. Den Betrag (Länge) eines Vektors a schreibt man als a =: a. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die kartesischen Einheitsvektoren definiert, die in Richtung der positiven x-, y- bzw. z-achse zeigen. Sie werden mit e x oder e 1 oder i, e y oder e 2 oder j, e z oder e 3 oder k bezeichnet. Mit ihrer Hilfe kann man jeden beliebigen Vektor a in der Form a = a x e x + a y e y + a z e z schreiben (Komponentendarstellung). Abkürzende Schreibweise als Komponentenspalte: a = Addition von Vektoren: Die Addition von zwei Vektoren a und b ist definiert durch das geometrische Aneinandersetzen der entsprechenden gerichteten Strecken. Das Ergebnis a + b ist wieder eine gerichtete Strecke, also ein Vektor. a x a y a z Komponentendarstellung der Vektoraddition: a + b = a x + b x a y + b y a z + b z Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar: Unter dem Produkt λa eines Vektors a mit einer reellen Zahl λ versteht man den Vektor mit Betrag λ a und derselben Richtung wie a, wenn λ > 0 bzw. der entgegengesetzten Richtung wie a, wenn λ < 0. Komponentendarstellung der S-Multiplikation: λa = λa x λa y λa z Skalarprodukt zweier Vektoren: Unter dem Skalarprodukt a b zweier Vektoren versteht man die reelle Zahl a b = a b cos ϕ

2 wobei ϕ der von a und b eingeschlossene Winkel ist. Geometrische Interpretation: a b ist die Länge von a multipliziert mit der Länge der Projektion von b auf a. (Oder auch umgekehrt, denn es gilt das Kommutativgesetz a b = b a.) Man beachte: Das Skalarprodukt zweier Vektoren verschwindet genau dann, wenn die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen ( orthogonale Vektoren ). Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seines Betrages: a a = a 2. Komponentendarstellung des Skalarprodukts: a b = a x b x + a y b y + a z b z = 3 a i b i i=1 Komponentendarstellung des Betrages: a = a 2 x + a2 y + a2 z Vektorprodukt zweier Vektoren: Unter dem Vektorprodukt a b zweier Vektoren versteht man den Vektor a b = ( a b sin ϕ ) n Dabei ist ϕ der von a und b eingeschlossene Winkel und n der Einheitsvektor, der auf der von a und b aufgespannten Ebene senkrecht steht. Der Richtungssinn von n wird festgelegt durch die Bedingung, dass a,b und n gemäß der Rechten-Hand-Regel zusammenhängen sollen. Geometrische Interpretation: Der Betrag von a b ist die Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Man beachte: Das Vektorprodukt zweier Vektoren verschwindet genau dann, wenn die beiden Vektoren zueinander parallel oder antiparallel sind. Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ und nicht assoziativ. Es gilt: a b = b a a (b c) = (a c)b (a b)c (a b) c = (a c)b (b c)a Komponentendarstellung des Vektorprodukts: a y b z a z b y a b = a z b x a x b z a x b y a y b x Darstellung eines 2dimensionalen Vektors durch Betrag und Richtung: Wenn von einem 2dimensionalen Vektor a sein Betrag a = a und seine Richtung durch den Winkel ϕ zur x-achse bekannt sind, dann sind seine Komponenten a x = acos ϕ, a y = asin ϕ und der Vektor selbst also ( ) acos ϕ a = asin ϕ = acos ϕe x + asin ϕe y = a(cos ϕe x + sin ϕe y )

3 Komplexe Zahlen Eine komplexe Zahl ist ein Gebilde der Form z = a + ib mit a,b R und i = imaginäre Einheit. Komplexe Zahlen erfüllen die Rechenregeln Addition : (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) Multiplikation : (a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc) Diese Regeln folgen direkt aus den üblichen Regeln der Algebra (Kommutativität, Assoziativität, Distributivität) mit dem einzigen und entscheidenden Zusatz, dass i 2 = 1 ist. Der Quotient zweier komplexer Zahlen ist a + ib c + id ac + bd bc ad = c 2 + i + d2 c 2 + d 2 Beweis: Erweitern des Bruchs mit c id ergibt: (a + ib)(c id) (c + id)(c id) = ac iad + ibc i2 bd c 2 + d 2 = ac + bd bc ad c 2 + i + d2 c 2 + d 2 Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + ib ist definiert als z := a 2 + b 2 Zu jeder komplexen Zahl z = a + ib gibt es eine komplex-konjugierte Zahl z. Diese ist definiert durch z = a ib. a heißt Realteil und b heißt Imaginärteil von z = a + ib. Man schreibt auch a = Re(z) bzw. b = Im (z). Es gilt: Re(z) = 1 2 (z + z ), Im (z) = 1 2i (z z ) Eine komplexe Zahl z = x+iy kann durch einen Punkt P mit den Koordinaten (x,y) dargestellt werden. Es gilt x = z cos ϕ, y = z sin ϕ wobei ϕ der Winkel zwischen der positiven x-achse und der Strecke OP ist. Imz y z P O ϕ x Rez

4 Man kann also z = x + iy auch in der Form schreiben. Betrachten wir den Ausdruck z = z (cos ϕ + isin ϕ) cos ϕ + isin ϕ =: cis ϕ mit ϕ R genauer. Mit Hilfe der Additionstheoreme für Winkelfunktionen folgt: also cis (ϕ 1 + ϕ 2 ) = cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + isin(ϕ 1 + ϕ 2 ) = cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sinϕ 2 + i(sin ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin ϕ 2 ) = (cos ϕ 1 + isin ϕ 1 ) (cos ϕ 2 + isin ϕ 2 ) = cis ϕ 1 cis ϕ 2 cis (ϕ 1 + ϕ 2 ) = cis ϕ 1 cis ϕ 2 Das ist eine charakteristische Eigenschaft der Exponentialfunktion. Es liegt daher nahe, die Exponentialfunktion für imaginäre Exponenten per e iϕ := cos ϕ + isin ϕ zu definieren. Dies ist die sog. Eulersche Formel. (Die Bezeichnung cis ϕ wird im folgenden nicht mehr verwendet.) Es gilt also: e i(ϕ 1+ϕ 2 ) = e iϕ 1 e iϕ 2 Damit kann man eine beliebige komplexe Zahl nun in der Form z = z e iϕ schreiben ( Polarform ). Aus dieser Darstellung ergibt sich eine einfache geometrische Interpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen: z 1 = z 1 e iϕ 1, z 1 = z 2 e iϕ 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 e iϕ 1 e iϕ 2 = z 1 z 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) Also: Der Betrag des Produktes ist das Produkt der Beträge und der Winkel des Produktes ist die Summe der Winkel der Faktoren. Darstellung der Winkelfunktionen mithilfe der e-funktion: e iϕ = cos ϕ + isin ϕ e iϕ = cos ϕ isin ϕ } { ( cos ϕ = 1 2 e iϕ + e iϕ) sin ϕ = 1 ( 2i e iϕ e iϕ) Komplexe Darstellung von harmonischen Schwingungen mithilfe der e-funktion: Eine harmonische Schwingung ist z.b. x(t) = cos ωt

5 Gemäß der Eulerschen Formel kann man dies als Linearkombination von zwei komplexen Exponentialfunktionen schreiben: x(t) = 1 2 eiωt e iωt Die allgemeinste reelle harmonische Schwingung ist x(t) = Acos(ωt + ϕ) (A = Amplitude, ϕ = Phasenverschiebung). Mit der Eulerschen Formel kann man den cos durch die Exponentialfunktion ersetzen und erhält: x(t) = A 1 2 Also: Die harmonische Schwingung ( e i(ωt+ϕ) + e i(ωt+ϕ)) = 1 2 Aeiϕ e iωt Ae iϕ e iωt x(t) = Acos(ωt + ϕ) hat die komplexe Darstellung mit der komplexen Zahl x(t) = 1 2 αeiωt α e iωt α = Ae iϕ Man kann also jede harmonische Schwingung als Linearkombination zweier komplexer Exponentialfunktionen schreiben. Diese komplexe Darstellung von Schwingungen wird sehr oft verwendet und hat gegenüber der Darstellung mit Winkelfunktionen erhebliche rechentechnische Vorteile.

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 206 A. Kersch Vektoren. Vektorrechnung Definition Ein Vektor ist eine gerichtete Größe welche einen Betrag ( Zahl und eine Richtung ( in 2D, 2 in 3D hat. Alternativ

Mehr

Vektoren, Vektorräume

Vektoren, Vektorräume Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64 1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:

Mehr

Komplexe Zahlen (Seite 1)

Komplexe Zahlen (Seite 1) (Seite 1) (i) Motivation: + 5 = 3 hat in N keine Lösung Erweiterung zu Z = 2 3 = 2 hat in Z keine Lösung Erweiterung zu Q = 2 / 3 ² = 2 hat in Q keine Lösung Erweiterung zu R = ± 2 ² + 1 = 0 hat in R keine

Mehr

Addition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):

Addition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ): Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe

Mehr

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man

Mehr

Mathematik für Chemische Technologie 2

Mathematik für Chemische Technologie 2 Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters

Mehr

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt

Mehr

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und

Mehr

erfanden zu den reellen Zahlen eine neue Zahl

erfanden zu den reellen Zahlen eine neue Zahl Vorlesung 9 Komplexe Zahlen Die Gleichung x 2 = 1 ist in R nicht lösbar, weil es keine Zahl gibt, deren Quadrat eine negative Zahl ist. Die Mathematiker erfanden zu den reellen Zahlen eine neue Zahl i,

Mehr

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil 1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg

Mehr

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 2007. Vektoren. Evelina Erlacher 1 9. März 2007. 8 Winkel 5. 11 Ausblick 6

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 2007. Vektoren. Evelina Erlacher 1 9. März 2007. 8 Winkel 5. 11 Ausblick 6 Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Vektoren Evelina Erlacher 9. März 007 1 Pfeile und Vektoren im R und R 3 1 Der Betrag eines Vektors 3 Die Vektoraddition

Mehr

2. Vorlesung Wintersemester

2. Vorlesung Wintersemester 2. Vorlesung Wintersemester 1 Mechanik von Punktteilchen Ein Punktteilchen ist eine Abstraktion. In der Natur gibt es zwar Elementarteilchen (Elektronen, Neutrinos, usw.), von denen bisher keine Ausdehnung

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der

Mehr

Einführung Seite 28. Zahlenebene C. Vorlesung bzw. 24. Oktober 2013

Einführung Seite 28. Zahlenebene C. Vorlesung bzw. 24. Oktober 2013 Einführung Seite 8 Vorlesung 1 3. bzw. 4. Oktober 013 Komplexe Zahlen Seite 9 Lösung von x + 1 = 0, pq-formel liefert x 1/ = ± 1 ; }{{} verboten Definition Imaginäre Einheit i := 1 Dann x 1/ = ±i; i =

Mehr

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt

Mehr

Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt

Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 20. April 2009, 19:39 1 Überblick Ein Vektorraum muss nur eine Minimalausstattung an Rechenoperationen besitzen: die Addition zweier Vektoren

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Weitere Beispiele zur Anwendung komplexer Zahlen

Weitere Beispiele zur Anwendung komplexer Zahlen Weitere Beispiele zur Anwendung komplexer Zahlen Harmonische Schwingungen............................... 27 Anwendung: Zeigerdiagramm bei der Wechselstromrechnung............. 28 Additionstheoreme für

Mehr

Grundlagen der Vektorrechnung

Grundlagen der Vektorrechnung Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt

Mehr

1 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D

1 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D Vektoren, Vektorräume, Astände: D Definition: Die Menge aller (geordneten Paare reeller Zahlen (oder allgemeiner: Elemente eines elieigen Körpers, als Spalten geschrieen, ezeichnen wir als Vektoren: R

Mehr

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt: Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:

Mehr

Vektorgeometrie. mathenachhilfe.ch. Version: 28. Dezember 2007 (Bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) 1. Mathematische Operationen für Vektoren

Vektorgeometrie. mathenachhilfe.ch. Version: 28. Dezember 2007 (Bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) 1. Mathematische Operationen für Vektoren Vektorgeometrie Version: 28. Dezemer 2007 Bitte nur für den Eigengerauch verwenden) mathenachhilfe.ch. Mathematische Operationen für Vektoren Addition + a + 3 = a + + + 3 + Sutraktion a 3 = a 3 Skalare

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen Vektoren und Matrizen Einführung: Wie wir gesehen haben, trägt der R 2, also die Menge aller Zahlenpaare, eine Körperstruktur mit der Multiplikation (a + bi(c + di ac bd + (ad + bci Man kann jedoch zeigen,

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

1.2 Das kartesische Koordinatensystem

1.2 Das kartesische Koordinatensystem Kapitel 1 Vektoralgebra 1.1 Einführung Am ersten Kapitel widmen wir uns den Grundlagen der Vektoralgebra, wobei wir speziell auf die Definitionen von Skalaren und Vektoren eingehen und Produkte zwischen

Mehr

2 Skalarprodukt, Vektorprodukt

2 Skalarprodukt, Vektorprodukt 37 2 Skalarprodukt, Vektorprodukt Es gibt zwei verschiedene Verknüpfungsregeln für das Produkt von Vektoren. Die mechanische Arbeit ist definiert als Produkt aus Kraft und Weg. 1 Vorausgesetzt wird dabei,

Mehr

Komplexe Zahlen. Rainer Hauser. Januar 2015

Komplexe Zahlen. Rainer Hauser. Januar 2015 Komplexe Zahlen Rainer Hauser Januar 015 1 Einleitung 1.1 Zahlen und Operationen auf Zahlen Addiert man mit Eins als erster gegebener Zahl beginnend sukzessive Eins zu einer bereits gefundenen Zahl, so

Mehr

Skalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen:

Skalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Vektorgeometrie ganz einfach Teil 5 Skalarprodukt Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen

Mehr

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung: Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben

Mehr

Komplexe Funktionen. für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg. Reiner Lauterbach. Universität Hamburg

Komplexe Funktionen. für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg. Reiner Lauterbach. Universität Hamburg Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Universität Hamburg SS 2006 Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen

Mehr

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches Annelie Heuser, Jean-Luc Landvogt und Ditlef Meins im 1. Semester Komplexe Zahlen Will man nur addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren, kommt man uneingeschränkt mit reellen Zahlen aus.

Mehr

Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz

Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz Hanspeter Horlacher Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz 1. Einführung Eine Grösse, zu deren Festlegung ausser einer Zahl auch noch die Angabe einer Richtung nötig ist, heisst VEKTOR. P 2 P 1 P 1 P 2 P

Mehr

MSG Kurs 10. Klasse, 2011/2012

MSG Kurs 10. Klasse, 2011/2012 MSG Kurs 10. Klasse, 011/01 Holger Stephan, Berlin Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen 3 1.1 Heuristische Herleitung I (Potenzreihen)......................

Mehr

Arbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren)

Arbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren) Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften Arbeitsblatt Mathematik (Vektoren Dozent: - Brückenkurs Mathematik / Physik 6. Aufgabe Gegeben

Mehr

Zahlen und Gleichungen

Zahlen und Gleichungen Kapitel 2 Zahlen und Gleichungen 21 Reelle Zahlen Die Menge R der reellen Zahlen setzt sich zusammen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen Die Mengen der natürlichen Zahlen N, der ganzen Zahlen

Mehr

3.6 Einführung in die Vektorrechnung

3.6 Einführung in die Vektorrechnung 3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Die komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen Kapitel 9 Die komplexen Zahlen Der Körper der komplexen Zahlen Die Gauß sche Zahlenebene Algebraische Gleichungen Anwendungen Der Körper der komplexen Zahlen Die Definition der komplexen Zahlen Definition

Mehr

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x = Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.

Mehr

Menge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3,...} Aber: a + x = b ist nur lösbar, falls b > a

Menge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3,...} Aber: a + x = b ist nur lösbar, falls b > a Komplexe Zahlen. Bedarfsfrage Menge der natürlichen Zahlen = {,, 3,...} Aber: a + x = b ist nur lösbar, falls b > a (Peano-Axiome). Erweiterung: Menge der ganen Zahlen = {..., -3, -, -, 0,,, 3,...} a +

Mehr

KOMPLEXE ZAHLEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

KOMPLEXE ZAHLEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME KOMPLEXE ZHLEN UND LINERE GLEICHUNGSSYSTEME Vektoren Definition: Parallelverschiebung, Pfeil(e) mit Länge und Richtung. Darstellung Eigenschaften Komponenten Graphisch Länge, Betrag Zwischenwinkel Vektorarten

Mehr

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?

Mehr

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Ludger Santen 1. Februar 2013 Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken 1 Einführung Die Mathematik ist die Sprache der

Mehr

2 Geometrie und Vektoren

2 Geometrie und Vektoren Geometrie und Vektoren Vorbemerkung: Begriffe wie die folgenden werden hier als bekannt vorausgesetzt: Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Ebene, Kreis, Winkel, rechter Winkel, etc..1 Grundlegende Sätze Satz

Mehr

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen

Mehr

Zahlenbereiche. Jörn Loviscach. Versionsstand: 20. Oktober 2009, 17:43

Zahlenbereiche. Jörn Loviscach. Versionsstand: 20. Oktober 2009, 17:43 Zahlenbereiche Jörn Loviscach Versionsstand: 20. Oktober 2009, 17:43 1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen Zum Zählen benötigt man die positiven natürlichen Zahlen 1, 2, 3,... In der Informatik zählt

Mehr

Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände

Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände Axel Tobias 22.2.2000 Ein besonderer Dank geht an Ingo Treunowski, der die Übertragung meines Manuskriptes in L A TEX durchgeführt hat tob skript komplex.tex.

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

Komplexe Zahlen und konforme Abbildungen

Komplexe Zahlen und konforme Abbildungen Kapitel 1 Komplexe Zahlen und konforme Abbildungen 1.0 Geometrie der komplexen Zahlen Die Menge C der komplexen Zahlen, lässt sich mithilfe der bijektiven Abbildung C := {x + iy : x,y R}, C z = x + iy

Mehr

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01 Kapitel Komplexe Zahlen Motivation: die Gleichung x = hat offensichtlich keine reellen Lösungen, da x 0 für jedes reelle x gilt Um auch diese Gleichung lösen zu können, muß man neue Zahlen einführen: die

Mehr

Leitprogramm Vektorgeometrie

Leitprogramm Vektorgeometrie Leitprogramm Vektorgeometrie Torsten Linnemann Pädagogische Hochschule FHNW Gymnasium Oberwil E-mail:torsten.linnemann@fhnw.ch 18. September 2011 Dank: Ich danke der Klasse 4aL, Kantonsschule Solothurn,

Mehr

2 Geradengleichungen in Parameterform. Länge und Skalarprodukt

2 Geradengleichungen in Parameterform. Länge und Skalarprodukt 2 Geradengleichungen in Parameterform. Länge und Skalarprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 19. März 2011, 15:33 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu:

Mehr

Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:

Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander: Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt Einsteinsche Summenkonvention (ES): über doppelt vorkommende Indizes wird summiert. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:

Mehr

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,

Mehr

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Michael Goerz 8. April 006 Inhalt Vektoren, Geraden und Ebenen. Länge eines Vektors.......................... Skalarprodukt..............................

Mehr

5. Komplexe Zahlen. 5.1 Was ist eine Zahl?

5. Komplexe Zahlen. 5.1 Was ist eine Zahl? 5. Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form a + bi, wo a und b reelle Zahlen sind und i = 1 ist. Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es nicht, wird man da antworten, und in der Tat gibt es keine

Mehr

Geometrische Maße oder,... wie kann man quantitative Aussagen über geometrische Objekte erhalten?

Geometrische Maße oder,... wie kann man quantitative Aussagen über geometrische Objekte erhalten? In der euklidischen Geometrie der Mittelstufe ging es zumeist um geometrische Konstruktionen und um qualitative Aussagen über geometrische Objekte in Bezug zueinander. Möchte man, insbesondere im dreidimensionalen

Mehr

Verbundstudium TBW Teil 1 Grundlagen 3. Semester

Verbundstudium TBW Teil 1 Grundlagen 3. Semester Verbundstudium TBW Teil 1 Grundlagen 3. Semester 1.1 Internationales Einheitensystem System (SI) Größe Symbol Einheit Zeichen Länge x Meter m Zeit t Sekunde s Masse m Kilogramm kg Elektr. Stromstärke I

Mehr

Schwingungen und komplexe Zahlen

Schwingungen und komplexe Zahlen Schwingungen und komplexe Zahlen Andreas de Vries FH Südwestfalen University of Applied Sciences, Haldener Straße 82, D-5895 Hagen, Germany e-mail: de-vries@fh-swf.de Hagen, im Mai 22 (Erste Version: November

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen

Mehr

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung

Mehr

Vektorgeometrie - Teil 1

Vektorgeometrie - Teil 1 Vektorgeometrie - Teil 1 MNprofil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 14. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung & die analytische Darstellung der

Mehr

Outline. 1 Vektoren im Raum. 2 Komponenten und Koordinaten. 3 Skalarprodukt. 4 Vektorprodukt. 5 Analytische Geometrie. 6 Lineare Räume, Gruppentheorie

Outline. 1 Vektoren im Raum. 2 Komponenten und Koordinaten. 3 Skalarprodukt. 4 Vektorprodukt. 5 Analytische Geometrie. 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende

Mehr

ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009

ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009 ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009 7. Februar 2009 1 Grenzwerte und Folgen 1. Unterschied arithmetische Folge zu geometrische Folge 2. Rekursive Darstellung von Zerfalls- und Wachstumsvorgängen (a) lineares

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten

Mehr

Vorkurs Mathematik B

Vorkurs Mathematik B Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein

Mehr

2.2C. Das allgemeine Dreieck

2.2C. Das allgemeine Dreieck .C. Das allgemeine Dreieck Jedes Dreieck läßt sich nach geeigneter Drehung und Verschiebung in ein Dreieck mit den Eckpunkten A = ( x, 0 ), B = ( y, 0 ), C = ( 0, z ) (x, y, z > 0) transformieren. Die

Mehr

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen

Mehr

x 2 + px + q = 0 ) x 1;2 = p 2 r p 2 2

x 2 + px + q = 0 ) x 1;2 = p 2 r p 2 2 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen treten in der Schule zum ersten Mal bei der Lösung von quadratischen Gleichungen auf. Wir nehmen die Gleichung x 2 + 6x + 25 als Beispiel. Diesen Gleichungstyp können wir

Mehr

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik:

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: Vektorrechnung 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: - skalare Größen: Länge [m], Zeit [sec], Masse [kg], Energie [N m], elektr. Spannung [V ],... gekennzeichnet durch: Maßzahl ( R) [Maßeinheit]

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

7. KOMPLEXE ZAHLEN. und die. KOMPLEXE e-funktion

7. KOMPLEXE ZAHLEN. und die. KOMPLEXE e-funktion 7. KOMPLEXE ZAHLEN und die KOMPLEXE e-funktion 1 Wir gehen aus von der Ebene, versehen mit einem Koordinatensystem und x, y-koordinaten. Dann entsprechen Punkte z in der Ebene Zahlenpaaren: z = (x, y)

Mehr

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt)

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Name: Seite: 1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Dozent: R. Burkhardt Büro: 4.613 Klasse: 1. Studienjahr Semester: 1 Datum: HS 28/9

Mehr

Dezimalzahlen. Analysis 1

Dezimalzahlen. Analysis 1 Dezimalzahlen Definition. Eine endliche Dezimalzahl besteht aus - einem Vorzeichen +,, oder 0 - einer natürlichen Zahl d 0 - einer endlichen Folge von Ziffern d 1,...,d l von 0 bis 9. Die Länge l kann

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,

Mehr

Komplexe Zahlen. Die bildliche Vorstellung einer komplexen Zahl z = (a, b) stellt ein Punkt in der Bildebene dar. Die Elemente der Menge:

Komplexe Zahlen. Die bildliche Vorstellung einer komplexen Zahl z = (a, b) stellt ein Punkt in der Bildebene dar. Die Elemente der Menge: Komplexe Zahlen Die bildliche Vorstellung einer komplexen Zahl z = (a, b) stellt ein Punkt in der Bildebene dar. Die Elemente der Menge: R = R R = {(a, b) a, b R} heißen komplexe Zahlen wenn für die Verknüpfung

Mehr

Komplexe Zahlen. Lernziele dieses Abschnitts sind:

Komplexe Zahlen. Lernziele dieses Abschnitts sind: KAPITEL 1 Komplexe Zahlen Lernziele dieses Abschnitts sind: (1) Analytische und geometrische Darstellung komplexer Zahlen, () Grundrechenarten fur komplexe Zahlen, (3) Konjugation und Betrag komplexer

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Multiplikation und Division in Polarform

Multiplikation und Division in Polarform Multiplikation und Division in Polarform 1-E1 1-E Multiplikation und Division in Polarform: Mathematisches Rüstzeug n m b b = b n+m bn bm = bn m ( b n )m = b n m Additionstheoreme: cos 1 = cos 1 cos sin

Mehr

3.6 Drehungen in der Ebene

3.6 Drehungen in der Ebene 3.6-1 3.6 Drehungen in der Ebene 3.6.1 Die Drehmatrix Gelegentlich müssen wir die Lage eines Teilchens in einem ebenen Koordinatensystem beschreiben, das gegenüber einem festen System um φ gedreht ist.

Mehr

Das Skalarprodukt und seine Anwendungen

Das Skalarprodukt und seine Anwendungen Das Skalarprodukt und seine Anwendungen Axel Schüler, Mathematisches Institut, Univ. Leipzig mailto:schueler@mathematik.uni-leipzig.de Schmalzgrube, März 999 Das Skalarprodukt Das Skalarprodukt von Vektoren

Mehr

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN Liebe Schülerinnen und Schüler, wie schnell man einen bereits einmal gekonnten Stoff wieder vergisst, haben Sie sicherlich bereits schon

Mehr

Zusammenfassung Zahlbereiche

Zusammenfassung Zahlbereiche Zusammenfassung Zahlbereiche Ekkehard Batzies 7. Mai 2008 1 Die rationalen Zahlen 1.1 Zahlbereiche in der Schule Als Zahlbereiche kennt man aus der Schule die natürlichen Zahlen, N = {0, 1, 2, 3,...},

Mehr

3. Zahlbereiche und algebraische Strukturen

3. Zahlbereiche und algebraische Strukturen technische universität dortmund Dortmund, im November 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung von Kapitel 3 3. Zahlbereiche

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Niedersachsen Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der Gleichung zur Kurve... 9 Aufstellen

Mehr

Vektoren. Jörn Loviscach. Versionsstand: 11. April 2009, 23:42

Vektoren. Jörn Loviscach. Versionsstand: 11. April 2009, 23:42 Vektoren Jörn Loviscach Versionsstand:. April 29, 23:42 Rechnen mit Pfeilen Bei den komplexen Zahlen haben wir das Rechnen mit Pfeilen schon kennen gelernt. Addition und Subtraktion klappen in drei wie

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Übungsaufgaben Vektoren

Übungsaufgaben Vektoren Kallenrode, www.sotere.uos.de Übungsaufgaben Vektoren 1. Gegeben sind die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten e ϱ = cos ϕ sin ϕ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ und e z = 0 0 0 0 1 und Kugelkoordinaten: sin ϑ cos

Mehr

Lineare Algebra und Computer Grafik

Lineare Algebra und Computer Grafik Lineare Algebra und Computer Grafik Vorlesung an der Hochschule Heilbronn (Stand: 7 Mai ) Prof Dr V Stahl Copyright 6 by Volker Stahl All rights reserved Inhaltsverzeichnis Vektoren 4 Vektoren und Skalare

Mehr

y x x y ( 2x 3y + z x + z

y x x y ( 2x 3y + z x + z Matrizen Aufgabe Sei f R R 3 definiert durch ( ) x 3y x f = x + y y x Berechnen Sie die Matrix Darstellung von f Aufgabe Eine lineare Funktion f hat die Matrix Darstellung A = 0 4 0 0 0 0 0 Berechnen Sie

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr