Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)"

Transkript

1 Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y Achse sowie die Definitionsund Wertemenge von f an. 2.) In Material 1 ist der Graph der Funktion f abgebildet. Material 2 zeigt zwei weitere Funktionsgraphen. Geben Sie an, welcher der in Material 2 dargestellten Graphen den Graph der Ableitungsfunktion von f darstellt, und begründen Sie Ihre Entscheidung anhand des Graphen von f mit drei wesentlich unterschiedlichen Argumenten. 3.) Begründen oder widerlegen Sie mit Hilfe des Graphen von f die folgenden Aussagen. Gehen Sie dabei davon aus, dass der Verlauf des Graphen von f auch außerhalb des dargestellten Intervalls die gezeigte Periodizität aufweist. (A1) Im Intervall [ 3; 3] hat die Stammfunktion F vier Extremstellen. (A2) lim fxdx 4.1) Zeigen Sie, dass G(x) = cos(2x) eine Stammfunktion der Funktion g mit g(x) = 2 sin(2x) ist, und bestimmen Sie damit den Inhalt der Fläche, die g im Intervall 0; π mit der x Achse einschließt. 4.2) Entscheiden Sie, ob das Integral g xdx, wobei a und a jeweils verschiedene Nullstellen von g sind, den Wert Null annehmen kann.

2 Material 1 Material 2 (I) Material 2 (II)

3 Lösungen: Graph von f(x)= 2sin2x 1: Siehe auch total.de/funktionen verschieben/sin Fkt. 1) Schnittpunkt mit y Achse: f(0) = 2 sin0 11 0; 1 Maximaler Definitionsbereich ist R: D = R Es gilt: 1 sinax 1 b bsinax b für b > 0 b bsinax b für b < 0 fl b + c b sinax cbc für b < 0 Also gilt: 2 1 f(x) f(x) 1 fl W= [ 3; 1] (siehe Graph oben) 2) Graph (II) in Material 2 ist eine typische achsensymmetrische Funktion 4. Grades. Wo f Extrema hat, muss f Nullstellen haben (siehe (I) in Material 2) und wo f Wendepunkte hat, hat f Extrema. Damit kann man (II) ausschließen (z.b. beim Hochpunkt von f im Intervall [2, 3], hier hat Graph (II) keine Nullstelle). Wo f fällt, muss der Graph von f unterhalb der x Achse verlaufen (da hier f (x) < 0 ist), was auf (II) bei x = 0 nicht zutrifft. Nebenbei bemerkt ist f (x) = 4cos2x, was man am Graph sieht (Wertebereich ist W f = [ 4,4]). Auch weil f periodisch ist, muss es auch f sein. Also (I) ist der Graph von f. 3) Zu (A1): Es sind nur vier Extrema, denn Extremstellen von F sind Nullstellen von F = f und f hat im Intervall [ 3,3] insgesamt 4 Nullstellen. Also ist (A1) richtig. Zu (A2): lim fxdx

4 ist auch richtig. Es ist jeweils eine größere Fläche unterhalb der x Achse als oberhalb (siehe Graph von f oben). fxdx ist die Summe aller Flächen oberhalb der x Achse (d.h. zwischen Graph von f und x Achse) minus der Summe der Flächen unterhalb. Dadurch wird fxdx negativ (sogar nicht nur ab einem bestimmten a größer als 3, sondern sogar für alle a > 3, da der Integrationsbereich links mit einem großen Flächenstück im 3. Quadranten d.h. unterhalb der x Achse beginnt). Da sich die Funktion periodisch fortsetzt, sind diese Flächen unbegrenzt und der Wert des Integral wird für aø gegen gehen. 4.1) Wir leiten einfach G ab. Es gilt: F(x) = cos(ax) fl F (x) = aÿsin(ax) Also ist G (x) = 2sin(2x) = g(x). Nullstellen von g(x) im Intervall 0, π bestimmen (siehe auch ms/trigonometrische Funktionen2.pdf): 2sin(2x) = 0 sin(2x) = 0 sin(x) hat Nullstellen bei k mit k =, 2, 1, 0, 1, 2, Damit hat sin(2x) Nullstellen bei: 2x = k :2 x = Jetzt müssen wir noch prüfen, welche Nullstellen ins Intervall 0, π fallen: k = 0 => x = 0 k = 1 => x = k = 2 => x = 0, π k = 1 => x = π 0 Also sind nur x 1 = 0 und x 2 = Nullstellen im Intervall 0, π.

5 Graph von g: Dies ist x 2 = π, denn x 2 = 0 liegt am Rand des Integrationsintervalls. A 1 = gxdx ; A 2 = gxdx Bei A 2 haben wir gleich Betragsstriche verwendet, denn hier ist der Graph von f unterhalb der x Achse. A 1 = 2 sin2xdxcos2x cos2 πcos2 0 cosπ cos0 2 2 FE A 2 = 2 sin2 cos2 cos2 π cos2 π cos π cosπ 01 1 (FE)

6 A = A 1 + A 2 = 3FE G(x) war gegeben. 4.2) kann mit Nullstellen a 1 und a 2 Null werden, denn g(x) ist eine nicht nach oben/unten verschobene Sinus Funktion. Wählt man z.b. a 1 = 0 und a 2 =, dann liegt noch eine Nullstelle bei x = dazwischen. Das Integral wird dann gleich 0 (siehe Graph von g unten), da die beiden Flächen oberhalb und unterhalb der x Achse gleich groß sind. Immer, wenn die Nullstellen, 2, 3, voneinander entfernt sind, kommt beim obigen Integral 0 heraus, denn dann liegen immer gleich viele Flächen oberhalb der x Achse wie unterhalb.

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg Hauptprüung Fachhochschulreie 3 Baden-Württemberg Augabe 3 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz www.mathe-augaben.com Dezember 3 3. Das Schaubild einer Funktion

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Abituraufgabe zur analytischen Geometrie, Hessen 2013, B2, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur analytischen Geometrie, Hessen 2013, B2, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur analytischen Geometrie, Hessen 2013, B2, Grundkurs (TR) 1 Bei Ausgrabungen wurden die Überreste einer 4500 Jahre alten Pyramide entdeckt. Die Abbildung zeigt die Ansicht der Pyramidenruine

Mehr

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?

Mehr

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten

Mehr

Die Näherung durch die Sekante durch die Punkte A und C ist schlechter, da der Punkt C weiter von A entfernt liegt.

Die Näherung durch die Sekante durch die Punkte A und C ist schlechter, da der Punkt C weiter von A entfernt liegt. LÖSUNGEN TEIL 1 Arbeitszeit: 50 min Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung. Begründen Sie, warum die Steigung der Sekante durch die Punkte A(0 2) und C(3 11) eine weniger gute Näherung für die Tangentensteigung

Mehr

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Was ist Sozial-Raum-Orientierung?

Was ist Sozial-Raum-Orientierung? Was ist Sozial-Raum-Orientierung? Dr. Wolfgang Hinte Universität Duisburg-Essen Institut für Stadt-Entwicklung und Sozial-Raum-Orientierte Arbeit Das ist eine Zusammen-Fassung des Vortrages: Sozialräume

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg Hauptprüfung Abiturprüfung 205 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analysis Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 205 Aufgabe A

Mehr

Unterlagen für die Lehrkraft

Unterlagen für die Lehrkraft Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 01/01 Mathematik. Juni 01 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft 1. Aufgabe: Differentialrechnung

Mehr

Sonderrundschreiben. Arbeitshilfe zu den Pflichtangaben in Immobilienanzeigen bei alten Energieausweisen

Sonderrundschreiben. Arbeitshilfe zu den Pflichtangaben in Immobilienanzeigen bei alten Energieausweisen Sonderrundschreiben Arbeitshilfe zu den Pflichtangaben in Immobilienanzeigen bei alten Energieausweisen Sonnenstraße 11-80331 München Telefon 089 / 5404133-0 - Fax 089 / 5404133-55 info@haus-und-grund-bayern.de

Mehr

Lichtbrechung an Linsen

Lichtbrechung an Linsen Sammellinsen Lichtbrechung an Linsen Fällt ein paralleles Lichtbündel auf eine Sammellinse, so werden die Lichtstrahlen so gebrochen, dass sie durch einen Brennpunkt der Linse verlaufen. Der Abstand zwischen

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren

Mehr

Simplex-Umformung für Dummies

Simplex-Umformung für Dummies Simplex-Umformung für Dummies Enthält die Zielfunktion einen negativen Koeffizienten? NEIN Optimale Lösung bereits gefunden JA Finde die Optimale Lösung mit dem Simplex-Verfahren! Wähle die Spalte mit

Mehr

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1 B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,

Mehr

Das Mathematik-Abitur im Saarland

Das Mathematik-Abitur im Saarland Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den

Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Name, Vorname: Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Fachoberschulen im Schuljahr 007 / 008 Prüfungsfach: Mathematik (Vorschlag ) Prüfungstag:

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Approximation durch Taylorpolynome

Approximation durch Taylorpolynome TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal

Mehr

Info zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit

Info zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit Da es oft Nachfragen und Verständnisprobleme mit den oben genannten Begriffen gibt, möchten wir hier versuchen etwas Licht ins Dunkel zu bringen. Nehmen wir mal an, Sie haben ein Stück Wasserrohr mit der

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Wir machen neue Politik für Baden-Württemberg

Wir machen neue Politik für Baden-Württemberg Wir machen neue Politik für Baden-Württemberg Am 27. März 2011 haben die Menschen in Baden-Württemberg gewählt. Sie wollten eine andere Politik als vorher. Die Menschen haben die GRÜNEN und die SPD in

Mehr

Kernfach Mathematik Thema: Analysis

Kernfach Mathematik Thema: Analysis Kernfach Mathemati Bahnlinie Bei A-Stadt endet eine Bahnlinie. In nebenstehender Zeichnung ist ein Koordinatenreuz so gelegt worden, dass A mit dem Ursprung zusammenfällt. Die Bahnlinie verläuft entlang

Mehr

Vergleichsklausur 12.1 Mathematik vom 20.12.2005

Vergleichsklausur 12.1 Mathematik vom 20.12.2005 Vergleichsklausur 12.1 Mathematik vom 20.12.2005 Mit CAS S./5 Aufgabe Alternative: Ganzrationale Funktionen Berliner Bogen Das Gebäude in den Abbildungen heißt Berliner Bogen und steht in Hamburg. Ein

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Fit in Mathe. Juni 2014 Klassenstufe 9. Lineare Funktionen

Fit in Mathe. Juni 2014 Klassenstufe 9. Lineare Funktionen Thema Musterlösungen Juni 0 Klassenstufe 9 Lineare Funktionen a) Vervollständige die Tabelle mit den Funktionswerten: x 6 8 0 6 0 x 5 6 7 8 9 0 b) Gib die Funktionsgleichung an x 6 8 0 6 0 8 x,5,75,5 0,5-0,5

Mehr

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Gegenüber PowerPoint 2003 hat sich in PowerPoint 2007 gerade im Bereich der Master einiges geändert. Auf Handzettelmaster und Notizenmaster gehe ich in diesen Ausführungen nicht ein, die sind recht einfach

Mehr

Herzlich Willkommen beim Webinar: Was verkaufen wir eigentlich?

Herzlich Willkommen beim Webinar: Was verkaufen wir eigentlich? Herzlich Willkommen beim Webinar: Was verkaufen wir eigentlich? Was verkaufen wir eigentlich? Provokativ gefragt! Ein Hotel Marketing Konzept Was ist das? Keine Webseite, kein SEO, kein Paket,. Was verkaufen

Mehr

der Eingabe! Haben Sie das Ergebnis? Auf diesen schwarzen Punkt kommen wir noch zu sprechen.

der Eingabe! Haben Sie das Ergebnis? Auf diesen schwarzen Punkt kommen wir noch zu sprechen. Medizintechnik MATHCAD Kapitel. Einfache Rechnungen mit MATHCAD ohne Variablendefinition In diesem kleinen Kapitel wollen wir die ersten Schritte mit MATHCAD tun und folgende Aufgaben lösen: 8 a: 5 =?

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

1 C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R

1 C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R L Ö S U N G E N Seite 7 n Wenn vier Menschen auf einem Quadratmeter stehen, dann hat jeder eine Fläche von 50 mal 50 Zentimeter

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern

Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern Ausgewählte Ergebnisse einer Befragung von Unternehmen aus den Branchen Gastronomie, Pflege und Handwerk Pressegespräch der Bundesagentur für Arbeit am 12. November

Mehr

P = U eff I eff. I eff = = 1 kw 120 V = 1000 W

P = U eff I eff. I eff = = 1 kw 120 V = 1000 W Sie haben für diesen 50 Minuten Zeit. Die zu vergebenen Punkte sind an den Aufgaben angemerkt. Die Gesamtzahl beträgt 20 P + 1 Formpunkt. Bei einer Rechnung wird auf die korrekte Verwendung der Einheiten

Mehr

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen

Mehr

TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge

TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge Erste Fassung März 2013 Dieser Test beinhaltet Aufgaben zu den wesentlichen Themen im Bereich Mathematik, die Basiswissen für ein Ingenieurstudium

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Thema: Winkel in der Geometrie:

Thema: Winkel in der Geometrie: Thema: Winkel in der Geometrie: Zuerst ist es wichtig zu wissen, welche Winkel es gibt: - Nullwinkel: 0 - spitzer Winkel: 1-89 (Bild 1) - rechter Winkel: genau 90 (Bild 2) - stumpfer Winkel: 91-179 (Bild

Mehr

Das Leitbild vom Verein WIR

Das Leitbild vom Verein WIR Das Leitbild vom Verein WIR Dieses Zeichen ist ein Gütesiegel. Texte mit diesem Gütesiegel sind leicht verständlich. Leicht Lesen gibt es in drei Stufen. B1: leicht verständlich A2: noch leichter verständlich

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Eva Douma: Die Vorteile und Nachteile der Ökonomisierung in der Sozialen Arbeit

Eva Douma: Die Vorteile und Nachteile der Ökonomisierung in der Sozialen Arbeit Eva Douma: Die Vorteile und Nachteile der Ökonomisierung in der Sozialen Arbeit Frau Dr. Eva Douma ist Organisations-Beraterin in Frankfurt am Main Das ist eine Zusammen-Fassung des Vortrages: Busines

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

Mathematik. UND/ODER Verknüpfung. Ungleichungen. Betrag. Intervall. Umgebung

Mathematik. UND/ODER Verknüpfung. Ungleichungen. Betrag. Intervall. Umgebung Mathematik UND/ODER Verknüpfung Ungleichungen Betrag Intervall Umgebung Stefan Gärtner 004 Gr Mathematik UND/ODER Seite UND Verknüpfung Kommentar Aussage Symbolform Die Aussagen Hans kann schwimmen p und

Mehr

MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN. (2) Welche Menge stellt die schraerte Fläche dar?

MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN. (2) Welche Menge stellt die schraerte Fläche dar? MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN DR. ROGER ROBYR Die Aufgaben sollten alle ohne Unterlagen und ohne programmierbare oder graphikfähige Rechner gelöst werden können. Lösung. ) Gegeben sind die Mengen

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

Die Bundes-Zentrale für politische Bildung stellt sich vor

Die Bundes-Zentrale für politische Bildung stellt sich vor Die Bundes-Zentrale für politische Bildung stellt sich vor Die Bundes-Zentrale für politische Bildung stellt sich vor Deutschland ist ein demokratisches Land. Das heißt: Die Menschen in Deutschland können

Mehr

Geld Verdienen im Internet leicht gemacht

Geld Verdienen im Internet leicht gemacht Geld Verdienen im Internet leicht gemacht Hallo, Sie haben sich dieses E-book wahrscheinlich herunter geladen, weil Sie gerne lernen würden wie sie im Internet Geld verdienen können, oder? Denn genau das

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Informationen zum Ambulant Betreuten Wohnen in leichter Sprache

Informationen zum Ambulant Betreuten Wohnen in leichter Sprache Informationen zum Ambulant Betreuten Wohnen in leichter Sprache Arbeiterwohlfahrt Kreisverband Siegen - Wittgenstein/ Olpe 1 Diese Information hat geschrieben: Arbeiterwohlfahrt Stephanie Schür Koblenzer

Mehr

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend

Mehr

Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest

Mehr

Reporting Services und SharePoint 2010 Teil 1

Reporting Services und SharePoint 2010 Teil 1 Reporting Services und SharePoint 2010 Teil 1 Abstract Bei der Verwendung der Reporting Services in Zusammenhang mit SharePoint 2010 stellt sich immer wieder die Frage bei der Installation: Wo und Wie?

Mehr

ONLINE-AKADEMIE. "Diplomierter NLP Anwender für Schule und Unterricht" Ziele

ONLINE-AKADEMIE. Diplomierter NLP Anwender für Schule und Unterricht Ziele ONLINE-AKADEMIE Ziele Wenn man von Menschen hört, die etwas Großartiges in ihrem Leben geleistet haben, erfahren wir oft, dass diese ihr Ziel über Jahre verfolgt haben oder diesen Wunsch schon bereits

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Anleitung über den Umgang mit Schildern

Anleitung über den Umgang mit Schildern Anleitung über den Umgang mit Schildern -Vorwort -Wo bekommt man Schilder? -Wo und wie speichert man die Schilder? -Wie füge ich die Schilder in meinen Track ein? -Welche Bauteile kann man noch für Schilder

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

Teaser-Bilder erstellen mit GIMP. Bildbearbeitung mit GIMP 1

Teaser-Bilder erstellen mit GIMP. Bildbearbeitung mit GIMP 1 Teaser-Bilder erstellen mit GIMP 08.08.2014 Bildbearbeitung mit GIMP 1 Auf den folgenden Seiten werden die wichtigsten Funktionen von GIMP gezeigt, welche zur Erstellung von Bildern für die Verwendung

Mehr

Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen

Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen Kapitel 1 (Intermedia- Vergleich: Affinität) 1 Affinitätsbewertung als Mittel des Intermedia-Vergleichs Um die Streugenauigkeit eines Werbeträgers zu bestimmen,

Mehr

Aufgabe Bestimmung Angebotsfunktion, Marktgleichgewicht und Steuerinzidenz

Aufgabe Bestimmung Angebotsfunktion, Marktgleichgewicht und Steuerinzidenz Fachhochschule Meschede VWL für Ingenieure Dr. Betz Aufgabe Bestimmung Angebotsfunktion, Marktgleichgewicht und Steuerinzidenz Als Vorstandsmitglied im Bereich Finanzen / Steuern der Elektro AG sind Sie

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Wie Sie mit Mastern arbeiten

Wie Sie mit Mastern arbeiten Wie Sie mit Mastern arbeiten Was ist ein Master? Einer der großen Vorteile von EDV besteht darin, dass Ihnen der Rechner Arbeit abnimmt. Diesen Vorteil sollten sie nutzen, wo immer es geht. In PowerPoint

Mehr

Lernaufgabe Industriekauffrau/Industriekaufmann Angebot und Auftrag: Arbeitsblatt I Auftragsbeschreibung

Lernaufgabe Industriekauffrau/Industriekaufmann Angebot und Auftrag: Arbeitsblatt I Auftragsbeschreibung Angebot und Auftrag: Arbeitsblatt I Auftragsbeschreibung Ein Kunde hat Interesse an einem von Ihrem Unternehmen hergestellten Produkt gezeigt. Es handelt sich dabei um einen batteriebetriebenen tragbaren

Mehr

1. Weniger Steuern zahlen

1. Weniger Steuern zahlen 1. Weniger Steuern zahlen Wenn man arbeitet, zahlt man Geld an den Staat. Dieses Geld heißt Steuern. Viele Menschen zahlen zu viel Steuern. Sie haben daher wenig Geld für Wohnung, Gewand oder Essen. Wenn

Mehr

ALEMÃO. Text 1. Lernen, lernen, lernen

ALEMÃO. Text 1. Lernen, lernen, lernen ALEMÃO Text 1 Lernen, lernen, lernen Der Mai ist für viele deutsche Jugendliche keine schöne Zeit. Denn dann müssen sie in vielen Bundesländern die Abiturprüfungen schreiben. Das heiβt: lernen, lernen,

Mehr

Leichte-Sprache-Bilder

Leichte-Sprache-Bilder Leichte-Sprache-Bilder Reinhild Kassing Information - So geht es 1. Bilder gucken 2. anmelden für Probe-Bilder 3. Bilder bestellen 4. Rechnung bezahlen 5. Bilder runterladen 6. neue Bilder vorschlagen

Mehr

Alle Schlüssel-Karten (blaue Rückseite) werden den Schlüssel-Farben nach sortiert und in vier getrennte Stapel mit der Bildseite nach oben gelegt.

Alle Schlüssel-Karten (blaue Rückseite) werden den Schlüssel-Farben nach sortiert und in vier getrennte Stapel mit der Bildseite nach oben gelegt. Gentlemen", bitte zur Kasse! Ravensburger Spiele Nr. 01 264 0 Autoren: Wolfgang Kramer und Jürgen P. K. Grunau Grafik: Erhard Dietl Ein Gaunerspiel für 3-6 Gentlemen" ab 10 Jahren Inhalt: 35 Tresor-Karten

Mehr

Statuten in leichter Sprache

Statuten in leichter Sprache Statuten in leichter Sprache Zweck vom Verein Artikel 1: Zivil-Gesetz-Buch Es gibt einen Verein der selbstbestimmung.ch heisst. Der Verein ist so aufgebaut, wie es im Zivil-Gesetz-Buch steht. Im Zivil-Gesetz-Buch

Mehr

Wichtig ist die Originalsatzung. Nur was in der Originalsatzung steht, gilt. Denn nur die Originalsatzung wurde vom Gericht geprüft.

Wichtig ist die Originalsatzung. Nur was in der Originalsatzung steht, gilt. Denn nur die Originalsatzung wurde vom Gericht geprüft. Das ist ein Text in leichter Sprache. Hier finden Sie die wichtigsten Regeln für den Verein zur Förderung der Autonomie Behinderter e. V.. Das hier ist die Übersetzung der Originalsatzung. Es wurden nur

Mehr

Prozentrechnung. Wir können nun eine Formel für die Berechnung des Prozentwertes aufstellen:

Prozentrechnung. Wir können nun eine Formel für die Berechnung des Prozentwertes aufstellen: Prozentrechnung Wir beginnen mit einem Beisiel: Nehmen wir mal an, ein Handy kostet 200 und es gibt 5% Rabatt (Preisnachlass), wie groß ist dann der Rabatt in Euro und wie viel kostet dann das Handy? Wenn

Mehr

Menü auf zwei Module verteilt (Joomla 3.4.0)

Menü auf zwei Module verteilt (Joomla 3.4.0) Menü auf zwei Module verteilt (Joomla 3.4.0) Oft wird bei Joomla das Menü in einem Modul dargestellt, wenn Sie aber z.b. ein horizontales Hauptmenü mit einem vertikalen Untermenü machen möchten, dann finden

Mehr

Rationale Zahlen. Weniger als Nichts? Ist Null nichts?

Rationale Zahlen. Weniger als Nichts? Ist Null nichts? Rationale Zahlen Weniger als Nichts? Ist Null nichts? Oft kann es sinnvoll sein, Werte anzugeben die kleiner sind als Null. Solche Werte werden mit negativen Zahlen beschrieben, die durch ein Minus als

Mehr

Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien

Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Wolfram Fischer Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Oktober 2004 1 Zusammenfassung Zur Berechnung der Durchschnittsprämien wird das gesamte gemeldete Prämienvolumen Zusammenfassung durch die

Mehr

Mobile Intranet in Unternehmen

Mobile Intranet in Unternehmen Mobile Intranet in Unternehmen Ergebnisse einer Umfrage unter Intranet Verantwortlichen aexea GmbH - communication. content. consulting Augustenstraße 15 70178 Stuttgart Tel: 0711 87035490 Mobile Intranet

Mehr

Monatliche Grundgebühr: 5,00 Zeitabhängige Nutzung: Feiertags/Sonntags: 0,04 /min

Monatliche Grundgebühr: 5,00 Zeitabhängige Nutzung: Feiertags/Sonntags: 0,04 /min Aufgabe 1: Wortvorschriften Gib zu den Wortvorschriften je eine Funktionsgleichung an: a) Jeder Zahl wird das Doppelte zugeordnet b) Jeder Zahl wird das um 6 verminderte Dreifache zugeordnet c) Jeder Zahl

Mehr

Hard Asset- Makro- 49/15

Hard Asset- Makro- 49/15 Hard Asset- Makro- 49/15 Woche vom 30.11.2015 bis 04.12.2015 Flankendeckung geschaffen Von Mag. Christian Vartian am 06.12.2015 Abermals gute US- Arbeitsmarktdaten lassen der FED kaum eine Möglichkeit,

Mehr