Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
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- Teresa Roth
- vor 8 Jahren
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1 Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y Achse sowie die Definitionsund Wertemenge von f an. 2.) In Material 1 ist der Graph der Funktion f abgebildet. Material 2 zeigt zwei weitere Funktionsgraphen. Geben Sie an, welcher der in Material 2 dargestellten Graphen den Graph der Ableitungsfunktion von f darstellt, und begründen Sie Ihre Entscheidung anhand des Graphen von f mit drei wesentlich unterschiedlichen Argumenten. 3.) Begründen oder widerlegen Sie mit Hilfe des Graphen von f die folgenden Aussagen. Gehen Sie dabei davon aus, dass der Verlauf des Graphen von f auch außerhalb des dargestellten Intervalls die gezeigte Periodizität aufweist. (A1) Im Intervall [ 3; 3] hat die Stammfunktion F vier Extremstellen. (A2) lim fxdx 4.1) Zeigen Sie, dass G(x) = cos(2x) eine Stammfunktion der Funktion g mit g(x) = 2 sin(2x) ist, und bestimmen Sie damit den Inhalt der Fläche, die g im Intervall 0; π mit der x Achse einschließt. 4.2) Entscheiden Sie, ob das Integral g xdx, wobei a und a jeweils verschiedene Nullstellen von g sind, den Wert Null annehmen kann.
2 Material 1 Material 2 (I) Material 2 (II)
3 Lösungen: Graph von f(x)= 2sin2x 1: Siehe auch total.de/funktionen verschieben/sin Fkt. 1) Schnittpunkt mit y Achse: f(0) = 2 sin0 11 0; 1 Maximaler Definitionsbereich ist R: D = R Es gilt: 1 sinax 1 b bsinax b für b > 0 b bsinax b für b < 0 fl b + c b sinax cbc für b < 0 Also gilt: 2 1 f(x) f(x) 1 fl W= [ 3; 1] (siehe Graph oben) 2) Graph (II) in Material 2 ist eine typische achsensymmetrische Funktion 4. Grades. Wo f Extrema hat, muss f Nullstellen haben (siehe (I) in Material 2) und wo f Wendepunkte hat, hat f Extrema. Damit kann man (II) ausschließen (z.b. beim Hochpunkt von f im Intervall [2, 3], hier hat Graph (II) keine Nullstelle). Wo f fällt, muss der Graph von f unterhalb der x Achse verlaufen (da hier f (x) < 0 ist), was auf (II) bei x = 0 nicht zutrifft. Nebenbei bemerkt ist f (x) = 4cos2x, was man am Graph sieht (Wertebereich ist W f = [ 4,4]). Auch weil f periodisch ist, muss es auch f sein. Also (I) ist der Graph von f. 3) Zu (A1): Es sind nur vier Extrema, denn Extremstellen von F sind Nullstellen von F = f und f hat im Intervall [ 3,3] insgesamt 4 Nullstellen. Also ist (A1) richtig. Zu (A2): lim fxdx
4 ist auch richtig. Es ist jeweils eine größere Fläche unterhalb der x Achse als oberhalb (siehe Graph von f oben). fxdx ist die Summe aller Flächen oberhalb der x Achse (d.h. zwischen Graph von f und x Achse) minus der Summe der Flächen unterhalb. Dadurch wird fxdx negativ (sogar nicht nur ab einem bestimmten a größer als 3, sondern sogar für alle a > 3, da der Integrationsbereich links mit einem großen Flächenstück im 3. Quadranten d.h. unterhalb der x Achse beginnt). Da sich die Funktion periodisch fortsetzt, sind diese Flächen unbegrenzt und der Wert des Integral wird für aø gegen gehen. 4.1) Wir leiten einfach G ab. Es gilt: F(x) = cos(ax) fl F (x) = aÿsin(ax) Also ist G (x) = 2sin(2x) = g(x). Nullstellen von g(x) im Intervall 0, π bestimmen (siehe auch ms/trigonometrische Funktionen2.pdf): 2sin(2x) = 0 sin(2x) = 0 sin(x) hat Nullstellen bei k mit k =, 2, 1, 0, 1, 2, Damit hat sin(2x) Nullstellen bei: 2x = k :2 x = Jetzt müssen wir noch prüfen, welche Nullstellen ins Intervall 0, π fallen: k = 0 => x = 0 k = 1 => x = k = 2 => x = 0, π k = 1 => x = π 0 Also sind nur x 1 = 0 und x 2 = Nullstellen im Intervall 0, π.
5 Graph von g: Dies ist x 2 = π, denn x 2 = 0 liegt am Rand des Integrationsintervalls. A 1 = gxdx ; A 2 = gxdx Bei A 2 haben wir gleich Betragsstriche verwendet, denn hier ist der Graph von f unterhalb der x Achse. A 1 = 2 sin2xdxcos2x cos2 πcos2 0 cosπ cos0 2 2 FE A 2 = 2 sin2 cos2 cos2 π cos2 π cos π cosπ 01 1 (FE)
6 A = A 1 + A 2 = 3FE G(x) war gegeben. 4.2) kann mit Nullstellen a 1 und a 2 Null werden, denn g(x) ist eine nicht nach oben/unten verschobene Sinus Funktion. Wählt man z.b. a 1 = 0 und a 2 =, dann liegt noch eine Nullstelle bei x = dazwischen. Das Integral wird dann gleich 0 (siehe Graph von g unten), da die beiden Flächen oberhalb und unterhalb der x Achse gleich groß sind. Immer, wenn die Nullstellen, 2, 3, voneinander entfernt sind, kommt beim obigen Integral 0 heraus, denn dann liegen immer gleich viele Flächen oberhalb der x Achse wie unterhalb.
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