Lösungshandbuch. Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Hammond Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 3., akt. Aufl., Pearson Studium, München 2009

Transkript

1 Lösungshandbuch Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Hammond Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 3., akt. Aufl., Pearson Studium, München 9 Kapitel Einführung, I: Algebra... 3 Kapitel Einführung, II: Gleichungen... 5 Kapitel 3 Einführung, III: Verschiedenes Kapitel 4 Funktionen einer Variablen.... Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen... 3 Kapitel 6 Differentialrechnung... 5 Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung... 9 Kapitel 8 Univariate Optimierung... 3 Kapitel 9 Integralrechnung... 6 Kapitel Themen aus der Finanzmathematik... 3 Kapitel Funktionen mehrerer Variablen Kapitel Handwerkszeug für komparativ statische Analysen 36 Kapitel 3 Multivariate Optimierung... 4 Kapitel 4 Optimierung unter Nebenbedingungen Kapitel 5 Matrizen und Vektoralgebra Kapitel 6 Determinanten und inverse Matrizen Kapitel 7 Lineare Programmierung ÜBERBLICK

2 CWS Lösungshandbuch für das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Vorwort Diese ausführlichen Lösungen begleiten das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (3., akt. Auflage, Pearson Studium, 9. Der Schwerpunktliegt dabei darin, detailliertere Lösungen zu den mit markierten Aufgaben aus dem Buch zu geben. Dabei sollte dieses Handbuch in Verbindung mit den Lösungen aus dem Buch verwendet werden. In einigen Fällen sind nur Teilaufgaben detailliert dargestellt, da der Rest auf gleiche Weise gelöst werden kannn. Für die Mitarbeit bedanken wir uns bei Carren Pindiriri für ihre Unterstützung als Korrekturleserin. Wir sind dankbar für Verbesserungsvorschläge der Leser sowie für Hinweise zur Beseitigung von Ungenauigkeiten und Fehlern. Oslo und Coventry Knut Sydsæter Arne Strøm Peter Hammond Für die deutsche Ausgabe bitte ich nachdrücklich darum, mir die Fehler mitzuteilen. Tun Sie das bitte wirklich. Fred Böker

3 Kapitel Einführung, I: Algebra Kapitel Einführung, I: Algebra.. (a Wahr. (b Falsch. 5 istkleinerals 3, so dass 5 auf der Zahlengeraden links von 3 liegt. (Siehe Abb... im Buch. (c Falsch. 3 ist eine ganze, aber keine natürliche Zahl. (d Wahr. Jede natürliche Zahl ist eine rationale Zahl. Zum Beispiel: 5 5/. (e Falsch, da / ein Quotient aus zwei ganzen Zahlen ist. (f Falsch. Gegenbeispiel: +(. (g Wahr. (h Wahr (a (t (t t +t(t t + (t t +t 3 4t +t t +t t 3 5t +4t (b (a + +(a (a +(a a +a ++a a + a +4 (c (x+y+z (x+y+z(x+y+z x(x+y+z+y(x+y+z+z(x+y+z x +xy+xz+yx+y +yz+zx+zy+z x +y +z +xy +xz+yz (d (x y z (x y z(x y z x xy xz xy +y yz xz yz+z, so dass (x + y + z (x y z 4xy +4xz. 3. (a a +4ab +4b (a +b nach der ersten binomischen Formel (.3.. (d 9z 6w (3z 4w(3z +4w nach der Formel für die Differenz von Quadraten (.3.3. (e 5 x +xy 5y 5 (x xy +5y (x 5y (f a 4 b 4 (a b (a + b. Es wird die 5 Formel für die Differenz von Quadraten (.3.3 verwendet. Da a b (a b(a + b, folgt die Antwort im Buch (a x x + x + (x (x + x x + x + (x +(x (x (x + 4 x 4 (b Da 4x + (x + und 4x (x + (x, lautet der kleinste gemeinsame Nenner (x + (x. Hieraus folgt: 6x +5 4x + 6x + x (6x + 5(x (6x + x (x 4x (x + (x (x + (x (x + (c (d (e 6. (a 8b a 9b a a +3b + 8b a(a 3b+(a 9b (a +3b(a 3b 8ab 8b(a + + b(a 4 a 4 a(a + 8a 8ab(a 4 ( t t 5t t + t (f a ( a.5 (b (c (d a 4 t t t( t t + 3t t(t t t + 4a, so dass a ( a.5 x + (x ++x 3x(x + 3 3x x + x(x + x(x + t t + t t(t t(t + t t (t + (t 4t 3x x + x + y xy a(a +3b (a +3b(a 3b a a 3b (5a 8ab(a 4 5a 4ab(a 4 3t t 3t t + (4a 4 4a 4( a 4x x x 3x(x + 4x(x + (x 7x + (x (x + (x (x + x 4 ( x + xy y y + x x ( x + y (e y x x y xy xy x + y y ( x + y (f Indem man Zähler und Nenner mit xy multipliziert, erhält man x y y x x + y a(y x a(y + x y x y + x. 3

4 CWS Lösungshandbuch für das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 8. (a ,sodass( ( (b n n n n n ( n n (c Wenn u x p q,folgt (d (e ( x + x ( x x + n n n n(n n n n n n +x + p q +x q p +u + +/u +u + u +u. (x (x (x + h x x (x + h x (x + h x ++ x 3 x x + x + (x +(x x + (x xh h, so dass x (x + h (x + h x h (f Multiplikation des Zählers und Nenners mit x (x +(x ergibt x h x (x + h. x 5x(x x x Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit: (a 7 5. (b 5 3. (c 3+. (d x y y x. (e x + h + x. (f x Die Antwort ist vom genutzten Taschenrechner abhängig.. (a Für x ergibt sich für die linke Seite 4 und für die rechte Seite. (Tatsächlich ist ( x x. (b Gültig, da a p q a p /a q. (c Gültig, da a p /a p. (d Für x wäre5/5, welches ein Widerspruch ist. (e Für x y wärea a, welches generell falsch ist. (Tatsächlich ist a x+y a x a y. (f x y x+ y,nicht xy (a < 3x + x +4 3x + 3x + (x +4 hat die gleichen Lösungen wie > oder x +4 x +4 > oder x 7 x +4 >. Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass die Ungleichung für 7 < x < erfüllt ist. Ein gravierender Fehler ist es, die Ungleichung mit x + 4 zu multiplizieren, ohne dass x +4 > unterstellt wurde. Bei Multiplikation mit x + 4 muss im Falle der Negativität die Richtung der Ungleichung umgekehrt werden. (Es wäre vorteilhaft, die Ungleichungen für verschiedene Werte von x zu prüfen. Zum Beispiel ist sie bei x nicht erfüllt. Wie sieht es mit x 5 aus? (b Die Ungleichung ist äquivalent zu n 3 3(6 n, d. h.. Ein Vorzeichen-Diagramm 4 4n zeigt, dass die Ungleichung für n < und für n 6 erfüllt ist. (Beachten Sie: Für n macht die Ungleichung keinensinn. Bei n 6 besteht Gleichheit. (c Einfach: g(g, usw. p + (d Beachten Sie, dass p 4p +4(p. Dann lässt sich die Ungleichung auf (p reduzieren. Der Bruch macht für p keinen Sinn. Das Ergebnis im Buch folgt. (e Die Ungleichung ist äquivalent zu n n n 8 3n, d. h. oder, n +4 n +4 n +4 usw. (f Siehe Buch und verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (Dividieren Sie nicht durch x,da sich dann x als falsche Lösung ergibt. 5. (a Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (b Die Ungleichung ist für x nicht erfüllt. Wenn x, ist sie offensichtlich für x +4> erfüllt, d. h. x > 4 (da(x für x positiv ist. (c Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (d Die Ungleichung ist für x /5 nicht erfüllt. Wenn x /5, ist sie offensichtlich für x < gültig. (e Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. ((5x <, wenn x < /5 und >, wenn x > /5. 4

5 Kapitel Einführung, II: Gleichungen (f 3x > x +3oder 3x (x +3> oder ( + x >, so dass x <. ( + x ist immer positiv. x x x (g x 3 3 x(x + > x oderx (x < oder <. Verwenden Sie jetzt ein Vorzeichenx +3 x +3 x +3 Diagramm. (h Nutzen Sie den Hinweis sowie ein Vorzeichen-Diagramm. (Genau genommen könnte diese und die folgende Aufgabe in Kapitel.3 verschoben werden, falls das Schulalgebra-Wissen nicht vorhanden ist. (i Nutzen Sie den Hinweis sowie ein Vorzeichen-Diagramm. Aufgaben zur Wiederholung für Kapitel 4. (a (x 4 4 x 4 6x 4 (b 4 / /4/4, so dass ( 4 4. (c Kürzen Sie den gemeinsamen Faktor 4x yz. (d ( ab 3 3 ( 3 a 3 b 9 a 3 b 9,sodass [ ( ab 3 3 (a 6 b 6 ] 3 [a 3 b 9 a b ] 3 [a 9 b 3 ] 3 a 7 b 9. (f [( x 3 8 x ] 3 [ x3 8 8 x ] 3 (x 5 3 x 5 (e a5 a 3 a a 3 a 6 a6 a 3 a3 8. Alle sind einfach zu lösen bis auf (c, (g und (h: (c 3 ( (g ( + x + x + x 3 ( x (+x + x + x 3 ( + x + x + x 3 x x 4. (h ( + x 4 (+x ( + x (+x + x ( + x + x.. (a und (b sind einfach zu lösen. (c ax +ay +x +y ax +x +ay +y (a+x +(a+y (a+(x +y (d x 5yz +xz xy x +xz (xy +5yz x(x +5z y(x +5z (x y(x +5z (e p q + p q (p q(p + q+(p q (p q(p + q + (f Siehe Lösung im Buch. 5. (a s s s s(s + s(s s + (s (s + s 4s x (b 3 x x x +3 4 x(x +3 ( x(x 3 4 7(x +3 x 9 (x 3(x +3 (x 3(x +3 7 x 3 (c Multiplikation des Zählers und Nenners mit x y y x ergibt y x y x (y x(y + x x + y. 6. (a Kürzen Sie den Faktor 5ab. (b x y (x + y(x y. Kürzen Sie x + y. (c Der Bruch kann zu (a 3b a 3b (a 3b(a +3b a +3b umgeschrieben werden. (d 4x x 3 x( x( + x 4 4x + x ( x x( + x x Kapitel Einführung, II: Gleichungen. 3. (a Beachten Sie, dass die Gleichung für x 3 und x 4 nicht definiert ist. Multipliziert man die Gleichung mit dem Hauptnenner (x +3(x + 4, erhält man (x 3(x +4 (x +3(x 4. Somit ist x. (b Multiplikation mit dem Hauptnenner (x 3(x +3ergibt3(x +3 (x 3 9. Wir erhalten daraus x 6. (c Aus der Multiplikation mit dem Hauptnenner 5x (wobei x, folgt 8x 75 x 5x +8x. Es ergibt sich x (a Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt 9y 3 4+4y +436y. Somit ist y 7/3. (b Aus der Multiplikation mit x(x + folgt 8(x ++6x (x ++7x,d.h.x 4. (c Multiplikation des Zählers und Nenners im ersten Bruch mit z führt zu z z ( z( + z 6 z +. Multiplikation mit ( z (z +ergibt( 3z(z + 6 6z. Somit ist z 4. (d Indem wir die Klammern auflösen, erhalten wir p p 3 + p 3. Die Multiplikation mit dem Hauptnenner 4 3 führt zu einer Gleichung mit der Lösung p 5/6. 5

6 CWS Lösungshandbuch für das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (a Multiplizieren Sie beide Seiten mit abx, umb + a abx zu erhalten. Somit ist x a + b ab a ab + b ab ( a +. (b Multipliziert man die Gleichung mit cx +d,folgt darausax +b cax +da b bzw. (a cax da b. Somit ist x (da b/(a ca. (c Multiplizieren Sie die Gleichung mit x /, um p wx/ zu erhalten. Somit ist x / p/w, so dass durch Quadrieren jeder Seite x p /4w folgt. (d Multiplizieren Sie jede Seite mit +x,um+x +ax zu erhalten, so dass x /(+a. (e x b /a,sodassx ±b/a. (f Wir sehen sofort, dass x. 4. (a x a ˇx b ( ˇx a b, sodassx (a b/( ˇ. (b Quadrieren jeder Seite von pq 3q + 5 ergibt pq (3q +5,sodassp (3q +5 /q. (c Y 94+.(Y ( +.5Y 94 +.Y 4.Y,sodass.9Y 9 und somit Y. (d Potenzieren Sie jede Seite mit dem Exponenten 4: K r w K Q4,sodassK 3 wq 4 /r und somit K ( wq 4 /r /3. (e Multiplikation des Zählers und Nenners im linken Bruch mit 4K / L 3/4 ergibt L/K ( r/w. Somit erhalten wir L rk/w. (f Potenzieren jeder Seite mit dem Exponenten 4 ergibt: 6 p4 K r r 4.EsfolgtK 3r 3 w/p 4, w so dass K 3 p4 r 3 w. 5. (a s t T T t tt,sodasss tt T t. (b KLM B + L, sodassklm (B + L und somit M (B + L /KL. (c Multiplikation jeder Seite mit x z ergibt x y + xz 4xy 4yz oder (x +4yz 4xy x +y und somit z (4xy x +y/(x +4y. (d V C CT/N,sodassCT/N C V und somit T N ( V /C. 5. (a Siehe Lösung im Buch. (b Wenn die erste der beiden natürlichen Zahlen n ist, dann ist die darauf folgende n +, so dass die Forderung n +(n + 3 ist, was sich zu n +n vereinfachen lässt, d. h. n + n 6. Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen n 3 und n,d.h.die zwei gesuchten Zahlen lauten und 3. (Wenn wir nach ganzzahligen Lösungen gesucht hätten, wäre 3 und eine weitere Lösung. (c Wenn die kürzere Seite x ist und die andere x + 4, so ist nach dem Satz des Pythagoras (siehe Anhang A.. Fertigen Sie eine Zeichnung an. x +(x + 4 (34 oder x +4x 48. Die Lösungen lauten x 6 und x 3, so dass die kürzere Seite 6 cm lang und die längere 6 cm + 4 cm 3 cm lang ist. Beachten Sie: Die negative Lösung x 3 ergibt keinen Sinn. (d Sei die übliche Geschwindigkeit x km/h und die übliche Fahrzeit t Stunden. Dann ist xt 8. Nun sind 6 Minuten 6/6 4/5 Stunden, so dass das Fahren mit der Geschwindigkeit x +fürt 4/5 Stunden (x + (t 4/5 8 entspricht. Aus der ersten Gleichung erhalten wir t 8/x. Dies wird in die zweite Gleichung eingesetzt, so dass (x + (8/x 4/5 8. Nach einer Umstellung ergibt sich x +x 3 mit der positive Lösung x 5. Demnach beträgt seine übliche Geschwindigkeit 5 km/h. 4. (a Wenn die zwei Zahlen x und y sind, dann gilt x + y 5 und x y 6. Addiert man beide Gleichungen, ergibt dies x 78, so dass x 39sowiey (b Die Kosten für einen Stuhl seien x Euro und die eines Tisch y Euro. Dann ist 5x +y 8 und x +3y 4. Lösen des Systems ergibt x und y 6. (c Sei x die Anzahl der von B produzierten Einheiten. Dann werden x + x 3 3 x Einheiten von A produziert und es ergibt sich 3 x + x 3 oder 65x 3, d. h. x. Demnach sollten 3 Einheiten in der Qualität A und in der Qualität B produziert werden. (d Wenn x zu 5 % investiert wird und y zu 7. %, folgt x + y und.5x +.7y 676. Die Lösung beträgt x und y 8.. (a Der Zähler 5 + x wird niemals, d. h. es gibt keine Lösungen. (b Die Gleichung ist offensichtlich äqivalent zu x ++x (x + oder,sodassx. (c Für x ist der Ausdruck auf x + x + 6

7 Kapitel 3 Einführung, III: Verschiedenes der linken Seite nicht definiert. Multiplizieren Sie die Gleichungen mit (x + /3. Dann verändert sich derzählerzux + x.diesistfürx 3/. (d Multiplikation mit x und Umstellung ergibt 3 x(x. Somit ist x oderx /. 3. (a z erfüllt die Gleichung. Wenn z, kürzen wir z und erhalten: z a za+zb oder z( (a+b a. Wenna + b ist, haben wir einen Widerspruch, da a.wenna + b,folgtz a/( (a + b. (b Die Gleichung ist äquivalent zu ( + (x y, so dass, oderx y. (c ± macht die Gleichung bedeutungslos. Multiplikation der Gleichung mit ergibt ( oder (, so dass oder. (d Die Gleichung ist äquivalent zu b( + (a, so dass b, odera. Aufgaben zur Wiederholung für Kapitel. Durch elementare Umformungen sieht man, dass die hier gegebenen Gleichungen zu denen in Aufgabe..3 äquivalent sind. 3. (a x (y 3 + y y +y 5 y oder 5 y x +,sodassy 3 (x (b ax cx b + d oder (a cx b + d, sodassx (b + d/(a c. (c Quadrieren beider Seiten von L Y /AK ergibt L (Y /AK. (d qy m px, sodassy (m px/q. (e und (f: Siehe Lösung im Buch. 5. (a Man multipliziert die Gleichungen mit 5K /,umk / 5L /3 zu erhalten. Quadrieren beider Seiten ergibt K 5L /3. (b Man potenziert jede Seite mit dem Exponenten /t, um+r/ /t zu erhalten. Somit ist r ( /t. (c abx b p, d.h.x b p/ab. Potenzieren Sie nun jede Seite mit dem Exponenten /(b. (d Potenzieren Sie jede Seite mit dem Exponenten, um ( a + b c oder b (c ( a zu erhalten. Potenzieren Sie jetzt jede Seite mit dem Exponenten /. 9. (a Siehe Lösung im Buch. (b Sei u /x und v /y. Dann reduziertsich das System auf 3u+v und u 3v /4 mit der Lösung u / und v /4. Daraus folgt, dass x /u und y /v 4. (c Siehe Lösung im Buch. Kapitel 3 Einführung, III: Verschiedenes (a bis (d: Betrachten Sie den letzten Term und ersetzen Sie n durch k. Summieren Sie über k von bis n. (e Die Koeffizienten sind die Potenzen 3 n für n,, 3, 4, 5, so dass der allgemeine Term 3 n x n ist. (f und (g: Siehe Lösung im Buch. (h Dies ist sehr trickreich. Man sollte sehen, dass jeder Term um 98 größer ist als der vorangegangene. (Diese Aufgabe steht in Beziehung zu der Geschichte über Gauß in Kap. 3. unter Nützliche Formeln. 7. (a n k ck c + c + + c n c( n c n k k (b Falsch, selbst für n : Die linke Seite ist (a + a a +a a + a, die rechte Seite ist aber a + a. (c Beide Seiten sind gleich b + b + + b N. (d Beide Seiten sind gleich (e Beide Seiten sind gleich a,j + + a n,j. (f Falsch, selbst für n : Die linke Seite ist a + a /, die rechte Seite ist aber (/k(a + a Man braucht hier nicht unbedingt das Summationszeichen zu verwenden.die Summe ist a+(a+d+(a+ d+ +(a+(n d. Das sind n Terme. Die Summe aller a s beträgt na.derrestistd(++ +n. Dann verwendet man Formel (

8 CWS Lösungshandbuch für das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 3.3. (a Siehe Buch. (b (c m i 4 ( rs s r [( s + ( 3s + ( 4s ] ( +s 3+s 4+s + ( 3 + ( 4 + ( 4 + ( 6 + ( r+s s n j i j m i i n j j m(m + n(n + (n + m(m +n(n + (n +, 6 wobei wir (3..4 und (3..5 verwendet haben. 4. a ist der Mittelwert von a s s, da a n ( m a rs n a s. n m n s r s Um ( zu beweisen, muss beachtet werden, dass a rj a unabhängig vom Summationsindex s ist. Es ist ein gemeinsamer Faktor, wenn wir über s summieren, so dass m s (a rj a(a sj a (a rj a m s (a sj a für jedes r gilt. Als nächstes ergibt die Summation über r m r m [ m ][ m ] (a rj a(a sj a (a rj a (a sj a. ( s Indem wir die Eigenschaften von Summen und die Definition von a j verwenden, erhalten wir m m m (a rj a a rj a ma j ma m(a j a. r r r Auf gleiche Weise, indem wir r durch s als Summationsindex ersetzen, erhalten wir m s (a sj a m(a j a. Dann setzt man diese Werte in ( ein und es folgt (. r s (a Wenn (i x 4 x +5 9, dann ist auch (ii x 4( x +5 9, was wir durch Quadrieren beider Seiten von (i erhalten. Berechnet man das Quadrat auf der rechten Seite von (ii, ergibt sich x und somit x + 5 5, d. h. x. Das zeigt: Wenn x eine Lösung von (i ist, so ist x. Kein anderer Wert für x kann die Gleichung (i erfüllen. Sobald wir aber die Lösung überprüfen, finden wir heraus, dass mit x die linke Seite von (i 6 4 ergibt, während die rechte Seite ist. Somit sind linke und rechte Seite verschieden, d. h. die Gleichung (i hat in Wirklichkeit überhaupt keine Lösung. (Aber beachten Sie, dass 4 ( 4, d. h. das Quadrat der linken Seite ist gleich dem Quadrat der rechten Seite. Das ist der Grund, warum sich die falsche Lösung x einschleichen konnte. (b Wenn x eine Lösung von (iii x 49 x + 5 ist, dann finden wir wie in (a heraus, dass x eine Lösung von (iv x 4(9 x +5 sein muss. Nun ist (9 x +5 ( x +5 9,sodassdie Gleichung (iv äquivalent zu der Gleichung (ii aus (a ist. Das bedeutet, dass (iv genau eine Lösung hat, nämlich x. Indem wir diesen Wert für x in die Gleichung (iii einsetzen, ergibt sich, dass x eine Lösung von (iii ist. Eine geometrische Erklärung der Resultate kann in Verbindung mit der folgenden Abbildung gegeben werden. 5 y y 9 x +5 y x x -5 y x +5 9 Abbildung CWS

9 Kapitel 3 Einführung, III: Verschiedenes Man kann sehen, dass die zwei durchgezogenen Kurven in der Abbildung keinen gemeinsamen Punkt haben, d. h. die Ausdrücke x 4 und x +5 9 sind für keinem Wert von x gleich. (Tatsächlich erhöht sich die Differenz x 4 ( x +5 9 mit zunehmenden x, so dass es auch keinen Schnittpunkt weiter rechts geben kann. Dies erklärt, warum die Gleichung in (a keine Lösung hat. Andererseits schneidet die gestrichelte Kurve y 9 x + 5 die Kurve y x +5beix (und nur da. Dies entspricht der Lösung aus (b. Anmerkung: In (a war es notwendig die Lösung zu überprüfen, da der Übergang von (i zu (ii lediglich eine Implikation und keine Äquivalenz ist. In gleicher Weise war es notwendig das Ergebnis in (b zu überprüfen, da der Übergang von (iii zu (iv ebenso nur eine Implikation ist zumindest ist eine Äquivalenz nicht klar erkennbar. (Es stellte sich zwar eine Äquivalenz heraus. Das konnten wir aber nicht wissen, bevor wir die Gleichung gelöst hatten. 7. (a Hier haben wir dann und nur dann, da 4. (b Unter Zuhilfenahme eines Vorzeichen- Diagramms kann man sehen, dass x(x +3 < ist,wennx in dem offenen Intervall ( 3, liegt. Demnach haben wir eine Implikation von links nach rechts (d. h. nur wenn, jedoch nicht in die andere Richtung. (Zum Beispiel, wenn x, dann ist x(x (c x < 9 3 < x < 3, so dass x < 9 nur wenn x < 3. Wenn z. B. x 5 ist, haben wir x < 3, aber x > 9. Deshalb kann wenn nicht gelten. (d x + ist niemals, so dass dann und nur dann gilt. (e Wenn x >, dann ist x >, aber x > kann auch gelten, wenn x <. (f x 4 + y 4 x und y. Wenn x und z. B. y,folgtx 4 + y 4, so dass wenn nicht gelten kann. 9. (a Wenn x und y nicht beide nichtnegativ sind, so muss wenigstens einer von ihnen negativ sein, d. h. x < odery <. (b Wenn nicht alle x größer oder gleich a sind, dann muss wenigstens ein x kleiner als a sein. (c Mindestens eine der Variablen x und y ist kleiner als 5. (Wäre es einfacher, wenn die zu negierende Aussage folgender wäre: Weder John noch Diana ist jünger als 5 Jahre? (d bis (f: Siehe Lösung im Buch Für n sind beide Seiten /. Nehmen Sie an, dass ( fürn k wahr ist. Dann ist die Summe der ersten k +Terme: k(k + + (k +(k + k k + + (k +(k +. k Aber k + + (k +(k + (k + (k +(k + k +,was( fürn k + ist. Deshalb ist nach dem k + Prinzip der mathematischen Induktion ( für alle n wahr. 4. Die Behauptung ist für n wahr. Nehmen Sie als Induktionshypothese an, dass k 3 +(k + 3 +(k + 3 durch 9 teilbar ist. Beachten Sie, dass (k + 3 +(k + 3 +(k +3 3 (k + 3 +(k k 3 +9k +7k +7 k 3 +(k + 3 +(k (k +3k +3. Dies ist durch 9 teillbar, da die Induktionshypothese impliziert, dass die Summe der ersten drei Terme durch 9 teilbar ist, während der letzte Term offensichtlich ebenso durch 9 teilbar ist. Aufgaben zur Wiederholung zu Kapitel 3 6. (b falsch, da x 6 auch die Lösung x 4 hat, wahr, denn aus x 4 folgt x 6. (c wahr, falsch, denn für y > und x 3 gilt (x 3 (y +. (d und sind beide wahr, da die Gleichung x 3 8 nur die einzige Lösung x hat. (Nach der Terminologie in Kapitel 6.3 ist f (x x 3 streng monoton wachsend. Siehe Aufgabe und den Graphen in Abb Betrachten Sie Abb. A3.6.8 im Buch. Sei n k die Zahl der Studierenden in der Menge S k für k,,...,8. Es seien A, B und C die Mengen der Studierenden, die Englisch, Französisch bzw. Spanisch studieren. Da Studenten alle drei Sprachen studieren, ist n 7. Es gibt 5, die Französisch und Spanisch studieren, so dass 5 n + n 7,d.h.n 5. Weiterhin ist 3 n 3 + n 7,sodassn 3. Ferner ist n + n 7,d.h.n. Die restlichen Informationen implizieren, dass 5 n + n 3 + n 6 + n 7 ist, so 9

10 CWS Lösungshandbuch für das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler dass n Ferner ist n + n + n 5 + n 7,sodassn Schließlich ist 78 n + n 3 + n 4 + n 7,sodassn Die Antworten zu den Fragen sind: (a: n. (b: n 3 + n (c 8 i n i Kapitel 4 Funktionen einer Variablen 4.. (a f ( +,f ( ( +,f (/ (/ + /4+ 5/4 und f ( ( (b (i Da ( x x,folgtf (x f ( x für alle x. (ii f (x+ (x+ + x +x++ x +x+ und f (x +f ( x ++ x + 3. Demnach gilt dies genau dann, wenn x +x + x +3, d. h. genau dann, wenn x /. (iii f (x (x + 4x + und f (x x +.Nunist 4x +x + x / x ± / ±.. (a Nein: f ( + f (3 8, während f ( + f (. (b Ja: f ( + f ( + f ( 9. (c Nein: f ( + f (3 3.73, während f ( + f ( (a Wir müssen 5 x, d.h. x 5 voraussetzen. (b Der Nenner x x x(x muss von verschieden sein, d.h. x und x. (c Zunächst muss der Nenner von verschieden sein, so dass wir x und x 3 verlangen. Da wir die Quadratwurzel nur aus einer nichtnegativen Zahl ziehen können, muss der Bruch (x /(x (x +3 sein. Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass D f ( 3, ] (,. Beachten Sie insbesondere, dass die Funktion an der Stelle x definiert ist und den Wert hat. 5. g ist offensichtlich für x definiert, d. h. D g [,. Beachten Sie, dass g( und g(x für alle x D f.wennx von bis wächst, fällt g(x von bis, sodassr g (, ] Wenn D a + bp, dann ist a +b und 5 a +5b. Auflösen nach a und b ergibt a 3 und b, so dass D 3 P. 4. L : Die Steigung ist offensichtlich. Mithilfe der Punkt-Steigungs-Formel mit (x, y (, und a ergibt sich y x +. L : Nutzt man die Zwei-Punkte-Formel mit (x, y (, 3 und (x, y (5, ergibt sich: y x bzw. y 3 5 x +3. L 3: Die Steigung ist. Somit lautet die Gleichung y. Für L 4 und L 5 :siehebuch.. Die Punkte, die die Ungleichung 3x +4y erfüllen, liegen auf oder unterhalb der Geraden 3x +4y, wie es im Beispiel 6 für eine ähnliche Ungleichung erklärt wurde. Die Punkte, die die Ungleichung x y oder (äquivalent y x erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden x y. Schließlich liegen die Punkte, die die Ungleichung 3x + y 3 oder (äquivalent y 3 3x erfüllen, auf oder oberhalb der Geraden 3x + y 3. Die Menge der Punkte, die alle drei Ungleichungen gleichzeitig erfüllen, ist in Abb. A.4.4. im Buch dargestellt Aus der Zwei-Punkte-Formel folgt C 75 5 (x oder C 3 x Ergänzungen zu den Lösungen aus dem Buch: (c Formel (4.6.4 mit a und b ergibt x als den Maximumpunkt. (Alternativ kann quadratisch ergänzt werden: f (x (x +x 3 (x +x + 4 (x + +, woraus wir sofort sehen, dass f (x den Maximalwert an der Stelle x hat. (e Verwenden Sie (.3.5 oder multiplizieren Sie die Klammern aus, um die Formel für f (x zu verifizieren. Benutzen Sie ein Vorzeichen-Diagramm, um die Vorzeichen für f (x zu bestimmen.

11 Kapitel 4 Funktionen einer Variablen 6. Auflösen ergibt U(x ( + r x +8(r x. Verwenden Sie dann Formel (4.6.4 mit a ( + r und b 8(r. 9. (b Wenn B 4AC >, dann hat nach Formel (.3.4 die Gleichung f (x Ax + Bx + C zwei verschiedene Lösungen. Dies ist nicht möglich, wenn f (x für alle x. Hieraus folgt: A a + a + + a n, B (a b + a b + + a n b n und C b + b + + b n, so dass die Behauptung folgt (a Die ganzzahligen Lösungen müssen Teiler von 6 sein, d. h. ±, ±, ±3 und ±6 sind die einzigen möglichen ganzzahligen Lösungen. Dabei sind,, und 3 Lösungen. Da es nicht mehr als vier Lösungen für ein Polynom vom Grad 4 geben kann, sind alle Lösungen gefunden. (b Dieselben möglichen ganzzahligen Lösungen wie in (a. Dabei sind 6 und die ganzzahligen Lösungen. (Die dritte Lösung lautet /. (c Weder noch erfüllt die Gleichung, so dass es keine ganzzahligen Lösungen gibt. (d Zuerst multipliziert man die Gleichung mit 4, um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten. Dann sind ±, ± und ±4 die einzig möglichen ganzzahligen Lösungen. Dabei sind, und die Lösungen. 3. (a Die Antwort ist x +x +4+3/(x, da (x 3 +x (x x +x +4 x 3 x x +x x x 4x 4x 4 3 Rest (b Die Antwort ist x +,da (x 4 + x 3 + x + x (x + x x + x 4 + x 3 x + x x + x kein Rest (c Die Antwort ist x 3 4x +3x + 4x/(x + x +,da (x 5 3x 4 + (x + x +x 3 4x +3x + x 5 + x 4 + x 3 4x 4 x 3 + 4x 4 4x 3 4x 3x 3 +4x + 3x 3 +3x +3x x 3x + x + x + 4x Rest

12 CWS Lösungshandbuch für das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (d Die Antwort ist 3x 5 +6x 3 3x +x + (8x 36x + 3/(x 3 x +,da (3x 8 x + (x 3 x +3x 5 +6x 3 3x +x 3x 8 6x 6 +3x 5 6x 6 3x 5 + x + 6x 6 x 4 + 6x 3 3x 5 +x 4 6x 3 + x + 3x 5 + 6x 3 3x x 4 x 3 + 4x + x 4 4x +x x 3 +8x x + x 3 +4x 8x 36x +3 Rest 4. (a y (x +(x 3. (Da der Graph die x-achse in den beiden Punkten x und x 3 schneidet, probieren wir es mit der quadratischen Funktion: f (x a(x +(x 3. Dann ist f ( 4a und der Graph verläuft durch den Punkt (,, d. h. f ( 4a. Deshalb muss a / sein. (b Da die Gleichung f (x die Lösungen x 3,, hat, probieren wir die kubische Funktion f (x b(x +3(x (x. Dann ist f ( 6b. AmGraphen sehen wir: f (. Somit ist b und demnach y (x +3(x (x. (c y (x +3(x. (Wir versuchen ein Polynom in der Form f (x c(x (x +3mitx als doppelte Nullstelle. Dann ist f ( c. Am Graphen sehen wir, dass f ( 6 und somit c /. 8. Mit Polynomdivision erhält man (x x (x + ˇ x (ˇ + x + ˇx (ˇ + x (ˇ + x ˇ(ˇ + ˇ(ˇ + Rest und somit ( E x (ˇ + + ˇ(ˇ + ˇ(ˇ + x (ˇ + + x + x (a C. Der Graph ist eine Parabel. Da der Koeffizient von x positiv ist, hat sie einen Minimumpunkt. (b D. Die Funktion ist definiert für x und schneidet die y-achse an der Stelle y.8. (c E. Der Graph ist eine Parabel. Da der Koeffizient von x negativ ist, hat sie einen Maximumpunkt. (d B. Wenn x steigt, fällt y und y geht gegen, wenn x groß wird. (e A. Die Funktion ist definiert für x und steigt, wenn x steigt. (f F. Sei y ( x. Dann steigt y, wennx steigt. Für große Werte von x nähert sich y der Zahl an. 5. (a Siehe Lösung im Buch. (b 9 t (3 t 3 t und (7 /5 /3(3 3 /5 /33 3/5 /33 /5.Dannist t /5 und somit t / Setzen Sie y Ab x mit b >. In (a erhalten wir dann, da der Graph durch die Punkte (x, y (, und (x, y (, 8 verläuft: Ab,d.h.A und 8 b,sodassb. Daher ist y x. In (b haben wir: 3 Ab und 6 Ab. Esfolgt:A und b 3 und somit y 3 x. In (c haben wir: 4 Ab und /4 Ab 4.Esfolgt:A 4,b 4 /6 und somit b /. Demnach ist y 4( x.

13 Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen (a und (c: siehe Buch. (b Da ln x lnx, ist7lnx 6,sodasslnx 6/7 und somit x e 6/7. 4. (a ln(ae rt ln(be st, so dass ln A + rt lnb + st oder (r st ln(b/a und somit t (b t 5.6 ln ln.7 3. r s ln B A. Bezogen auf die Aufgabenstellung hätten die zwei Länder in ungefähr Jahren (d.h. im Jahr ein identisches BSP. Aufgaben zur Wiederholung für Kapitel 4 4. (a Wir müssen x haben, d. h. x oderx. (Siehe Abb (b Die Quadratwurzel ist für x 4 definiert, jedoch wird bei x 4 der Nenner, so dass x > 4 gelten muss. (c Wir müssen (x 3(5 x haben, d. h. 3 x 5 (unter Verwendung eines Vorzeichen-Diagramms. 7. (a Die Punkt-Steigungs-Formel ergibt: y 3 3(x +odery 3x 3. (b Die Zwei-Punkte-Formel ergibt: y (x ( 3 oder y x/5+3/5. ( 3 (c y b 3b b (x a odery (b/ax b. a a. (, 3 liegt auf dem Graphen, wenn 3 a + b + c; (, 6 liegt auf dem Graphen, wenn 6 c und (3, 5 liegt auf dem Graphen, wenn 5 9a +3b + c. Esfolgt:a,b und c (a p(x x(x + x x(x 3(x +4,dax + x für x 3 und x 4. (b ±, ±, ±4 und ±8 sind die einzig möglichen Nullstellen. Durch Ausprobieren erhalten wir q( q( 4, so dass (x (x +4 x +4x 6 ein Faktor von q(x ist. Polynomdivision ergibt: q(x (x +4x 6 x /, so dass q(x (x (x +4(x /. 6. Wir verwenden (4.7.5 und bezeichnen die Polynome jeweils mit p(x. (a p( 8 k fürk 4. (b p( 4k +k 6fürk 3/ und k. (c p( 6 + k fürk 6. (d p( k 3k 4fürk und k Da p(, ist x ein Faktor von p(x. Wir erhalten: p(x (x 4 (x x 5 (x +3(x 5, 4 so dass x 3 und x 5 weitere Nullstellen sind. (Alternativ: q(x hat die gleichen Nullstellen wie 4p(x x 3 4x x +3. Dieses Polynom kann nur ±, ±, ±3, ±5, ±, ±5 und ±3 als ganzzahlige Nullstellen haben. Es ist sehr aufwendig, die Nullstellen auf diese Weise zu bestimmen.. (a ln(x/e lnx ln e lnx (b ln(xz/y ln(xz ln y lnx +lnz ln y (c ln(e 3 x ln e 3 +lnx 3+lnx für x >. (Im Allgemeinen ist ln x ln x. (d Siehe Buch. Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen Die Gleichgewichtsbedingung lautet 6 P + P und somit ist P 3. Die dazugehörige Menge ist Q Siehe Abb. A5..3 im Lösungskapitel des Buches. 6. f (y d f (y c ergibt A(y d+b(y d Ay +B(y c oder Ay Ad +B(y Bdy +Bd Ay + B(y c. Hieraus folgt: y [Bd Ad + c]/bd Wenn f (x 3x +7,dannistf (f (x f (3x +7 3(3x x + 8. f (f (x verlangt 9x + 8. Somit ist x 8. 3

14 CWS Lösungshandbuch für das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (a f hat eine Inverse, da sie Eins-zu-Eins ist. Dies wird in der Tabelle deutlich: alle Zahlen aus der zweiten Zeile, dem Definitionsbereich von f, sind verschieden. Die Inverse ordnet jeder Zahl der zweiten Zeile die dazugehörige Zahl der ersten Zeile zu. (b Da f ( 4 und f (x immer um steigt, wenn x um eine Einheit steigt, lautet die Funktion f (x x + 4. Auflösen von y x + 4 nach x ergibt x y. Demnach ist f (x x. 9. (a (x 3 /3 y x 3 y 3 x (y 3 + /3.Wennwirx als unabhängige Variable verwenden, ist f (x (x 3 + /3. R ist der Definitionsbereich sowie der Wertebereich für f und f. x + (b Der Definitionsbereich von f ist die Menge aller x. Für x gilt: y x + x y(x ( yx y x y y y +.Wennwirx als unabhängige Variable y verwenden, gilt: f (x (x +/(x. Der Definitionsbereich der Inversen ist die Menge aller x. (c Hier gilt: y ( x 3 /5 + y ( x 3 /5 (y 5 x 3 x 3 (y 5 x ( (y 5 /3.Mitx als unabhängiger Variable erhalten wir f (x ( (x 5 /3. R ist der Definitionsbereich und Wertebereich für f und f.. (a Der Definitionsbereich ist R und der Wertebereich ist (,, so dass die Inverse in (, definiert ist. Aus y e x+4 erhalten wir ln y x +4,sodassx lny 4füry >. (b Der Wertebereich ist R, welches damit Definitionsbereich der Inversen ist. Aus y lnx 4 erhalten wir ln x y + 4 und daraus x e y+4. (c Der Definitionsbereich ist R. y steigt und wenn x,folgt:y ln. Ferner gilt: y,wennx. Somit ist der Wertebereich der Funktion (ln,. Aus y ln ( +e x 3 erhalten wir + e x 3 e y,sodasse x 3 e y 3 und demnach x 3+ln(e y 3 für y > ln.. Wir müssen x (ey e y nach y auflösen. Wir multiplizieren die Gleichung mit e y und erhalten: ey xey oder e y xe y. Die Substitution von e y z ergibt z xz mitden Lösungen z x ± x +. Das Minus-Zeichen würde z e x negativ machen, was unmöglich ist. Somit gilt z e y x + x +. Daraus ergibt sich y ln ( x + x + als inverse Funktion (a Es ist angebracht, zu untersuchen, ob die Kurve die Achsen schneidet, indem man zuerst x und dann y setzt. Hieraus ergeben sich vier Punkte. Wählen Sie dann einige Werte von x mit 6 < x < 6 und berechnen Sie die dazugehörigen Werte von y. Argumentieren Sie, warum der Graph symmetrisch zur x- und y-achse ist. (Die Kurve wird als Ellipse bezeichnet. Siehe Kap (b Dieser Graph ist symmetrisch zur x- und y-achse. (Wenn (a, b auf dem Graphen liegt, so gilt dies auch für (a, b, ( a, b und ( a, b. (Der Graph ist eine Hyperbel. Siehe Kap Wir sehen, dass x und y gelten muss. Wenn (a, b auf dem Graphen liegt, so gilt dies auch für (b, a, so dass der Graph symmetrisch zur Geraden y x ist. Siehe Lösung im Buch (a Siehe Buch. (b Da der Kreis den Mittelpunkt (, 5 hat, lautet seine Gleichung (x +(x 5 r. Da (, 3 auf dem Kreis liegt, gilt: ( +(3 5 r,sodassr x + y + Ax + By + C x + Ax + y + By + C x + Ax + ( A + y + By + ( B 4 (A + B 4C ( x + A ( + y + B 4 (A + B 4C. Der letzte Ausdruck ist die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt ( A, B und Radius A + B 4C. WennA + B 4C, besteht der Graph nur aus dem Punkt ( A, B. Für A + B < 4C ist die Lösungsmenge leer In jedem Fall (außer in (c definiert die Regel eine Funktion, da sie allen Elementen der Ausgangsmenge ein eindeutiges Element der Zielmenge zuordnet. Zum Beispiel in (d: Wenn das Volumen V gegeben 4

15 Kapitel 6 Differentialrechnung ( /3 3V ist, ist die Oberfläche S einer Kugel eindeutig bestimmt: V 4 r (S/43/ ergibt r 4 ( 3V /3 und somit S 4r 4 (36 /3 V /3 (Die Formeln für die Oberfläche bzw. das Volumen 4 einer Kugel mit Radius r sind im Anhang A. des Buches zu finden. Aufgaben zur Wiederholung für Kapitel 5 3. (a Gleichgewichtsbedingung: 5 P +P. Dies ergibt P 5 und Q +P 4. Für (b und (c: siehe Lösungen im Buch. 7. (a f ist definiert und streng monoton wachsend für e x >, d. h. x > ln. Der Wertebereich ist R. (f (x,wennx ln + und f (x,wennx. Aus y 3+ln(e x erhalten wir ln(e x y 3 und somit e x e y 3 oder e x +e y 3,sodassx ln(+e y 3. Daher gilt f (x ln( + e x 3 fürx R. (b Beachten Sie, dass f streng monoton wachsend ist. Ferner gilt e x,wennx und e x, wenn x. Deswegen gilt: f (x, wenn x und f (x, wenn x.somit a ist der Wertebereich von f und damit der Definitionsbereich von f gleich (,. Aus y e x + a erhalten wir e x + a a/y, sodasse x a(/y oder x lna +ln(/y. Daraus ergibt sich x (/lna (/ln(/y. Demnach ist die Inverse f (x (/lna (/ln(/x für x (,. Kapitel 6 Differentialrechnung Um die Steigung der Tangente zu bestimmen, verwenden wir das Rezept (6..3. (a (A: f (x + x f ( + x 3 x + (B: f (x + x f (x f ( x f ( 3 x + 3 x (C bis(d: [f ( x f (]/ x 3 (E: [f ( x f (]/ x 3 3, wenn x, so dass f ( 3. Die Steigung der Tangente im Punkt (, ist 3. (b (A: f (x + x f ( + x (+ x + x +( x x +( x (B: f ( + x f ( x +( x (C bis (D: [f ( + x f (]/ x + x (E: [f ( + x f (]/ x + x, wenn x, so dass f (. (c (A: f (3 + x +3/(3 + x (B: f (3 + x f (3 + 3/(3 + x 3 x/(3 + x (C bis (D: [f (3 + x f (3]/ x /(3 + x (E: [f (3 + x f (3]/ x /(3 + x /3, wenn x, so dass f (3 /3. (d [f ( x f (]/ x (( x 3 x/ x ( x, wenn x, so dass f (. f ( + x f ( + x +/( + x+ x (e x x + x, wenn x, so dass f (. f ( + x f ( (f ( + x4 ( x4 +4 ( x 3 +6 ( x +4 x + x x x ( x 3 +4 ( x + 6 x +4 4, wenn x, so dass f ( (a ( x + x x ( x + x + x ( x + x + x + x x x x + x ( x x + x x x. 5. (a f (x + x f (x (b x (c Folgt aus (b. /3 /3h h ( x + x x( x + x + x x( x + x + x 3h( /3 /3h 3h(h h 3h(h 3h,wennh. 6 x x( x + x + x x + x + x (b Für x gilt: x und /x, so dass der Bruch keinen endlichen Grenzwert hat, sondern gegen strebt. 5

16 CWS Lösungshandbuch für das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (c (d h. 3t 96 t t 3 h +3 3 h 3(t 3 (t 3(t t 96 8, wenn t 3, so dass t + t t 3 3 8,wennt 3. ( h +3 3( h h( h h +3 3 h( h t 4 (t +(t (e t +t +6 (t +(t +8 t t +8,wennt. 3 (f Beachten Sie, dass 4 x (+ x( x x, so dass lim x 4 4 x lim x 4 + x (a (b (c f (x f ( x f (x f ( x f ( + x f ( x x +x 3 x (x (x +3 x x +3 5, wenn x. ( + x +(+ x 8 x x +3 4, wenn x. ( x +6 x x h ,wenn x +6 6, wenn x. (d Gleiche Lösung wie in (e: Setzen Sie dort: x x x. (Im. Druck dieser Auflage werden (d und (e vertauscht.. (e f (x + x f (x x (f f (x + x f (x x x wenn x. (x + x +(x + x x x x x ++ x x +,wenn x. (x + x +x + x (x x x + x x 7. (a x 3 8 hat die Lösung x. Polynomdivision ergibt: x 3 8(x (x +x +4. (b und (c: siehe Buch. 4x +4 4x +4, f (x 7. (a Mit f (x x + x f (x (5 + x 5 gilt: lim lim f (5. Andererseits gilt f (x x, x x x x so dass f (5. Demnach ist der Grenzwert. (b und (c: siehe Buch. 3. (a y x 6 x 6 y 6x 7 unter Verwendung der Potenzregel ( (b y x (x + x x x x / + x x / x 3/ + x / y 3 x/ x 3/ (c y x 3/ y 3 x 5/ (d y x + x y (x (x + (x (x (e y x x 5 + x 5 x 4 + x 5 y 4 x 5 5 x 6 (f y 3x 5 x +8 (g y 3x y 33x 3(x +8 (3x 5 (x (x +8 (h y 3x x + x + y 3(x + x + (3x (x + 3x +x +4 (x + x + (x + x + 6. (a f (x 6x 6(x x, so dass f monoton wachsend in [, ist. (b f (x x 3 3x x(x 3 x(x 3(x + 3, so dass (unter Verwendung eines Vorzeichen-Diagramms f monoton wachsend in [ 3, ] und [ 3, ist. (c f (x ( x (x + ( ( +,sodassf monoton wachsend in [, ] ist. (d Siehe Buch. (x + 7. (a y x 3 fürx, so dass die Steigung der Tangente 3 beträgt. Da y fürx,ergibt die Punkt-Steigungs-Formel y 3(x oder y 3x +4. (b y 4x/(x + und y für x,sodassy x. 6

17 Kapitel 6 Differentialrechnung (c y x x,sodassy x +x 3 7/4 und y 5/4fürx. Demnach ist y (7/4x 9/4. (d y 4x3 (x 3 +3x + x +3 (x 4 + (3x +6x + und y /3fürx,sodass [(x +(x +3] 9 y (x 3/9. 9. (a Wir verwenden die Quotientenregel: y at + b ct + d y a(ct + d (at + bc ad bc (ct + d (ct + d. (b y t (a n t + b at n+/ + bt n y (n +/at n / + nbt n (c y at + bt + c y (at + bt + c (at + b at b (at + bt + c (at + bt + c. Dies ist ziemlich schwierig, da der Nenner ist für x, ± ist. Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass f (x > nur in (, und (x, x gilt (a y (x + x + 5 u 5, wobei u x + x +. Indem man die Kettenregel verwendet, erhält man y ( 5u 6 u 5(x +(x + x + 6. (b Mit u x + x + x ergibt sich y u u /,sodass y u / u.nunistu x + v / mit v x + x /. Dann gilt u + v / v, wobei v + x /. [ Alles in allem ist y u / u x +(x + x / /] / ( + (x + x/ / ( + x /. (c Siehe Buch. 6. x b ap c b u mit u ap c. Dann folgt dx dp a u u ap c.. (a, (e und (g sind leicht. Für die restlichen Aufgaben benötigt man die Kettenregel. In (d benötigen Sie die Summen-, Produkt- und Kettenregel. Siehe Buch g t(t t (t g (. (t t t (t, g (t (t (t (t t(t (t 4 (t (t 4 (t,sodass 3 5. In vereinfachter Notation ausgedrückt: y f g + fg, y f g + f g + f g + fg f g +f g + fg, y f g + f g +f g +f g + f g + fg f g +3f g +3f g + fg.. (a dx/dt (b +cte t +(a + bt + ct e t (a + b +(b +ct + ct e t (b dx dt 3qt te t (p + qt 3 (e t + te t ( qt4 +qt 3 pt pe t t e t t e t (c Siehe Buch. 4. (a y 3x +e x ist offensichtlich überall positiv, so dass y monoton wachsend in (, ist. (b y xe 4x +5x ( 4e 4x x( xe 4x. Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass y monoton wachsend im Intervall [, /] ist. (c y xe x +x ( xe x x( x(+xe x. Ein Vorzeichen- Diagramm zeigt, dass y monoton wachsend in (, ] sowie in [, ] ist Für diese Aufgaben benötigen wir die Kettenregel. Dies ist eine wichtige Regel! Insbesondere benötigen wir die Tatsache, dass d ln f (x dx f (x f (x f (x,wennf eine differenzierbare Funktion ist (mit f (x f (x >. (a y ln(ln x lnu y u u ln x x x ln x. (b y ln x lnu y u u x x x x x. (Alternativ: x ( x / y ln( x usw. 7

18 CWS Lösungshandbuch für das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (c y e x ln x y e x ln x + e x ( x ex ln x + x (d y e x3 ln x y 3x e x3 ln x + e x3 x x ex3( 3x ln x + x (e y ln(e x + y e x e x + (f y ln(x +3x y x +3 x +3x 4. (a ln u ist definiert für u >, so dass wir voraussetzen müssen, dass x +>, d. h. x >. (besmuss x gelten, damit der Bruch definiert ist. Weiter muss 3x > sein, damit x der Logarithmus definiert ist. Ein Vorzeichen-Diagramm (siehe unten zeigt, dass 3x genau dann x definiert und positiv ist, wenn /3 < x <. (c ln x ist definiert x > x. / 3 x 3x x 3x x 5. (a Man muss x > haben, d. h. x > oderx <. (Siehe Abb im Buch. (b ln(ln x ist definiert, wenn ln x definiert und positiv ist, d. h. für alle Werte von x >. (c Der Bruch ln(ln x ist definiert, wenn ln(ln x definiert und verschieden von ist. Nach (b ist ln(ln x definiert, wenn x > ist. Ferner gilt: ln(ln x ln x e x e e. Folgerung: ist definiert ln(ln x x > und x e e. 9. In diesen Aufgaben können wir Logarithmisches Differenzieren verwenden. Alternativ können wir die Funktionen in der Gestalt f (x e g(x schreiben und die Regel f (x e g(x g (x f (xg (x verwenden. (a Sei f (x (x x.dannistlnf (x x ln(x, so dass f (x f (x ln(x+x x ln(x+.daraus folgt: f (x f (x(ln(x+(x x (ln x +ln+. (b f (x x x ( ( e ln x x e x ln x,sodassf (x e x ln x d dx ( x ln x x x ln x x x +. x (c ln f (x x ln x x ln x, sodassf (x/f (x (ln x +. Daraus folgt: f (x ( x x (ln x +.. ln y v ln u, sodassy /y v ln u +(v/uu und somit y u ( v v ln u + vu u.. (a Siehe Lösung im Buch. (b Sei f (x ln( + x x.dannistf ( und f (x /(x + ( x/(x +, welches positiv in (, ist, so dass f (x > in(, und die linke Ungleichung nachgewiesen ist. Um die andere Ungleichung zu beweisen, setzt man g(x x ln( + x ein.dann ist g( und g (x /(x +x/(x +> in(,, so dass die Behauptung gilt. (c Sei f (x ( x ln x. Dannistf ( und f (x (/ x /x (x x/x x ( x /x, welches positiv ist für x >. Daraus folgt die Behauptung. Aufgaben zur Wiederholung für Kapitel 6 5. (a y 3 und y 6x 6 fürx,sodassy ( 3 ( 6(x oder y 6x +3. (b y 4 und y / x x 3/4fürx 4,sodassy (3/4x + 7. (c y und y ( x 3 8x +6x/(x +3 /4fürx,sodassy ( /4(x. 8

19 Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung 7. (a f (x x 3 +x, usw. (b Einfach zu lösen. (c h(y y(y y 3 y, usw. (d bis (f: Verwenden Sie die Quotientenregel. 5. (a y x ln x, wenn x. (b y ex e x (c y 3x x + Diagramm. (x (x x + e x + e x ex e x e x x x oderx. (Verwenden Sie ein Vorzeichen- Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung 7.. Man erhält durch implizites Differenzieren ( xy + x (dy/dx und somit dy/dx y/x. Implizites Differenzieren von ( nach x ergibt y +x(dy/dx+x(dy/dx+x (d y/dx. Durch Einsetzen des Resultats für dy/dx sowie Vereinfachen erhält man d y/dx 6y/x. (Alternativ können wir y/x als Bruch differenzieren. Diese Resultate kann man einfacher erhalten, indem man y x zweimal nach x differenziert. 3. (a Implizites Differenzieren nach x ergibt ( y +3y +3xy. Auflösen nach y ergibt: y ( + 3y/( 3x 5/( 3x. Ableiten von ( nach x ergibt y +3y +3y +3xy. Einsetzen von y (+3y/( 3x und Auflösen nach y ergibt: y 6y /( 3x 3/( 3x 3. (c Implizites Differenzieren nach x ergibt: ( 5y 4 y 6x 5,sodassy 6x 5 /5y 4 (6/5x /5.Durch Ableiten von ( nach x erhält man: y 3 (y +5y 4 y 3x 4. Einsetzen von y 6x 5 /5y 4 und Auflösen nach y ergibt: y 6x 4 y 4 (44/5x y 9 (6/5x 4/5. 6. (a x +yy ; lösen Sie dies nach y auf. (b / x + y / y ; lösen Sie dies nach y auf. (c 4x 3 4y 3 y xy 3 + x 3y y ; lösen Sie dies nach y auf. 8. (a y + xy g (x +3y y ; lösen Sie dies nach y auf. (b g (x + y( + y x +yy ;lösensiedies nach y auf. (c (xy +(y + xy f (x y(xy + x y ; lösen Sie dies nach y auf. (Wie haben wir f (x y nach x differenziert? Nun, wenn z f (u und u x y,dannistz f (uu, wobei u ein Produkt aus zwei Funktionen ist, die beide von x abhängig sind. Somit ist u xy + x y.. (a (x +y (x +yy a (x yy ; lösen Sie dies nach y auf. (b Beachten Sie, dass y,wenn x + y a /, d.h. y a x. Setzt man dies in die gegebene Gleichung ein, erhält man x ± 4 a 6. Hieraus ergeben sich vier Punkte auf dem Graphen, in denen die Tangente horizontal ist Implizites Differenzieren nach P, mitq als Funktion von P, ergibt dq dp P / + Q P /. Daher gilt: dq dp QP 9 P. 3/ ( dp 5. Differenzieren von ( nach P ergibt f (P + t dt + + f (P + t d P ( dp dt g (P + g (P d P dt dt.mit vereinfachter Notation erhält man f (P + + f P g (P + g P. Einsetzen von P f /(g f und Auflösen nach P ergibt P [f (g g (f ]/(g f 3.. (a f (x x 4 x + x 3 x3 4 x 4x (3 x 3. Lösungen für die restlichen Aufgaben: siehe Buch. 4 x 5. (a Siehe Buch. (b dy/dx e x /(e x + 3, so dass dx/dy (e x +3/e x 3e x. (c Implizites Differenzieren nach x ergibt y 3 + x3y (dy/dx 3x y x 3 (dy/dx. Lösen Sie nach dy/dx auf und verwenden Sie dann (

20 CWS Lösungshandbuch für das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (a f ( und f (x ( + x,sodassf (. Dann ist f (x f ( + f (x x. (b f ( und f (x 5(+x 4,sodassf ( 5. Dann ist f (x f ( + f (x +5x. (c f ( und f (x ( 4 x 3/4,sodassf (.Dannistf (x f ( + f (x x F( A und F (K AK,sodassF ( A.DannistF(K F( + F ((K A + A(K A( + A(K. 9. 3e xy +3xe xy (y + xyy y 6x +yy. Für x und y reduziert sich dies auf 3 y 6,so dass y 3/. (b y(x y( + y ((x 3 (x 7.5. f (x (+x, f (x ( + x, f (x (+x 3, f (iv (x 6( + x 4, f (v (x 4( + x 5. Dann gilt f (, f (, f (, f (, f (iv ( 6, f (v ( 4 und somit ist f (x f ( +! f (x +! f (x + 3! f (x 3 + 4! f (iv (x 4 + 5! f (v (x 5 x x + 3 x3 4 x4 + 5 x5. 3. Aus f (x 5(ln( + x +x 5ln(+x 5( + x / erhalten wir f (x 5(+x 5 ( + x /, f (x 5( + x ( + x 3/ und somit ist f ( 5, f ( 5, f ( 5. Das Taylor-Polynom 4 zweiter Ordnung um x lautet:f ( + f (x + f (x 5+ 5 x 5 8 x. 9. h (x (pxp qx q (x p + x q (x p x q (px p + qx q (x p + x q Da h(, erhalten wir h(x h( + h ((x (p q(x. (p qxp+q,sodassh ( (p q. (x p + x q 7.6. Aus Aufgabe 7.5. wissen wir, dass f (, f (, f ( und f (c (+c 3.Dannergibt (7.6.3: f (x f ( + f (x + f (x + f (cx 3 x!! 3! x + ( + 3 c 3 x (a Aus g(x (+x /3 erhalten wir g (x ( + 3 x /3, g (x ( + 9 x 5/3 und g (x ( + 7 x 8/3, so dass g(, g (, g (, g (c ( c 8/3 und somit g(x + x 3 9 x + R 3 (x, wobei R 3 (x ( + 6! 7 c 8/3 x 3 5 ( + 8 c 8/3 x 3 (b c (, x und x, so dass ( + c 8/3. Damit folgt die Ungleichung. (c 3 3 ( /3.999 unter Verwendung von (a zur Approximation von ( /3. Der Fehler in (b lautet R 3 (x 5 ( Der Fehler in 3 3 ist also R 3 (x < 8 und die Antwort ist auf sieben Dezimalstellen korrekt (a El x e ax (x/e ax ae ax ax (b El x ln x (x/ ln x(/x / ln x (c El x (x p e ax x x p e ax (pxp e ax + x p ae ax p + ax (d El x (x p x ln x x p ln x (pxp ln x + x p (/x p +/ ln x 9. (a El x A x da A dx (b El x(fg x fg (fg x fg (f g + fg xf + xg f g El xf +El x g ( f (c El x g x f xg ( gf fg xf xg (f /g g f g f g El xf El x g (d Siehe Lösung im Buch. (e Ähnlich zu (d, jedoch wird +g durch g und +g durch g ausgetauscht. (f z f (g(u, u g(x El x z x dz z dx x u dz du u z du dx El uf (uel x u Nach (7.8.4 sind die Funktionen überall dort stetig sind, wo sie definiert sind. Somit sind die Funktionen in (a und (d überall definiert. In (b muss x ausgeschlossen werden, in (c ist die Funktion

21 Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung definiert für x <, in (e müssen wir x ± 3 ausschließen, da der Nenner für solche Werte von x den Wert annimmt. Schließlich verlangt der erste Bruch in (f, dass x >. Dann ist auch der andere Bruch definiert. 7.9 x + x x x. (b x x für x <. Daraus folgt: lim lim lim x x x x. x x + x x + x (c x x für x >. Daraus folgt: lim lim lim x + x x + x. x + (d Wenn x +,folgt x, so dass / x. (e Wenn x 3 +,folgtx 3 + und somit x/(x 3. (f Wenn x 3,folgtx 3 und somit x/(x (a Vertikale Asymptote: x. Ferner ist x (x + x +/(x +, so dass y x eine Asymptote ist für x ±. (b Keine vertikale Asymptote. Ferner ist (x 3 3x +3x 6 (x + x 3+(x 3/(x +, so dass y x 3 eine Asymptote ist für x ±. (c Vertikale Asymptote: x.fernerist(3x +x (x 3x +5+5/(x, so dass y 3x +5 eine Asymptote ist für x ±. (d Vertikale Asymptote: x.fernerist(5x 4 3x + (x 3 5x +( 3x +5x +/(x 3, so dass y 5x eine Asymptote ist für x ± Anmerkung 4.7. besagt, dass jede ganzzahlige Lösung für die Gleichung f (x x 4 +3x 3 3x 8x+3 ein Teiler vom konstanten Term 3 sein muss. Um dies direkt sehen zu können, muss beachtet werden, dass 3 x 4 3x 3 +3x +8x x( x 3 3x +3x +8 gelten muss. Wenn x eine ganze Zahl ist, so muss auch der eingeklammerte Ausdruck eine ganze Zahl sein. Demnach sind die einzig möglichen ganzzahligen Lösungen ± und ±3. Nach dem Einsetzen jeder Möglichkeit erhalten wir nur 3 als ganzzahligelösung. In der Aufgabe wird gesagt, dass es drei weitere reelle Lösungen gibt mit approximativen Werten von x.9, y.4 und z.5. Wenn wir das Newton-Verfahren einmal für jede Lösung anwenden, erhalten wir neue Approximationen: x.9 f ( f ( y.4 f ( f ( z.5 f ( f ( Durch präzisere Berechnungen kann gezeigt werden, dass die tatsächlichen Lösungen (gerundet auf sechs Dezimalstellen ,.34796, und.5389 sind (a Wenn n,folgt/n und somit 5 /n 5. (b Wenn n,folgt n n /n. n 3n (c Wenn n,folgt n 3n n /n /n 3. x a. Anwenden der Regel von L Hôspital ergibt lim x a x a lim x a. Aber beachten Sie, dass x a die Regel von L Hôspital hier nicht unbedingt notwendig ist, da x a (x + a(x a und somit x a lim x a x a lim (x + a a. x a

22 CWS Lösungshandbuch für das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (b lim x lim x ( + x / x ( + x + x / x lim x ( + x 3/ ( + x + x / +(+x ( ( + x + x 3/ 3 f (x 7. L lim x a g(x L lim x a lim x a /g(x /f (x ( + x / ( + x( + x + x / lim x a /(g(x /(f (x g (x f (x (f (x lim x a (g(x g (x f (x L g (x lim x a f (x. Die Behauptung folgt. (Hierbei haben wir Probleme mit Division durch ignoriert, wenn entweder f (x oderg (x gegen konvergieren, wenn x gegen f (x/g (x a. Aufgaben zur Wiederholung für Kapitel 7 y 5y 4 xy y. 5y 4 y y xyy, so dass y 5y 3 x. (y 5 xy 4 bedeutungslos macht, ist y niemals. Da y die gegebene Gleichung 6. y,wenn+ 5 ln x,d.h.lnx 5 und damit x e (a Wir müssen +x x > haben, d. h. < x <. Wenn x,folgtf (x.wennx, folgt f (x.daf (x /( x >, wenn < x <, bedeutet dies, dass f streng monoton +x +x ln erhalten wir ln y, so x x wachsend ist und der Wertebereich von f ist R. (b Aus y dass +x x ey. Dann löst man nach x auf. 9. (a f ( ln 4 und f (x /(x + 4, so dass f ( /. Dann ist f (x f ( + f (x ln4+x/. (b g( und g (x (/( + x 3/,sodassg ( /. Dann ist g(x g( + g (x x/. (c h( und h (x e x +xe x,sodassh (. Dann ist h(x h( + h (x x. ( ( 3 ( 4 ( 5 ( 6. Mit x und n 5 erhalten wir aus Formel (7.6.6 e +! ! 3! 4! 5! 6! ec, wobei ( ( 6 ( 6 c eine Zahlen zwischen und ist. Nun ist R 6 6! ec < 6!.434, wobei wir 34 ( ( 3 ( 4 ( 5 verwendet haben, dass aus c < folgt: ec < e <. Daraus folgt: e +! +! ! 4! 5! Der Fehler ist kleiner als.43 und e.649 ist auf 3 Dezimalstellen korrekt. 4. y +(/yy oder ( yy + y y. Wenn y,folgty /. Ableiten von ( nach x ergibt (y + yy + y y.mity und y / erhalten wir y /8, so dass y(x + x + 6 x. ( xe x x. (a lim x x 3 xe x lim x 6x anwenden. (b lim x 3 lim x 3 6x 8 5 e x lim x 6 ( x 3 5 x x 6 e x +( xe x lim x 3x lim x e x e x +( xe x 6x.(Umx zu eliminieren, mussten wir zweimal die Regel von L Hôspital 6 x 6x +9 lim x 3 x 3 4x 3x +8 lim x 3 x 6 3x 8x 3 x 4 (c lim x 4 x 3 lim x 4 4x. (Sehen Sie eine andere Möglichkeit? 6 ln x x + 3. (a lim x (x lim (/x x (x lim ( /x x ( 7x + (b lim x x ln ln(7x + ln(4x +4 lim 4x +4 x x lim x 7 7x + 4 4x

23 Kapitel 8 Univariate Optimierung x x x (c lim x x +lnx lim x x (ln x + x +/x lim x x (ln x + + x x (/x (Dabei haben x /x wir Beispiel 6..4 verwendet, um x x zu differenzieren. 4. Wenn x, strebt der Nenner gegen b d und der Zähler gegen, so dass es keinen Grenzwert gibt, wenn b d. Wennb d: siehebuch. Kapitel 8 Univariate Optimierung 8.. (a f ( und f (x für alle x (wir dividieren 8 durch eine Zahl, die 4 ist, so dass f (x ander Stelle x maximal ist. f (x, wenn x ±, d.h. es existiert kein Minimum. (b g( 3 und g(x 3 für alle x, sodassg(x an der Stelle x minimal wird. g(x,wennx, d. h. es existiert kein Maximum. (c h(x hat seinen größten Wert, wenn + x 4 am kleinsten ist. Dies ist bei x der Fall. h(x hat seinen kleinsten Wert /, wenn + x 4 am größten ist, d. h. für x ±. 8.. Siehe Buch. Beachten Sie, dass ein Vorzeichenwechsel allein nicht ausreichend dafür ist, dass die beiden stationären Punkte auch Extrempunkte sind. Es ist wichtig zu zeigen, dass h(x fürx ±. Skizzieren Sie den Graphen. (Zum Beispiel ist f (x 3x x 3 in (, ] monoton fallend, in [, ] monoton steigend und in [, wieder monoton fallend, hat aber weder ein Maximum noch ein Minimum, da f (x für x und f (x für x. Tatsächlich ist x ein lokaler Minimum- und x ein lokaler Maximumpunkt. 3. h (t /( t ( t/( t. Es gilt h (t in[, ] und h (t in[,. Nach Theorem 8.. hat h(t an der Stelle t einen Maximumpunkt. 5. f (x 3x ln x + x 3 /x 3x (ln x + 3. f (x,wennlnx 3,d.h.x e /3. Wir sehen, dass f (x in (, e /3 ] und f (x in[e /3,, so dass f (x an der Stelle x e /3 minimiert wird. Da f (x für x, gibt es keinen Maximumpunkt. 8. (a y e x e x, y e x +4e x. Wir sehen, dass y,wenne x e x oder e 3x,d.h.x ln. 3 Da überall y > gilt, ist dies ein Minimumpunkt. (b y (x a 4(x b,wennx (a+b. 3 Dies ist ein Maximumpunkt, da y 6 für alle x. (c y /x 5,wennx.Diesistein 5 Maximumpunkt, da y /x < für alle x >.. (a f (x k A e x,wennx (/ ln(a /k. Beachten Sie, dass x > genau dann, wenn A > k. Ferneristf (x < fürx < x und f (x > fürx > x,sodassx das Minimierungsproblem löst. (b Einsetzen von A in die Lösung von (a ergibt einen Ausdruck für die optimale Höhe x. Sein Wert steigt, wenn p (Wahrscheinlichkeit einer Überflutung oder V (Kosten einer Überflutung steigen, fällt aber, wenn ı (Zinssatz oder k (Grenzkonstruktionskosten steigen. Die Vorzeichen dieser Reaktionen sind offensichtlich das, was Ökonomen erwarten würden. (Nicht nur Ökonomen (a (Q Q(a Q kq Q +(a kq,sodass (Q Q +(a k,wennq (a k. Dieser maximiert,da (Q <. Der Gewinn des Monopolisten beträgt (Q ( (a k +(a k (a k (a 4 k. (b d(q /dk (a k Q wie in Beispiel 3. (c Die neue Gewinnfunktion ist ˆ(Q (Q +sq Q +(a kq + sq. ˆ (Q Q + a k + s,wenn ˆQ (a k + s. Nun ist ˆQ (a k + s a k,wenns a k, welches die Subvention ist, die den Monopolisten veranlassen soll, a k Einheiten zu produzieren. 5. T (W a pb(bw + cp W (bw + c p p pbw bw c a(bw + c,usw. W W 3