6. Orbits und die Runge-Lenz Vektor

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1 Übungen zur T: Theoretische Mechani, SoSe3 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray 6. Orbits und die Runge-Lenz Vetor Übung 6.: Die Rücehr der Kanonenugel Die Flugbahn einer Kanonenugel beschreibt ein Stüc einer Ellipse, die durch die Erdoberfläche Radius R geschnitten wird siehe Abbildung. Im folgenden ignorieren wir den Luftwiderstand. Rocet v α β R Earth a Benutzen Sie den Runge-Lenz-Vetor und die Drehimpulserhaltung um zu zeigen, dass die Reichweite βr der Kanone durch die Gleichung β tan sin α bestimmt wird. In dieser Gleichung ist g die Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche, v v und α und β sind die in der Abbildung dargestellten Winel. b Betrachten Sie den Grenzfall, in dem R sehr groß ist, während g und v festgehalten werden. Vergleichen Sie in diesem Fall das Ergebnis von a mit dem von Aufgabe. auf dem zweiten Übungsblatt. c Bestimmen Sie den Wert von α der eingestellt werden muss, um die maximale Reichweite der Kanon zu erreichen. Nehmen Sie hier nicht den Grenzfall von Aufgabe b an. Verwenden Sie für die Winel die Intervalle < β < π und < α < π/. Lösung von Übung 6.

2 a Wir wählen die x-achse so, dass von um Zentrum der Erde auf den Startpunt der Kanonenugel zeigt. Außerdem bezeichnen wir alle Größen zum Startzeitpunt der Kugel mit dem Index. Nun betrachten wir den Drehimpuls l und den Runge-Lenz-Vetor Λ: r Rx v v cosα x + v sinα y l r p Rmv x cosα x + sinα y Rmv sinα x y Rmv sinα z Λ p l m r r v cosα x + v sinα y Rmv sinα z x v cosαy + v sinα xrmv sinα x Dabei wird die Konstante durch das zentralen Gravitationspotential der Erde bestimmt siehe Sript. Die gleichen Größen berechnen wir nun an dem Punt, an dem die Kanonenugel wieder auf die Erdoberfläche trifft. Die entsprechenden Größen werden mit dem Index f geennzeichnet. Die Geschwindigeit an diesem Punt wird mit den beiden Komponenten v entlang der x-achse und v entlang der y-achse beschrieben. Somit ergibt sich r f R cosβ x + R sinβ y v f v x + v y l f r f p f Rmv cosβ x y + R sinβ mv y x Rmv cosβ v sinβ z Λ f p f l f m r f r f m mv x + mv y R cosβ mv R sinβ mv z cosβ x sinβ y v R cosβ mv R sinβ mv x z sinβ y + v R cosβ mv R sinβ mv y z cosβ x mv Rv cosβ v sinβ y sinβ y + mv Rv cosβ v sinβ x cosβ x. Da der Runge-Lenz-Vetor bei der Bewegung erhalten bleibt gilt Λ f Λ { Rmv sin α mv Rv cosβ v sinβ cosβ Rmv mv Rv cosβ v sinβ sinβ. Zusätzlich önnen wir die Drehimpulserhaltung nutzen und erhalten l l f Rmv cosβ v sinβ Rmv sinα v cosβ v sinβ v sinα.

3 Setzen wir nun die Gleichung in beiden Gleichung in ein, erhalten wir Rm Rmv sin α mv Rv sinα cosβ 3 mv Rv sinα sinβ. 4 Um die folgenden Rechnungen übersichtlicher zu gestalten, definieren wir A Rmv. Wenn wir cosβ 3 + sinβ 4 ausrechnen, so ergibt sich A sin α cosβ A sinβ A v v cosβ v sinβ sinα cos β sin β A sin α cosβ A sinβ A sin α A sin α cosβ A sinβ cosβ A sinβ A sin α sin β sin β cos β tan β A A sin α A sin α Rm sin α. In der zweiten Gleichung haben wir Gleichung verwendet. Jetzt verwenden wir den Zusammenhang m GM und erhalten so das in der Aufgabenstellung angegebene Ergebnis. b In dem gegebenen Grenzfall wird der Winel β sehr lein und wir önnen die Näherung β v verwenden. In dieser Näherung ergibt sich für die Reichweite Rβ v g. Wenn wir annehmen das h gilt, ist das das gleiche Ergebnis wie in der Aufgabe.. Dabei müssen wir beachten, dass θ in dieser Ausgabe π α ist. c Wir maximieren nun die Größe tan β I sinα + cosα sinα + cosα wobei wir die Abürzung tan β I eingeführt haben. Wenn wir außerdem x α wählen so ergibt sich sinx Ix 5 + cosx 3,

4 und wir önnen Ix bezüglich x maximieren. Dazu berechnen wir die Ableitung dix dx cosx + cosx sinx sinx + cosx cosx + cos x + sin x + cosx cosx + + cosx welche den Wert annehmen muss. Es ergibt sich also die Bedingung cosx max erfüllt sein. Diese ist, unter Berücsichtigung der Identität sinx +cosx, äquivalent mit sinx max. Wir setzen nun diese beiden Bedingungen in die Gleichung 5 ein und erhalten somit den Maximalwert Ix max Es ergibt sich also v tan β max und die maximale Reichweite beträgt Ix max 4g R v 4. v 4 v Rβ max R arctan v Das ist das allgemeine Ergebnis für die Reichweite einer Kanone. Es ist allgemeiner als das Ergebnis von Übungsblatt, da es die Krümmung der Erde berücsichtigt. Alles was wir benötigt haben um dieses Ergebnis zu bestimmen, waren die beiden Erhaltungsgrößen Drehimpuls und Runge-Lenz-Vetor. 4.

5 Übung 6.: Reise in das Zentrum eines Zentralpotential Ein Teilchen bewegt sich in einem attrativen Zentralpotenzial c > V r c r. a Zeigen Sie, dass das Teilchen das Zentrum r nicht erreichen ann, wenn c < L m gilt. Dabei bezeichnet L den Drehimpuls und m die Masse des Teilchens. b Überlegen Sie sich, wie sich diese Situation ändert, wenn V r c r. Lösung von Übung 6. a Die Energie, die während der Bewegung onstant bleibt, ergibt sich als E mṙ + L mr c r E + c L r m. 6 Der Vorfator /r des zweiten Term in der Ungleichung 6 wird immer großer wenn r. Da die Energie E onstant bleibt, muss L < c sein damit die line Seite der m Ungleichung nicht negativ wird wenn r. Andernfalls würde die Ungleichung ab einem bestimmten Wert von r nicht mehr erfüllt sein. b Für V r c r ergibt sich E mṙ + L mr c r E + c r L mr 7 ganz analog zur Aufgabe a. Für r dominiert immer der dritte, negative Term auf der linen Seite der Ungleichung. Daher ann man den Ursprung nur erreichen, wenn dieser Term verschwindet also L gilt. 5