Kapitel 3 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FUNKTION

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1 Kapitel 3 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FUNKTION Fassung vom 3 Dezember 2005 Mathematik für Humanbiologen und Biologen 39

2 3 Exponentialfunktion 3 Exponentialfunktion Wir betrachten als einführendes Beispiel eine Bakterienkultur in Nährlösung Ist u (s) die Anzahl der Bakterien zur Zeit s und ist t eine beliebige feste Zeit (zb eine Stunde oder ein Tag), so stellt man fest, daßgilt : für jedes s ist u (s + t) proportional zu u (s), man schreibt u (s + t) s u (s), dh mit einer Kostanten c (die von t abhängt) gilt u (s + t) = c u (s) für alle s () BEMERKUNG Dieses Verhalten nennt man (exponentielles) Wachstumsgesetz ; es beschreibt viele zeitabhängige Veränderungsprozesse in der Natur: zb das Wachstum von Lebewesen oder Populationen zu Beginn der Entwicklung Aber auch die Abnahme von Teilchen beim radioaktivem Zerfall oder die Abnahme der Intensität von Lichtwellen oder Röntgenstrahlen in einem homogenen Medium in Abhängigkeit von der im Medium durchlaufenen Strecke zeigt negatives Wachstum Insbesondere erhält man für s = 0 : Also gilt oder Wir normieren, indem wir de nieren : u (t) = c u (0), dh c = u (t) u (0) u (s + t) = u (s) u (t) u (0) u (s + t) u (0) = u (s) u (0) u (t) u (0) v (t) := u (t) u (0) und erhalten die sogenannte Funktionalgleichung des exponentielles Wachstumsgesetzes v (0) = und v (s + t) = v (s) v (t) für alle s; t Eine Näherungslösung wird durch das Polynom nx p n (t) := + t + t2 2! + t3 3! + : : : + tn n! = t k k! gegeben, und nähert diese Lösung um so genauer, je größer n ist Dabei gilt für s; t > 0 und s + t 6 + n folgende Abschätzung für den Fehler : 2 k=0 0 6 p n (s) p n (t) p n (s + t) 6 2 (s + t)n+ (n + )! 40 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT

3 Exponentialfunktion 3 Dies ist zumindest für n = ; 2; 3 leicht nachprüfbar Man sieht daraus, dass für große n die sehr klein wird, so dass ungefähr Zahl 2(s+t)n+ (n+)! p n (s + t) ' p n (s) p n (t) gilt und zwar um so genauer, je größer n wird Geht man zum Grenzwert über (siehe Kapitel 5), so gilt das exakt für DEFINITION Dabei nennt man die Eulersche Zahl Somit haben wir gezeigt die Exponentialfunktion exp : R! R : t 7! exp (t) := e := exp () = X k=0 k! X k=0 t k k! = 2; : : : HAUPTSATZ Die Exponentialfunktion erfüllt die Funktionalgleichung des exponentiellen Wachstumsgesetzes, dh es gilt und exp (0) = exp (s + t) = exp (s) exp (t) für alle s; t 2 R Aus dem Satz sieht man sofort für n 2 N, daß exp (n t) = exp t + t + {z : : : + } t n Summanden = exp (t) exp (t) : : : exp (t) = exp (t) n {z } n Faktoren und für p; q 2 N mit q 6= 0 q p exp q t = exp q pq t = exp (p t) = exp (t) p Daraus folgt insbesondere q p exp q t = q exp (t) p = exp (t) p q, exp p = exp () p p q = e q q Für beliebiges reelles t existiert (Beispiel 563) eine Folge von rationalen Zahlen p daßt = lim k k! q k Limesüberlegungen (Satz 56) p k exp (t) = exp lim k! q k p k q k k2n Da die Exponentialfunktion stetig ist (Satz 54) erhält man schließlich mit = lim k! exp pk q k = lim k! e p k qk =: e lim p k k! qk = e t, so EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT 4

4 3 Exponentialfunktion KOROLLAR (i) Für alle s; t 2 R und p; q 2 N mit q 6= 0 gilt e s+t = e s e t, e p q t = e t p q und e t = e t (ii) Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend und W exp = ]0; [ Der Nachweis, daßjedes y > 0 als Funktionswert der Exponentialfunktion auftritt, erfordert weitergehende theoretische Hilfsmittel (Zwischenwertsatz) BEMERKUNG 2 Dem raschen Anwachsen von e t für große t entspricht wegen e t = e t die schnelle Annäherung an 0 für kleine, dh betragsmäßig große und negative t Exponentialfunktion t e t 4: :049 0:36 2:7 20:08 2: t e t 3: : : t 0 cm 2:2 m 2:9 m 6:3 m e t 0 cm fast zum Mond weiter als die Sonne doppelten Durchmesser des Universums Nimmt man 0 cm als Einheit, so entspricht exp (22) ungefähr 3: m Die Distanz von der Erde zum Mond liegt zwischen 3: m und 4: m, die zur Sonne zwischen :47 0 m und :52 0 m Der Durchmesser des Universums, der ungefähr 0 0 Lichtjahre beträgt, ist also ungefähr 0 26 m, da Lichtjahr := 9: m ' 0 6 m 42 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT

5 Exponentialfunktion 3 ( m s s ' 9: m ) SCHOLIE (Exponentielles Wachstumsgesetz) Alle Naturvorgänge, die der Wachstumsbedingung () genügen, werden durch Funktionen der Form beschrieben und In der Tat gilt u : t 7! a e t u (s + t) = a e (s+t) = e s a e t = e s u (t) c = e s Für die Umkehrung benötigt man die Stetigkeit des Naturvorgangs (vgl 54) EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT 43

6 32 Logarithmusfunktion 32 Logarithmusfunktion Untersucht man einen exponentiellen Wachstumsvorgang, also u (t) = a e t, so erhält man a sofort als u(0) = a Die Bestimmung von kann prinzipiell aus einem weiteren Meßwert u (s) erfolgen Man möchte u(s) = a e s nach au ösen Dieses gelingt, wenn man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion aufsucht (siehe Korollar 3 und Satz 23): Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp heißt der natürliche Lo- ln : ]0; [! R ln y = x () y = e x, ln (e x ) = x und e ln y = y DEFINITION garithmus ln Es gilt dh SATZ und Für u; v > 0 gilt ln (u v) = ln u + ln v, ln = ln u, u ln u p q = p q ln u für p q 2 Q 44 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT

7 Logarithmusfunktion 32 Es gilt u = e ln u und v = e ln v, also (Korollar 3i) und somit Weiter gilt u v = e ln u e ln v ln u+ln v = e ln (u v) = ln e ln u+ln v = ln u + ln v u p q = e ln u p q = e p q ln u (wiederum Korollar 3i) und schließlich ln u p p q = e ln u q = e p q ln u = ln e p q ln u = p q ln u BEISPIEL Bezeichnet N (t) die Anzahl der Teilchen eines radioaktiven Sto es zur Zeit t 2 R, so gilt das Zerfallsgesetz N (t) = N 0 e t, wobei die Zerfallskonstante und N 0 die Anzahl der Teilchen zur Zeit 0 ist Im allgemeinen wird nicht die Zerfallskonstante gemessen, sondern die Halbwertzeit t h, die durch N 0 2 = N (t h) = N 0 e t h de niert ist Daraus ergibt sich 2 = e t h, also ln 2 = ln 2 = ln e t h = th und somit = ln 2 t h oder t h = ln 2 Für das giftige Cäsiumisotop 37 Cs ist t h = 30 a ( a ist die Abkürzung von Jahr), also = ln 2 30 ' 0:693 = 0:023 a 30 Wie lange dauert es, bis 37 Cs bis auf % zerfallen ist? Gesucht ist also t 2 R + mit oder 00 = N (t) N 0 = e 0:023t, dh 0:023 t = ln 00 t = ln 00 0:023 ' 200 a BEMERKUNG 238 P u ist 86 a Die Halbwertzeit des Plutoniums-Isotops 239 P u ist 2: a ; die des BEISPIEL 2 Altersbestimmung nach der 4 C Methode EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT 45

8 32 Logarithmusfunktion Das Verhältnis vom radioaktiven 4 C zum stabilen 2 C Kohlensto atom ist aufgrund kosmischer Strahlung im wesentlichen konstant Lebende Organismen unterscheiden nicht zwischen 2 C und 4 C, das Verhältnis ist deshalb dort dasselbe wie in der Atmosphäre Nach dem Absterben wird kein Kohlensto mehr aufgenommen Für das Verhältnis gilt dann v = N4 C N2 C v (t) = v 0 e t, wobei die Zerfallskonstante von 4 C ist Aus der Halbwertzeit von 4 C; die ungefähr 5730 a ist, kann man berechnen Es gilt ' ln ' : a Durch Messung des Verhältnis am toten Organismus läßt sich also die Zeit vom Absterben bis zur Messung berechnen, dh aus der Messung von v(t) v 0 ist es dann möglich t zu bestimmen Aus e t = v (t) v 0 folgt dh t = t = ln e t = ln v (t) v 0, ln v (t) v 0 = ln v 0 v (t) 46 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT

9 Allgemeine Potenzen und Logarithmen Allgemeine Potenzen und Logarithmen Nach Korollar 3i und den Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus gilt e p q ln a = e ln a p q = a p p q für a > 0 ; q 2 Q DEFINITION und schreibt Für a > 0 de niert man die Exponential-Funktion zur Basis a durch exp a : R! R + : x 7! e xln a a x := e xln a Für a > ist die Logarithmus-Funktion zu Basis a dann durch de niert, dh log a : ]0; [! R : u 7! log a u log a u = x () u = a x log a (a x ) = x und a log a u = u Damit kann man die Rechenregeln für Potenzen (Satz 5) und Logarithmen (Satz 32) verallgemeinern SATZ (Rechenregeln für exp a und log a ) Für a; b 2 R +, x; y 2 R und u; v 2 ]0; [ gilt x a x+y = a x a y, (a x ) y = a xy, = a a = a x und (a b) x = a x b x x sowie (für a > ) log a u = ln u ln a dh, log a a =, log a (u v) = log a u + log a v und log a (u x ) = x log a u Für die Beziehung zwischen log a und ln braucht man nur zu bemerken, daß log a u = x () u = a x = e xln a () ln u = x ln a, log a u = x = ln u ln a BEISPIEL Die wichtigsten Basen sind a = e und a = 0 : ln = log e und log := log 0 = ln ln 0 ' ln 2:3026 Der dekadischer Logarithmus log wurde bei numerischen Rechnungen benutzt, zb ist log 6: = log 6: log 0 23 ' 0: = 23:7798 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT 47

10 33 Allgemeine Potenzen und Logarithmen und log : = log : log 0 24 ' :2202 = 23:7798 BEISPIEL 2 Die Vermehrung in einer Bakterienkultur wird bei gleichbleibenden äußeren Bedingungen in einem begrenzten Zeitraum durch N (t) = N 0 e at gegeben, wobei N (t) die Anzahl oder die Masse der Bakterien zur Zeit t ist Ist der stündliche Zuwachs x% und setzt man q := + x h, so gilt 00 N 0 e a = N () = N 0 + x% N 0 = + x N 0 = q N 0, 00 also dh Damit erhalten wir folgt dh e a = q, a = ln q N (t) = N 0 e tln q = N 0 q t Daraus können wir die Verdopplungszeit t d berechnen Aus Ist zb der stündliche Zuwachs 0%, so ist 2N 0 = N 0 e t dln q ln 2 = t d ln q, t d = ln 2 ln q t d = ln 2 ln : ' 7:27 h BEMERKUNG Ein einfaches numerisches Beispiel zeigt nun auch, daßobiges Wachstumsgesetz nur in einem begrenzten Zeitraum gelten kann : Ein einziges Herpes-simplex-Virus von :5 0 5 g hätte sich nach 3 Wochen zu einer Bakterienkultur von ungefähr einer Tonne entwickelt : also = 3 Wochen = h = 504 h, N () = :5 0 5 : 504 g ' : g = :09 Tonne 48 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT

11 Graphische Bestimmung von Konstanten Graphische Bestimmung von Konstanten Die Exponential- und Logarithmus-Funktion werden oft benutzt, um eine Funktionsgleichung durch Variablenänderungen auf eine Geradengleichung zu transformieren (siehe 24) Danach lassen sich die Konstanten graphisch schätzen BEISPIEL zu äquivalent In der Tabelle Durch die Variablenänderung u = x und v = ln y ist y = c e x v = ln(c e x ) = ln c + x = ln c + u u = x y v = ln y x y ln y besteht dann ein linearer Zusammenhang zwischen v und u BEISPIEL 2 zu äquivalent In der Tabelle Durch die Variablenänderungen u = ln x und v = ln y ist y = c x p v = ln y = ln(c x p ) = ln c + ln(x p ) = ln c + p ln x = ln c + p u u = ln x x y v = ln y ln x x y ln y besteht dann ein linearer Zusammenhang zwischen v und u Der Vorteil dieser Transformation gegenüber der am Beispiel der Propionsäure 222 verwendeten besteht darin, daßjetzt auch die Potenz p (im Beispiel war p = 2 ) am Graphen ablesbar ist Dabei kann man einfach- und doppelt-logarithmisches Papier verwenden BEISPIEL 3 Für die Hefevermehrung, zu der in Beispiel 2 eine Meßreihe angegeben ist, vermutet man aufgrund der Überlegungen zu Beginn dieses Kapitel im ersten Zeitabschnitt einen funktionalen Zusammenhang der Form V (t) = e at Durch Logarithmieren erhält man daraus (siehe obiges Beispiel ) Man kann statt ln ebenso log verwenden ln V (t) = ln e at = ln e at = a t EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT 49

12 34 Graphische Bestimmung von Konstanten Wir tragen deshalb die Meßpunkte aus Beispiel 2 in ein Koordinatensystem ein, bei dem auf der vertikalen Achse ln V (t) statt V (t) aufgetragen wird (einfach logarithmische Skala) t V (t) ln V (t) 0 0 :8 0:59 2 2:9 :06 3 4:7 :55 4 7: :96 5 :9 2:48 6 7:5 2: :7 3: : 3: : 3:79 0 5:3 3:94 56:0 4: :5 4: :9 4:4 4 64: 4:6 5 65:6 4:8 6 65:6 4:8 7 65:7 4:9 8 66:2 4: Für 0 6 t 6 5 gibt die lineare Funktion t 7! 0:50 t eine gute Approximation an die eingetragene Punkte, dh a = 0:50 Die Hefezellenvermehrung wird zwischen 0 und 5 Stunden in guter Näherung durch V (t) = e 0:5t 50 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT

13 Graphische Bestimmung von Konstanten 34 beschrieben Hier der Vergleich t V (t) e 0:5t 0 :0 :8 :65 2 2:9 2:72 3 4:7 4:48 4 7: 7:39 5 :9 2:2 6 7:5 20: 7 25:7 33: 8 35: 54:6 9 44: 90:0 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FKT 5