Bewegungen im Zentralfeld

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1 Egänzungen zu Physik I Wi wollen jetzt einige allgemeine Eigenschaften de Bewegung eines Massenpunktes unte dem Einfluss eine Zentalkaft untesuchen, dh de Bewegung in einem Zentalfeld Danach soll de spezielle Fall de Planetenbewegung behandelt weden, de histoisch eines de Hauptpobleme de Mechanik und speziell de Himmelsmechanik wa Zentalbewegungen spielen jedoch in vielen Zweigen de Physik eine Rolle, so zb bei Steupozessen atomae ode subatomae Teilchen Reduktion des Zwei-Köpe- auf ein Ein-Köpe-Poblem Das Zentalkaftpoblem mit zwei Köpen ist eines de wichtigen Pobleme de Physik; es umfasst in de Himmelsmechanik das Poblem Ede - Sonne, in de Atomphysik das klassische Atommodell mit zwei endlichen Massen und in de Quantenmechanik Steupozesse atomae Teilchen ode Elementateilchen Es wid dabei angenommen, dass zwei Massenpunkte in gegenseitige Wechselwikung Zentalkäfte (zb Gavitations- ode Coulombkäfte) aufeinande ausüben, die nu von den Relativkoodinaten = ode auch von deen zeitlichen Ableitungen, abhängen Die kinetischen Enegien und die Bewegungsgleichungen de beiden Massen sind E kin = m und F = +f() = m, () E kin = m und F = f() = m () Die Kaft ist anziehend, wenn f() > 0 ist, und abstossend, wenn f() < 0 gilt Sie kann duch ein Potential, das nu von den Relativkoodinaten = abhängt, dagestellt weden: F = V, und mit V ( ) V ( ) ( ) V ( ) = = ( ) ( ), gilt fü F V ( ) = y m S m R x V ( ) V ( ) ( ) = ( ) und F V ( ) = : F = F ( actio=eactio ) V ( ) = ( ) F m m F Das System hat f = 6 Feiheitsgade, zb 3 Komponenten fü die Koodinate R = (m + m )/(m + m ) des Schwepunktes S und 3 Komponenten fü die Relativkoodinate = Die kinetische Enegie und die Käfte können nun statt mit den Koodinaten, auch nu mit den Relativ- und Schwepunktskoodinaten und R ausgedückt weden Wie sich de Skizze entnehmen lässt, ist m = R, (3) = R m + m + (4) m + m Und mit de Summe F + F = 0 = m + m folgt M R = p = 0, mit M = m + m gleich de Gesamtmasse und R= m + m gleich de Schwepunktskoodinate p M = 0 bedeutet nichts andees, als dass de Gesamtimpuls p = m + m konstant ist Multiplikation de Gleichungen () und () mit m bzw m sowie Subtaktion und Beücksichtigung des actio=eactio-pinzips egibt m m m ( ) = m F m F = (m + m ) F M m m = F m + m ( ) = (5) }{{ } = kugelsymmetisches Kaftfeld Zu Einneung: Dieses hie beispielshaft nachgewiesene Pinzip (3 Newtonsches Gesetz) gilt nicht nu fü Zental-, sonden ganz allgemein fü alle zwischen zwei Köpen wikenden Käfte (vgl Halliday, Kap 5-7)

2 Egänzungen zu Physik I Die obige Gleichung hat die Fom des Newtonschen Gesetzes ausgedückt in den Relativkoodinaten und de eduzieten Masse = m m m + m de beiden Köpe des Systems (6) Die Lösung de Gleichung (5) bescheibt also das System in den Relativkoodinaten Mit den Gleichungen (3) und (4) können sie in die uspünglichen Koodinaten tansfomiet weden Ist de Impuls des Schwepunktes zeitlich konstant und bewegt sich gleichfömig, kann e fü die weitee Behandlung weggelassen weden 3 und nu die von abhängigen Teme de Bewegungsgleichung müssen gelöst weden (Sepaation de Schwepunkts- und Relativkoodinaten) Natülich muss dabei die spezielle Fom von f() bekannt sein Mit de eduzieten Masse wid das Zweiköpepoblem auf ein einfachees Einköpepoblem zuückgefüht Mehköpepobleme mit meh als zwei Massen können nu noch iteativ näheungsweise mit zb S als Koodinatenuspung gelöst weden Konstanz des Dehimpulses Mit Gl (5) gilt d = F ( ) = f() Da die Zentalkaft F = f() in Richtung des Otsvektos weist ( F ), übt sie kein Dehmoment auf den Massenpunkt aus: τ = d Nach dem Dehimpulssatz folgt dann ohne äussee Käfte: = konst = F = 0 (7) Bei eine Zentalbewegung ist de Dehimpuls konstant ϕ d m p =konst Auch fü eine gleichfömige Bewegung mit F = 0 und τ = 0 gilt d Impuls und Dehimpuls sind ehalten = F = 0 = konst De Betag des Dehimpulses ist = = p = mv sin ϕ = d m v; e hängt von de Wahl des Bezugspunktes ab: liegt diese auf de Bahn, so ist d = 0 und damit = 0 ist also eine Konstante de Bewegung Da nach Gösse und Richtung konstant sein muss, egeben sich zwei Konsequenzen: (t + ) da d (t) Wegen = ( v) = d / kann sich nu in eine Ebene senkecht zu bewegen Da abe aumfest ist, hat folglich auch die Bewegungsebene (mit Feiheitsgaden) eine feste Oientieung im Raum Die von in de Zeit übestichene infinitesimal kleine Deiecksfläche ist da = da = d (da d die Fläche des von und d aufgespannten Paallelogamms dastellt) 3 Man wählt häufig als Anfangsbedingungen fü die Schwepunktskoodinate d R/ = 0 und R = 0, dh ein Inetialsystem, in dem de Schwepunkt uht

3 Egänzungen zu Physik I Also folgt de Keplesche Flächensatz: L = d = da = konst Die po Zeiteinheit übestichene Fläche ist konstant (8) da da da3 Bei de Zentalbewegung liegt de Otsvekto des Massenpunktes in eine aumfesten Ebene und übesteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen da4 Bei de Heleitung des Flächensatzes ist allgemein eine Zentalkaft voausgesetzt woden und nicht speziell die Gavitationskaft, e gilt also fü alle Zentalkäfte Obwohl wi die Bahnkuve des Massenpunktes auf Gund de Bewegungsgleichung aus Gl (5) fü die Relativkoodinaten beechnen könnten, ist es leichte, das Poblem duch Kombination des Flächensatzes mit dem (fü Zentalkäfte gültigen) Enegieehaltungssatz zu lösen De Enegieehaltungssatz lautet wobei die potentielle Enegie V duch v + V = E = konst, V () = f() d gegeben ist, falls wi V ( ) = 0 wählen Da die Bahnkuve eben ist ( -Ehaltung), dücken wi die Geschwindigkeit v duch ebene Polakoodinaten aus: 4 y ϕ x Daaus folgt: d [ (d ) ( ) ] dϕ + + V = E ( ) = (E V ) dϕ Aus L = v = dϕ senkecht zu stehende Koponente v ϕ = dϕ dϕ =, (9) und somit von v genommen weden) egibt sich d = (E V ) (fü v muss nu die ( ) L (0) Dividieen wi die Gleichungen (9) und (0) um t zu eliminieen, so ehalten wi einen Zusammenhang zwischen und ϕ mit ( dϕ )( d ) = ( dϕ d )/( ) = dϕ d : dϕ d = (E V ) ( ) die Gleichung de Bahnkuve () Fü eine Beechnung von (ϕ) muss die Funktion V () bekannt sein, zb V () = Γ Mm 4 In den eckigen Klammen steht de Polakoodinaten-Ausduck fü v = v + v ϕ (hegeleitet in den Keisbewegungen auf S4) 3

4 Egänzungen zu Physik I 3 Planetenbewegungen Wi weden jetzt Gl () fü den Fall eine idealisieten Planetenbewegung lösen: M und m seien die Massen de Sonne und eines Planeten m Die Veteilung de Massen in beiden Köpen sei kugelsymmetisch 5 Die eduziete Masse 6 ist = mm m + M M Die Bewegung dieses einen speziellen Planeten soll nicht duch die Anwesenheit andee Planeten gestöt weden Mit dem Gavitationspotential V () = Γ mm fü die potentielle Enegie wid die Bahnkuven-Gl () zu: dϕ d = ) ( ) ( E + ΓmM Wi fühen / =: x als neue Vaiable ein, sodass d = dx/x gilt, und ehalten / L dϕ = / dx = E + ΓmM ( ) x L x ( ) dx L x ΓmM + E + ΓmM = / ( ) E + ΓmM (x/ ΓmM/) E +( ΓmM L ) + wenn wi nochmals eine neue Vaiable einfühen: u := dx ode dϕ = du u, () x ΓmM ( ) E + ΓmM Integation von Gl () liefet ϕ ϕ = accos(u), ode, wenn wi ϕ = 0 setzen, cos(ϕ ϕ ) = cos ϕ = u (3) Kehen wi in Gl (3) wiede zu uspünglichen Vaiablen zuück, dann ehält man = cos ϕ E + L = ΓmM + cos ϕ ( ΓmM ) + ΓmM Daaus kann die Bahnkuve des Planeten beechnet weden: + E L Γ m M Mit den Abküzungen p := L ΓmM, ε := + E L Γ m M ehalten wi = p + ε cos(ϕ) die Gleichung eines Kegelschnittes in Polakoodinaten 7 (4) 5 Abweichungen von eine exakten Kugelsymmetie zb von Sonne und Ede fühen zu, ϑ, ϕ abhängigen Koektuen (Quadupol-Teme) 6 In vielen Fällen ist m M und man kann fü die eduziete Masse m setzen Sind jedoch beide Massen gleich, wie in einigen Doppelstensystemen ode beim Positonium dem e e + -Atom, dann otieen beide Massen um ihen gemeinsamen Schwepunkt; es ist dann = m/ 7 auch Polagleichung genannt siehe Anhang am Ende fü eine zweite Möglichkeit, zu ih zu gelangen 4

5 Egänzungen zu Physik I a P F e ' b F Gl (4) ist die Gleichung eines Kegelschnittes, wenn de eine Bennpunkt de Pol ist, von dem aus gemessen wid, und ϕ von dem Scheitel aus gemessen wid, de dem Pol am nächsten ist Die Abbildung links zeigt eine Ellipse Allgemein gibt es dei Aten von Kegelschnitten, die nach den Wete von ε, de sogenannten Exzentizität, unteschieden weden: Die Fälle E 0 entspechen de ungebundenen Bewegung: de Himmelsköpe kann das Sonnensystem velassen De Fall E < 0 entspicht de eigentlichen, gebundenen Planetenbewegung Den Wet de Gesamtenegie E findet man aus de diekt vo Gl (4) gegebenen Deklaation von ε ε = e/a E Keis 0 ( ΓmM ) Ellipse < < 0 Paabel = 0 Hypebel > > 0 Im Falle de gebundenen Planetenbewegung haben wi es also mit eine Ellipse zu tun 8 Die Gleichung eine Ellipse lautet + = konst = a (Vostellung: Befestige die Enden eine Schnu de Länge a an den Bennpunkten und fühe einen dain eingespannten Bleistift im Keis heum so zeichnet sich eine Ellipse) Laut Kosinussatz ist = + 4e + 4e cos(ϕ) (vgl Abb) Indem man eliminiet, egibt sich b /a = mit e = a b und somit ε = a + e/a cos ϕ b /a b /a = p nennt man den Paamete ode Scheitelkümmungsadius Wi haben somit aus dem Gavitationsgesetz hegeleitet: Das Keplesche Gesetz Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deen einem Bennpunkt die Sonne steht Das Keplesche Gesetz ist de schon mit Gl (8) fomuliete Flächensatz Das 3 Keplesche Gesetz besagt: Die Quadate de Umlaufszeiten de Planeten vehalten sich zueinande wie die Kuben de gossen Achsen ihe Bahnellipsen Zum Beweis fühen wi im Flächensatz die Umlaufszeit, so gilt πab T da = = und deshalb T = die Ellipsenfläche A = πab ein Ist T ( ) πab = 4π a wenn wi mit Hilfe de fü Gl (4) eingefühten Abküzung 9 fü p noch L al ΓmM = 4π ΓmM a3, b = p a eliminieen 8 Vgl auch die Atomphysik ( Coulombkaft): Hie bescheibt klassisch und quantenmechanisch E < 0 ein im Coulombfeld gebundenes Elekton und E > 0 ein am Atomken gesteutes feies Elekton 9 Es wa dies p = L ΓmM 5

6 Egänzungen zu Physik I Johannes Keple (57-630) leitete seine empiischen Gesetze aus den Daten von Tycho Bahe (546-60) ab, bevo das Newtonsche Gavitationsgesetz bekannt wa Diese Reihenfolge des Ekenntnisgewinns zunächst empiische Bescheibung gefolgt von eine Paametisieung de Daten, est späte dann eine Ekläung duch entspechende physikalische Gesetze titt in de Physik imme wiede auf Anhang: Bestimmung de Bewegungsgleichung duch Integation Dies ist eine etwas aufwändigee Methode als die oben gewählte; ihe Anfühung an diese Stelle dient bloss de Vollständigkeit: Man multipliziet hiebei m = p = Γ m m 3 mit L und beücksichtigt das deifache und mit Vektopodukt d p L = d ( p L) = Γ m m 3 ( ) = + d ( ) = egibt sich d ( p L) = Γm m d L }{{ = Γ m m } ( p) 3 [ ( p) p ] ( m ) m 3 = 3 [ ( )] fü das Deifachpodukt ( ) p L = Γm m + C C ist als Integationskonstante de sogenannte Lenzsche Vekto, de in de festen Bewegungsebene liegt Multipliziet man die Gleichung mit und setzt p := L /Γm m und ε := C/Γm m, ehält man: ( p L) = L ( p) = L L = L = Γm m = + C C cos(ϕ) = p + ε cos(ϕ), in Übeeinstimmung mit de Fokaldastellung de Kegelschnitte, Gl (4) 6