Gelenkträger unter vertikalen und schrägen Einzellasten und einer vertikalen Streckenlast

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1 Beispiele Gelenkträger Seite 1 Auf den folgenden Seiten wird das Knotenschnittverfahren zur Berechnung statisch bestimmter Systeme am Beispiel eines Einfeldträgers veranschaulicht. Dabei gliedert sich die Berechnung in folgende Schritte: Zerlegung des Systems: Aufteilung des Systems in einfache Träger Gelenkkraft: Bestimmung der Gelenkkraft G am rechten Teilsystem Auflagerkräfte: Bestimmung der Auflagerreaktionen an jedem Teilsystem unter Berücksichtigung der Gelenkkraft Schnittkraftermittlung: Schrittweise Bestimmung der Schnittgrößen an markanten Punkten Schnittkraftlinien: Darstellung der Normalkraft-, Querkraft- und Momentenverläufe System und Belastung Auflagerkräfte Die Zerlegung des Systems ermöglicht die Berechnung der Auflagerkräfte durch die Formulierung der an jedem Teilsystem. Die am rechten Teilsystem liefern neben der Auflagerkraft am Auflager C auch die Stütz- bzw. Gelenkkraft G. Σ M 8 = 0 = 5,00 kn * sin(53,13 ) * 1,50 m V C * 3,00 m V c = 2,00 kn Σ M C = 0 = G * 3,00 m 5,00 kn * sin(53,13 ) * 1,50 m G = 2,00 kn Kontrolle der vertikalen Auflagerkräfte Σ V = 0 = 2,00 kn + 2,00 kn 5,00 kn * sin(53,13 ) 0 = 0

2 Beispiele Gelenkträger Seite 2 Die durch die am rechten Teilsystem erhaltene Gelenkkraft G wird am linken Teilsystem als vertikale Auflast hinzugezogen. Die fehlenden Auflagerkräfte lassen sich durch die am linken Teilsystem berechnen. Σ M A = 0 = Σ M B = 0 = 3,00 kn * 1,50 m + 3,00 kn/m * 1,50 m * 3,75 m V B * 4,50 m + 2,00 kn * 6,00 m + 2,00 kn * 7,50 m V B = 10,75 kn V A * 4,50 m 3,00 kn * 3,00 m 3,00 kn/m * 1,50 m * 0,75 m + 2,00 kn * 1,50 m + 2,00 kn * 3,00 m V A = 0,75 kn Kontrolle der vertikalen Auflagerkräfte Σ V = 0 = 0,75 kn + 10,75 kn 3,00 kn 3,00 kn/m * 1,50 m 2,00 kn - 2,00 kn 0 = 0 Zur Ermittlung der horizontalen Auflagerkraft H A wird wiederum das gesamte System betrachtet: Σ H = 0 = H A + 5,00 kn * cos(53,13 ) H A = 3,00 kn Schnittkraftermittlung Nachdem die Auflagerkräfte eindeutig bestimmt wurden, erfolgt nun die schrittweise Ermittlung der Schnittkräfte an markanten Punkten, wie beispielsweise kurz vor und nach angreifenden Lasten. Schnitt A 1 Σ H = 0 = N 1 ( 3,00 kn ) N 1 = 3,00 kn Σ V = 0 = Q 1 0,75 kn Q 1 = 0,75 kn Σ M = 0 = M 1 0,75 kn/m * 1,50 m M 1 = 1,125 knm

3 Beispiele Gelenkträger Seite 3 Schnitt 1 2 Σ H = 0 = N 2 ( 3,00 kn ) N 2 = 3,00 kn Σ V = 0 = Q 2 + 3,00 kn 0,75 kn Q 2 = 2,25 kn Σ M = 0 = M 2 1,125 knm M 2 = 1,125 knm Schnitt 2 3 Σ H = 0 = N 3 ( 3,00 kn ) N 3 = 3,00 kn Σ V = 0 = Q 3 ( 2,25 kn ) Q 3 = 2,25 kn Σ M = 0 = M 3 1,125 knm ( 2,25 kn ) * 1,50 m M 3 = 2,25 knm Schnitt 3 4 Σ H = 0 = N 4 ( 3,00 kn ) N 4 = 3,00 kn Σ V = 0 = Q 4 + 3,00 kn/m * 1,50 m ( 2,25 kn ) Q 4 = 6,75 kn Σ M = 0 = M 4 + 3,00 kn/m * 1,50 m * 0,75 m ( 2,25 kn ) * 1,50 m ( 2,25 kn ) M 4 = 9,00 knm Schnitt 4 5 Σ H = 0 = N 5 ( 3,00 kn ) N 5 = 3,00 kn Σ V = 0 = Q 5 10,75 kn ( 6,75 kn ) Q 5 = 4,00 kn Σ M = 0 = M 5 ( 9,00 knm ) M 5 = 9,00 knm

4 Beispiele Gelenkträger Seite 4 Schnitt 5 6 Σ H = 0 = N 6 ( 3,00 kn ) N 6 = 3,00 kn Σ V = 0 = Q 6 4,00 kn Q 6 = 4,00 kn Σ M = 0 = M 6 4,00 kn * 1,50 m ( 9,00 knm ) M 6 = 3,00 knm Schnitt 6 7 Σ H = 0 = N 7 ( 3,00 kn ) N 7 = 3,00 kn Σ V = 0 = Q 7 + 2,00 kn 4,00 kn Q 7 = 2,00 kn Σ M = 0 = M 7 ( 3,00 knm ) M 7 = 3,00 knm Schnitt 7 8 Σ H = 0 = N 8 ( 3,00 kn ) N 8 = 3,00 kn Σ V = 0 = Q 8 2,00 kn Q 8 = 2,00 kn Σ M = 0 = M 8 2,00 kn * 1,50 m ( 3,00 knm ) M 8 = 0,00 knm Schnitt 8 9 Σ H = 0 = N 9 ( 3,00 kn ) N 9 = 3,00 kn Σ V = 0 = Q 9 2,00 kn Q 9 = 2,00 kn Σ M = 0 = M 9 2,00 kn * 1,50 m 0,00 knm M 9 = 3,00 knm

5 Beispiele Gelenkträger Seite 5 Schnitt 9 10 Σ H = 0 = N 10 5,00 kn * cos(53,13 ) ( 3,00 kn ) N 10 = 0,00 kn Σ V = 0 = Q ,00 kn * sin(53,13 ) 2,00 kn Q 10 = 2,00 kn Σ M = 0 = M 10 3,00 knm M 10 = 3,00 knm Zur Kontrolle der Rechnung wird nun ein letzter Schnitt durchgeführt. Hierbei werden die auf ihre richtige Lösung hin untersucht. Schnitt 10 C Σ H = 0 = 0 0 = 0 Σ V = 0 = 2,00 kn + ( 2,00 kn ) 0 = 0 Σ M = 0 = 3,00 knm + ( 2,00 kn ) * 1,50 m 0 = 0 Bemerkung Die auf den vorangegangenen Seiten dargestellte Berechnung der Schnittgrößen wurde sehr detailliert erläutert. Die Berechnung und Darstellung der Schnittgrößen ist auch mit einer geringeren Anzahl an aufgestellten möglich. Beispielsweise wurde die Gleichgewichtsbedingung Σ H = 0 an den Schnittpunkten 1 bis 9 aufgestellt. Durch Betrachtung des Systems und seiner Belastung ergibt sich allerdings, dass an den genannten Punkten keine Veränderung der Normalkräfte auftreten kann! Die schräge Einzellast erzeugt eine konstante Normalkraft von Punkt 9 bis ins Auflager A.

6 Beispiele Gelenkträger Seite 6 Schnittkraftlinien Die zuvor ermittelten Schnittgrößen werden abschließend als Schnittkraftlinien dargestellt:

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