Natürliche Zahlen 2. Zahldarstellungen

Transkript

1 Natürliche Zahlen 2 Zahldarstellungen

2 Überblick Ziffernsysteme Stellenwertsysteme o Verschiedene Basen o Umwandeln o Rechnen in verschiedenen Systemen curriculare Vorschriften unterrichtliche Aspekte 2

3 Zifferndarstellungen von Zahlen Strichliste Kerbholz Vorteile: nur eine Ziffer notwendig Nachteil: große Zahlen werden sehr lang und unübersichtlich Bildquelle Kerbholz: ( 3

4 Zifferndarstellungen von Zahlen Bierdeckelzählung Kollektionseinheit 5 Vor- und Nachteile s. Strichliste 4

5 Zifferndarstellungen von Zahlen Römische Zahlzeichen 5

6 Römische Zahlzeichen Nachgewiesen seit ca. 100 v.chr. Bis ins Mittelalter verwendet (mit Abwandlungen) Vorteile:einfach Nachteile: Große Zahlen und Multiplikation/Division umständlich Zahlzeichen I V X L C D M Wert

7 Römische Zahlzeichen Ziffern werden der Größe nach sortiert (MMVI) Stellenwertansätze im Mittelalter (MDCCCCXCIX) Stellenwertansatz o Steht eine kleinere Ziffer links von einer größeren, so wird der ihr Wert von der größeren abgezogen (IX entspricht 9) o Es dürfen jeweils nur die nächst kleineren Zehnerpotenzen vor einer größeren Ziffer stehen. 7

8 Rechnen auf der Linie / Abakus 8

9 Klassisches Stellenwertsystem Definition: Gegeben sei eine Zahl b aus N, b 2, genannt die Basis. Eine Zahl a aus N heißt im Stellenwertsystem zur Basis b dargestellt, wenn gilt: Es gibt eine Zahl k 0, wobei k+1 die Anzahl der Stellen ist, und diezahlen z 0, z 1,..., z k N, die Ziffernwerte, mit 0 z i < b für alle i, so dass gilt: a = z k b k + z k-1 b k z 2 b 2 + z 1 b + z 0 = k z j b j= 0 j 9

10 Klassisches Stellenwertsystem Unterscheidung: Eine Zahl Zweitausenddreihundertfünfunfsechzig o wird notiert als Zahlwort, z.b o besteht aus den Ziffern 2, 3, 5 und 6 o besitzt den Zahlwert 2* * * im Zehnersystem o Besitzt den Zahlwert 2* * *7 + 6 im Siebenersystem (2356) 7 10

11 Adam Riess: Zählen 11

12 Adam Riess: Null Die Zahl Null wird in jedem Stellenwertsystem mit dem Zeichen 0 geschrieben. 12

13 Adam Riess: Null Die 0 Null / wann sie allein stehet / so bedeut sie nichts; wann sie aber anderen Ziffern zugesezet wird / macht sie dieselbigen umb so viel mal zehen / oder hundert/ oder Tausend/ec. mehr bedeutende. Zum Exempel: Wann sie gesezt wird zu der Figur 1/ also: 10 / das bedeutet zehen; nach der 2 / also 20 bedeutet zwanzig / und so fort / 30 dreissig / 40 vierzig / ec. Werden denn einer Figur zwei Null zugesezt / so bedeut dieselbe so viel mal hundert / als: 100 hundert Die Zahl Null wird in jedem Stellenwertsystem mit dem Zeichen 0 geschrieben. 13

14 Zehnersystem Basis: b = 10, Ziffern: 0,1,2,, 9 Aus Indien ca. 600 n. Chr. Meist verbreitetes Zahlensystem Vorteile: o Aufwand für Rechenverfahren gut im Bezug zur Länge der Zahlen Nachteile: Man braucht viele Zeichen 14

15 Dualsystem Basis: b = 2, Ziffern: 0, I Erfinder: Gottfried Wilhelm Leibniz Anwendung: Digitaltechnik, elektronische Datenverarbeitung Vorteile: o einfache Rechenverfahren o Gut darstellbar Nachteile: o Zahlen sehr lang und übersichtlich 15

16 Hexadezimalsystem Basis: b = 16, Ziffern: 0, 1, 2, 9, A, B, C, D, E, F Anwendung: elektronische Datenverarbeitung, Kodierung von Farbwerten (z.b. RGB-Wert #AA9911) Vorteile: o Einfache Darstellung von bits o Gut darstellbar Nachteile: o Kopfrechnen kompliziert 16

17 Umwandlung 1 Zahlwert (Dezimalsystem) in Zahlwort im System der Basis b 194 -> ( ) 5 Bündeln immer die 5 ausklammern soweit es geht 194 = = (38 5) + 4 = (35 + 3) = ( ) = ((5 + 2) 5 + 3) = (( ) 5 + 3) = ((( ) 5 + 2) 5 + 3) = = (1234) 5 17

18 Umwandlung 2 Zahlwort im System der Basis b in Zahlwert im Dezimalsystem (10221) 3 ->??? Entbündeln Klammern von innen nach außen berechnen (10221) 3 = (((( ) 3 + 0) 3 + 2) 3 + 2) = ((( ) 3 + 2) = (( ) = = =

19 Aufgaben Wie lautet das Zahlwort von 492 im Siebenersystem? Verwenden Sie dazu die Bündel- Methode! Wie lautet der Zahlwert im Dezimalsystem der Zahl (24A09) 16? Entbündeln Sie das Zahlwort. 19

20 Aufgabe In welchen Zahlensystem rechnen diese beiden? 20

21 Reflexion des Lernerlebnisses Was wissen Sie jetzt, was Sie vorher noch nicht wussten? Wo hatten Sie Probleme beim Verstehen? Hätten Sie es schneller / einfacher verstehen können? Was hat / hätte Ihnen dabei geholfen? 21

22 Curriculare Vorschriften 1 Allg. Ziel: Erkennen des strukturellen Aufbaus des Zehnersystems KMK Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss Leitidee Zahl (Auszug) o Die Schülerinnen und Schüler stellen Zahlen der Situation angemessen dar, unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise, wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen, 22

23 Stufenzahlen / Zahlenriesen Eigentlich die Potenzen der Basen, aber manchmal auch Kollektionseinheiten (10, 100, 1000, oder 12, 144, oder 60, 3600, oder 5, 10, 50, 100, ) Zahlenriesen: o Zahlenraum bis zu einer Billion (auch Zahlen in Worten ausschreiben) o Exponentiales Wachstum (Reiskornaufgabe) o Rekordzahlen (z.b. Seiten im Internet, ) 23

24 Unterrichtliche Aspekte Verfremdungseffekte nutzen o römische / ägyptische Ziffernsysteme o Dualsysteme / Fünfersystem (Gymnasium) Sehr wichtig für alle Rechenverfahren und besonders die Bruchrechnung Nicht unbedingt am Anfang des Schuljahrs Geeignet für Projektarbeit / offene Unterrichtsformen 24

25 Danke für Ihre Aufmerksamkeit 25