Taylorreihen. Kapitel 9. Lernziele. Taylorreihe. (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. Taylorreihe und MacLaurinreihe

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1 Kapitel 9 Taylorreihen Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 1 / 25 Lernziele Taylorreihe und MacLaurinreihe Beispiele Alternative Schreibweisen Approimation der Veränderung einer Funktion Delta-Methode: Approimation von E[f (X)] Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 2 / 25 Taylorreihe Wenn eine Funktion f () genügend oft differenzierbar ist, kann sie durch ein Polynom n-ter Ordnung approimiert werden. f () f ( 0 ) + f ( 0 ) + f (n) ( 0 ) ( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) n ( 0 ) 2 + Man sagt, die Funktion f () wird an der Stelle 0 in eine Taylorreihe bis zur Ordnung n entwickelt. durch ein Polynom n-ter Ordnung approimiert (Taylorpolynom). Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 3 / 25

2 Taylorreihe / (2) Bezeichnung: f (k) () bezeichnet die k-te Ableitung von f nach. f (k) ( 0 ) ist der Wert der k-ten Ableitung von f an der Stelle 0. k! heißt k-faktorielle: k! = k. 0! = 1, = 1, = 2, 3! = = 6 Die Approimation ist umso besser (der Fehler ist umso kleiner) je näher an der Entwicklungstelle 0 ist; je größer die Ordnung n ist. Die Koeffizienten des Polynoms sind so gewählt, dass die ersten n Ableitungen mit jener von f übereinstimmen. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 4 / 25 MacLaurinreihe Der Spezialfall mit Entwicklungspunkt 0 = 0 wird auch als MacLaurin-Polynom bezeichnet. f () f (0) + f (0) + f (0) f (n) (0) n Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 5 / 25 Taylorreihe: n = 1 Für n = 1 ergibt sich ein Polynom erster Ordnung (lineare Funktion). f () f ( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) Man schreibt auch f (). = f ( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ). = bedeutet in erster Näherung. Wenn wir die Näherung verwenden, rechnen wir mit der Tangente der Funktion an der Stelle 0 anstatt mit f. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 6 / 25

3 Beispiel: ep() Taylorentwicklung erster Ordnung von f () = ep() an der Entwicklungsstelle 0 = 0. f () f (0) + f (0) ep() = 1 + f () = ep() f (0) = ep(0) = 1 f () = ep() f (0) = ep(0) = 1 Das Taylorpolynom erster Ordnung von ep() in 0 = 0 ist t() = 1 + Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 7 / 25 Beispiel: log(1 + ) Taylorentwicklung erster Ordnung von f () = log(1 + ) an der Entwicklungsstelle 0 = 0. f () f (0) + f (0) log(1 + ) = f () = log(1 + ) f (0) = log(1) = 0 f () = 1/(1 + ) f (0) = 1/(1 + 0) = 1 Das Taylorpolynom erster Ordnung von log(1 + ) in 0 = 0 ist t() = Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 8 / 25 Graph: ep() und log(1 + ) f () ep() f () log(1 + ) Wir approimieren ep() an der Stelle 0 durch eine Gerade: ep(). = 1 + Wir approimieren log(1 + ) an der Stelle 0 durch eine Gerade. log(1 + ). = Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 9 / 25

4 Anwendung Für alle R gilt: ( lim 1 + n = e n n) = ep() Eine Motivation für diese Beziehung erhalten wir über ( 1 + ) n = e n log(1+/n). = e n (/n) = e n Die Näherung log(1 + ). = ist gut, wenn betragsmäßig klein ist. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 10 / 25 Taylorreihe: n = 2 Für n = 2 ergibt sich ein Polynom zweiter Ordnung (quadratische Funktion). f () f ( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) 2 Die Approimation zweiter Ordnung ist in der Regel eine bessere lokale Approimation als die Erste. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 11 / 25 Beispiel: ep() (n = 2) Taylorentwicklung zweiter Ordnung von f () = ep() an der Entwicklungsstelle 0 = 0. f () f (0) + f (0) + f ( 0 ) 2 ep() = f () = ep() f (0) = ep(0) = 1 f () = ep() f (0) = ep(0) = 1 f () = ep() f (0) = ep(0) = 1 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 12 / 25

5 Beispiel: log(1 + ) (n = 2) Taylorentwicklung zweiter Ordnung von f () = log(1 + ) an der Entwicklungsstelle 0 = 0. f () f (0) + f (0) + f ( 0 ) 2 log(1 + ) = f () = log(1 + ) f (0) = log(1) = 0 f () = 1/(1 + ) = (1 + ) 1 f (0) = 1/(1 + 0) = 1 f () = (1 + ) 2 f (0) = (1 + 0) 2 = 1 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 13 / 25 Graph: ep() und log(1 + ) f () ep() f () log(1 + ) ep() log(1 + ) 2 2 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 14 / 25 Wichtige Taylorreihen ( 0 = 0) Eponentialfunktion ep() = ! +... Logarithmus log(1 + ) = Sinus sin() = 3 3! + 5 5! 7 7! + Kehrwert 1 1 = Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 15 / 25

6 Alternative Schreibweise: h = ( 0 ) Wir heben die Veränderung ( 0 ) hervor, indem wir sie mit h (= ( 0 )) bezeichnen. Die Entwicklungsstelle bezeichnen wir als. f ( + h) f () + f () h + f () h f (n) () h n 0 wird durch ersetzt, ( 0 ) durch h, und durch ( + h). Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 16 / 25 Alternative Schreibweise: = ( 0 ) Schreiben Taylorreihe mit anstatt h. f ( + ) f () + f () + f () ( ) f (n) () ( ) n bezeichnet die Änderung von. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 17 / 25 Approimation für f = f ( + ) f () Wir f () auf die linke Seite. Erhalten damit eine Entwicklung für die Veränderung der Funktion. f () = f ( + ) f () bezeichnet die Änderung von f () (wenn sich um ändert) Wir vergleichen den Funktionswert an der Stelle mit dem bei ( + ). f () f () + f () ( ) f (n) () ( ) n Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 18 / 25

7 Approimation für f in 1. Näherung In erster Näherung gibt sich mit f () = f ( + ) f () f (). = f () Die Veränderung des Funktionswertes wird gut durch die Ableitung an der Stelle mal der Schrittweite,, beschrieben. (Steigung der Tangente mal Schrittweite) Diese diskrete Approimation einer stetigen Funktion werden wir im Folgenden etensiv verwenden. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 19 / 25 Beispiel: log(1 + ) In erster Näherung gibt sich für f () f (). = Änderung von f () = log(1 + ) an der Stelle = 2: f (2) = f (2 + ) f (2). = = 1 3 Wenn wir von 2 nach 2.5 gehen erhalten wir = 1/2 und f (2) = [f ( ) f (2)]. = = 1 6 Die Änderung der Funktion beträgt zwischen 2 und 2.5 ungefähr 1/6. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 20 / 25 Delta-Methode: Approimation von E[f (X)] Sei X eine ZV mit E(X) = µ und V(X) = σ 2. f (X) sei eine (nicht-lineare) Funktion in X. Die Delta-Methode approimiert den Erwartungswert der nicht-linearen Funktion, E[f (X)], in dem die Funktion in eine Taylorreihe bis zu einer (niedrigen) Potenz entwickelt und anschließend von dieser der Erwartungswert berechnet wird. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 21 / 25

8 Approimation 1. Ordnung Wir entwickeln f an der Stelle µ. Also 0 = µ: f (X). = f (µ) + f (µ) (X µ) E[f (X)] f (µ) und V[f (X)] f (µ) 2 σ 2 Aus den Rechenregeln für Linearkombinationen von Zufallsvariablen erhalten wir: E[f (X)]. = E[f (µ) + f (µ) (X µ)] = E[f (µ)] + f (µ) E[(X µ)] = f (µ) V[f (X)]. = V[f (µ) + f (µ) (X µ)] = f (µ) 2 σ 2 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 22 / 25 Approimation 2. Ordnung Wir entwickeln f an der Stelle µ. Also 0 = µ: f (X) =. f (µ) + f (µ) (X µ) + f (µ) (X µ) 2 Dann erhalten wir für den Erwartungswert E[f (X)] f (µ) f (µ) σ 2 und für die Varianz unter der Annahme, dass X normal verteilt ist, X N(µ, σ 2 ), V[f (X)] f (µ) 2 σ f (µ) 2 σ 4 Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 23 / 25 Approimation 2. Ordnung / Herleitung Erwartungswert: E[f (X)] E[f (µ) + f (µ) (X µ) + f (µ) (X µ) 2 ] = E[f (µ)] + f (µ) E[(X µ)] f (µ) E[(X µ) 2 ] = f (µ) + f (µ) (E[X] µ) f (µ) V[X] 2 = f (µ) f (µ) σ 2 Für die Varianz benötigen wir das 3. und 4. Moment der Normalverteilung, E[(X µ) 3 ] und E[(X µ) 4 ]. Diese sind E[(X µ) 3 ] = 0 und E[(X µ) 4 ] = 3 σ 4 Das 3. Moment ( Schiefe ) ist Null, da die Normalverteilung symmetrisch ist. (Wir leiten aber die Beziehung für die Varianz nicht her.) Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 24 / 25

9 Beispiel: ep(x) Sei f (X) = ep(x) und X N(µ, σ 2 ): Approimation 1. Ordnung: E[f (X)] ep(µ) und V[f (X)] ep(µ) 2 σ 2 Approimation 2. Ordnung: E[f (X)] ep(µ) ep(µ) σ2 = ep(µ) (1 + σ 2 /2) V[f (X)] ep(µ) 2 σ ep(µ)2 σ 4 = ep(2 µ) σ 2 (1 + σ 2 /2) Bemerkung: Die ZV Y = ep X ist lognormal verteilt. Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden IX Taylorreihen 25 / 25