Musterlösungen Blatt 6 komplett (mit Kommentaren)

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1 Musterlösungen Bltt 6 omplett (mit Kommentren) Aufgbe (3 + 3 Punte) ) Sei f : beschränt und es existieren die uneigentlichen iemnnintegrle f(x) dx und f(x)dx. Zeigen Sie, dss f Lebesgue-integrierbr über ist und ds Lebesgueintegrl von f über mit dem uneigentlichen iemnnintegrl übereinstimmt! b) Seien, b, < b, g : (, b), ) derrt gegeben, dss g unbeschränt, ber über jedes ompte Intervll I (, b) iemnn-integrierbr ist und ds uneigentliche iemnnintegrl b g(x)dx existiert. Zeigen Sie, dss g Lebesgue-integrierbr über (, b) ist und ds Lebesgueintegrl von g über (, b) mit dem uneigentlichen iemnnintegrl übereinstimmt! Lösung ) Bei dieser Aufgbe hndelt es sich um eine einfche Anwendung des Stzes über monotone Konvergenz (nch Levi, in der englischen Litertur uch MCT für Monotone Convergence Theorem). Nch Vorussetzung ist f über jede ompte Teilmenge von iemnn-integrierbr, lso über diese Mengen uch Lebesgue-integrierbr nch Stz 4.27 der Vorlesung (dort ging es um omplexwertige Funtionen, ber es hindert uns niemnd drn, die Funtion f K : K für omptes K ls Funtion nch C ufzufssen, die zufälling nur Werte uf der reellen Achse nnimmt). Wir definieren uns nun die Folge integrierbrer Funtionen (f ) durch f :, f f χ,]. Dnn ist jedes der f messbr (die Mengen (, ),, ], (, ) bilden eine disjunte Zerlegung von in messbre Mengen, f ist iemnn-integrierbr über, ], lso drüber insbesondere messbr und die Nullfuntion ist messbr über (, ) und (, )). Ferner ist f der puntweise Grenzwert der messbren Funtionen f, es existiert lso für jedes x der Grenzwert f(x) lim f (x) und stimmt dmit mit lim sup f und lim inf f überein. Dmit ist f nch Stz 4.6, Punt 2, messbr über X (wir htten verlngt, dss f beschränt sei dies gilt dnn erst recht für die f ). Dher ist f lut Stz 4.22 genu dnn (über ) integrierbr, wenn dies für f gilt. Dzu definieren wir die zweite Folge (g ) ls g f χ,] (meren Sie sich diesen Tric gut, der ommt immer wieder vor!). Dmit ist nun g f eine messbre (nch Folg. 4.5, d f messbr), nicht negtive Funtion g :, und die g bilden eine puntweise monoton von unten gegen g onvergierende Folge integrierbrer Funtionen: g dµ dµ + f dµ + f dx, \,],] weil letzteres existiert, d nch Vorussetzung f uneigentlich iemnn-integrierbr über und dher ( eigentlich ) iemnn-integrierbr über, ] ist. Der Stz über monotone Konvergenz sichert uns lso zu, dss g dµ gdµ lim ist, wobei die rechte Seite eine Folge von Integrlen ist, die wir wieder ls iemnn-integrle uffssen dürfen: ( ) lim g dµ lim + f dx f dx < nch Voruss. mthbb Die letzte Gleichheit ist gerde die Eigenschft der uneigentlichen.-integrierbreit von f. Wegen der uneigentlichen iemnn-integrierbreit von f. Also ist f uch Lebesgue-integrierbr und dmit uch f. Die Gleichheit der Integrle sieht mn, indem mn uf die Folge (f ) von oben den Stz über mjorisierte Konvergenz nwendet. Als integrierbre Mjornte bietet sich nch dem eben gezeigten f f n, und jedes f önnen wir ntürlich integrieren: f dµ DCT lim f dµ lim fχ,] dµ lim f dµ lim f dx f dx,,]

2 wobei wir im letzten Schritt die Definition des uneigentlichen iemnn-integrls eingesetzt und im vorletzten Schritt die Gleichheit von iemnn- und Lebesgue-Integrl über die ompte Menge, ] benutzt hben. b) Hier verfhren wir gnz ähnlich. Freundlicherweise ist hier bereits g ls nicht negtive Funtion gegeben, wir müssen lso nicht den Umweg über den Betrg gehen. Außerdem müssen wir uns dn Stz 5.4 eine Sorgen über die Messbreit von g mchen, d wir diese us unserer Folge bereits beommen. Die gewünschte isotone Folge wählen wir jetzt ls (g ) mit g : (, b), ), g (x) g(x) χ A (x), A +, b ]. Bem. Für leine önnten die Intervlle A leer sein (flls und b zu nh neinnder liegen), ber ds stört uch nicht dnn sind die ersten g identisch Null. Dennoch betrchten wir lieber die erst bei einem gewissen beginnende Folge, für welches b < 2 ist, dmit wir nicht in Verwirrung mit iemnn-integrlen gerten, bei denen die obere Integrtionsgrenze leiner ist ls die untere. Einige Autoren betrchten ds dnn ls ds Integrl mit vertuschten Grenzen und umgeehrten Vorzeichen, und dnn würden wir in Schwierigeiten gerten, weil unser g j gr nicht ußerhlb von (, b) definiert ist. Jede dieser Funtionen g ist nun wieder integrierbr (weil g wieder iemnn- und dmit Lebesgue-integrierbr über jedes der ompten A ist und wir ds Integrl wieder zerlegen önnen in solche über die messbren Mengen A und (, b)\a ). Weiterhin bilden die g eine monotone Folge (g ist nicht negtiv!) und die Integrle sind beschränt: (,b) g dµ b + g dx b g dx : C, wobei in der Ungleichung die Nichtnegtivität von g benutzt wurde. Also onvergieren sie nch Stz 5.4 f.ü. gegen eine integrierbre Funtion h : (, b). Nun wissen wir ber, dss die g nch Konstrution puntweise gegen g onvergieren, es ist lso h g f.ü. uf (, b) und lso g ebenflls integrierbr und dmit messbr. Aus der monotonen Konvergenz der g gegen g folgt nch dem Stz über monotone Konvergenz erneut die Gleichheit der Integrle: (,b) b g dµ lim g dµ dµ + lim g dµ + lim g dx (,b) (,b)\a ) A + b g dx. Bemerungen. (i) Dieses Beweisprinzip ist extrem häufig nzutreffen. Wenn wir über eine Funtion f uf eine Menge X unendlichen Mßes nicht wissen, ob sie integrierbr ist, versuchen wir zunächst, ihre Integrierbreit uf Teilmengen endlichen Mßes zu zeigen. Ds funtioniert z.b. für beschränte messbre Funtionen wie in ) und bilden dnn eine puntweise onvergente Folge, indem wir f uf immer grössere Teilmengen einschränen, welche X im Limes usschöpfen. Ebenso önnen wir vorgehen, wenn zwr die Menge X endliches Mß ht, ber f unbeschränt ist wie in b). Ähnliches nn uch lppen, wenn sowohl f ls uch X unbeschränt sind. Wenn wir es schffen, monotone Konvergenz zu erreichen, so müssen wir nur noch die Integrle der Einschränungen von f uf die Teilmengen beschränen önnen (gelng hier wegen der uneigentlichen iemnn-integrierbreit) und önnen dnn den Stz von Levi über monotone Konvergenz nwenden. (ii) Im Aufgbenteil b) hätten wir uch den Stz über mjorisierte Konvergenz nwenden önnen. Nchdem wir einml die f.ü. mit g übereinstimmende integrierbre Funtion h gefunden hben, önnen wir diese ls Mjornte für die g (die mit ihrem Betrg jeweils übereinstimmen) verwenden und schließen dnn us dem Stz über mjorisierte Konvergenz uf die Gleichheit der Integrle. (iii) D wir nun gezeigt hben, dss es für die Lebesgue-Integrierbreit von f genügt, dss f zusmmen mit seinem Betrg uneigentlich iemnn-integrierbr ist, önnen wir viel leichter Mjornten für uf gnz oder n definierte Funtionenfolgen finden. (iv) N.B.! Die uneigentliche iemnn-integrierbreit des Betrgs ist essentiell. Mn betrchte etw die Funtion f(x) { sin(x) x für x \{}. flls x Diese ist uneigentlich iemnn-integrierbr über (der Wert des Integrls ist π), ds uneigentliche iemnn- Integrl über ihren Betrg divergiert ber. D ber eine Funtion nur Lebesgue-integrierbr sein nn, wenn uch ihr Betrg integrierbr ist, wird f ntürlich nicht Lebesgue-integrierbr sein. Mn mcht sich diesen Zusmmenhng m besten in Anlogie zu eihen lr (ds sind uch nur Integrle bezüglich eines speziellen Mßes), bei denen es einen wichtigen Unterschied zwischen Konvergenz und bsoluter Konvergenz gibt. Ein weiteres Beispiel für eine uneigentlich iemnn-integrierbre, ber nicht Lebesgue-integrierbre Funtion lässt sich nämlich wie 2

3 folgt onstruieren. Wir setzen f(x) für x <, f(x) 2 für x < 2 und llgemein für N: f(x) ( ) + für x <. Eine Sizze wird Ihnen helfen, sich diese Funtion zu vernschulichen. Diese Funtion ist uneigentlich iemnn-integrierbr über. Wählen wir nämlich in der Definition für uneigentliche iemnn-integrierbreit c, so erhlten wir für b > : b f dx b b f dx + f dx b b b f dx + f dx b b ( )+ b b b + ( ) b +. Hierbei ist b die größte gnze Zhl, die höchsten so groß wie b ist. Für b onvergiert Summe uf der rechten Seite gegen die lternierende hrmonische eihe (Leibniz-eihe), während der estterm gegen strebt (mn bechte, dss der Zähler zwischen und liegt). Die Aufspltung des Integrls in eine Summe ergibt sich (solnge b noch endlich ist!) durch die endliche Additivität des iemnn-integrls bezüglich des Integrtionsintervlls und den Ft, dss f uf den Intervllen, ) onstnt ist. Ds frgliche Integrl onvergiert lso gegen ds uneigentliche iemnn-integrl f dx lim b b f dx ( ) + log 2. Wegen der Symmetrie von f (ich verweise uf die Sizze von oben) ist dnn lso f dx f dx + f dx 2 f dx 2 log 2. Für den Betrg von f erhlten wir ber in unserer Zerlegung des Integrls über, b]: b b f dx + b b b +, ws für b gegen die divergente hrmonische eihe strebt. Unsere Funtionen g f χ,] lieferten uns nun lso Integrle der Form g dµ f dµ f dx 2.,] Der Stz über monotone Konvergenz liefert uns nun lso wieder wegen der puntweisen monotone Konvergenz der g gegen f und dmit die Kovnergenz der Integrle g dµ f dµ, llerdings ist dieser Grenzwert nun unendlich und f nicht integrierbr. 3

4 Aufgbe 2 (3 + 4 Punte) Für > sei f : durch gegeben. f (x) exp x] 2 exp 2x] ) Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgbe, dss für lle > die Funtion f über, ) Lebesgueintegrierbr ist und berechnen Sie f (x)dµ sowie b) Die Funtion f : sei durch m f(x), ), ) f m (x)dµ! ( fm (x)χ, ) (x) ) definiert. Zeigen Sie, dss f wohldefiniert und über, ) Lebesgueintegrierbr ist! Berechnen Sie f(x)dµ! m, ) Lösung ) Hier sollte nun vom Ergebnis von Aufgbe ) Gebruch gemcht werden. Die Funtionen f sind nämlich für jedes positive reelle zusmmen mit ihrem Betrg uneigentlich iemnn-integrierbr über, ) und dmit uch Lebesgue-integrierbr (wenn jemnd druf hingewiesen ht, dss wir in Aufgbe von gnz ls Integrtionsgebiet gesprochen hben und die f durch uf die negtive reelle Achse fortgesetz ht, um uf gnz definierte Funtionen zu erhlten, ist ds ntürlich umso besser!). Ds sieht mn wie folgt. Zunächst ist der Betrg der f puntweise gegen 3 beschränt und es gilt { für x log 2 f (x) exp( x) 2 exp( 2x) > für x > log 2. Wir zerlegen lso für b > log 2 (ws wir nnehmen dürfen, d wir j nur m Grenzwert für b interessiert sind) ds Integrtionsintervll und erhlten b f dx log 2 log 2 2 Wir hben benutzt, dss z.b. b f dx + f dx log 2 2 exp( 2x) exp( x) dx + 2 exp( 2x) + ] log 2 exp( x) x ( )] exp( b) + b + log 2 exp( b) ( + 2 ) exp( b). exp( x) 2 exp( 2x) dx exp( x) exp( 2b) 2 2 ( 2 exp 2 log 2 ) (exp log 2) 2 4 ] b 2 exp( 2x) ( x log 2 ist. Der Term in der Klmmer in der letzten Zeile der obigen echnung ist beschränt (mn bechte b > ) und der Ftor dvor wird beliebig lein für hinreichend große b (bechte, dss beliebig, ber fest ist), lso erhlten wir im Grenzwert b : f dx lim b b f dx. Ds uneigentliche iemnn-integrl von f selbst önnen wir nun gnz einfch berechnen: b f dx lim f dx lim b b exp( x) + ] b exp( 2x) exp( b) lim ( + 2 ) x b exp( b). )] 4

5 Dies ist dnn nch Aufgbe ) uch gleich dem Lebesgue-Integrl. Auch die Summe der Lebesgue-Integrle ergibt sich nun sofort: m, ) f m dµ. m b) Zunächst berechnen wir die Summe der f m für beliebige x > : f m (x) m (exp( mx) 2 exp( 2mx)) m ((exp( x)) m 2(exp( 2x)) m ) m exp( x) exp( x) 2 exp( 2x) exp( 2x) exp(x) 2 exp(2x) exp(2x) 2 exp(x) + 2 (exp(x) )(exp(2x) ) (exp(x) ) 2 (exp(x) ) (exp(x) )(exp(x) + ) exp(x) +. Für x lppt ds ntürlich nicht, d im ersten Schritt die geometrischen eihen für q exp() nicht onvergieren. Allerdings önnen wir f uf der Nullmenge {} durch einen beliebigen Wert ändern, sgen wir zu exp() + 2. Dmit wird f sogr stetig! Ferner ist f nicht negtiv, lso gleich seinem Betrg. Wenn wir nun ds uneigentliche iemnn-integrl berechnen önnen, zeigt ds nch Aufgbe ) die Existenz uch des Lebesgue-integrls und wir önnen selbiges berechnen:, ) f(x) dµ lim exp(x) + dx b b lim b exp( x) + exp( x) ( log( + exp( b) }{{} ) log(2) b lim b exp(x) + dx dx lim log( + b exp( x) )]b ) log 2. Die Endlicheit des Ergebnisses rechtfertigt nun uch posteriori die erste Gleichheit. Bemerungen. (i) Hier hben wir nun ein Beispiel gesehen, in welchem die Aussgen us Aufgbe ds Ausrechnen der Lebesgue-Integrle unglublich erleichtert. Es sei hier bemert, dss die meisten Integrle, die wir ttsächlich usrechnen önnen, in Wirlicheit (ggf. uneigentliche) iemnn- (bzw. sogr egel-)integrle sind. Der große Vorteil des Lebesgue-Integrls ist, dss wir unsere Funtionen problemlos uf Lebesgueschen Nullmengen bändern önnen, ohne den Wert des Integrls zu ändern. (ii) Ein weiteres Merml dieses Beispiels besteht drin, dss wir in diesem Fll gerde nicht die Grenzprozesse Summtion und Integrtion vertuschen önnen, ohne ds Ergebnis zu ändern: m, ) f m dµ log 2, ) m f m dµ. Es ist recht instrutiv, sich zu überlegen, wrum einer unserer Konvergenzsätze (monotone Konvergenz, mjorisierte Konvergenz, L. von Ftou) uf die Folge g : m der Prtilsummen und ihren puntweisen Grenzwert f nwendbr ist! f m 5

6 Aufgbe 3 (3 Punte) Sei n \{}, und sei f : n messbr derrt, dss f(x+) f(x) für fst lle x n gilt. Zeigen Sie, dss es eine Funtion g : n existiert, die fst überll mit f übereinstimmt und g(x + ) g(x) für lle x n erfüllt! Lösung Diese Aufgbe sollte ein Gefühl für den Begriff fst überll und den Umgng mit Nullmengen vermitteln. (Es ist hier zu bechten, dss ls beliebiger, ber fester Vetor im n vorgegeben wr. Es ist lso nicht etw mit verschiedenen s zu hntieren! Wenn mn irgendwie die Vereinigung ller unten definierten Mengen A für lle n bildet, so ist dies ntürlich nicht mehr die Vereinigung bzählbr vieler Mengen.) Zunächst wissen wir, dss die Menge A {x n f(x) f(x + )} eine Nullmenge ist, ds j f(x) f(x + ) uf n \A gilt und dieses für fst lle x n vorusgesetzt wr. Nun definieren wir die Nullmenge B ls bzählbre Vereinigung von Trnsltionen von A: B Z A, wobei A : {x n x A} die um ds -fche von verschobene Menge A sein soll (die A werden mnchml ls A + geschrieben). Mn bechte, ds insbesonere A A B ist. Wegen der Trnsltionsinvrinz des Lebesgue-Mßes ist jedes der A eine Nullmenge und deren Vereinigung (es sind nur bzählbr viele!) dher uch. Nun definieren wir { f(x) für x n \B g(x). für x B Dnn stimmt g überll ußer uf der Nullmenge B lso fst überll mit f überein und erfüllt für lle x n die Periodizitätsbedingung g(x) g(x + ). Dies sieht mn durch Fllunterscheidung: Fll : x B. Dnn ist x A für ein Z, lso x y + für ein y A. Dnn ist ber x + y + ( + ) A + B, lso ist g(x) g(x + ). Fll 2 : x n \B. Dnn ist insbesondere x / A A B, lso nch Definition von A: f(x) f(x + ). 6

7 Aufgbe 4 (2 Punte) Seien f : n messbr, g : n integrierbr,, b. Es gelte fst überll f(x) b. Zeigen Sie, dss für ein c, b] die Gleichung f(x) g(x) dµ c g dµ n n gilt! Lösung Um zuerst die Integrierbreit von h : f g zu zeigen, ersetzen wir zuerst f durch flls f(x) < f(x) : f(x) flls f(x) b, b flls f(x) > b welche fst überll (nämlich überll dort, wo f(x) b gilt) mit f übereinstimmt. Diese ist lso ebenflls messbr und noch dzu beschränt. Weiter definieren wir nun h : f g, von dem wir wissen, dss es ls Produt messbrer Funtionen messbr ist. Ferner ist h f g integrierbr nch Stz 4.2, denn mit α : mx{, b } ist h α g, dieses ist lso eine integrierbre Mjornte für h. Dnn sind ber uch h und dmit nch Folgerung 4.26 die mit h f.ü. übereinstimmende Funtion h f g integrierbr. Wir önnen nun noch die für integrierbre Funtionen geltende Monotonie (Stz 4.23, Punt 3) nwenden und us der puntweise geltenden Ungleichung g f g b g für ds Integrl folgern: g dµ g dµ f g dµ b g dµ b g dµ. n n n n n Wir hben lso mit G : n g dµ eine nichtnegtive reelle Zhl, für die G f g dµ f g dµ b G. n n Für ds zwischen G und b G liegende Integrl muss lso mit einer zwischen und b liegenden reellen Zhl c die Behuptung c G f g dµ n gelten. Mn bechte noch, dss die Gleichung drus folgt, dss ist. f g dµ n f g dµ n f g h f.ü. h f g Bemerung. Die zu zeigende Aussge sieht zwr ein wenig nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung us, ht ber die entscheidende Abweichung von selbigem drin, dss wir nicht behupten önnen, dss es ein ξ n geben muss für welches c f(ξ) ist. Dies würde die Stetigeit von f erfordern. Diese ist uch Teil der Vorussetzungen für den erwähnten Mittelwertstz! 7

8 Aufgbe 5 (3 Punte) Konstruieren Sie eine Folge (f m ) m von Funtionen f m :, ], die nirgends uf, ] onvergiert, ber f n (x) dµ erfüllt! lim n,] Hier sollte es in der Aufgbenstellung optimlerweise f m (x) dµ lim m,] heißen, ber d wir hier ds n noch nicht ls Dimension vergeben htten, wird die gnze Sche ddurch nicht flsch. Die Idee ist gnz llgemein, die Funtionen f m ls chrteristische Funtionen uf immer leiner werdenden Teilintervllen zu wählen, die ber immer wieder ds gesmte Intervll, ] durchlufen. Zur besseren Anschuung schreiben wir die ersten Funtionen in ompt zusmmengestellter Auflistung hin: f χ, ] f 2 χ, 2] f 4 χ, 4] f 8 χ, 8] f 3 χ 2,] f 5 χ 4, 2 4] f 9 χ 8, 2 8] f 6 χ 2 4, 3 4]... f 7 χ 3 4,] Es ist wohl deutlich, wie es weiter geht: f m : χ l 2,(l+) 2 ] flls 2 m 2 + l < 2 + mit N, l {,..., 2 + } Dss hier von puntweiser Konvergenz eine ede sein nn ist offensichtlich. Mn nn sogr zu jedem x, ] und jedem M N Indizes m M und m M ngeben, für welche f m (x) und f m (x). Die Folge (f m (x)) m ist dmit für ein x eine Cuchy-Folge. Dzu suchen wir zum gegebenen M zunächst ds leinste N derrt, dss und M < 2 (gegeben durch log 2 M + ). Nun finden wir l x 2 +, ws uns l 2 (+) x (l + )2 (+) grntiert. Nch unserer Definition der f m ist lso m l der gesuchte Index mit f m (x). Flls nun x 2 + / N. Nun wählen wir noch m folgendermßen: 2 + flls l 2 + m 2 +2 flls l flls l {,..., 2 + 2} Ds sichert uns, dss nicht etw m und m benchbrte Indizes sind, wszu Problemen führte, wenn x gerde uf dem gemeinsmen ndpunt beider Intervlle läge. Zur Konvergenz der Integrle bemeren wir, dss lle f m chrteristische Funtionen über Intervlle und dmit selbstverständlich integrierbr sind. Die Integrle önnen wir gnz leicht berechnen: f m dµ dµ b m m,,] m,b m] wobei wir die Intevllgrenzen urzerhnd m und b m gennnt hben. Diese sind zu gegbenem m ber gerde m l 2 und b m (l + ) 2, wobei erneut log 2 m ist. Die Länge des Intervlls ist dnn lso 2 : f m dµ 2 log 2 m für m. m,] Bemerungen.(i) Mn hätte uch in jeder Verfeinerungsstufe die Länge der Intervlle von etw uf + verleinern önnen. Dnn sind die echnungen etws weniger elegnt, ber ds Prinzip bleibt ähnlich. (ii) Wichtig ist die Abgeschlossenheit der Intervlle, dmit uns nicht etw die Punte x oder x entgehen. Mn hätte die Intervlle bis uf jene n einem der änder zwr uch hlboffen gestlten önnen, etw f 4 χ, 4] f 5 χ ( 4, 2 4] f 6 χ ( 2 4, 3 4] f 7 χ ( 3 4,], ber ds hätte die Drstellung in einer gemeinsmen Formel verhindert. (iii) Die exte Angbe der m und m im Beweis für die Unmöglicheit der puntweisen Konvergenz ist zwr nicht 8

9 nötig, ber es hilft, der intuitiven Klrheit dieser Aussge etws Substnz zu verleihen. In diesem Fll genügt eine Sizze und die Feststellung, dss der Logrithmus für große m beliegig groß wird. Allerdings nn eine derrtige Anschuung uch oft zu flschen Schlüssen verleiten. Ich erinnere nur n die Qudrte us Aufgbe 3 von Bltt 4, von denen wir einen um jeden Punt mit rtionlen Koordinten einen gelegt hben, und deren Flächeninhlte in Summe beliebig lein gemcht werden onnte. Anschulich hätte mn vermutlich sofort geglubt, dss die Summe der Volumin von offenen Umgebungen um lle rtionlen Punte (Erinnerung: diese liegen dicht in 2 ) unendlich sein müsste. 9