a n (z a) f (z) = für alle z K erfüllt ist. Dabei gilt a n = f (n) (a) für alle n N 0. Beispiel 1: Sei f (z) = z 3 3z + 4.

Transkript

1 Satz (VEKDF, Teil II) Sei D C und f : D C eine holomorphe Funktion. Dann ist f in einer Umgebung von jedem Punkt a D durch eine Potenzreihe darstellbar. Das bedeutet: Es gibt einen Kreis K um a und a 0, a 1,... C, so dass f (z) = a n (z a) n=0 für alle z K erfüllt ist. Dabei gilt a n = f (n) (a) für alle n N 0. Beispiel 1: Sei f (z) = z 3 3z + 4. Die Potenzreihen-Entwicklung von f im Punkt 0 ist. f (z) = 4 z 0 + ( 3) z z z 3.

2 Um die Entwicklung im Punkt 1 zu bestimmen, bestimmen wir die höheren Ableitung von f in diesem Punkt. Es gilt f (z) = 3z 2 3, f (z) = 6z, f (z) = 6, f (n) (z) = 0 für n 4. Die gesuchten Koeffizienten sind also a 0 = f (1) 0! = 2, a 1 = f (1) 1! a 3 = f (1) 3! = 1, a n = f (1) n! Die gesuchte Entwicklung ist also = 0, a 2 = f (1) 2! = 0 für n 4. = 3, f (z) = 2 (z 1) (z 1) + 3 (z 1) (z 1) 3 Durch Ausmultiplizieren überprüft man, dass dieser Ausdruck immer noch mit dem alten Polynom übereinstimmt.

3 Beispiel 2: Wir bestimmen die Potenzreihen-Entwicklung der Funktion f (z) = 1 z im Punkt 1. Es gilt f (z) = 1 z 2, f (z) = 2 z 3,..., f (n) (z) = ( 1) n n! z n+1 für alle n N 0. Wir erhalten f (n) (z)/(n!) = ( 1) n für n 0, die gesuchte Potenzreihen-Entwicklung ist damit f (z) = ( 1) n (z 1) n. n=0 Wir überprüfen die Entwicklung durch Einsetzen von z = 1 2. Einerseits gilt f ( 1 2 ) = ( 1 2 ) 1 = 2, andererseits ( 1) n ( 1 2 1)n = n=0 ( 1) n ( 1 2 )n = n=0 ( 1 2 )n = 2. n=0

4 Analytische Fortsetzung der ζ-funktion Entwickelt man die ζ-funktion um einen Punkt ihres Definitionsbereichs D = {s C Re(s) > 1}, dann erhält man i.a. eine Potenzreihe mit einem recht großen Konvergenzbereich: Der Kreis, auf dem die Reihe konvergiert, ist so groß, dass er an den Punkt s = 1 heranreicht. Durch mehrfache analytische Fortsetzung kann man den Definitionsbereich von ζ(s) auf die gesamte Menge C \ {0} ausdehnen. Ist man dagegen beispielsweise nur am Wert von ζ an der Stelle s = 0 interessiert, kann man folgendermaßen vorgehen.

5 Bestimme die Potenzreihen-Entwicklung von ζ(s) im Punkt s = 2 3i. Berechne die höheren Ableitungen der Potenzreihe im Punkt 3i und bestimme so die PR-Entwicklung von ζ(s) in diesem Punkt. Werte die neue Potenzreihe im Punkt 0 aus. Beide Potenzreihen konvergieren jeweils auf einem Kreis vom Radius 10, denn der Abstand zu s = 1 beträgt in beiden Fällen (2 3i) 1 = ( 3i) 1 = 10.

6 Selbst in den Definitionslücken einer holomorphen Funktion f (z) besitzt diese noch eine Art Potenzreihenentwicklung. Sie hat dann allerdings die Form f (z) = n= a n (z a) n, d.h. es treten Terme a n (z a) n mit negativem n auf. Den Koeffizienten a 1 nennt man das Residuum res a (f ) von f an der Stelle a. Ist f holomorph, dann ist res a (f ) = 0. Kann man f in einer Umgebung von a C in der Form f (z) = g(z) z a schreiben, mit einer holomorphen FUnktion g, dann lässt sich das Residuum leicht berechnen. Es gilt dann einfach res a (f ) = g(a).

7 Man sagt, eine Funktion f hat in a C eine Nullstelle der Ordnung n, wenn f in der Form f (z) = a k (z a) k mit a n 0 k=n geschrieben werden kann. Besitzt f die Darstellung f (z) = k= n a k (z a) k mit a n 0, dann spricht man von einer Polstelle n-ter Ordnung. Besonders leicht lassen sich Null- und Polstellen erkennen, wenn f eine rationale Funktion, also darstellbar als Quotient zweier Polynomfunktionen ist.

8 Beispiel: Wir betrachten die Funktion f (z) = (z 2)3 z(z + 1) Diese hat im Punkt 2 eine Nullstelle 3. Ordnung, und in den Punkten 0 und 1 Polstellen der Ordnung 1. Um das Residuum von f an der Stelle 0 zu berechnen, schreiben wir f in der Form Wir erhalten f (z) = 1 z (z 2)3 z + 1. res 0 (f ) = (0 2)3 1 = 8.

9 Um die ζ-funktion auf ihrem neuen Definitionsbereich D = C \ {1} besser untersuchen zu können, brauchen wir einen Ansatz, um die analytische Fortsetzung übersichtlich und in einem Schritt zu beschreiben. Wir werden einen solchen Ansatz kennenlernen, der allerdings als Hilfsmittel zwei neue komplexe Funktionen benötigt: die Γ- und die θ-funktion Γ(s) θ(z)

10 Die Gammafunktion Die Gammafunktion entstand durch den Versuch, die Fakultätsfunktion n! = n, die ja zunächst nur für die natürlichen Zahlen definiert ist, auf einen möglichst großen Zahlbereich auszudehnen. Mit Hilfe von partieller Integration lässt sich die Darstellung n! = 0 e t x n dt nachrechnen. Dies verallgemeinert man durch die Definition Γ(s) = 0 e t t s 1 dt. Es ist dann offenbar Γ(n) = (n 1)! für alle n 1. Andererseits können auch komplexe Zahlen s in den Ausdruck rechts eingesetzt werden: Man erhält den Wert Γ(s), indem man das Integral von Real- und Imaginärteil der Funktion t e t t s 1 einzeln berechnet.

11 Das Integral zur Definition liefert nur für Re(s) > 1 endliche Werte. Für solche s gilt Γ(s + 1) = sγ(s), wie man ebenfalls mit Hilfe von partieller Integration nachrechnet. Man kann nun den Definitionsbereich von Γ erweitern, indem man Γ(s) = Γ(s + 1) s für Re(s) > 0 definiert. Iteriert man diesen Vorgang unendlich oft, so erhält man schließlich eine holomorphe Funktion mit dem Definitionsbereich D = C \ { n n N 0 }. Die Gammafunktion hat keine Nullstellen.

12 Die Thetafunktion Die Jacobische Thetafunktion ist für alle z C mit Im(z) > 0 definiert durch die Reihe θ(z) = n= e πin2z. Sie erfüllt für alle diese z die Funktionalgleichung θ( 1 z ) = z/iθ(z). Funktionen mit diesem Transformationsverhalten bezeichnet man als Modulformen. Sie spielen in der Zahlentheorie insgesamt eine wichtige Rolle.

13 Wir interessieren uns hier nur für die Werte von θ auf der positiven imaginären Achse. Dazu definieren wir die Hilfsfunktionen und θ(x) = θ(ix) = ϑ(x) = n= e πin2 z e πn2x = 1 2 ( θ(x) 1). n=1 Aus dem Transformationsverhalten von θ(z) erhält man durch eine leichte Rechnung die Gleichungen θ(t) = 1 ( ) 1 θ t t und ϑ(t) = t 1/2 ϑ ( ) t 2 t 1/2 1 2.

14 Das folgende Verfahren zur analytischen Fortsetzung der ζ-funktion wurde Ende des 19. Jahrhunderts vom Finnen Hjalmar Mellin entwickelt. Es ist auf eine große Klasse von zahlentheoretisch relevanten Funktionen anwendbar. Zur Vereinfachung betrachtet man an Stelle der ζ-funktion die Funktion ξ(s) = π s/2 Γ( s 2 )ζ(s). Auf Grund des Γ-Faktors kann diese folgendermaßen als Integralausdruck dargestellt werden. Nach Definition gilt ( s Γ 2) = 0 t s/2 1 e t dt

15 Wendet man für n N die Substitutionsregel auf die Ersetzung t πn 2 t an, so erhält man Es folgt ( s Γ 2) = π s/2 n s t s/2 1 e πn2t dt ( s π s/2 Γ n 2) s = 0 0 t s/2 1 e πn2t dt Summation über alle n N und die Summendarstellung von ϑ(x) liefern schließlich ξ(s) = π s/2 Γ( s 2 )ζ(s) = t s/2 1 ϑ(t) dt. 0

16 Der nächste Schritt wird dieses Integral genauer untersucht. Zunächst zerlegen wir es in ξ(s) = 1 0 t s/2 1 ϑ(t) dt + 1 t s/2 1 ϑ(t) dt. Der erste Summand wird umgeformt durch die Rechung 1 1 ( ) 1 ( ) t s/2 1 ϑ(t) dt = t (t ) s/2 1 1/2 ϑ t 2 t 1/2 1 1 ( ) 1 1 ( = t (s 3)/2 ϑ t 2 t t (s 1)/2 t s/2) dt 0 = = t (s 3)/2 ϑ ( 1 t ) + 1 s 1 1 s t (s 1)/2 ϑ(t) dt + 1 s 1 1 s

17 Dabei wurde im letzten Schritt die Substitution t 1 t angewendet. Insgesamt erhalten wir so für ξ(s) die Darstellung ξ(s) = 1 s 1 1 s + 1 ( t s/2 1 + t (s 1)/2) ϑ(t) dt. Weil ϑ für t sehr schnell gegen Null geht, liefert das Integral für alle s C einen endlichen Wert. Deshalb definiert der Ausdruck auf der rechten Seite auf C \ {0, 1} eine holomorphe Funktion. Wegen ζ(s) = π s/2 Γ(s/2) 1 ζ(s) und auf Grund der Nullstellenfreiheit der Gammafunktion erhalten wir auch für die ζ-funktion eine analytische Fortsetzung, mit Polstellen in s = 0, 1. Die Polstelle 1 wird durch die Nullstelle von Γ( s 2 ) 1 im gleichen Punkt aufgehoben. Also ist ζ(s) insgesamt auf dem gesamten Bereich C \ {1} definiert.

18 Funktionalgleichung und Nullstellen der ζ-funktion Der Ausdruck ξ(s) = 1 s 1 1 s + 1 ( t s/2 1 + t (s 1)/2) ϑ(t) dt. bleibt unter der Substitution s 1 s unverändert. Dies liefert die Gleichung ξ(1 s) = ξ(s). (1) Man kann zeigen, dass die Gammfunktion die Transformationsformeln ( ( ) s 1 + s Γ Γ = 2) 2 π 2 2 s Γ(s) und erfüllt. ( 1 s Γ 2 ) Γ ( ) 1 + s = 2 π cos(πs/2)

19 Dies zusammen mit (1) liefert für die ζ-funktion die Gleichung ( πs ) ζ(1 s) = 2(2π) s Γ(s) cos ζ(s). 2 Diese Funktionalgleichung der ζ-funktion kann nun genutzt werden, um einiges über die Nullstellen der ζ-funktion herauszufinden. Die Produktdastellung für Re(s) > 1 gegeben durch ζ(s) = (1 1p ) 1 s p P zeigt, dass ζ(s) in diesem Bereich keine Nullstellen besitzt. Denn wegen p s < n s p P n=1 ist die Summe links in diesem Bereich konvergent, und nach der Theorie der unendlichen ) Produkte konvergiert das Produkt (1 1 p gegen einen Wert ungleich Null. s p P

20 Um die Lage der übrigen Nullstellen zu untersuchen, betrachten wir die Funktionalgleichung umgeformt nach ζ(s) = 2(2π) s Γ(s) 1 cos ( πs ) 1 ζ(1 s). 2 Ist Re(s) < 0, dann gilt Re(1 s) > 1 und somit ζ(1 s) 0. Weil die Gammafunktion keine Nullstellen hat, ist Γ(s) 1 im Bereich Re(s) < 0 überall endlich. Die Polstellen von Γ(s) den Positionen 1, 2, 3,... werden für Γ(s) 1 zu Nullstellen. Allerdings besitzt die Funktion cos( πs 2 ) Nullstellen an den Punkten 1, 3, 5,..., somit hat die Kehrwertfunktion cos( πs 2 ) 1 dort Pole, welche die Nullstellen von Γ(s) 1 aufheben. Übrig bleiben für ζ(s) die Nullstellen 2, 4, 6,... Man nennt sie die trivialen Nullstellen der ζ-funktion.

21 Insgesamt kommen wir zum Ergebnis, dass alle anderen (nicht-trivialen) Nullstellen von ζ(s) im sogenannten kritischen Streifen 0 Re(s) 1 liegen müssen. Die berühmte Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen genau in der Mitte dieses Streifens liegen, also auf der senkrechten Geraden Re(s) = 1 2. Bereits Ende des 19. Jahrhunderts konnte man zeigen, dass 0 < Re(s) < 1 für alle nichttrivialen Nullstellen s gilt. Bis heute allerdings konnte noch nicht einmal gezeigt werden, dass die Nullstellen die Abschätzung < Re(s) < erfüllen.

22 Komplexe Kurvenintegrale Bereits im Abschnitt über den Integrallogarithmus haben wir Integrale über reellwertige Funktionen f : [a, b] R betrachtet. Gilt f (x) 0 für alle x [a, b], dann ist b a f (x) dx einfach die Fläche unter dem Funktionsgraphen. In jedem Fall kann man das Integral durch folgendes Näherungsverfahren bestimmen: Man unterteilt das Intervall [a, b] in n gleich große Abschnitte der Länge δ > 0 und wählt in jedem dieser Abschnitte einen Punkt x k. Es gilt dann b n f (x) dx δ f (x k ) a k=1 Je größer man n wählt, desto kleiner wird δ, und desto genauer kommt man an den tatsächlichen Wert des Integrals heran.

23 Für holomorphe Funktionen f (z) integriert man nicht nur über die reelle Achse, sondern über Kurven, die auf beliebige Weise in der komplexen Ebene verlaufen. An Stelle einer genauen Definition des Integrals von f über eine solche Kurve beschränken wir uns darauf anzugeben, wie man es berechnet. Dazu wählt man auf der Kurve in regelmäßigen Abständen Punkte z 0, z 1, z 2,..., z n, wobei z 0 der Anfangs- und z n der Endpunkt der Kurve ist. Es gilt dann γ f (z) dz n f (z k )(z k z k 1 ). k=1 Je mehr Punkte man wählt, desto genauer kommt man an den Wert des Integrals heran.

24 Wir nennen eine Kurve γ geschlossen, wenn ihr Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen. Ein erstaunliches Ergbnis der Funktionentheorie besagt, dass man zur Berechnung des Integrals einer Funktion f über die Kurve γ sich nur die Definitionslücken von f innerhalb der Kurve ansehen muss. Satz (VEKDF, Teil III) Sei f : D C eine holomorphe Funktion und γ eine Kurve, die vollständig innerhalb von D verläuft. Dann gilt f (z) dz = 2πi res a (f ), γ a wobei die Summe über alle Punkte a im Inneren der Kurve läuft. Dieses Ergebnis wird ist unter dem Namen Residuensatz bekannt. Um das Integral über eine geschlossene Kurve auszurechnen, braucht man also nur die Definitionslücken von f im Inneren der Kurve zu bestimmen und die Residuen von f dort auszurechnen.

25 Besitzt eine holomorphe Funktion f an der Stelle a eine Nullstelle der Ordnung n, dann hat sie nach Definition dort eine Potenzreihen-Entwicklung der Form f (z) = a k (z a) k mit a n 0. k=n Die Ableitung von f hat dann die Entwicklung f (z) = na n z n 1 + k=n+1 und die Kehrwertfunktion hat die Form ka k (z a) k 1, f (z) 1 = a 1 n z n + b n+1 z n Dies bedeutet, dass der erste Term von f (z)/f (z) gleich (na n z n 1 ) a 1 n z n = nz 1 ist.

26 Es gilt also ( ) f res a f = n, das Residuum ist gleich der Nullstellenordnung! Genauso kann man zeigen, dass eine Polstelle der Ordnung n zu einem Residuum mit dem Wert n führt. Folgerung Sei f : D C eine holomorphe Funktion und γ eine Kurve in D. Weiter sei n die Anzahl der Nullstellen von f, jeweils multipliziert mit ihrer Ordnung, und p sei der entsprechende Wert für die Polstellen. Dann gilt f (z) dz = n p. f (z) γ Man bezeichnet den Ausdruck links deshalb auch als nullstellenzählendes Integral.

27 Wir betrachten die Funktion f (z) = (z 2)3 z(z 1). Für diese Kurve γ gilt f (z) dz = 2πi(3 2) = 2πi. f (z) γ In diesem Fall gilt f (z) dz = 2πi 3 = 6πi. f (z) γ In diesem Fall gilt f (z) dz = 2πi ( 2) = 4πi. f (z) γ

28 Unser Ziel ist es nun nachzuvollziehen, inwiefern die Nullstellen der ζ-funktion mit der Verteilung der Primzahlen zusammenhängt. Dazu verwenden wir eine modifizierte Form der primzahlzählenden Funktion π(x) aus der Vorlesung vom Mittwoch. Die Definition sieht auf den ersten Blick komplizierter aus, rechentechnisch ist sie aber einfacher zu handhaben. Definition Die sogenannte Mangoldt-Funktion Λ(n) ist gegeben durch { ln(p) falls n = p k, p prim, k 1 Λ(n) = 0 sonst Damit definiert man dann die Mangoldtsche ψ-funktion durch ψ(x) = n x Λ(n).

29 Wie die Funktion π(x) hat auch ψ(x) eine treppenförmige Gestalt. Die beiden Funktionen sind eng miteinander verwandt, denn es gilt die asymptotische Gleichheit ψ(x) ψ(x) ln(x). Dies folgt aus einer elementaren Überlegung, die wir allerdings aus Zeitgründen hier nicht ausführen können. Die Funktion ψ(x) wird nicht durch den Integrallogarithmus, sondern einfach durch die lineare Funktion x ln(2π) approximiert.

30 Funktionsgraph von ψ(x) und x ln(2π)

31 Die entscheidende Verbindung zwischen den Nullstellen der ζ-funktion und den Primzahlen ist nun der folgende Satz. Satz Für alle x R + gilt ψ(x) = x ρ N x ρ ρ ζ (0) ζ(0). Dabei bezeichnet N die Menge der Nullstellen der Riemannschen ζ-funktion. Von der Gültigkeit der Gleichung kann man sich anhand der Funktionsgraphen überzeugen. Je mehr Nullstellen man in der Summe rechts berücksichtigt, desto stärker nährt sich die Funktion an die treppenförmige Mangoldt-Funktion an.

32 Mangoldt-Funktion, angenährt mit einer Nullstelle

33 Mangoldt-Funktion, angenährt mit den ersten fünf Nullstellen

34 Mangoldt-Funktion, angenährt mit den ersten 20 Nullstellen

35 Mangoldt-Funktion, angenährt mit den ersten 50 Nullstellen

36 Entscheidendes Hilfsmittel beim Beweis der Mangoldtschen Formel ist das folgende diskontinuierliche Integral. Für alle c > 1 gilt 1 c+ y s 2πi c i s ds = 0 falls 0 < y < falls y = 1 1 fallsy > 1 Der Beweis dieser Formel erfolgt mit dem Residuensatz, indem man das Integral über die senkrechte Gerade Re(s) = c durch die Seitenlängen von endlich ausgedehnten Rechtecken annähert.

37 Der Beweis der Mangoldtschen Formel beruht darauf, dass man die linke und rechte Seite der Gleichung jeweils mit dem Integralausdruck 1 2πi c+ c ( ζ (s) ζ(s) x s ) s ds vergleicht. Wir beginnen damit, die Gleichung 1 c+ ( ψ(x) = ζ (s) 2πi ζ(s) c x s ) s ds zu überprüfen, wobei wir uns daraus beschränken, dass x keine Primzahlpotenz ist, also die Funktion ψ an der Stelle x nicht springt. Ausgangspunkt ist die Produktentwicklung der ζ-funktion ζ(s) = ( 1 p s ) 1. p P

38 Durch Logarithmieren auf beiden Seiten erhält man ln ζ(s) = ln(1 p s ) = ln(1 exp( s ln(p))). p P p P Daraus folgt ζ (s) ζ(s) = (ln ζ) (s) = p P ln(p) exp( s ln(p)) 1 exp( s ln(p)) p s = ln(p) 1 p s = p P p P ln(p)p sm m=1 = Λ(n)n s. n=1

39 Integrieren wir nun die einzelnen Summanden, so erhalten wir mit Hilfe des diskontinuierlichen Integrals das Ergebnis 1 2πi c+i c i ( ) ζ (s) x s ζ(s) s ds = x/n>1 Λ(n) = n<x n=1 Λ(n) 2πi c+i c i Λ(n) = ψ(x). ( x n )s s ds = Wenden wir uns nun dem zweiten Beweisteil zu, dem Nachweis der Gleichung 1 2πi c+i c i ( ) ζ (s) x s ζ(s) s ds = x ρ N x ρ ρ ζ (0) ζ(0)

40 Dazu betrachten wir ein Rechteck mit den Punkten c + ih, (c n) + ih, (c n) ih und c ih, wobei c gerade, h >> 0 ist und n die ungerade natürlichen Zahlen durchläuft. Durch wird gewährleistet, dass die Funktion ζ (s)/ζ(s) xs s auf allen vier Rechteckseiten definiert ist. Nach dem Residuensatz werden durch die Bildung des Integrals über dieses Rechteck die Residuen von ζ (s)/ζ(s) xs s zusammen-gerechnet. Für großes n werden die Integrale allerdings auf Grund des Terms x s s sehr klein, so dass nur die senkrechte Gerade von c i bis c + i ins Gewicht fällt. Schauen wir uns nun die Residuen im Inneren eines großen Rechtecks an.

41 Residuen der Funktion ζ (s)/ζ(s) xs s : s = 0: Hier ist das Residuum gleich ( ζ (0)/ζ(0)) x 0 = ζ (0)/ζ(0) s = 1: Hier hat ζ(s) eine Polstelle erster Ordnung. Dies liefert ein Residuum mit der Wert x. Ist s eine Nullstelle von ζ(s), dann hat ζ (s)/ζ(s) dort das Residuum 1 (siehe oben). Der gesamte Term hat damit das Residuum x ρ /ρ.

42 Was sagt die Mangoldtsche Gleichung ψ(x) = x ρ N x ρ ρ ζ (0) ζ(0). = x x ρ ρ ln(2π) ρ N nun über die Primzahlverteilung aus? Die Summe, die mit Hilfe der Nullstellen gebildet wurde, also der Ausdruck ρ N gibt an, wie stark x von der Funktion ψ(x) abweicht. Wegen x ρ ρ π(x) ψ(x) ln(x) kann man dadurch erkennen, wie stark die Abweichung der Funktion π(x) von Li(x) x ist. ln(x)

43 Ist α der Realteil einer Nullstelle ρ, dann hat x ρ /ρ den Betrag x α. Ist der Realteil aller Nullstellen durch α beschränkt, dann kann dadurch auch die Summe über die Nullstellen ungefähr durch den Wert x α+ε abgeschätzt werden, für eine kleine Zahl ε. Dies bedeutet, dass ψ(x) und x nur in der Größenordnung x α+ε voneinander abweichen, und die Abweichung zwischen π(x) und Li(x) beträgt damit höchstens x α ln(x). Die trivialen Nullstellen liefern zur Summe keinen wesentlichen Beitrag. Weil die nichttrivialen Nullstellen ρ jeweils 0 < Re(ρ) < 1 erfüllen, folgt daraus, dass Li(x) und π(x) asymptotisch gleich sind, also der Primzahlsatz! Ist die Riemannsche Vermutung richtig, dann beträgt die Abweichung zwischen Li(x) und π(x) sogar nur x 1/2 ln(x).

44 Aus der Mangoldtschen Formel für die Funktion ψ lässt sich auch ein geschlossener Ausdruck für die primzahlzählende Funktion π(x) selbst gewinnen. Dazu benötigt man die Möbius-Funktion µ(n), die einer natürlichen Zahl n den Wert ( 1) r zuordnet, falls n ein Produkt von r verschiedenen Primzahlen ist, und den Wert 0, wenn n von einem Primzahlquadrat geteilt wird. Man definiert dann mit dem Integrallogarithmus die Riemannsche Funktion µ(n) R(x) = n Li(x 1/n ). n=1 Die primzahlzählende Funktion kann dann exakt durch die Formel π(x) = R(x) ρ R(x ρ ) berechnet werden, wobei die Summe erneut über alle Nullstellen der ζ-funktion gebildet wird. Der Übergang von der Mangoldtschen Formel zu dieser expliziten Formel von Riemann ist recht elementar, kann aber hier aus Zeitgründen nicht mehr dargestellt werden.

45 π(x) und R(x) (ohne Nullstellen)

46 π(x) und R(x) R(x ρ 1 ) (Berücksichtigung der ersten Nullstelle)