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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufgabe 45. Polynome sind stets stetig. Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester 004) Lösungen zu Aufgabenblatt 8 (4. Juni 004) Präsenzaufgaben Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass jede Polynomfunktion f R[X] mit in jedem Punkt x R stetig ist. f(x) = a n X n + a n X n + + a X + a 0 Erinnerung: Eine Funktion f : D R heisst stetig in p D R, genau dann wenn ε > 0 δ > 0 x D x p < δ = f(x) f(p) < ε oder äquivalent: Für alle Folgen reeller Zahlen (x m ) m N mit lim (x m ) = p m folgt lim (f(x m )) = f(p). m Die Funktion f heisst stetig, wenn sie für alle p D stetig in p ist. Wir zeigen zunächst, dass die konstante Funktion f(x) = c für ein c R und die Identität f(x) = x stetig sind: Seien p R und ε>0 beliebig. Wir setzen δ :=ε>0. Ist x R ein Punkt mit x p <δ, dann gilt: für f(x) = c : für f(x) = x : f(x) f(p) = c c = 0 < ε f(x) f(p) = x p < δ = ε Die Stetigkeit der Polynomfunktion f zeigen wir per Induktion nach dem Grad n des Polynoms f(x): INDUKTIONSANFANG FÜR n = 0: Eine Polynomfunktion vom Grad n = 0 ist die konstante Abbildung x c für ein c R. Wir haben bereits gezeigt, dass sie stetig ist. INDUKTIONSSCHRITT n n + : Das Polynom f(x) können wir darstellen als Komposition von Polynomen vom Grad höchstens n bzw. der Identität. f(x) = a n+ X n+ + a n X n + + a 0 = a n+ X n X + a n X n + + a 0 = g(x) X + h(x) }{{}}{{} = :g(x) =:h(x) Diese sind nach Induktionsvoraussetzung bzw. wie oben gezeigt stetig. Dann können die Grenzwertsätze angewendet werden. Aufgabe 46. Epsilons... Deltas... und andere Nachweise von Stetigkeit. Zeigen Sie die Stetigkeit folgender Funktionen:.) f : R R mit f(x) = x.) f : R R mit { x wenn x 0 f(x) = x wenn x < 0 3.) min : R R mit min(x) = min(f(x), g(x)), Hinweis: Was ist f(x)+g(x) f(x) g(x)? 4.) max : R R mit max(x) = max(f(x), g(x)), Hinweis: Was ist f(x)+g(x)+ f(x) g(x)?

2 .) Gegeben ist die Funktion f : R R mit f(x) = x = { x wenn x 0 x wenn x < 0. Nach den Sätzen aus der Vorlesung ist die Identitäts-Funktion g (x) = x stetig. Ebenso sind die konstante Funktion g (x) = sowie das Produkt g (x) g (x) = x stetig. Damit ist die Stetigkeit von f für alle x R\{0} nachgewiesen. Nachweis der Stetigkeit von f bei p = 0: mit ε δ-definition von Stetigkeit: x p = x 0 = x < δ = f(x) f(p) = f(x) f(0) = x < ε. Wähle δ = ε. Dann gilt: x < δ = ε = f(x) = x < ε. mit Folgen-Definition von Stetigkeit: Es ist zu zeigen, dass für alle Folgen (x n ) n N mit lim (x n ) = 0 dass lim (f(x n )) = f(0) = 0 = 0 gilt. Sei eine Folge (x n ) n N mit lim (x n ) = 0 gegeben. Nun ist zu zeigen, dass ε > 0 N ε N n N ε f(x n ) 0 = f(x n ) = x n < ε. Da (x n ) n N aber eine Nullfolge ist, gilt ε > 0 N ε N n N ε x n 0 = x n < ε. Wähle N ε = N ε.) Gegeben ist die Funktion f : R R mit f(x) = x = Nachweis der Stetigkeit von f bei p = 0: gilt, { x wenn x 0 x wenn x < 0 x p = x 0 = x < δ = f(x) f(p) = f(x) f(0) = x 0 = x = x < ε. Wähle δ = ε. Dann gilt: x < δ = ε = x = x < ε = ε. Nachweis der Stetigkeit von f bei p 0 x p < δ = f(x) f(p) = x < ε. Trick: Erweitern: x = x. Es gilt x x p für alle x, p R. Wähle δ = p ε. Dann gilt: x x p < δ = pε = x = = x x p < 3.) Gegeben ist die Funktion min : R R mit min(x) = min(f(x), g(x)), Es gilt: min(x) = f(x)+g(x) f(x) g(x) = f(x)+g(x) f(x) g(x). ε ε = ε Für alle x R berechnet der Term f(x)+g(x) das arithmetische Mittel von f(x) und g(x), d. h. der Wert f(x)+g(x) liegt genau zwischen den beiden Funktionswerten f(x) und g(x). Die Differenz der beiden Funktionswerte f(x) und g(x) beträgt f(x) g(x) Wird also von dem Wert, der genau zwischen f(x) und g(x) liegt, die Hälfte der Differenz ihres Abstandes subtrahiert, so ergibt dies das Minimum der beiden Funktionswerte. Da die Funktionen f, g, f g und die Betragsfunktion stetige Funktionen sind, ist nach Satz aus der Vorlesung auch die Funktion min = f+g f g stetig. 4.) Gegeben ist die Funktion max : R R mit max(x) = max(f(x), g(x)), Es ist max(x) = f(x)+g(x)+ f(x) g(x). Warum? Mit der gleichen Argumentation wie oben folgt dann die Stetigkeit der Funktion max.

3 Aufgabe 47. Polynull. Bestimmen Sie, falls existent, die folgenden Grenzwerte:.) lim x + 5x + x 3 + x + 4 x + 7 x x.) lim x 3.) lim. x.) Da die Funktion f(x) = x +5x+ x 3 +x+4 im Punkt x = 0 stetig ist, gilt für alle konvergenten Folgen (x n) n N mit Grenzwert 0, daß lim f(x) = lim (f(x n)) ist. Wählen wir die Nullfolge (x n ) n N = ( n ) n N, so erhalten wir mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte von konvergenten Folgen: lim f(x) = lim f(x n) = lim f.) Für die Nullfolge (x n ) n N = ( n ) n N ist lim existieren, da er gleich dem Grenzwert der Folge n +7 n ( ) ( n = lim ) + 5 n + n ( n )3 + n + 4 = 4 =. = n+7n = +. D.h. der Grenzwert lim ( n +7 n )n N x+7 x kann nicht wäre, die aber bestimmt gegen + divergiert. 3.) Für die Funktion h(x) = x x x gilt lim h(x) =. Dies zeigen wir mit der ε-δ-definition: Es sei ε > 0 vorgegeben. Wir wählen δ = ε, dann gilt für alle x R mit x 0 < δ und x 0 stets: x x + x = x + x < δ = ε. Hausaufgaben Aufgabe 48. Zick-Zack. Die Funktion zack : R R sei definiert durch zack(x) := x + x. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion zack und zeigen Sie.) Für alle x R mit x gilt zack(x) = x..) Für alle x R und n Z gilt zack(x + n) = zack(x). 3.) Die Funktion zack ist überall stetig. Gegeben ist die Funktion zack : R R durch zack(x) := x + x. Zeichnung des Graphen der Funktion zack: 3 4.) BEHAUPTUNG: Für alle x R mit x gilt zack(x) = x. BEWEIS: x x + x x + Fallunterscheidung:.) 0 x + < : Dann gilt x + = 0, und es folgt x + x = 0 x = x = x..) x + = x = : Dann gilt x + =, und es folgt x + x = = = x.

4 .) BEHAUPTUNG: Für alle x R und n Z gilt zack(x + n) = zack(x). BEWEIS: Allgemein gilt für alle n Z und alle x R die Gleichung x + n = x + n. Damit gilt nun für alle reellen Zahlen x R und alle ganzen Zahlen n Z, dass zack(x + n) = x + n + (x + n) = x + + n (x + n) = x + x = zack(x). 3.) BEHAUPTUNG: Die Funktion zack ist überall stetig. BEWEIS: Da für alle x R und alle n Z gilt, dass zack(x + n) = zack(x), reicht es, die Stetigkeit der Funktion zack auf dem Intervall [, ] nachzuweisen. Da die Funktion zack auf dem (abgeschlossenen) Intervall [, ] mit der Betragsfunktion übereinstimmt, ist die Funktion zack auf dem (offenen) Intervall (, ) stetig. Es bleibt noch die Stetigkeit für p = und p = zu zeigen. Wegen zack(x) = zack(n + x) für alle x R und alle n Z und somit auch zack( ) = zack( + ) = zack( ) reicht der Nachweis der Stetigkeit bei p = : Sei also (x n ) n N eine Folge reeller Zahlen mit lim (x n ) =. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x n [0, ] für alle n N. Dann ist zu zeigen, dass lim (zack(x n )) = zack( ) = gilt. Es gilt x = zack(x) = x, und wegen folgt und somit Aufgabe 49. Unstete Stellen. < x = + < x + + x + = für alle < x, = < x + 3 zack(x) = x + x = x für alle < x. Somit gilt für alle Folgenglieder x n mit 0 x n zack(x n ) = x n + x n = { xn für 0 x n x n für < x n und es ist lim (zack(x n )) = = zack( )..) Zeigen Sie mit Hilfe der Folgen-Stetigkeitsdefinition, dass die Funktion f(x) = sin x, x R\{0}, an der Stelle 0 niemals stetig sein kann, unabhängig davon, was f(0) ist..) Zeigen Sie mit Hilfe der ε-δ-stetigkeitsdefinition, dass die Funktion g(x) = x sin x, x R\{0}, und g(0) = 0 an der Stelle 0 stetig ist. 3.) Zeigen Sie mit Hilfe der Folgen-Stetigkeitsdefinition, dass die Funktion h(x) = x, x R\{0}, an der Stelle 0 niemals stetig sein kann, unabhängig davon, was h(0) ist. Zeigen Sie dies auch mit Hilfe der ε-δ- Stetigkeitsdefinition. (.) Die Folge (a n ) n N = ) ( ) π +π n konvergiert gegen Null. Aber es ist sin a n N n Also ist die Folge (sin a n ) n N divergent. Somit kann es keinen Wert f(0) geben, gegen den die spezielle Folge (sin a n ) n N konvergiert. = sin ( π + π n) = ( ) n..) Es sei ε > 0 vorgegeben. Wähle δ ε = ε. Dann gilt für alle x R mit x 0 = x < δ ε stets g(x) g(0) = x sin x = x sin x x < δ ε = ε, falls x 0, und g(x) g(0) = 0 < ε, falls x = 0 3.) Mit Folgen-Stetigkeitsdefinition: Die Folge (a n ) n N = ( n ) n N konvergiert gegen Null. Aber es ist (h(a n )) n N = (n) n N eine Folge, die bestimmt gegen + divergiert.

5 Mit ε-δ-stetigkeitsdefinition: Angenommen die Funktion h wäre stetig und es ist h(0) = a für ein passendes a R. Zu ε = gäbe es dann ein δ > 0, so daß für alle x R mit x 0 = x < δ stets h(x) a = x a < gilt. Wählen wir aber x = n mit n N \ {0} so groß, dass sowohl n > δ, als auch n > a + gilt, dann ist zwar x = n < δ, aber f(x) a = n a = (n a) > + a a = ε, im Widerspruch zur Annahme. Aufgabe 50. Fixe Cornflakes. Da staunt CALVIN nicht schlecht: Trotz heftigen Umrührens seiner Cornflakes scheint ein Cornflakesmolekül immer am selben Platz zu bleiben. Kann das wirklich sein? Es ist tatsächlich so (es könnte aber auch ein Milchmolekül sein). Betrachtet man nämlich das Umrühren als eine stetige Funktion f von [0, ] 3 nach [0, ] 3, dann gibt es einen Punkt x [0, ] 3, so dass f(x) = x ist. Da es sich in Milch und Cornflakes so schlecht denken lässt (oder da es sich ohne Milch und Cornflakes so schlecht denken lässt?), betrachten wir das Phänomen erst einmal eindimensional: Es sei f : [0, ] [0, ] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass es einen Wert x [0, ] mit f(x) = x gibt. Man nennt diesen Wert Fixpunkt von f. Hinweis: Betrachten Sie die Funktion g(x) = f(x) x und verwenden Sie den Zwischenwertsatz. Die Funktion g(x) = f(x) x ist stetig, da f(x) und x x stetig sind, sowie Summen zweier stetiger Funktionen stetig sind. Damit können wir für g den Zwischenwertsatz anwenden. Um zu zeigen, dass f einen Fixpunkt hat, genügt es nachzuweisen, dass es einen Wert x [0, ] mit g(x) = 0 gibt. Einerseits ist g(0) = f(0) 0 = f(0) 0, da die Wertemenge von f das Intervall [0, ] ist. Andererseits ist g() = f() 0, da die Wertemenge von f das Intervall [0, ] ist. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es nimmt die Funktion alle Werte aus dem Intervall [g(), g(0)] 0 an. Deswegen gibt es einen Wert x [0, ] mit g(x) = 0.

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