Bei den Parabeln gibt es eine Grundfigur: Die Normalparabel, sie hat die

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Wolfgang Förstner
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1 Die allgemeine Sinusfunktion Bei den Parabeln gibt es eine Grundfigur: Die Normalparabel, sie hat die Funktionsgleichung f(x) x. Aus ihr erzeugt man andere Parabeln, indem man den Funktionsterm verändert. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel lautet f(x) a x b c. Der Faktor a verändert die Form der Parabel, ob breiter (0 a ) oder schmaler ( a ), bei negativem a ist die Parabel an der x-achse gespiegelt. Der Summand b schiebt nach rechts (b 0 ) oder links (b 0 ). Der Summand c schiebt nach oben (c 0 ) oder unten (c 0 ). Wir wollen nun untersuchen was solche Termabwandlungen für die Sinuskurve bedeuten. Die allgemeine Sinusfunktion hat die Form: f : x f(x) a sin b x c ; mit a, b IR\ 0 und c IR.. Einfluss des Faktors a Wir vergleichen dazu die Funktion g(x) sin x. a f (x) a sin x mit der (Grund-) Sinusfunktion G f,5 G g Gf 0,75 Der Graph G entsteht aus dem Graphen der Funktion Stauchen in y-richtung. f a G durch Strecken oder g Für a ergibt sich eine Streckung (Dehnung) in y-richtung 0 a ergibt sich eine Stauchung (Pressung) in y-richtung a 0 ergibt sich zusätzlich noch ein Spiegelung an der x-achse. Symmetrie, Periode und Nullstellen bleiben unverändert. \W a ; a. Für die Wertemenge gilt: f Den größten Funktionswert bezeichnet man allgemein als Amplitude.

2 . Einfluss des Faktors b Wir vergleichen dazu die Funktion f b(x) sinb x g(x) sinx. mit der (Grund-) Sinusfunktion G G g G 0,8 Der Graph G entsteht aus dem Graphen der Funktion f b Stauchen in x-richtung. Dabei verändert sich die Periode. G durch Strecken oder g Für 0 b ergibt sich eine Streckung (Dehnung) in x-richtung. Die Periode wird größer. b ergibt sich eine Stauchung (Pressung) in x-richtung Die Periode wird kleiner. b 0 Lässt sich mit Hilfe der Beziehung sin( x) sin(x) auf den Fall b 0 zurückführen. Der Graph der Funktion f (x) sinb x b hat die Periode: p b. Einfluss des Faktors c Wir vergleichen dazu die Funktion f c(x) sinx c g(x) sinx. mit der (Grund-) Sinusfunktion G G g G Der Graph G entsteht aus dem Graphen der Funktion f c c in x-richtung. G durch Verschieben um g Für c 0 erfolgt die Verschiebung in positive x-richtung. c 0 erfolgt die Verschiebung in negative x-richtung.

3 Übungen:. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen. f(x) sin x a) b) f(x) sinx c) f(x) sinx 6 d) f(x) sinx e) f(x) sin x f) f(x) sin x g) f(x) sin x h) f(x) sin 5 x 8 i) f(x),5 sin x j) f(x) sinx. Bestimmen Sie den Parameter b so, dass die Funktion f(x) sinbx p hat. a) p 8 b) p c) p. Berechnen Sie allgemein die Nullstellen der Funktion f(x) sin x a) b) f(x) sin x c) f(x) sin x d) f(x) sinx die Periode. Geben Sie zu folgenden Funktionsgraphen den dazugehörigen Funktionsterm an. sinx f x sin x f x f x sinx f x sin x

4 f x sin x f x sinx sinx f x f x sin x 5 f x sinx f x,5 sin x f x 0,5 sinx f x 0,75 sin x 6

5 Um den Graphen der allgemeinen Sinusfunktion f(x) a sinb x c ; mit a, b IR\ 0 und c IR vor: zu zeichnen nimmt man zuerst folgende kleine Umformung f(x) a sin b x Den Übergang vom Graphen der Sinusfunktion x sin(x) zum Graphen der allgemeinen Sinusfunktion zerlegt man in drei Teilschritte. Zeichne den Graphen der Funktion f(x) sin x sin x. Amplitude: a c b. Periode: p b. Verschiebung: um in negativer x-richtung 5

6 Zum Zeichnen ist es nützlich die Nullstellen der Funktion f zu kennen. Dazu bestimmen wir allgemein alle Nullstellen der Funktion f. f(x) sin x 0 x n mit n Z x n x mit n Z n n Für die Nullstellen folgt somit: n 0 : x0 n : x n : x 5 n : x Diese lassen sich recht einfach in ein KOS einzeichnen. Jetzt nimmt man genau die Hälfte zwischen x 0 und x, und berechnet an dieser Stelle den Funktionswert. f(0) sin 0. Somit hat der Graph der Funktion f einen Hochpunkt HP 0. Zwischen den nächsten beiden Nullstellen hat der dann einen Tiefpunkt. Diese wechseln sich dann immer wieder ab! Auch die Periode lässt sich so gut ermitteln für diese gilt: p x x Also hier: p Zeichne die Graphen folgender Funktionen f(x),5 sin x.. f(x) sin x. 7 f(x) sin x. f(x) sin x 5. f(x) sinx f(x) sin x 0 6

7 Ermitteln Sie zu den Graphen folgender Funktionen den Funktionsterm f(x) sin x f(x) sin x f(x) sin x f(x) sin x 7

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