FOS: Die harmonische Schwingung. Wir beobachten die Bewegung eines Fadenpendels

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1 R. Brinkmann Seite Bechreibung von Schwingungen. FOS: Die harmoniche Schwingung Veruch: Wir beobachten die Bewegung eine Fadenpendel Lenken wir die Kugel au und laen ie lo, dann führt ie eine ich tändig wiederholende Hin und Herbewegung au. - Eine olche Bewegung heißt periodiche Bewegung. - Eine volltändige Hin und Herbewegung der Pendelkugel nennen wir eine Periode. - Die Zeit, in der da Pendel eine Periode auführt, heißt Periodendauer T. - Während jeder Hin und Herbewegung chwingt die Pendelkugel zum elben Umkehrpunkt und hat dort ihre größte Aulenkung. Die Aulenkung von der Mittellage zum Umkehrpunkt nennen wir Amplitude der Schwingung. - Die Anzahl der Perioden pro Sekunde heißt Frequenz f. 1 1 Frequenz: f = bzw. Schwingungdauer T = T f Veruch: Wir lenken ein Fadenpendel mit der Pendellänge l = 2 m um 4 cm au und meen die Zeit T für eine Periode. Wir betimmen die Zeit für n = 1 Schwingungen t = 28. Die Periodendauer beträgt 28 /1 = 2,8. Wie wiederholen den Veruch mit der halben Amplitude 2 cm. Die Periodendauer beträgt wieder 2,8. Wir wiederholen den Veruch bei kürzeren Pendellängen. Die Ergebnie chreiben wir in eine Tabelle. Wir berechnen die Frequenz f = n/t l = 2 m Amplitude Fadenpendel Pendellänge l in m 2 1,5,25 Anzahl der Schwingungen n Zeit t für n Schwingungen in Periodendauer T = t/n in 2,8 2 1,4 1 Frequenz f = n/t in Hz,36,5,71 1 Ertellt von R. Brinkmann hoha12_ :27 Seite 1 von 6

2 R. Brinkmann Seite Die harmoniche Schwingung Eine Stimmgabel erzeugt einen Ton. Ihre Zinken zeigen dabei eine beonder gleichmäßige Hin und Herbewegung. Deren Aufzeichnung ergibt eine Sinukurve. Eine olche Schwingung nennen wir harmoniche Schwingung oder Sinuchwingung. Dartellung von Sinuchwingungen Maximum Periode Sinukurve π/6 Amplitude π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 2π Drehwinkel Minimum Ertellt von R. Brinkmann hoha12_ :27 Seite 2 von 6

3 R. Brinkmann Seite Welche Kraftgeetz orgt für harmoniche Schwingungen? Unteruchung am Federpendel. a) In der leichgewichtlage hebt die nach oben gerichtete (poitive) Zugkraft F der Feder die nach unten gerichtete (negative) ewichtkraft gerade auf. E gilt = - F. Alo it die eamtkraft F = + F = a) b) c) b) Nun wird der Körper um die Strecke > nach oben augelenkt. Dann verkleinert ich die nach oben wirkende Zugkraft der Feder auf F 1 = F D. Die ewichtkraft überwiegt. E ergibt ich nach unten die reultierende Kraft: F = + F 1 = + F D = D F F 1 F 1 + F = - D < c) Lenkt man den Körper um die Strecke < nach unten au, o vergrößert ich die nach oben wirkende Zugkraft der Feder auf F 1 = F D. Beachten Sie, da hier negativ, alo - D poitiv it. Jetzt überwiegt die Federkraft. Die reultierende Kraft nach oben it: F = + F 1 = + F D = D F = F = - D < F = - D > Da Federpendel nach der Aulenkung : a) in der leichgewichtlage b) die ewichtkraft überwiegt c) die Federkraft überwiegt F = - D > Die Rücktellkraft F it alo proportional zur Aulenkung. E gilt da Elongation Kraft eetz: F = - D Veruch: Wir befetigen einen Korken K auf dem Rand einer vertikal getellten drehbaren Scheibe. Die Drehzahl tellen wir o ein, da die Umlaufdauer de Korken gleich der Periodendauer de Federpendel it. In der Schattenprojektion entteht ein vertikaler Strich, an dem der Korkenchatten auf und ab gleitet. Der Kugelchatten de Federpendel vollführt die gleiche Bewegung. Ertellt von R. Brinkmann hoha12_ :27 Seite 3 von 6

4 R. Brinkmann Seite Auwertung: + Während der Korken K auf einem Krei mit dem Radiu r umläuft, pendelt die Kugel K auf der Ache um ihre leichgewichtlage =. Diee liegt in der Mitte zwichen den beiden Umkehrpunkten = A = r und = - A = - r. Der poitive Wert A heißt Amplitude der Schwingung. Sie it die maximale Aulenkung au der leichgewichtlage. r ϕ K' y A K = y Für die Aulenkung gilt: = y = r in ϕ = A in ϕ -A Da entpricht einer harmonichen Schwingung. Die Winkelgechwindigkeit Bei einer Kreibewegung mit kontanter Drehzahl nimmt der Winkel ϕ proportional mit der Zeit zu. Ähnlich, wie bei einer gleichförmigen Bewegung die echwindigkeit v = it, kann auch für die Drehbewegung eine Winkelgechwindigkeit definiert werden: t ϕ Winkelgechwindigkeit: ω= t Damit gilt für die harmoniche Schwingung: (t) = A in ωt Für die Winkelgechwindigkeit gelten folgende Zuammenhänge: ϕ 2π ω= = =2πf t T Ertellt von R. Brinkmann hoha12_ :27 Seite 4 von 6

5 R. Brinkmann Seite Herleitung der Schwingunggleichung Da lineare Kraftgeetz diktiert den Bewegungablauf de chwingenden Körper. Mit F = m a it die Bechleunigung a(t) zu jedem Zeitpunkt t fetgelegt durch die leichung m a(t) = D (t) (1) Mit den Regeln der Differentialrechnung gilt: a(t) = v(t) = (t) m (t) = D (t) (2) (Differentialgleichung) Die Allgemeine Löung lautet: (t) = A in ω t + ϕ ( ) Probe: (t) = A ω co ω t +ϕ (t) = A ω in ω t +ϕ = ω (t) 2 2 ( A = Amplitude ) 2 Wir etzen (t) in leichung (2) ein und erhalten m ω (t) = D (t) D 2π m ω= mit ω= folgt darau für die Schwingungdauer T = 2π m T D Merkatz: Eine harmoniche Schwingung lät ich bechreiben durch: Da Zeit - Weg - eetz: (t) = A in ωt Da Zeit - echwindigkeit - eetz: v(t) = A ω co ωt Da Zeit - Bechleunigung - eetz: a(t) = A ω in ωt ϕ 2π mit der Winkelgechwindigkeit: ω= = = 2π f t T ( f it die Frequenz, T die Periodendauer, A die Amplitude ) 2 Ertellt von R. Brinkmann hoha12_ :27 Seite 5 von 6

6 R. Brinkmann Seite Da Fadenpendel Die Schwingung it nur dann harmonich, wenn F proportional zur Aulenkung it. Nun liefert da Kräfteparallelogramm: F = m g in δ = m g in denn = l δ l Wenn l gilt, o it näherungweie gleich der horizontalen Aulenkung und h e gilt: in δ= l l Da lineare Kraftgeetz für kleine Aulenkungen lautet dann: h δ l m g F = m g inδ = m g = l l Wir können demnach da Fadenpendel mit jeder gewünchten enauigkeit al harmonichen Schwinger der m g Richtgröße D = betrachten, l wenn wir nur die Amplitude hinreichend klein wählen. m Mit T = 2 π folgt dann für die D Periodendauer: h F δ δ F 1 m m l l T = 2π = 2π = 2π D m g g Merkatz: Ein Fadenpendel chwingt bei hinreichend kleiner Amplitude harmonich. Seine Periodendauer it dann: T = 2π l g Bemerkung: Über die Periodendauer de Fadenpendel lät ich ehr genau die Erdbechleunigung g ermitteln. Dazu mu die Fadenlänge und die Periodendauer gemeen werden. Ertellt von R. Brinkmann hoha12_ :27 Seite 6 von 6