Analysis: Trigonometr. Funktionen Analysis Trigonometrische Funktionen Gymnasium ab Klasse 10 Alexander Schwarz

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Kora Graf
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1 Analysis Trigonometrische Funktionen Gymnasium ab Klasse 0 Alexander Schwarz Dezember 0

2 Hinweis: Außer bei Aufgabe darf der GTR benutzt werden. Aufgabe : Bestimme ohne GTR: a) sin(405 ) b) sin(0 ) c) cos(5 ) d) cos( ) e) tan( ) Aufgabe : Bestimme alle Lösungen der Gleichung aus der Grundmange G = [ ; ]. a) cos(x) = 0,7 b) sin(x) = c) sin(x) = 0, d) sin(x) = cos(x) e) 0,5 sin(x) = sin(x) + Aufgabe : Gegeben sind die Funktionen f(x) = sin( x + ) ; x 4 und g(x) = sin(x ) + ; 0 x,5. Skizziere die Graphen und bestimme die Achsenschnittpunkte sowie die Hoch- und Tiefpunkte. Aufgabe 4: Begründe die Richtigkeit der Gleichungen: a) sin(60 ) = b) cos(x) sin(x ) = + c) ( ) ( ) sin(x) + cos(x) =, x Aufgabe 5: Der Befestigungspunkt einer Gondel eines Riesenrades bewegt sich auf einer Kreisbahn. Die Höhe des Punktes über dem Boden wird durch die Funktion h(t) = + 0 sin (t,5) beschrieben (t in Minuten, h(t) in Meter) Bestimme die Umdrehungsdauer und den Durchmesser des Riesenrades. Wo befindet sich der Punkt zum Zeitpunkt t = 0? Skizziere das Schaubild von h. Aufgabe 6: Die Kurve mit der Gleichung y= sin(x) wird durch die Hintereinanderausführung der folgenden Abbildungen verändert: () Streckung in y-richtung mit dem Faktor,5 () Streckung in x-richtung mit dem Faktor. () Verschiebung in negative x-richtung um Längeneinheit Wie lautet die Gleichung der so entstandenen Kurve? Wie lautet die Gleichung, wenn man die Abbildungen () und () vertauscht? Aufgabe 7: Der Temperaturverlauf während eines Sommertags lässt sich näherungsweise durch eine Sinuskurve beschreiben. In der Nacht sinkt die Temperatur auf ihren tiefsten Wert von 0 C, der zum Zeitpunkt 0 t = 0 um Uhr früh gemessen wird. Die Temperatur steigt dann bis 5 Uhr auf ein Maximum von 0 C an, um schließlich bis Uhr wieder auf 0 C abzufallen. Bestimme eine Funktionsgleichung, die diesen Temperaturverlauf beschreibt.

3 Lösungen Aufgabe : a) sin(405 ) = sin( ) = sin(45 ) = b) sin( 0 ) = sin(0 ) = sin(60 ) = c) cos(5 ) = cos(5 4 ) = cos( ) = 5 d) cos( ) = cos( ) = cos( ) = cos( ) = 0,5 sin( ) e) tan( ) = = = cos( ) Aufgabe : a) cos(x) = 0,7 Mit dem GTR ergibt sich x= 0,80. Die weiteren Lösungen lauten x = 0,8 = 5,48 und x = 5,48 = 0,8 b) sin(x) = 4 Es ist x= und x = ( ) = 5 4 Außerdem ist x = + = und x4 = = c) sin(x) = 0, sin(x) = 0,05 Mit dem GTR ergibt sich x= 0,05. Die weiteren Lösungen lauten x = ( 0,05) =,9 und x =,9 =,09 und x4 = 0,05+ = 6, d) :cos(x) sin(x) sin(x) = cos(x) = tan(x) = cos(x) 5 Daraus folgt: x= ; x = += ; x = = 4 4 sin(x) :(,5) e) 0,5 sin(x) = sin(x) +,5 sin(x) = sin(x) = 0,4 Mit dem GTR ergibt sich x= 0,4 Die weiteren Lösungen sind x = ( 0,4) =,55 und x = 0,4+ = 5,87 und x4 =,55 =,7

4 Aufgabe : Skizze von f(x) = sin( x + ) Es ist f(x) = sin( (x+ )) Die Amplitude ist a =. Die Periode von f(x) ist = 6 und das Schaubild von f(x) ist gegenüber der Funktion sin(x) um nach links verschoben. Achsenschnittpunkte: N( /0) ; N (/0) ; N (4/0) Hochpunkt H(-0,5/) und Tiefpunkt T(,5/-) Skizze von g(x) = sin(x ) + Es ist g(x) = sin( (x )) + Die Amplitude ist a =. Die Periode von g(x) ist = und das Schaubild von g(x) ist gegenüber der Funktion sin(x) um nach rechts und nach oben verschoben. 5 Achsenschnittpunkte: N( /0) ; N ( /0) 4 4 Hochpunkt H( /). Die Tiefpunkte entsprechen den Achsenschnittpunkten. 4 4

5 Aufgabe 4: a) Begründung von sin(60 ) = Die Begründung erfolgt mit Hilfe eines gleichseitigen Dreiecks: Das Dreieck ABC sei gleichseitig mit der Seitenlänge a. Das linke Teildreieck AMC ist rechtwinklig. Berechnung der Höhe h mit dem Satz des Pythagoras: = = = 4 4 h a a a a h = a a Nun gilt: a h sin 60 = = = was zu zeigen war a a b) cos(x) = sin(x + ) Diese Gleichung bedeutet anschaulich, dass eine Verschiebung der Funktion y = sin(x) um nach links die Funktion y = cos(x) ergibt. Dies wird durch die Schaubilder der Funktionen anschaulich bestätigt. 5

6 sin(x) + cos(x) = (der so genannte "trigonometrische Pythagoras") c) Die Formel ( ) ( ) kann anschaulich anhand des Einheitskreises begründet werden. Das rechtwinklige Dreieck hat eine Hypotenuse der Länge. Daher gilt die obige Formel gemäß des Satzes des Pythagoras. Aufgabe 5: Skizze von h: Die Funktion h(t) = + 0 sin (t,5) hat die Periode = 6. (anschaulich ist dies z.b. der waagrechte Abstand von Hochpunkt zu Hochpunkt). Damit ist die Umdrehungsdauer des Riesenrades 6 Minuten. Der Radius des Riesenrades entspricht der Amplitude der Funktion, also 0 Meter. Der Durchmesser ist damit 40 Meter. Zur Zeit t = 0 befindet sich der Punkt auf der Höhe h(0) = + 0 sin( ) = Meter. 6

7 Aufgabe 6: Gegeben ist die Funktion f(x) = sin(x). (): Streckung in y-richtung mit Faktor,5 ergibt g(x) =,5 f(x) =,5 sin(x) (): Streckung in x-richtung mit Faktor ergibt h(x) = g( x) =,5sin( x) (Kehrwert!!) (): Verschiebung um nach links ergibt: k(x) = h(x+ ) =,5sin( (x+ )) Die gesuchte Funktionsgleichung ist k(x) =,5sin( (x+ )) Vertauschung von () und (): (): Streckung in y-richtung mit Faktor,5 ergibt g(x) =,5 f(x) =,5 sin(x) (): Verschiebung um nach links ergibt: h(x) = g(x+ ) =,5sin(x + ) (): Streckung in x-richtung mit Faktor ergibt: k(x) = h( x) =,5sin( x+ ) Die gesuchte Funktionsgleichung ist k(x) =,5sin( x+ ). Aufgabe 7: Um die Funktionsgleichung aufzustellen, sollte man zunächst die Kurve skizzieren gemäß der Angaben in der Aufgabe. Zum Zeitpunkt t = 0 existiert ein Tiefpunkt auf der Höhe 0 C. Um 5 Uhr (dies entspricht t = ) existiert ein Hochpunkt auf der Höhe 0 C. Damit kann das Schaubild skizziert werden. Ansatz: f(x) = a sin(b (x c)) + d mit a = 0, b= = =, c = 6 und d = 0. Periode 4 f(x) = 0sin( (x 6)) + 0 Alternativ kann auch die Kosinusfunktion genutzt werden: Dann wäre f(x) = 0cos( (x )) + 0 oder auch f(x) = 0cos( x) + 0 7

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