Korrekturblatt zu 3206 / 6. Auflage 2014

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1 Korrekturblatt zu 306 / 6. Auflage 014 Lehrbuch Seite c) g() = f() + 4 G K Lehrbuch Seite Eine Gleichung 3. Grades lasst sich grafisch durch den Graph einer Polnomfunktion 3. Grades interpretieren, dieser Graph verläuft von II. in IV. oder von III. in I. Quadranten, schneidet die -Achse also mindestens einmal. Lehrbuch Seite a) f() = 1 3 sin(π); D = [ 1; 3 ] K f entsteht aus der Sinuskurve durch Streckung mit Faktor 3 in -Richtung, Streckung mit Faktor π 1 in -Richtung und Spiegelung an der -Achse und Verschiebung um 1 nach oben. Periode p = ; W: f() 4 Lehrbuch Seite d = 50 Amplitude a = 5 Periode p = 40 = π b b = π 10 Das Schaubild von h mit h(t) = 5sin( π t) verläuft durch den Ursprung und 10 wird so verschoben, dass es durch M(60 6) geht, also um 60 nach rechts und 6 nach oben. (M liegt auf der Mittellinie nach einer Viertel-Periode.) Funktionsterm: f(t) = 5sin( π (t 60)) Hinweis: Ansatz mithilfe einer Kosinusfunktion: f(t) = 5cos( π t) + 6 oder 10 Ansatz ausgehend vom H(0 1) bzw. H (10 51) : f(t) = 5cos( π (t 10))

2 Bohner Ihlenburg Ott Deusch Mathematisches Grundgerüst Ein Mathematikbuch für die Eingangsklasse Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab 6. Auflage 014 ISBN Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Merkur Verlag Rinteln

3 Ausführliche Lösungen zu Mathematisches Grundgerüst Download Lehrbuch Seite 7 1. f() = 5 3 3; R a) Vergleich mit der Wertetabelle ergibt: 9 P( 5 0) liegt auf dem Schaubild von f: f( 9 5 ) = 0 Q( ) liegt oberhalb: f(1) = 4 3 < R( ) liegt unterhalb: f( ) = 3 > b) Ansatz: f() = = 16 7 Umformung: 5 3 = 5 7 = Interpretation: Der Punkt P( 7 16 ) liegt auf dem Schaubild von f c) f( ) = 3 Da der neue Funktionswert an dieser Stelle 1 sein soll, muss die Gerade um 19 die Differenz 1 ( 3 ) = verschoben werden. 3 Verschiebung um 3 nach oben: = d) Ansatz: f() = a Wert für a: Der Punkt P ( 1 3 ) liegt auf der Geraden. Lehrbuch Seite = a a = Ansatz: G() = m + b; in ME und G() in GE Stückgewinn (Gewinn pro ME): m = 75 ( GE ME ) Bei ME Gewinn 350 GE entspricht dem Kurvenpunkt P( 350). Gewinnfunktion: G() = 75 + b Punktprobe mit P( 350): 350 = 75 + b b = 00 Gewinnfunktion G mit G() = Ansatz: G() = = 1075 Produktionsmenge: = 4,64 Bei einer Produktionsmenge von 4,64 ME ist der Gewinn 1075 GE.

4 /3 Lehrbuch Seite Aus dertabelle lässt sich ablesen: Vergrößert sich um 1, so vergrößert sich um, d.h. die Steigung der Geraden beträgt m = Schnittpunkt mit der -Achse: f(0) = 1 S (0 1) Schnittpunkt mit der -Achse: N(0,5 0) Nullstelle liegt rechts von = 0: um 1 vergrößern bedeutet um 0,5 vergrößern; also Nullstelle = 0,5 und damit N(0,5 0). Funktionsterm: m = und b = 1 ergibt: f() = 1 Variante: Bestimmung der Schnittpunkte aus dem Funktionsterm Schnittpunkte: f() = 0 N(0,5 0) Lehrbuch Seite a) Ansatz für G: g() = 4 + b G schneidet die -Achse in = 4: g(4) = 0 f(0) = 1 S (0 1) b = 0 b = 16 Gleichung von G: g() = 4 16 b) H verläuft durch P(1 1) und schneidet die -Achse in = 3: Ansatz: = m + b Punktprobe mit P(1 1): m + b = 1 Punktprobe mit N( 3 0): 3m + b = 0 4m = 1 m = 0,5 Einsetzen ergibt b: 0,5 + b = 1 b = 0,75 Gleichung von H: h() = 0,5 + 0,75 Variante: Bestimmung der Steigung aus P(1 1) und N( 3 0): m = ( 3) = 1 4 Punktprobe mit P(1 1) in = 1 + b: 1 = b b = Gleichung von H: h() = ( 1)

5 Ausführliche Lösungen zu Mathematisches Grundgerüst Download Lehrbuch Seite K: f() = 1, = a) Schaubild K von f 8 b) G schneidet die -Achse in S(0 1,5) G schneidet die Gerade K 4 senkrecht: m G = 7 4 k() = Gleichsetzen: = = = = 5 Einsetzen ergibt: 7 4 ( 14 ) + 8 = G schneidet K in S( 5 31 ) = S(,8 3,1) 10 c) Ansatz für H: h() = 1,75 + b P(0 8) wird auf P*( 8) abgebildet. Punktprobe mit P*( 8) ergibt: 8 = 1,75 + b b = 4,5 Geradengleichung von H = 1,75 + 4,5 H schneidet die -Achse in 4,5. 4 K Variante: Verschiebung von K um nach rechts: h() = f( ) = 1,75( ) + 8 Ausmultiplizieren ergibt h() = 1,75 + 4,5 H schneidet die -Achse in 4,5.

6 4/5 Lehrbuch Seite 4 4. a) Aus der Abbildung: K f hat die Steigung m = 1 und geht durch (0 3) 1 Gerade K f von f mit f() = + 3 Aus der Abbildung: K g verläuft durch (0 1 ) und (3 3 ) K g hat also die Steigung m = und geht durch (0 1 3 ) Gerade K g von g mit g() = b) Gleichsetzen: + 3 = = = 15 = 7 1 Einsetzen: ( 15 7 ) + 3 = Schnittpunkt S( ) 15 c) Eckpunkte des Dreiecks: S( ); Q(3 9 ); P(3 3 ) 1 Flächeninhalt A = 1 PQ h = ( 9 ( 3 ))(3 ( 15 7 )) 108 A = 7 = 15,4 d) α = PSQ: Schnittwinkel der beiden Geraden (bei S) tan( α 1 ) = m g = 3 α 1 = 33,7 1 tan( α ) = m f = α = 6,6 Schnittwinkel: α = α 1 + α = 60,3 α 1 α K f K g Bemerkung: Der Schnittwinkel kann auch mit der Formel für den Schnittwinkel berechnet werden. 1 e) Bedingung: f() = = 3 -Koordinate von T: 1 = 1 1 = 6 = 1

7 Ausführliche Lösungen zu Mathematisches Grundgerüst Download Lehrbuch Seite a) Aus der Abbildung: G hat die Steigung m = und geht durch (0 3) 4 (Steigungsdreieck mit den Eckpunkten (4 0), (4 3) und (0 3)) 3 Gerade G: g() = Aus der Abbildung: H verläuft durch (0 4) und (4 1) H hat also die Steigung m = 3 und geht durch (0 4) 4 3 Gerade H: h() = Gleichsetzen: = = = 8 = 6 = 14 3 Einsetzen: = 1 Schnittpunkt von G und H: 14 S( 3 1 ) b) G: S (4 0); S (0 3) 16 H: S ( 3 0); S (0 4) Fläche mit der -Achse: 1 A = ( 16 4) 1 3 = 1 3 Fläche mit der -Achse: 1 A = = 49 3 Die Behauptung stimmt A A 3 4 G H c) g(1,5) h(1,5) = 1,875 (,875) = 4,75 Der Abstand der Punkte P und Q ist gleich der Länge der Strecke PQ. g(1,5) h(1,5) > 0: G verläuft oberhalb von H in = 1,5. 3 Q H 1 G P 4

8 6/7 Lehrbuch Seite a) : verfügbares Einkommen; Konsumfunktion K Zwei Punkte: P( ); Q( ) Punktprobe in = m + b ergibt ein LGS: P( ): 1000m + b = 900 Q( ): 1800m + b = 1460 ( 1) Addition: 800m = 560 m = 0,7 Einsetzen ergibt ,7 + b = 900 b = 00 Konsumfunktion K: K() = 0, m = 0,7 bedeutet: 70 % des Zuwachses wird ausgegeben für den Konsum. Von jedem zusätzlich verdienten werden 0,7 für den Konsum ausgegeben. b) Konsumausgaben: K(800) = 760; K(500) = 1950; K(4000) = 3000 c) Konsumquote bei dem Einkommen 4000 = 800: 760 = 95 % K = 500: 1950 = 78 % = 4000: 3000 = 75 % S Je höher das Einkommen, desto mehr nähert sich die Konsumquote 70 % an. d) Sparleistung S in Abhängigkeit vom Einkommen Sparleistung S = Einkommen minus zugehöriger Konsum K() Funktionsterm: S() = K() = 0,3 00 Nullstelle von S: S() = 0 0,3 00 = 0 = 666,6 D. h., erst ab einem Betrag (Einkommen) von mehr als 666 kann ein Individuum etwas sparen (Eistenzminimum).

9 Ausführliche Lösungen zu Mathematisches Grundgerüst Download Lehrbuch Seite 71 4 G 5. K: f() = 0,5 + 3 G: g() = K nach unten geöffnet, durch S (0 3) (0 3) legt die Achseneinteilung auf der -Achse fest. G nach oben geöffnet; G hat Normalparabelform G schneidet die -Achse u. a. in N( 0) ( 0) legt die Achseneinteilung auf der -Achse fest. K h Gerade h verläuft durch (0 3) und ( 1) (ist gleichzeitig Schnittpunkt mit K) h hat also die Steigung m = und damit die Gleichung = + 3 Schnittpunkte mit K durch Gleichsetzen: 0,5 + 3 = + 3 Nullform: 0,5 + = 0 Ausklammern: ( 0,5 + 1) = 0 zwei einfache Schnittstellen: 1 = 0; = h schneidet K in 0 und Schnittpunkte mit G durch Gleichsetzen: = + 3 Nullform: = 0 Binomische Formel: ( 3) = 0 doppelte Schnittstelle = Berührstelle 1 = 3 h berührt G in B(3 3).

10 8/9 Lehrbuch Seite a) K 1 ist der Graph von f wegen S (0 4) K ist der Graph von g wegen S (0 ) b) Gemeinsamer Punkt ( 0) Gleichsetzen: f() = g() 0,5 + 4 = + + Lösung mit Formel: 0,5 + = 0 1 = ± 4 4 Berührstelle 1 = (D = 0) In ( 0) berühren sich die beiden Graphen, sie durchschneiden sich nicht. Kein Vorzeichenwechsel der Differenzfunktion: f() g() 0 für alle. c) f() g() = 5 0,5 + 4 ( + + ) = 5 Zusammenfassen: 0,5 + = 5 Nullform: 0,5 3 = 0 Lösung mit Formel: 1 = ± Lösungen: 1 = 1,16; = 5,16 Die Punkte P 1 auf K 1 und Q 1 auf K mit der -Koordinate 1 = 1,16 bzw. die Punkte P auf K 1 und Q auf K mit der -Koordinate = 5,16 haben jeweils einen Abstand von 5. K f P Q K g 15 0 Q P

11 Ausführliche Lösungen zu Mathematisches Grundgerüst Download Lehrbuch Seite a) K schneidet die -Achse in 0 und in 4. f() = 0 0,5 + = 0 1 K Ausklammern: ( 0,5 + 1) = 0 einfache Nullstellen: 1 = 0; = 4 Aus Smmetriegründen gilt S = Einsetzen von = in f() ergibt: f() = 1 Scheitelpunkt: S( 1) 1 G b) Ursprungsgerade H durch P hat die Steigung m = 3 ; also H: = 1,5 Gleichsetzen: 0,5 + = 1,5 Nullform: 0,5 +,5 = 0 Ausklammern: ( 0,5 +,5) = 0 einfache Schnittstellen: 1 = 0; = 10 Einsetzen in die Geradengleichung ergibt die Schnittpunkte: S 1 (0 0); S (10 15) c) Gleichung der Parallelen zu H: = 1,5 + b Gleichsetzen ergibt: 0,5 + = 1,5 + b Nullform: 0,5 +,5 b = 0 Vereinfachung: b = 0 Bedingung für Berühren: D = b = 0 b = 6,5 doppelte Schnittstelle 1 = 10 = 5 Gleichung der Parallelen: = 1,5 + 6,5 (Tangente an K) Einsetzen in die Geradengleichung ergibt den Berührpunkt: B(5 1,5) d) Der Scheitelpunkt der Parabel G muss auf der -Achse liegen, also Verschiebung um 1 nach unten: g() = 0,5 + 1

12 10/11 Lehrbuch Seite 8 9. f() = + t ;, t R Das Schaubild K von f ist eine verschobene Normalparabel (a = 1, nach oben geöffnet) durch den Punkt S (0 ). Schaubild K c ist eine nach unten geöffnete Parabel und somit kein Schaubild von f. Schaubild K b ist keine verschobene Normalparabel. Vom Scheitelpunkt geht man 1 nach rechts und (etwa) nach oben (a = ). K b ist kein Schaubild von f. Schaubild K a ist eine verschobene Normalparabel, vom Scheitelpunkt geht man 1 nach rechts und 1 nach oben (a = 1), durch den Punkt S (0 ). Punktptrobe mit P(3 1): 1 = 3 + t 3 t = Für t = ist K a ein Schaubild von f. Lehrbuch Seite 85. a) Nullstellen von f: f() = = 0 Ausklammern: 5 ( + 19 ) = 0 Einfache Nullstellen: 1 = 0; = 3,8 Die Dicke des Diskus beträgt 3,8 cm. Scheitelkoordinaten: S = 3,8 = 1,9 wegen Smmetrie mit S = f(1,9)= 5 (1,9) 19 + (1,9) = 9,05 erhält man den Hochpunkt der Parabel: H(1,9 9,05) d = 9,05 = 18,05 Der Durchmesser beträgt 18,05 cm. 5 b) Schnittstellen von Gerade und Parabel: 19 + = Nullform und Vereinfachung: = 0 Lösung mit Formel: ± 76 1 = = ± einfache Schnittstellen: 1 = 1,3; =,5 Die Dicke des Diskus an der Stoffgrenze beträgt,5cm 1,3 cm = 1, cm.

13 Ausführliche Lösungen zu Mathematisches Grundgerüst Download Lehrbuch Seite Bei geeigneter Wahl des Koordinatensstems (siehe Abbildung) verläuft die Gerade 60 durch die Punkt (0 60) und (80 0). Die Gerade hat die Steigung 60 m = 80 = 3 4 Geradengleichung = 0, Der Eckpunkt P hat die Koordinaten 40 0 P und = 0, : P( 0, ) Für den Inhalt des Rechtecks gilt: A() =? ( 0, ); 0 < < 80 A wird maimal im Scheitel der zugehörigen Parabel. Die Parabel schneidet die -Achse in = 0 und = 80 (Der Inhalt des Rechtecks ist jeweils Null) Aus Smmetriegründen gilt also S = 40. Einsetzen ergibt den maimalen Inhalt: A ma = A(40) = 100 Der maimale Flächeninhalt beträgt 100 m. Lehrbuch Seite G: f() = 3 4 a) G nicht punktsmmetrisch zu O: f(1) = 5; f( 1) = 1; Die Bedingung für Punktsmmetrie f( ) = f() ist nicht erfüllt G verläuft vom III. in den I. Quadranten. Verhalten für + : f() + für : f() b) H ist der höchste Punkt der Böschung. H 1 G ist smmetrisch zu (0 ) Der tiefste Punkt (des Kanals) hat die Koordinaten T 1,15 und H 5, denn 1,08 + = 3,08 und 3,08 = 5,08 Die größte Tiefe des Kanals beträgt 5,08 m T

14 1/13 Lehrbuch Seite Bogen: f() = 1 4 ( ) Probe: f(1) = 0; f(5) = 0 d.h. das Koordinatensstem kann wie abgebildet gezeichnet werden. Mit f(3) = 5 ergibt sich P(3 5) Gerade durch D(0 8) und P Die Gerade hat die Steigung m = 1; also = + 8 Die Gerade schneidet die -Achse in 8: 0 = + 8 Befestigungspunkt C(8 0) Abstand von B: 3 m Gebäudewand D 1 Bühnenrückwand P Bühne Befestigungsseil B C Gleichsetzen (Schnittstellen von Bogenfunktion und Befestigungsseil): 1 4 ( ) = + 8 ergibt eine doppelte Lösung in = 3 Die Gerade durch P und D berührt den Bogen in P und schneidet die -Achse in C.

15 Ausführliche Lösungen zu Mathematisches Grundgerüst Download Lehrbuch Seite Reale Situation: Giebel eines Barock-Hauses mit Maßen in m. Reales Modell: Der Rand soll durch eine Polnomfunktion beschrieben werden. Mathematisches Modell: 4 f(): Giebelhöhe (Fensterhöhe) Annahme: Der Graph berührt die -Achse K f in = 4 und = 4. Zwei Berührpunkte mit der -Achse erfordern den Graph einer Polnomfunktion 4. Grades. Fenster 4 Für 4 4 ergibt sich: Ansatz in Produktform f() = a ( + 4) ( 4) Punktprobe mit S(0 4) ergibt a = 1 64 Funktionsterm f() = 1 64 ( + 4) ( 4) 1 = 64 ( 1 6) 1 = Mathematische Lösung: f() beschreibt die Giebelhöhe bzw. die Fensterhöhe in Abhängigkeit von. Für > 0 entspricht der halben Fensterbreite. Giebelhöhe = Fensterhöhe (,5) Ansatz: f() =,5 Nullform: =, = Vereinfachung: = 0 Substitution: u = u 3u + 11 = 0 ± 3 Lösung mit Formel: u 1 = u 1 = 3 ± 4 Rücksubstitution: u 1 = 8 = ± 8 u = 4 = ± geeignete Schnittstellen 4 < < 4: 1 = ; = Das Fenster kann höchstens 4 m breit sein.

16 14/15 Lehrbuch Seite a) Der Wasserspiegel im Becken fällt in den ersten 6 s (Zuflussgeschwindigkeit negativ) und steigt von der 6. bis zur 9. Sekunde (Zuflussgeschwindigkeit positiv). b) Nach 9 s befindet sich am meisten Wasser im Becken. Es floss die längste Zeit (3 s) Wasser in das Becken. c) Bis t = 6 ist das ganze Wasser abgelaufen. Zuflussgeschwindigkeit Zeit ergibt das Volumen ( l min = l). min Die Fläche zwischen der Kurve und der t-achse entspricht also dem Wasserstand zum Zeitpunkt t = 0. 1 Abschätzung als Dreiecksfläche: V 0 = 6 0 = 660 Zu Beginn (t = 0) sind etwa 660 Liter im Becken. Lehrbuch Seite a) g() = f() + 3 = e + 3 Vergleich mit g() = a e + b ergibt: a = 1; b = 3 b) g() = f() = e Vergleich mit g() = a e + b ergibt: a = 1; b = 0 c) g() = 0,5f() 6 = 0,5 e 6 Vergleich mit g() = a e + b ergibt: a = 0,5; b = 6 d) g() = e ( ) = e + = e e Vergleich mit g() = a e + b ergibt: a = e ; b = 0 Bemerkungen: Eine horizontale Verschiebung lässt sich durch eine Streckung in -Richtung (Faktor e ) ersetzen (vgl. Potenzgesetze) Gemeinsame Eigenschaft: Alle Kurven haben eine waagrechte Asmptote.

17 Ausführliche Lösungen zu Mathematisches Grundgerüst Download Lehrbuchseite 14. K: f() = e K verläuft vom 3. in das 1. Feld. Die Gerade mit = ist waagrechte Asmptote. S (0 1); S ( 0,7 0) f( 0,70) 0,01 < 0 ; f( 0,69) = 0, > 0; VZW von f() zwischen 0,70 und 0,69. K entsteht aus dem Schaubild von g (g() = e ) durch Spiegelung an der -Achse: g*() = e und Verschiebung um nach oben: g*() + = f() Lehrbuch Seite a) e e 0,5 = 0 e 0,5 = e e 0,5 e = 0,5 = ln( e ) b) 3 e = 0 e = ln( ) 3 e = e = 3 = ln(3) = ln(3) c) e 5 e = 0 e (1 5) = 0 Satz vom Nullprodukt e = = 0 wegen e 0: 1 5 = 0 einzige Lösung = 0, d) e = 1 = ln(1) = 0 =

18 16/17 Lehrbuch Seite e) e 0, = 0 e 0, + 1 = 1 0, + 1 = ln(1) Mit ln(1) = 0 0, + 1 = 0 = 5 f) 3 0,5 e 0,5 = 0 0,5 e 0,5 = 3 e 0,5 = 6 0,5 = ln(6) = 4ln(6) g) (3 + ) e 1 = = 0 e 1 = 0 Satz vom Nullprodukt 3 + = 0 wegen e 1 3 0: = (einzige Lösung) h) 8 e = 7 e Substitution: u = e 8 u = 7 u Nullform 8u u 7 = 0 Lösung mit Formel u 1 = 1; u = 7 Rücksubstitution e = 1 = 0 e = 7 = ln(7) Lösungen 1 = 0; = ln(7) i) e 0,5 = e e 0,5 e = 0 Ausklammern e 0,5 ( e 0,5 ) = 0 Satz vom Nullprodukt e 0,5 = 0 e 0,5 = 0 e 0,5 = 0 e 0,5 = wegen e 0,5 0 e 0,5 = 0,5 = ln() einzige Lösung = ln()

19 Ausführliche Lösungen zu Mathematisches Grundgerüst Download Lehrbuchseite f() = e + e 0,5 ; g() = e( 1) + 1 a) Kein Schnittpunkt mit der -Achse: f() > 0 da e =,71 > 0 und e 0,5 > 0 für alle R b) f(0) = e + e 0,5 0 = e + 1 g(0) = e(0 1) + 1= e + 1 G 15 K Gemeinsamer Punkt auf der -Achse: S (0 e + 1); Differenz der -Werte für = : g( ) f( ) = 3,7 g() f() = 3 hat eine Lösung nahe bei = 1,5: g( 1,51) f( 1,51),97 g( 1,50) f( 1,50),96 Der gesuchte Wert ist kleiner als 1,50. Hinweis: g() f() = 3 für 4,81 oder 1,5 Lehrbuchseite 159. Reale Situation: In einem See von der Größe 8 ha wachsen Seerosen. Reales Modell Die bedeckte Fläche nimmt wöchentlich um 30% zu. Anfangs sind 150 m der Oberfläche bedeckt. Annahme: Die Zunahme erfolgt eponentiell. Die bedeckte Fläche nach t Wochen (t = 0 entspricht dem Beginn der Messung) soll durch eine Funktion beschrieben werden. Mathematisches Modell: B(0) = 150; B(t): bedeckte Fläche in m ; Mit a = 1,30 ergibt sich B(t) = 150 1,30 t Dieser Funktionsterm beschreibt die bedeckte Fläche in Abhängigkeit von der Zeit t. Schreibweise mit e-basis mit 1,30 = e ln(1,30) = e 0,64 : B(t) = 150 e 0,64t Mathematische Lösung: B(t) = ,30 t = ,30 t = 533,33 Logarithmieren: ln(1,30) t = ln(533,33) t = 3,93 Bewertung: Die Wasserrose bedeckt die gesamte Fläche nach ca. 4 Wochen. Eponentielles Wachstum ist also nur in den ersten 4 Wochen möglich.

20 18/19 Lehrbuch Seite 16. Ansatz: g(t) = a 10 e kt ; t 0; a, k > 0 a) g(0) = a 10 e k 0 = a 10 g(10) = a 10 e 10k Aus g(0) = 10 folgt a 10 = 10 a = 0 Aus g(10) = 16,31 folgt a 10 e 10k = 16,31 a = 0 eingesetzt: 0 10 e 10k = 16,31 Auflösung nach k: 10 e 10k = 3,679 e 10k = 0, k = ln(0,3679) k = ln(0,3679) 10 = 0, ,1 Funktionsterm: g(t) = 0 10 e 0,1 t b) Für t : g(t) 0 wegen e 0,1t 0 Das Schaubild von g hat die waagrechte Asmptote mit der Gleichung = 0. Die Biomasse strebt gegen 0 10 Tonnen. c) 95 % von 0 = 19 Bedingung: g(t) = e 0,1 t = e 0,1 t = 1 e 0,1 t = 0,1 0,1t = ln(0,1) t = 10 ln(0,1) 3,0 Die Zeit bis zur Verwertung beträgt etwa 3 Jahre.

21 Ausführliche Lösungen zu Mathematisches Grundgerüst Download Lehrbuch Seite a) g() = a sin [ b( + c) ] + d; [ [ 0; 1 ] Bedeutung von a und d: d ist der Jahresmittelwert: d = 1 [ 17,5 + (,1) ] = 7,7 a ist die größte Abweichung vom Jahresmittelwert: a = 1 [ 17,5 (,1) ] = 9,8 Bestimmung des Funktionsterms: Die Periode ist 1: Also g() = 9,8 sin [ π 6 ( + c) ] + 7,7 b = π 1 = π 6 Punktprobe mit (3,5 8) ergibt: 8 = 9,8 sin [ π 6 (3,5 + c) ] + 7,7 sin [ π 6 (3,5 + c) ] = 0,3 = 0, Mit WTR: Hinweis: Für z nahe bei 0 gilt: sin(z) z Auflösen nach c: 9,8 [ π 6 (3,5 + c) ] = 0, ; π 0,0306 = 3,1110 c = 0, ,5 = 3,4416 π c = 3, ,5 =,4416 π Lösung: c = 3,44 oder c =,44 Da im Sommer die höchsten Temperaturen auftreten, muss c = 3,44 gewählt werden. (g(0,5) =,1; die Sinuskurve muss nach rechts verschoben werden.) Ergebnis: g() = 9,8 sin [ π 6 ( 3,44) ] + 7,7 Alternative: Lösung mit Regression ergibt g() = 9,9sin(0,51 1,78) + 7,66 1,78 Dann gilt: a = 9,9; b = 0,51; c = = 3,49; d = 7,66 0,51 Hinweis: sin(0,51 1,78) = sin(0,51( 3,49))

22 0/1 Lehrbuch Seite b) f() = 9,7 sin [ π 1 ( 9,4) ] + 14,8; [ 0; 4 ] Bedingung: f() = 0 sin [ π 1 ( 9,4) ] = 5, = 0,536 9,7 π ( 9,4) = 0,566; 1 π ( 9,4) = π 0,566 =, Auflösen nach : = 0,566 π + 9,4 = 11,56 1 =,5766 π + 9,4 = 19,4 Lösung: 1 = 11,56; = 19,4 Zwischen ca. 11:34 Uhr und 19:14 Uhr liegt die Lufttemperatur in Freiburg an diesem Tag über 0 C.

23 Ausführliche Lösungen zu Mathematisches Grundgerüst Download Lehrbuch Seite Um die Firma zu beraten, berechnet man jeweils den Mittelwert und die Standardabweichung der Abfüllmenge beider Automaten. X: Folgekosten in (Automat A) Erwartungswert: E(X) =,10 0,09 + 3,70 0,03 + 5,00 0,0 = 0,40 Varianz: σ = 1,01 Standardabweichung: σ = 1,0 Y: Folgekosten in (Automat B) Erwartungswert: E(Y) = 1,0 0,07 +,90 0,04 + 5,00 0,03 = 0,41 Varianz: σ = 1,59 Standardabweichung: σ = 1,6 Der Mittelwert und die Standardabweichung sind mit dem Automat A kleiner als mit dem Automat B. Automat A scheint genauer abzufüllen und damit weniger Folgekosten zu verursachen. Empfehlung: Automat vom Tp A kaufen. 9. a) A: 1 P(A) = 1 1 = B: 1 1,, 3 3 P(B) = = 1 4 C: 1 1 P(C) = = 3 8 b) X: Gewinn für den Spieler e i sonst i in 0,50,50 4,50 1,50 P(X = i ) E(X) = 0,5 1 +, , ,5 3 4 = 0,65 Das Spiel ist nicht fair. Der Spieler macht auf lange Sicht einen Verlust von ca. 63 Ct pro Spiel.