Trigonometrische Funktionen

Transkript

1 Trigonometrische Funktionen. Gegeben ist die Funktion f() = (sin( π )) Ihr Graph sei K. a) Skizzieren Sie K im Intervall [0,]. Geben Sie die Periode von f an. Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K auf ganz R an. Für welche Werte von nimmt f im Intervall [0,] den Wert an? b) Die Funktion f kann auch in der Form f() = a cos(b) dargestellt werden. Bestimmen Sie a und b. c) K und die -Achse begrenzen zwischen benachbarten Nullstellen jeweils eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt einer solchen Fläche eakt. d) Der Graph einer ganzrationalen Funktion g dritten Grades hat in P( ) einen Hochpunkt und in Q( 0) einen Tiefpunkt. Bestimmen Sie einen Funktionsterm für g. An welchen Stellen im Intervall [, ] weichen die Funktionswerte von f und g am stärksten voneinander ab?

2 g f. a) 3 Periode p = H(k + ), k Z T(k 0), k Z = 0,5 und =,5 b) f(0) = 0 = a = = p = π b = b = π f() = cos(π ) c) A = 0 f()d = d) Ansatz f() = a 3 +b +c+d Bedingungen:. g() =. g () = 0 3. g() = 0. g () = 0. a+b+c+d =. 3a+b+c = a+b+c+d = 0. a+b+c = 0 0 ( cos(π ))d =[ π sin(π )] 0 = Die Funktion lautet: f() = Maimalstellen für d() = f() g() lauten: =,8 und =,7 d ma = 0,0.

3 Trigonometrische Funktionen. Der Temperaturverlauf außerhalb eines Hauses während eines Tages kann durch eine Funktion f() = 8 sin[ π ( 8,5)]+, 0 beschrieben werden ( in Stunden, f() in C). Die Abbildung zeigt den Graphen K f von f sowie den innerhalb des Hauses gemessenen Temperaturverlauf K g K f 8 K g a) Berechnen Sie, zu welchen Uhrzeiten die Außentemperatur minimal bzw. maimal ist. Wie viele Stunden an diesem Tag beträgt die Außentemperatur höchstens C? Wann ist der Temperaturanstieg im Freien am größten? Bestimmen Sie die durchschnittliche Temperatur im Freien zwischen 6 und 8 Uhr. b) Bestimmen Sie einen Term der Funktion g, der den Temperaturverlauf K g wiedergibt. Beschreiben Sie, wie K g aus dem Schaubild der Sinusfunktion mit = sin entsteht. Geben Sie eine mögliche Ursache für die zeitliche Verschiebung der beiden Temperaturverläufe K f und K g an. Zu welcher Uhrzeit ist der Unterschied zwischen Innen- und Außentemperatur am größten? c) Für den folgenden Tag wird vermutet, dass der Temperaturverlauf außerhalb des Hauses durch eine Funktion h mit h() = 0 sin[ π ( 8,5)]+a+b, 8 beschrieben werden ( in Stunden, h() in C). Dabei stimmen zum Zeitpunkt = sowohl die durch f und h beschriebenen Temperaturen als auch ihre momentanen Änderungsraten überein. Ermitteln Sie a und b. Begründen Sie, warum die durchschnittliche Außentemperatur am zweiten Tag nur durch den Term a+b bestimmt wird. 3

4 . a) Nach,5 Stunden (um :30 Uhr) beträgt die minimale Außentemperatur 3 C, nach,5 Stunden (um :30 Uhr) beträgt die maimale Außentemperatur 9 C. 8,98 und 0,0 8,98+( 0,0) = 3 [Stunden] Der Temperaturanstieg im Freien ist bei = 8,5 am größten. Durchschnittliche Temperatur zwischen 6 und 8 Uhr beträgt 5,0 C. b) Ansatz: g() = a sin[b(+c)]+d, Der Graph von g ist um 8 nach oben verschoben, also d = 8. Die Amplitude beträgt a = 3. Die Periode von g beträgt und damit gilt = π b = b = π Der Graph ist um nach rechts verschoben, also c =. g() = 3 sin[ π ( )]+8 Der Graph von g entsteht aus der Sinusfunktion durch folgende Schritte: ) Streckung mit dem Faktor a = 3 in -Richtung ) Streckung mit dem Faktor in -Richtung (Kehrwert!, beachte die Perioden π und ) π 3) Verschiebung um nach rechts ) Verschiebung um 8 nach oben Die Ursache für die zeitliche Verschiebung liegt darin begründet, dass eine Temperaturänderung im Freien sich erst zeitversetzt im Haus bemerkbar macht. Größter Unterschied zwischen Innen- und Außentemperatur: Die Differenz wird dargestellt durch die Funktion d() = f() g(). Maimum an der Stelle = 3,, also um 3:06 Uhr. c) h() = f() a+b =,587 h () = f () a 0,39 = 0 = a = 0,3 und b =,9 D = 8 ( 0 sin[ π ( 8,5)] }{{} +a+b)d Periode p =, Integral ist Null

5 Trigonometrische Funktionen 3. Gegeben ist die Funktion f() =( +) sin(), R. a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f im Intervall [ 3 π 5 π]. b) Zeigen Sie algebraisch, dass die Gerade g mit = + im Punkt P(π f(π )) Tangente für den Graphen von f ist. Untersuchen Sie, ob die Gerade g noch für weitere Punkte des Graphen von f Tangente ist. c) Zeigen Sie, dass gilt: f ()+f() = cos() und begründen Sie damit (durch Integration beider Seiten): f()d = sin()+( ) cos()+c 3 3π π π π 3π 5π π π

6 Trigonometrische Funktionen. Gegeben ist die Funktionenschar f k () = cos(k) k, k R\{0}, R. a) Durch welche Abbildungen gehen die Graphen von f k aus dem Graph von f hervor? b) Begründen Sie: Die Graphen von f k besitzen genau eine Nullstelle. Ermitteln Sie diese. c) Untersuchen Sie die Schar auf Etrema und Wendepunkte. d) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, den der Graph von f und die Gerade = für 0 π einschließen. e) Zeigen Sie, dass f punktsmmetrisch bezüglich P( 3 π f ( 3 π))ist. f) Die Gerade = k und der Graph von f k schließen zwischen zwei aufeinander folgenden Schnittpunkten eine Fläche A ein. Ermitteln Sie den Wert für k, damit gilt: A = FE. 3 3π π π π 3π π π

7 Trigonometrische Funktionen. Gegeben ist die Funktionenschar f k () = cos(k) k, k R\{0}, R. a) Durch welche Abbildungen gehen die Graphen von f k aus dem Graph von f hervor? Streckung/Stauchung in -Achsenrichtung für k > 0 Der Graph von f k geht durch -Achsen-Spiegelung aus dem Graphen von f k hervor. Dieses wird im Weiteren häufig verwendet. b) Begründen Sie: Die Graphen von f k besitzen genau eine Nullstelle. Ermitteln Sie diese. Bed. für f : cos() = +, = 0 c) Untersuchen Sie die Schar auf Etrema und Wendepunkte. f k () = cos(k) k W( π k +zπ... ), z Z k d) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, den der Graph von f und die Gerade = für 0 π einschließen. A = e) Zeigen Sie, dass f punktsmmetrisch bezüglich P( 3 π f ( 3 π))ist. g() = f (+ 3 π) = cos(+ 3 π) (+ 3 π) = sin() 3 π h() = sin() ist punktsmmetrisch zum Ursprung beachte: g(0) = 3 π = f ( 3 π) f) Die Gerade = k und der Graph von f k schließen zwischen zwei aufeinander folgenden Schnittpunkten eine Fläche A ein. Ermitteln Sie den Wert für k, damit gilt: A = FE. = π k, = 3 k π Für k = gilt: A =. Daher muss k = sein. 7

8 f g 3 a) Wie groß ist der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen der trigonometrischen Funktion f und der Parabel g? b) Unter welchem Winkel treffen sich die Graphen bei =? a) f() = cos(π )+ 3 g() = ( ) A = 0 3 FE b) α = 63, 8

9 Gemeinsame Periode Abgebildet ist der Graph von f() = sin(a)+sin(b) für a = 5 und b =. Wie kann die Periode aus a und b bestimmt werden? Die Perioden der Teilfunktionen lauten p = 5 π und p = 8π. Für eine Funktion mit der Periode p ist auch ein ganzzahliges Vielfaches von p ein Periodenintervall. Die Periode von f ist daher das kleinste ganzzahlige Vielfache von p und p, hier also 8π. Die (in Ni mögliche) Ermittlung zweier Maima mit dem GTR ist etwas mühsam. Mit f besitzt auch f die Periode p. Für die obige Funktion f gilt: f (0) = f (8π) = und für 0 < < 8π ist f () <. Dies belegt, dass das kürzeste Periodenintervall die Länge 8π hat. 9

10 Rückwärtsrechnen A = 3 a f π Zu sehen ist der Graph von f() = a sin(b). Bestimme a und b. Periodenlänge π = b = untere Integrationsgrenze: f() = a π A = f()d = 3 = a = π = = π 0

11 Rückwärtsrechnen A = a f a π π Zu sehen ist der Graph von f() = a sin(b). Bestimme a und b. Periodenlänge p = π = b = π a [ π 8 + π sin()d]= = a =,55 π

12 Trigonometrische Funktionen a) Der Graph von f() = a sin( π b π c ) ist dargestellt. Bestimme a, b und c. b) Der Graph von f() = a sin( π b + π c )+d ist dargestellt. Bestimme a, b, c und d.

13 a) a = 0, b = 0, c = b) a = 6, b =, c =, d = 3

14 Sinus-Funktion nach rechts verschieben (c > 0): f() = a sin(b( c))+d nach links verschieben: f() = a sin(b(+c))+d Zuerst d ermitteln, dann a, b, c. a c d p = π b f() = 6 sin( π (+3))+3

15 Trigonometrische Funktionen Gegeben ist die Funktion f() = sin() sin(), D = R. Ermitteln Sie die Periode, die Null- und die Etremstellen von f. Welche Smmetrien weist der Graph von f auf? Es gilt: sin() = sin() cos() cos() = cos () 5

16 Trigonometrische Funktionen Ergebnisse Gegeben ist die Funktion f() = sin() sin(), D = R. Ermitteln Sie die Periode, die Null- und die Etremstellen von f. Welche Smmetrien weist der Graph von f auf? Es gilt: sin() = sin() cos() cos() = cos () Periode p = π Nullstellen: = π, = π, 3 = 3 π, = 5 3 π, sowie plus alle ganzzahligen Vielfachen der Periode. Etremstellen: cos() cos ()+ = 0 = 0,568, =,06, 3 =,078, = 5,75, sowie plus alle ganzzahligen Vielfachen der Periode. Smmetrie: Der Graph ist punktsmmetrisch zum Ursprung und zu allen Punkten auf der -Achse, deren -Koordinate ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. 6

17 Trigonometrische Funktionen Gegeben ist die Funktion f() = sin() sin(), D = R. Ermitteln Sie die Periode, die Null- und die Etremstellen von f. Welche Smmetrien weist der Graph von f auf? Es gilt: sin() = sin() cos() cos() = cos () Periode p = π Nullstellen: = 0, = π, 3 = π, sowie plus alle ganzzahligen Vielfachen der Periode. Etremstellen, notw. Bed.: cos () cos() = 0 = 3 π, = 3 π, sowie plus alle ganzzahligen Vielfachen der Periode. Smmetrie: Der Graph ist punktsmmetrisch zum Ursprung und zu allen Punkten auf der -Achse, deren -Koordinate ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. 7

18 Trigonometrische Funktionen Gegeben ist die Funktion f() = cos()+cos()+, D = R. Ermitteln Sie die Periode, die Null- und die Etremstellen von f. Welche Smmetrien weist der Graph von f auf? Es gilt: sin() = sin() cos() cos() = cos () Periode p = π Nullstellen: / = ±π, 3/ = ± π, sowie plus alle ganzzahligen Vielfachen der Periode. Etremstellen: sin()(+cos()) = 0 = 0, = 3 π, 3 = 3 π, sowie plus alle ganzzahligen Vielfachen der Periode. Smmetrie: Der Graph ist achsensmmetrisch zur -Achse und zu allen Parallelen, deren Abstand ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. 8

19 Trigonometrische Funktionen Gegeben ist die Funktion f() = sin() cos(), D = R. Ermitteln Sie die Periode, die Null- und die Etremstellen von f. Welche Smmetrien weist der Graph von f auf? Es gilt: sin() = sin() cos() cos() = cos () Periode p = π Nullstellen: sin ()+sin() = 0 Zwischenlösungen: sin() = und sin() = = 6 π, = 5 6 π, 3 = 3 π, sowie plus alle ganzzahligen Vielfachen der Periode. Etremstellen, notw. Bed.: cos() (+sin()) = 0 = π, = 3 π, 3 = 3,39, = 6,03, sowie plus alle ganzzahligen Vielfachen der Periode. Smmetrie: Der Graph ist achsensmmetrisch zu allen Parallelen zur -Achse, deren Abstand π oder 3 π plus einem ganzzahligen Vielfachen der Periode beträgt. 9

20 Trigonometrische Funktionen. Gegeben ist die Funktion f t () = ( t +) cos(t), t R+, R. Sei A(t) der Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f t in den Grenzen von 0 bis zur. (rechts liegenden) Nullstelle. Für welches t ist A(t) minimal?. Gegeben ist die Funktion f t () = (t +) sin( tπ ), t R+, R. a) Zeichnen Sie die Graphen für t = und t =. Ermitteln Sie die Größe des Winkels, den beide Graphen in den gemeinsamen Schnittpunkten mit der -Achse bilden. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der -Achse zwischen zwei benachbarten Nullstellen für t = und allgemeines t. Untersuchen Sie, ob es Werte von t gibt, für die diese Fläche am kleinsten ist. c) Ermitteln Sie die Ortslinie der Hochpunkte im. Quadranten mit kleinster -Koordinate. 3. a) Welche quadratische Funktion (Parabel) g berührt den Graphen der Sinusfunktion f() = sin() in O(0 0) und A(π 0)? b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g. c) Wie groß ist die maimale Differenz der Funktionswerte von f und g im Bereich 0 π? 0

21 Trigonometrische Funktionen. Gegeben ist die Funktion f t () = ( t +) cos(t), t R+, R. Sei A(t) der Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f t in den Grenzen von 0 bis zur. (rechts liegenden) Nullstelle. Für welches t ist A(t) minimal? N = π t, A(t) = t +, t t min =. Gegeben ist die Funktion f t () = (t +) sin( tπ ), t R+, R. a) Zeichnen Sie die Graphen für t = und t =. Ermitteln Sie die Größe des Winkels, den beide Graphen in den gemeinsamen Schnittpunkten mit der -Achse bilden. α =,0 ; α =,3 b) Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der -Achse zwischen zwei benachbarten Nullstellen für t = und allgemeines t. A = 0 π, A t = (t +) πt Untersuchen Sie, ob es Werte von t gibt, für die diese Fläche am kleinsten ist. t min = c) Ermitteln Sie die Ortslinie der Hochpunkte im. Quadranten mit kleinster -Koordinate. Ma( t t +), h() = + 3. a) Welche quadratische Funktion (Parabel) g berührt den Graphen der Sinusfunktion f() = sin() in O(0 0) und A(π 0)? g() = π + b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g. A = π 6 = 0,355 c) Wie groß ist die maimale Differenz der Funktionswerte von f und g im Bereich 0 π? d ma = π

22 Rückwärtsrechnen a f A = π 3 π Zu sehen ist der Graph von f() = a cos(b+c). Bestimme a, b und c. Periodenlänge π = b = Verschiebung um π = c = π π A = f()d = = a = 0

23 Funktionenschar Von einer Funktionenschar f k sind die Graphen von f, f, f 3 und f abgebildet. Gib einen möglichen Funktionsterm f k an. Zeigen Sie, dass die Tangenten in den Punkten P k (...) von f k einen gemeinsamen Schnittpunkt haben

24 Funktionenschar Von einer Funktionenschar f k sind die Graphen von f, f, f 3 und f abgebildet. Gib einen möglichen Funktionsterm f k an. Zeigen Sie, dass die Tangenten in den Punkten P k (...) von f k einen gemeinsamen Schnittpunkt haben f k () = k+k sin( π ) Tangenten = kπ( )+k oder = k( π +π +) Schnittstelle s = (π+) π

25 Funktionenschar Gegeben sind die beiden Funktionenscharen f a () = a sin() und g a() = 3 3 a sin() für 0 π und a R +. a) Es sind Graphen für a {,,3,,5} abgebildet. Ordnen Sie sie zu. b) Wie lauten die Etrempunkte von g a? c) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von g a in Abhängigkeit von a. d) Durch welche Abbildungen geht der Graph von g aus dem Graph von f hervor? e) Für welche Werte von a schneiden sich die Graphen von f a und g a an der Stelle = 3 π? f) Für welche Werte von a berühren sich die Graphen? g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, den die Graphen für a = einschließen. h) Sei a =. Die Tangenten in den Schnittpunkten der beiden Graphen bilden ein Drachenviereck. Ermitteln Sie seinen Inhalt

26 Funktionenschar Ergebnisse a) Es sind Graphen für a {,,3,,5} abgebildet. Ordnen Sie sie zu.... b) Wie lauten die Etrempunkte von g a? ( Min π 3 a) 3 ( 3, Ma π 3+ a) 3 c) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von g a in Abhängigkeit von a. Nullstellen für a < 3, Nullstelle für a = 3, keine Nullstelle für a > 3 d) Durch welche Abbildungen geht der Graph von g aus dem Graph von h() = sin() hervor? Streckung in -Richtung mit dem Faktor k =,5, Spiegelung an der -Achse, Verschiebung in -Richtung um 3 e) Für welche Werte von a schneiden sich die Graphen von f a und g a an der Stelle = 3 π? a 8a+ = 0 = a =, a = 6 f) Für welche Werte von a berühren sich die Graphen? f a ( π) = g a( π) (Etremstellen!) a 3a+ = 0 = a / = 3 g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, den die Graphen für a = einschließen. 3 π A = [f () g ()]d = 0,86 3 π h) Sei a =. Die Tangenten in den Schnittpunkten der beiden Graphen bilden ein Drachenviereck. Ermitteln Sie seinen Inhalt. ( S 3 π ) ( 3, S 3 π ) 3 Tangentengleichungen in S : = 0,5+0,7 = 0,75+,8 an der Stelle = π: = 0,5639, = 0,003 Diagonallängen e =,07, f = 0,536 (vertikal) A = 0,7 6

27 Funktionenschar a) Zu sehen sind verschiedene Graphen der Kurvenschar f k () = k (+sin(k)) für k 0. Ermitteln Sie begründet die Parameter für die dargestellten Graphen. b) Für positive Werte des Parameters k liegen die. Hochpunkte rechts von der -Achse auf einer Ortslinie. Ermitteln Sie deren Gleichung. c) Zeichnen Sie die Graphen für k = und k =. Ermitteln Sie jeweils den Flächeninhalt zwischen Graph und -Achse zwischen zwei benachbarten Nullstellen. Stellen Sie eine Vermutung für den Flächeninhalt für allgemeine Werte für k auf. Machen Sie diese plausibel. Beweisen Sie Ihre Vermutung. 7

28 Funktionenschar a) Zu sehen sind verschiedene Graphen der Kurvenschar f k () = k (+sin(k)) für k 0. Ermitteln Sie begründet die Parameter für die dargestellten Graphen. Beachte: f k (0) = k b) Für positive Werte des Parameters k liegen die. Hochpunkte rechts von der -Achse auf einer Ortslinie. Ermitteln Sie deren Gleichung. Ma( π k k), g() = π c) Zeichnen Sie die Graphen für k = und k =. Ermitteln Sie jeweils den Flächeninhalt zwischen Graph und -Achse zwischen zwei benachbarten Nullstellen. k = : = 3 π, = 7 π k = : = 3 π, = 7 π, A = π Stellen Sie eine Vermutung für den Flächeninhalt für allgemeine Werte für k auf. Machen Sie diese plausibel. Beweisen Sie Ihre Vermutung. A ist unabhängig von k. Beachte: Steckung/Stauchung in - und -Achsenrichtung 8

29 Funktion f() = a sin(b) Die mit einer quadratischen Funktion multiplizierte Sinusfunktion ist vom angegebenen Tp, P(5,5) liegt auf ihrem Graphen. Ermitteln Sie a und b und sodann die Stellen mit waagerechter Tangente im Bereich

30 Sinus-Funktion Ermitteln Sie den Funktionsterm

31 . Wie lautet die 3. Nullstelle von f k () = ( +) sin(k) für 0 vom Ursprung aus betrachtet?. Gegeben ist die Funktion f() = cos(). Zeigen Sie f ()+f() = sin() und berechnen Sie f()d. 3

32 Funktionenschar Wie lautet die 3. Nullstelle von f k () = ( +) sin(k) für 0 vom Ursprungaus betrachtet? g() = sin(k) π k π k Es sind Fälle zu unterscheiden: < π k k < π, N = π k π k < π k π < k π, N = = π k k = π, N = π k = 8 π k < π < k, N = π k k = π f k () = ( +) sin(k)

33 Streckung Der untere Graph geht durch Streckung in -Richtung aus dem oberen Sinus-Graph hervor. Ermitteln Sie den Funktionsterm des unteren Graphen. π π 3π 5π π

34 - Gegeben ist der Graph von f() = cos(). Ermitteln Sie den maimalen Flächeninhalt des einbeschriebenen Dreiecks. 3