21 Winkelfunktionen

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1 Winkelfunktionen. Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Ein Dreieck, in dem ein Winkel genau 90 hat nennt man ein rechtwinkliges Dreieck. Für die Dreiecksseiten hat man hier verschiedene Bezeichnungen eingeführt. Hypothenuse: Ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Kathete: Sind die Seiten, die zusammen den rechten Winkel bilden. A C Kathete Kathete b a c B Hypothenuse Im Dreieck gilt: Die Summe der Innenwinkel beträgt 80 Im rechtwinkligen Dreieck gilt: Satz des Pythagoras: Kathete Kathete Hypothenuse hier : a b c SinusWinkels Gegenkathete Hypothenuse hier: sin a c bzw. sin b c Co sinus Winkels Ankathete Hypothenuse cos b c hier: bzw. cos a c Gegenkathete Tangens Winkels Ankathete tan a b hier: bzw. tan b a

2 Beispiele und Anwendungen. Wie hoch steht ein Drachen, wenn die gespannte Schnur von 50m Länge einen Winkel von 5 mit dem Erdboden bildet? (Skizze) h 39,4m. Eine Fichte wirft einen 30m langen Schatten. Die Sonnenstrahlen sind 35 gegen den Erdboden geneigt. Wie hoch ist die Fichte? h m 3. Ein 3,5m hoher Bahndamm hat ein achsensymmetrisches Trapez als Querschnitt. Der Damm ist mit 0m oben halb so breit wie unten. Bestimme den Böschungswinkel Das obere Ende einer 5m langen Leiter erreicht an einer Hauswand eine Höhe von 4,5m. Wie groß ist der Neigungswinkel der Leiter? Wie weit steht die Leiter von der Hauswand entfernt? 64, s,m 5. Eine Leiter bildet mit einer Hauswand einen Winkel von 0, das untere Ende der Leiter ist 0dm von der Hauswand entfernt. Wie lang ist die Leiter? 5,85m 6. Im Deutschen Museum hängt ein 60m langes Pendel. Jeden Tag wird es 40cm waagrecht ausgelenkt. Berechne den Auslenkwinkel und die maximale Hubhöhe des Schwerpunktes.,34, h,6cm 7. Ein Haus mit gleichschenkligem Satteldach ist 0m breit (von Dachrinne zu Dachrinne) und 0m lang. Wie groß ist die Dachfläche bei einer Neigung von 50? A 3m 8. Mainz liegt auf dem 50. Breitengrad. Wie viel Prozent des Erdumfangs muss man zurücklegen, wenn man auf diesem Breitenkreis die Erde umrunden würde? (Erdradius 6.370km ) p 64,3% 9. Neapel und New York liegen ziemlich genau auf dem 4. Breitengrad. Neapel hat etwa die geographische Länge 4 Ost, New York 74 West. Wie weit ist es von Neapel nach New York a) auf dem Breitenkreis db 7383,8km b) durch einen geraden Tunnel dt 6679,km c) auf dem Großkreis? 0. Der offene Riementrieb ist ein Getriebe, bei dem ein Treibriemen eine Kraft von einem Rad auf ein anderes Rad überträgt. So treibt beim Auto ein Keilriemen den Ventilator und die Lichtmaschine an, beim Fahrrad überträgt die Kette die Antriebskraft aufs Hinterrad. Zwei Räder mit den Radien R 9,5cm und r 4,5cm haben einen Achsabstand von z 47cm. Wie lang ist der Treibriemen?

3 . Die Cheopspyramide in Ägypten ist die größte Pyramide der Welt. Die Grundkantenlänge der quadratischen Pyramide beträgt a 30m, der Neigungswinkel ihrer Seitenkanten 4 Wie hoch war die Pyramide ursprünglich (durch das Abbröckeln der obersten Steine ist sie heute 9,5m niedriger)?. Eine punktförmige Masse hängt an einem gespannten Faden der Länge,5m. Die Masse wird nun um einen Winkel von a 35 nach links ausgelenkt. Berechnen Sie, um welche Höhe der Körper dabei angehoben werden muss und um welche Strecke der Körper nach links ausgelenkt wird? h 0,6m s 0,77m s 0,764m, waagrecht, Bogen 3

4 . Der Einheitskreis Für den Umfang eines Kreises mit dem Radius r gilt: U r Ist r (Einheitskreis), so ist U Am Einheitskreis gilt: Ein Vollkreis (Kreis mit Mittelpunktswinkel von 360 ) hat den Umfang. Das heißt also, die Länge des Kreisbogens ist. Definition: die Länge eines Kreisbogens mit dem Radius r nennt man die Bogenlänge. Hat der Kreis den Radius r, so bezeichnet man die Bogenlänge als Bogenmaß. Wie groß ist nun aber das Bogenmaß b eines Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel 5? Nach dem klassischen Dreisatz gilt: b 5 b b 0, b Allgemein gilt nun für das Bogenmaß b, das zum Mittelpunktswinkel gehört (und b umgekehrt): b b b Die Einheit des Bogenmaß ist das Radiant (rad), wird aber der Einfachheit halber weggelassen..) Wandle um in Bogen- bzw. Gradmaß ( DZ) 57, , , ,66 b,3 0,75,79 5 5,4 6,98 9 Wichtige Winkel!! b Für die Bogenlänge folgt: U eines Kreissektors mit dem Radius r und dem Bogenmaß b b U b r b Bsp.: Welchen Weg legt eine Schiffschaukel zurück, deren Schaukel eine Länge von 3,0m und um einen Winkel von 5 ausgelenkt wird? r Ub r b... 0,785...m 0,79m 80 4

5 .3 Die Sinusfunktion Wählt man auf einem Einheitskreis einen Punkt A, so folgt für seine y-koordinate: ya sin( ) (im Gradmaß) oder auch ya sin(b) (im Bogenmaß). Das heißt also, dass jedem Wert von b genau ein Wert y A zugeordnet werden kann. sin b Trägt man auf der x-achse den Winkel im Bogenmaß an und auf der y-achse den dazugehörigen Wert y A, so erhält man eine Kurve (die Sinuskurve). (Die Bezeichnung Sinus leitet sich von dem lateinischen sinus ab, was soviel heißt wie Bogen oder Busen.) Zeichnen wir den Graphen der Funktion f : x sin(x) mit Hilfe einer Wertetabelle. Winkel Bogenmaß x Bogenmaß x 0 0,5 0,79,05,57,09,36,6 3,4 sin(x) 0 0,5 0,7 0,87 0,87 0,7 0,5 0 Winkel Bogenmaß x Bogenmaß x 3,67 3,93 4,9 4,7 5,4 5,50 5,76 6,8 sin(x) -0,5-0,7-0, ,87-0,7-0,

6 Lässt man für x alle reellen Werte zu, so sieht der Graph der Sinusfunktion schließlich so aus! Periode Eigenschaften der Sinusfunktion:. \W ; f f : x sin x Der Sinus nimmt den Maximalwert für Der Sinus nimmt den Minimalwert für x k mit k Z an HP. k k x k mit k Z an TP.. G f ist symmetrisch zum Koordinatenursprung 3. Die Sinusfunktion hat die Periode. Ein Wellenberg und das darauffolgende Wellental bilden die Periode der Sinuskurve (da sich der gleiche Verlauf wiederholt!). 4. Die Nullstellen der Sinusfunktion sind Vielfache von. Sie haben die Form x n mit n Z. n Berechnung von Argumenten der Sinusfunktion 6

7 .4 Die Kosinusfunktion Wählt man auf einem Einheitskreis einen Punkt A, so folgt für seine x-koordinate: xa cos( ) (im Gradmaß) oder auch xa cos(b) (im Bogenmaß). Das heißt also, dass jedem Wert von b genau ein Wert x A zugeordnet werden kann. Trägt man auf der x-achse den Winkel im Bogenmaß an und auf der y-achse den dazugehörigen Wert x A, so erhält man eine Kurve (die Kosinuskurve). (Die Bezeichnung Kosinus leitet sich von dem lateinischen complementi sinus, also Sinus des Komplementärwinkels ab.) Zeichnen wir den Graphen der Funktion f : x cos(x) mit Hilfe einer Wertetabelle. Winkel Bogenmaß x Bogenmaß x 0 0,5 0,79,05,57,09,36,6 3,4 cos(x) Winkel Bogenmaß x Bogenmaß x 3,67 3,93 4,9 4,7 5,4 5,50 5,76 6,8 cos(x) 7

8 Lässt man für x alle reellen Werte zu, so sieht der Graph der Kosinusfunktion schließlich so aus! Eigenschaften der Kosinusfunktion:. \W ; f f : x cos x Der Kosinus nimmt den Maximalwert für xk k mit k Z an HP. x k mit k Z an TP. Der Kosinus nimmt den Minimalwert für. G f ist symmetrisch zur y-achse 3. Die Kosinusfunktion hat die Periode. 4. Die Nullstellen der Kosinusfunktion sind Vielfache von. Sie haben die Form x n mit n Z. n k 8

9 .5 Die Tangensfunktion Wählt man auf einem Einheitskreis einen Punkt A, so schneidet die Halbgerade MA die Tangente an den Einheitskreis durch den Punkt P im Punkt Q. PQ tan (im Gradmaß) So gilt für die Länge der Strecke bzw. PQ tanb (im Bogenmaß). Das heißt also, dass jedem Wert von b genau ein Wert PQ zugeordnet werden kann. Es gilt: Gegenkathete PQ tan Ankathete MP MP PQ Trägt man auf der x-achse den Winkel im Bogenmaß an und auf der y-achse die Länge der Strecke PQ, so erhält man eine Kurve (die Tangenskurve). (Die Bezeichnung Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis) Zeichnen wir den Graphen der Funktion f : x tan(x) mit Hilfe einer Wertetabelle. 9

10 Winkel Bogenmaß x Bogenmaß x 0 0,5 0,79,05,57,09,36,6 3,4 tan(x) Winkel Bogenmaß x Bogenmaß x 3,67 3,93 4,9 4,7 5,4 5,50 5,76 6,8 tan(x) Lässt man für x alle reellen Werte zu, so sieht der Graph der Tangensfunktion schließlich so aus! 0

11 Eigenschaften der Tangensfunktion:. f ID IR\ n n ZZ f : x tan x. \Wf IR 3. G f ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung 4. Die Tangensfunktion hat die Periode. 5. Die Nullstellen der Tangensfunktion haben die Form xn n mit n Z..6 Berechnung von Argumenten trigonometrischer Funktionen Oft hat man eine Gleichung der Form sin(x) a a ; mit zu lösen. Mit Hilfe der INV-Taste des Taschenrechners kann man diese Gleichung recht gut angehen..) Lösen Sie folgende Gleichungen für x ; a) sin(x) 0,435 b) sin(x) 0,845 c) sin(x) 0,58 d) sin(x) 3 Diese Aufgaben sind recht einfach, da der TR Werte liefert zwischen und. Ändert sich die Grundmenge, so wird die Lösungsfindung schon etwas interessanter! Löse die Gleichung sin(x) 0,75 für x 0 ; Der TR liefert: x 0,848 Es gibt aber noch eine zweite Lösung!. x x Für die zweite Lösung folgt: x 0,848,935

12 .) Lösen Sie folgende Gleichungen für x 0 ; a) sin(x) 0,474 b) sin(x) 0,9086 c) sin(x) d) sin(x) 5 3 Noch interessanter! Löse die Gleichung sin(x) 0,75 für x 0 ;. Hier liefert der TR den Wert xtr 0,848 Zur Lösungsfindung benötigt man nun wieder den Graph der Sinusfunktion. xtr x x Durch Überlegung erhält man die beiden Lösungen: x x 0,848 3,9897 TR x x 0,848 5,4309 TR 3.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x 0 ; a) sin(x) 0,845 b) sin(x) 0,0733 c) sin(x) 5 5 d) sin(x) 4 Interessiert man sich für die Lösungen der Gleichung sin(x) a über der Grundmenge IR, so bestimmt man zunächst die Lösungen für das Intervall 0 ; und addiert zu diesen noch jeweils k mit k ZZ, dazu. (Periodizität der Sinusfunktion!) 4.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x IR a) sin(x) 0,845 b) sin(x) 0,774 c) sin(x) 0,63 d) sin(x) 7

13 5.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x 0 ; a) cos(x) 0,435 b) cos(x) 0,845 c) cos(x) 0,58 d) cos(x) 3 Diese Aufgaben sind recht einfach, da der TR Werte liefert zwischen 0 und. 6.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x 0 ; a) cos(x) 0,474 b) cos(x) 0,9086 c) cos(x) d) cos(x) ) Lösen Sie folgende Gleichungen für x IR a) cos(x) 0,845 b) cos(x) 0,774 c) cos(x) 0,63 d) cos(x) 7 8.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x ; a) tan(x) 0,6 b) tan(x) 3 c) tan(x) d) tan(x) 9.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x IR a) tan(x) b) tan(x) c) tan(x) 3 d) tan(x) 3 Berechnen Sie unter welchem Winkel sich die Geraden schneiden.. f : x x g : x x x 0 8,43. f : x 3x 5 g : x x 3. f : x x g : x x x 8,3 4. f : x x g : x x x x 40,60 ; x 40,60 5. f : x x x g : x x x x f : x x x g : x x x f : x x 3x g : x x 7x x 5 3,9, x 0 65,4, x4 89,8 3

14 f : x x 7 x g : x x x 5 6 f : x x x g : x x x m m tan m m m m arctan m m 4