Kepler-Gymnasium Freudenstadt. Mathematikcurriculum Kursstufe. Legende: Aufbau: Kompetenzbereiche:

Transkript

1 Kepler-Gymnasium Freudenstadt Mathematikcurriculum Kursstufe Legende: Kerncurriculum: normale Darstellung Schulcurriculum: gelb hinterlegt Wahlberreich: blaugrau unterlegt (geklammert) Aufbau: Zunächst sind die Kompetenzbereiche deren Umsetzungsmöglichkeiten notiert. Dann folgen die verbindlichen Inhalt des Bildungsplans inkl. Ergänzungen. Schließlich die konkrete Umsetzung tabellarisch nach dem Stoffverteilungsplan zum eingeführten Schulbuch (Lambacher Schweizer Kursstufe). Kompetenzbereiche: LERNEN Informationsquellen, insbesondere mathematische Texte erschließen für den Aufbau neuen Wissens nutzen Texte aus Buch oder Skript selbstständig erarbeiten Artikel aus Matheduden, Internet oder ähnlichen Quellen erarbeiten Vor allem für GFS darauf auf interessante Quellen hinweisen (es gibt nicht nur Wikipedia) mit vorgegebenen Arbeitsanweisungen Hilfsmitteln sich neue Lerninhalte selbstständig aneignen z.b. Planarbeit Nutzung der Formelsammlung (auch fremde Formeln nutzen) des GTR Ausprobieren den eigenen Lernprozess vorstrukturieren, organisieren dokumentieren z.b. Führen eines Lerntagebuchs z.b. Dokumentation der Lerninhalte am Ende jeder Ste (z.b. als Mindmap) jeder Lerneinheit Zum Einstieg in ein Thema: Sammeln der Schülerinteressen zum Thema Lernplan fürs Abitur erstellen Aufgabenorganisation: Die Aufgaben sind im Buch immer gleich strukturiert (bis zum Kasten einfach grlegend, dann anspruchsvoller). mit einem Partner oder in einer Gruppe zusammenarbeiten; wichtige Rollen einer Arbeitsgruppe kennen übernehmen kooperative Lernformen BEGRÜNDEN elementare Regeln Gesetze der Logik kennen anwenden korrekte Nutzung mathematischer Symbole Bedingungen als solche hervorheben von Definitionen klar unterscheiden Begründungstypen Beweismethoden der Mathematik kennen, gezielt auswählen anwenden in mathematischen Kontexten Vermutungen entwickeln, formulieren untersuchen

2 Schülerarbeiten dokumentieren gleichartige en erkennen, verallgemeinern spezialisieren z.b. beim Vergleich der Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen Exponentialfunktionen Integral über die srate PROBLEMLÖSEN problemhaltige Aspekte in inner- außermathematischen Situationen erkennen beschreiben Wachstumsprobleme Optimierungsaufgaben Flächenberechnung Ortslinien Hilfsmittel Informationsquellen wie Formelsammlungen, Lexika, Taschenrechner, Computerprogramme, Internet sachgemäß nutzen CAS Einsatz oder z.b. Geogebra Problemlösetechniken, -strategien Heurismen kennen, anwenden neuen Situationen anpassen das eigene Denken beim Problemlösen kontrollieren, reflektieren bewerten so neues Wissen aufbauen z.b. Lerntagebuch KOMMUNIZIEREN mathematische Sachverhalte mithilfe von Sprache, Bildern Symbolen beschreiben veranschaulichen; die mathematische Fachsprache angemessen verwenden möglich durch mathematische Aufsätze (z.b. Erläutere einem Grschulkind den Funktionsbegriff oder Verfasse einen Aufsatz zum Thema Wachstum ) in mathematischen Kontexten argumentieren systematisch begründen mathematische Dialoge führen; auf Einwände eingehen Gegenargumente entwickeln Lern- Arbeitsergebnisse verständlich übersichtlich in schriftlicher mündlicher Form präsentieren z.b. mathematischer Aufsatz Hausaufgaben auf Folie präsentieren Inhaltliche Kompetenzen: verfügen bezüglich der genannten Leitideen über die folgenden Kompetenzen: 1. LEITIDEE ZAHL den Begriff des Grenzwertes verstehen erläutern; Grenzprozesse bei der Festlegung von Zahlen nutzen. Grenzwert; Grenzwerte von Folgen: Elementare Nullfolgen wie 1 n, 1 n 2, 1 n, 1 n 3 ;

3 1 Grenzwerte von Funktionen: So wie lim =0, lim e x =0, lim x n e x =0 n N. x ± x x ± x ± Bei der Behandlung von Grenzwertsätzen genügen Plausibilitätsbetrachtungen. Eulersche Zahl, Integral 2. LEITIDEE ALGORITHMUS in einfachen Fällen Grenzwerte bestimmen; zusammengesetzte Funktionen ableiten; in einfachen Fällen Stammfunktionen angeben; lineare Gleichungssysteme auf Lösbarkeit untersuchen; die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bestimmen. Grenzwerte: Bestimmung von Grenzwerten mithilfe von Nullfolgen, bekannten Grenzwerten Grenzwertsätzen, z.b. auch Grenzwert von 2n 3 n 1. zusammengesetzte Funktionen: Neben Ableitungen zusammengesetzter Funktionen werden auch die Ableitungen von sin x,cos x,e x behandelt, sofern in Klasse 10 nicht bereits geschehen. Ableitungsregeln für Produkt, Verkettung: Auch einfache Verbindungen von Ableitungsregeln (keine Quotientenregel) behandeln. Bsp: f x = 2 3x 2 4, aber nicht f x = x 3x 2 4 Stammfunktion (Summe, konstanter Faktor, lineare Substitution): auch Stammfunktion von 1 x, x 0. Gauß-Algorithmus 3. LEITIDEE Messen das Konzept der Rekonstruktion auf verschiedene Anwendungsfelder übertragen; Bestände auch mithilfe des GTR berechnen. rekonstruierter Bestand: Bestand zu einem bestimmten Zeitpunkt aus Anfangsbestand (mittleren oder momentanen) sraten; Inhalt krummlinig begrenzter Flächen (auch Kreis); Volumen (auch Pyramide, Kegel): Der Schwerpunkt liegt auf der Volumenberechnung von Rotationskörpern, aber das Prinzip der Rekonstruktion soll auch auf einen anderen einfachen Körper (Pyramide) angewendet werden; Mittelwert: Bestimmung von Mittelwerten über das Integral 4. LEITIDEE RAUM UND FORM geometrische Objekte im Raum vektoriell beziehungsweise analytisch beschreiben ihre Lagebeziehungen analysieren: Die Untersuchung auf lineare Abhängigkeit Unabhängigkeit wird dabei nur anschaulich durchgeführt. Eigenschaften von geometrischen Objekten Beziehungen zwischen geometrischen Objekten beschreiben berechnen.

4 Ebenen: Parameterform, Koordinatenform Normalenform, Lagebeziehungen Punkt- Ebene, Gerade-Ebene, Ebene-Ebene; Zeichnerische Darstellung Winkel: Skalarprodukt, Orthogonalität, Winkel zwischen Vektoren, Geraden, Ebenen, Gerade-Ebene Abstände: Punkt-Punkt, Punkt-Gerade, Punkt-Ebene, Gerade-Gerade, Gerade-Ebene, Ebene-Ebene 5. LEITIDEE FUNKTIONALER ZUSAMMENHANG diskrete Abhängigkeiten beschreiben; besondere Eigenschaften von Funktionen rechnerisch mithilfe des GTR bestimmen; eine Funktion aus ihren sraten rekonstruieren. Folgen, rekursive Folgen: Folgen in expliziter rekursiver Darstellung, Monotonie Beschränktheit, Konvergenz (kein rechnerischer Nachweis dieser Eigenschaften) höhere Ableitungen: Dabei auch Deutung von f ' ' bzgl. des sverhaltens von f ' f thematisieren Berechnung von Extrem- Wendestellen, natürliche Exponentialfunktion; zusammengesetzte Funktionen: Summe, Differenz, Produkt, Quotient Verkettung; senkrechte waagerechte Asymptoten Integralfunktion; Hauptsatz der Differenzial- Integralrechnung 6. LEITIDEE DATEN UND ZUFALL Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten mit unendlich vielen Ausgängen berechnen; Hypothesen über Vorgänge, die vom Zufall abhängen, quantitativ beurteilen. eine stetige Verteilung: Eigenschaften einer stetigen Verteilung; Normalverteilung ein Testverfahren: Gedacht ist an: einseitiges Testen unter Verwendung der Binomialverteilung; Fehler erster zweiter Art 7. LEITIDEE VERNETZUNG heuristische Verfahren zur Erkenntnisgewinnung kennen einsetzen; mithilfe von Vektoren beweisen; Probleme lösen, die den Einsatz von Begriffen Verfahren aus verschiedenen Teilbereichen der Mathematik erfordern. heuristische Verfahren : Z.B. Visualisieren, Experimentieren, Strategien anwenden (z.b. Spezialisieren, Variieren, Aspektwechsel)

5 Vektorbeweise: Zu führen sind einfache Beweise mithilfe von Vektoren, insbesondere unter Verwendung des Skalarprodukts; an Beweise mithilfe von geschlossenen Vektorzügen ist nicht gedacht. Verbindungen zwischen den Teilgebieten Analysis, Geometrie Stochastik 8. LEITIDEE MODELLIEREN inner- außermathematische Sachverhalte ihre Veränderungen auch in komplexeren Zusammenhängen mathematisch modellieren. Untersuchung von Funktionen in realem Bezug, Extremwertprobleme Wahl geeigneter Grobjekte (zum Beispiel Koordinatensystem, Variable); Funktionsanpassung: Auch Regression mithilfe des GTR durchführen Differenzialgleichung für natürliches beschränktes Wachstum, Wachstums- Zerfallsprozesse (auch logistisches Wachstum): An die Differenzialgleichung für logistisches Wachstum ist nicht gedacht. Anwendungen linearer Gleichungssysteme: Auch in Verbindung mit Fragestellungen aus der Analysis der Geometrie durchzuführen.

6 Stenzahl Leitidee Kompetenzen im Buch 16 Zahl Maß Beziehung geben die maximale Definitionsmenge von Funktionen auch in Sachsituationen an, nutzen die Stetigkeit, Differenzierbarkeit das Krümmungsverhalten zur Synthese von abschnittsweise definierten Funktionen, erkennen Monotonie- Krümmungsverhalten von Graphen nutzen dies zur Begründung der Existenz von Extrem- Wendepunkten, - nutzen notwendige Bedingungen sowie inhaltliche Begründungen zur Bestimmung von lokalen Extrem- Wendestellen. Kapitel I Schlüsselkonzept: Ableitung 1 Wiederholung: Ableitung Ableitungsfunktion 2 Wiederholung der Ableitungsregeln höhere Ableitungen 3 Die Bedeutung der zweiten Ableitung 4 Kriterien für Extremstellen 5 Kriterien für Wendestellen 6 Probleme lösen im Umfeld der Tangente 8 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen 18 Beziehung Muster kennen Verknüpfungen Verkettungen der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen zur Beschreibung von inner- außermathematischen Problemen, verwenden Produkt-, Quotienten- Kettenregel beim Ableiten von Funktionen, nutzen bei Funktionen Scharen ganzrationaler Funktionen, charakteristische Merkmale wie Extremstellen, Wendestellen Krümmungsverhalten zum Lösen inner außermathematischer Probleme, führen Parametervarianten zur Anpassung von Funktionen an Daten durch, nutzen bei Scharen von Funktionen, die durch Verknüpfungen Verkettungen der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen entstehen, charakteristische Merkmale zum Lösen inner- außermathematischer Probleme. Kapitel II Alte neue Funktionen ihre Ableitungen 1 Neue Funktionen aus alten Funktionen: Produkt, Quotient, Verkettung 2 Kettenregel 3 Produktregel (4 Quotientenregel) 5 Die natürliche Exponentialfunktion ihre Ableitung 6 Exponentialgleichungen natürlicher Logarithmus 7 Funktionenscharen Logarithmusfunktion als Stammfunktion von 1 x 24 Zahl Maß Beziehung deuten das bestimmte Integral als aus en rekonstruierter Bestand als Flächeninhalt, kennen den Zusammenhang zwischen Differenzieren Integrieren, kennen Stammfunktionen der Funktionen x e x, x sin x, x x x x n ; darunter auch x 1/ x, nutzen den Zusammenhang zwischen Ableitung Integral zur Bestätigung von Stammfunktionen, wenden Rechengesetze für bestimmte Kapitel III Schlüsselkonzept: Integral 1 Rekonstruieren einer Größe 2 Das Integral 3 Der Hauptsatz der Differenzial- Integralrechnung 4 Bestimmung von Stammfunktionen 5 Integralfunktionen 6 Integral Flächeninhalt 7 Unbegrenzte Flächen 8 Mittelwerte von Funktionen 9 Integral Rauminhalt

7 Integrale an berechnen unbestimmte Integrale, interpretieren uneigentliche Integrale als Grenzwerte sowohl von Beständen als auch von Flächeninhalten, begründen geometrisch anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- Integralrechnung, begründen die Volumenformel für Körper, die durch Rotation um die x-achse entstehen, bestimmen Flächeninhalte unbegrenzter Flächen. 20 Beziehung Modell Simulation untersuchen das Grenzverhalten von Funktionen unter Berücksichtigung von Polstellen waagerechten Asymptoten der zugehörigen Graphen, erkennen Symmetrien von Graphen weisen vorhandene Punktsymmetrie zum Ursprung bzw. Achsensymmetrie zur y- Achse nach, nutzen bei Funktionen Scharen ganzrationaler Funktionen charakteristische Merkmale wie Extremstellen, Wendestellen Krümmungsverhalten zum Lösen inner außermathematischer Probleme, führen Parametervariationen zur Anpassung von Funktionen an Daten durch, nutzen bei Scharen von Funktionen, die durch Verknüpfungen Verkettungen der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen entstehen, charakteristische Merkmale zum Lösen inner- außermathematischer Probleme, kennen asymptotisches Verhalten. Kapitel IV Graphen Funktionen analysieren 1 Achsen- Punktsymmetrie bei Graphen 2 Definitionslücken senkrechte Asymptoten 3 Gebrochenrationale Funktionen - Verhalten für x ± 4 Nullstellen, Extremstellen Wendestellen 5 Funktionsanalyse: Nachweis von Eigenschaften 6 Funktionen mit Parametern 7 Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen 8 Funktionsanpassung bei trigonometrischen Funktionen Symmetrie von Graphen 16 Beziehung Modell Simulation kennen die Monotonie Beschränktheit von Folgen, kennen Verknüpfungen Verkettungen der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen zur Beschreibung von inner- außermathematischen Problemen kennen begrenztes logistisches Wachstum, führen Parametervariationen zur Anpassung von Funktionen an Daten durch, erkennen den Zusammenhang zwischen Funktion Ableitungsfunktion deuten die resultierende Differentialgleichung im Sachkontext der Wachstumsmodelle. Kapitel V Wachstum 1 Veränderungen mit Folgen beschreiben 2 Monotonie Beschränktheit von Folgen 3 Grenzwerte von Folgen 4 Exponentielles Wachstum modellieren 5 Beschränktes Wachstum 6 Differenzialgleichungen bei Wachstum 8 Datensätze modellieren Regression - Kurvenanpassung - Regression

8 8 Beziehung Modell Simulation kennen den GAUß-Algorithmus als ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, lösen lineare Gleichungssysteme mit der eingeführten Technologie, kennen abschnittsweise definierte Funktionen. Kapitel VI Lineare Gleichungssysteme 1 Das Gauß-Verfahren 2 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 3 Bestimmung ganzrationaler Funktionen 4 Anwendungen linearer Gleichungssysteme 20 Muster Form Raum nutzen die bildliche Darstellung Koordinatisierung zur Beschreibung Lösung von inner- außermathematischen Problemen in Ebene Raum, wenden die Addition, Subtraktion skalare Multiplikation von Vektoren an veranschaulichen sie geometrisch, wenden Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig begrenzten geometrischen Objekten an, kennen das Skalarprodukt erfassen begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Geraden sowie von Gerade Ebene Ebenen Ebenen lösen Schnittprobleme, beschreiben Ebenen mit Parameter-, Normalen- Koordinatengleichung. Kapitel VII Schlüsselkonzept: Vektoren 1 Wiederholung. Vektoren 2 Wiederholung: Geraden 3 Längen messen mit Vektoren 4 Ebenen im Raum 5 Zueinander orthogonale Vektoren - Skalarprodukt 6 Normalengleichung Koordinatengleichung einer Ebene Vektor- bzw. Kreuzprodukt 7 Ebenengleichungen im Überblick 8 Lagen von Ebenen erkennen Ebenen zeichnen 9 Gegenseitige Lage von Ebenen 20 Muster Form Raum kennen den Abstand eines Punktes von einer Ebene, nutzen die Hesse`sche Normalenform um den Abstand eines Punktes von einer Ebenen zu berechnen, kennen den Abstand eines Punktes von einer Geraden, kennen den Abstand windschiefer Geraden, nutzen das Skalarprodukt zur Bestimmung der Winkelgröße zwischen Vektoren, bestimmen Schnittwinkel, kennen Spiegelungen Symmetrien Kapitel VIII Geometrische Probleme lösen 1 Abstand eines Punktes von einer Ebene 2 Die Hesse sche Normalenform 3 Abstand eines Punktes von einer Geraden 4 Abstand windschiefer Geraden 5 Winkel zwischen Vektoren - Skalarprodukt 6 Schnittwinkel 7 Spiegelung Symmetrie Wahlthema Das Vektorprodukt

9 10 Muster Form Raum kennen die Idee eines Beweises mithilfe von Vektoren, nutzen die lineare Abhängigkeit Unabhängigkeit von Vektoren um mithilfe von Vektorzügen Beweise zu führen, nutzen die Orthogonalität von Vektoren zum Beweisen, nutzen Teilverhältnisse zum Beweisen. Kapitel IX Beweisen in der Geometrie (1 Eine neue Beweisidee) (2 Lineare Abhängigkeit Unabhängigkeit von Vektoren) 3 Vektorielle Beweise zur Orthogonalität 4 Teilverhältnisse (5 Vektorielle Beweise zu Teilverhältnissen) - Eine übergeordnete Beweismethode: Die vollständige Induktion 28 Muster Form Raum Daten Zufall Modell Simulation stellen Binomialverteilungen auch unter Verwendung der eingeführten Technologie grafisch dar, charakterisieren interpretieren Datenmaterial mithilfe der Kenngrößen arithmetisches Mittel, Standardabweichung Stichprobenumfang setzen die eingeführte Technologie sinnvoll ein, charakterisieren Wahrscheinlichkeitsverteilungen anhand der Kenngrößen Erwartungswert Standardabweichung, berechnen diese auch unter Verwendung der eingeführten Technologie nutzen sie für Interpretationen, nutzen den Erwartungswert die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße für Interpretationen, können den Annahmebereich Ablehnungsbereich für den zweiseitigen Signifikanztest bestimmen, testen eine Nullhypothese, kennen die Gauß sche Glockenfunktion, verwenden die Normalverteilung als Näherung für die Binomialverteilung, kennen die Exponentialverteilung. Kapitel X Schlüsselkonzept: Wahrscheinlichkeit 1 Wiederholung: Binomialverteilung 2 Problemlösen mit der Binomialverteilung 3 Binomialverteilung - Standardabweichung 4 Zweiseitiger Signifikanztest (5 Einseitiger Signifikanztest) 6 Stetige Zufallsvariable: Integrale besuchen die Stochastik (7 Die Analysis der Gauß schen Glockenfunktion) 8 Die Normalverteilung (9 Die Exponentialverteilung) Wahlthema Fehler beim Testen von Binomialverteilungen Wahlthema Testen bei der Normalverteilung