Schließende Statistik

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1 Wolfgang Polasek Schließende Statistik Einführung in die Schätz- und Testtfieorie für Wirtschaftswissenschaftler Mit 37 Abbildungen und 44 Tabellen Springer

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Stichprobentheorie und in die Stichprobenverteilung Stichproben Zufallsstichproben Stichprobenfunktionen Warum Zufallsstichproben? Stichprobenarten Einfache Zufallsstichprobe Geschichtete Stichprobe (stratified sample) Proportionale Stichprobe Optimale Stichprobe Kostenoptimale Stichprobe Klumpenstichprobe (cluster sample) Mehrstufige Stichprobe Stichprobenverteilungen Schätzfunktionen von Stichproben Stichprobenverteilungen von X Die Momente der Stichprobenverteilung von X Stichprobenverteilung eines Anteils x 19 2 Schätztheorie Einführung in die statistische Schätzung * Eigenschaften von Schätzern Erwartungstreue bzw. Unverzerrtheit (unbiasedness) Effizienz (efficiency) * Konsistenz (consistency) Intervall-Schätzung Konfidenzintervalle für fi, wenn <r 2 bekannt ist Konfidenzintervall für die Differenz zweier Mittelwerte (für grosse Stichproben) Konfidenzintervall für einen Anteil TT einer Grundgesamtheit (für grosse Stichproben) Konfidenzintervalle für die Differenz zweier Anteile (für grosse Stichproben) 31

3 INHALTSVERZEICHNIS 2.3.5* Konfidenzintervalle für den Mediän: Variable Konfidenzniveaus Konfidenzintervall für Mediän und Quantile: Indexmethode Konfidenzintervalle für die Varianz Die x 2 -Verteilung Die modifizierte x 2 -Verteilung Optimale HPD-Intervalle für die Varianz einer Normalverteilung HPD-Intervall für die Standardabweichung Konfidenzintervall für den Variationskoeffizienten Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz Die t-verteilung (Student distribution) Konfidenzintervall für N(/i,cr 2 ) mit unbekannter Varianz < Konfidenzintervalle für die Differenz von Mittelwerten zweier Stichproben Gebundene Stichproben (paired samples, paired two samples for the mean) Konfidenzintervalle bei endlicher Grundgesamtheit: n aus N Konfidenzintervalle mit Endlichkeitskorrektur Quoten und Quotenverhältnisse Quoten (Chancenverhältnisse) Odds-ratios: Quoten von Chancenverhältnissen Das odds-ratio (QuotenVerhältnis) in einer 4-Feldertafel Konfidenzintervall des ln-odds-ratio 68 Bayes-Normalverteilungsmodelle Bayes'sche Inferenz Bayes'sche Inferenz im Normalverteilungsmodell HPD-Intervalle Mittelwertschätzung bei bekannter Varianz Bayes-Inferenz im N(/i,<r 2 ) Modell mit Hilfe der hypothetischen Stichprobengrösse Bayes-Inferenz für die Differenz von Mittelwerten Wenn bekannt ist, dass <r 2 x a\ Wenn a\ und <r\ gänzlich unbekannt sind Bayes-Inferenz für die Varianz, wenn fi bekannt ist Bayes-Inferenz für die Standardabweichung a Bayes-Inferenz für Mittelwert und Varianz Bayes-Inferenz für den Mediän Bayes-Inferenz für Quantile 94

4 INHALTSVERZEICHNIS XI 4 Das Beta-Binomial-Modell Die Beta-Verteilung Die Bayes'sche Anteilsschätzung HPD-Intervalle für die Beta(a,b) - Verteilung Elizitation einer Beta-a-priori-Verteilung Hypothesen-Tests Signifikanz-Test Diskussion: Signifikanztest Herleitung der Sensitivität und Spezifität in der MedizinlO Durchführung von Signifikanz-Tests Mittelwerttest Mittelwerttest (z-test) : <r 2 bekannt Mittelwerttest {a 2 bekannt) mit p-werten Mittelwerttest: Kritischer Bereich Mittelwerttest (t-test): a 2 unbekannt Anteilstest: n gross Anteilstest (z-test) : Standard-Version" Anteilstest: p-werte Anteilstest: Kritischer Bereich Test auf Differenzen von Lagemasszahlen z-test: Differenzen zweier Anteile für grosse Stichprobenl Differenz zweier Mittelwerte: a 2 bekannt t-test: Differenz zweier Mittelwerte: <r 2 unbekannt, aber gleich a\ = a\ = er t-test: Differenz zweier Mittelwerte für a\ und a\ unbekannt und verschieden, a\ ^ a\ (Behrens-Fisher- Problem) t-test: Differenz zweier Mittelwerte für gebundene Stichproben Signifikanztest der ln-ocms-ratios Der x 2 -Test Freiheitsgrade des x 2 -Test Signifikanztest in der Vierfeldertafel Unabhängigkeit in Kontingenztafeln Der x 2 -Test in Kontingenztafeln Die Gütefunktion eines Tests (bzw. die OC-Kurve) Die OC-Kurve im Normalverteilungstest Der kritische Bereich (Critical Region) im Binomialtest p-wert und Sternchen-Signifikanz * Multiple Tests Die Bonferroni-Ungleichung 145

5 XII INHALTSVERZEICHNIS 6 Bayes-Tests Einleitung Ein- und zweiseitige Bayes'sche Tests: Allgemeine Vorgehensweise * Die Herleitung der posteriori Wahrscheinlichkeit p» Einfacher Standard Bayes-Anteilstest Zweiseitiger Bayes-Test Einseitiger Bayes-Anteilstest Bayes-Test: Mittelwert einer Normalverteilung Zweiseitiger Test bei bekannter Varianz Einseitiger Bayes-Test bei bekannter Varianz Variante: Bayes-Test mit hypothetischer Stichprobengrösse Das LlNDLEY-Paradoxon Einseitiger Bayes-Test bei unbekannter Varianz Standard Bayes-Test in einer 4-Felder-Tafel Bayes-Test auf Korrelation Bayes-Test für Differenzen Anteilsdifferenzen Mittelwertdifferenzen (Varianzen unbekannt, aber gleich a\-<r\) Mittelwertdifferenzen (er 2 ^ <J\ unbekannt: WELCH- Approximation der Behrens-Verteilung) Bayes-Test einer Varianz Verteilungsfreie Tests Signifikanztests von Lagemassen Vorzeichentest auf den Mediän oder Mediantest" Vorzeichentest auf Quantile Die Bayes-Version des Vorzeichentests Test auf Regellosigkeit (Runs Test) Vorzeichenrangtest auf den Mediän oder Test auf ein Symmetriezentrum" WILCOXON Rangsummen-Test auf Gleichheit zweier Verteilungen Äquivalenz von WILCOXON Rangsummentest" und MANN-WHITNEY-U-Test" Streuungsvergleich mit dem SlEGEL-TuKEY-Test Trendtests Der Vorzeichen Trend-Test (Vorzeichentest von Cox und STUART) Heteroskedastischer Trendtest Test auf repräsentative Stichprobe 207

6 INHALTSVERZEICHNIS XIII 8 Bestimmung des Stichprobenumfanges Stichprobenplanung für Schätzintervalle Normalverteilung N(fi,a 2 ), a 2 bekannt, unendliche Grundgesamtheit Bayes'sche Stichprobenplanung Binomialverteilung (unendliche Grundgesamtheit) Stichprobenumfang für die Differenz von Anteilen Planung bei endlicher Grundgesamtheit Endliche Grundgesamtheit im Normalverteilungsmodell Binomialverteilung Bin(n, 7r), endliche Grundgesamtheit, Ziehen ohne Zurücklegen Stichprobenplanung für Tests Planung von n beim Mittelwerttest bei gegebenen a- und /?-Fehler Binomialtest bei gegebenen /?-Fehler Differenz zweier Mittelwerte bei gegebenem /?-Fehler Varianzanalyse Ein-Weg-ANOVA Fragestellung Theoretisches Modell Streuungszerlegung Die ANOVA-Streuungszerlegung Signifikanz-Test der Gruppenmittelwerte Die Bayessche Ein-Weg-ANOVA Zwei-Weg-ANOVA Fragestellung Das theoretische Modell Streuungszerlegung Signifikanz-Test Bayes Zwei-Weg-ANOVA Bayes-Faktoren nach ZELLNER-SIOW (1980) Alternative: Bayes-Test über modifizierte F-Werte Herleitung der Bayes'schen F-Werte Bayes'sche t-werte Einfache Regression Einführung Deterministische Beziehung zwischen zwei Variablen Statistische Beziehung Die Regressionsfunktion in der Grundgesamtheit und in der Stichprobe Analyse von Streudiagrammen Das einfache lineare Regressionsmodell Die Kleinste-Quadrate Schätzung Das Kleinstquadrate (KQ-)Kriterium Eigenschaften der KQ-Regression 262

7 XIV INHALTSVERZEICHNIS 10.4 Standardfehler der Regression Die Streuungszerlegung im Regressionsmodell Das Bestimmtheitsmass R Die Eigenschaften des Bestimmtheitsmasses R Korrelations- und Regressionsbeziehung Der F-Test im Regressionsmodell Statistische Eigenschaften der KQ-Schätzung ( t-tests im linearen Regressionsmodell Signifikanztest auf den Anstieg ß Signifikanztest auf den Achsenabschnitt a Bayes-Test der Regressionskoeffizienten Bayes Test für den Anstieg ß Bayes-Test für den Achsenabschnitt a 280 lo.lokonfidenzintervalle für die Regressionskoeffizienten Konfidenzintervall für a Konfidenzintervall für ß Konfidenzintervall für a #PD a -Intervalle für die Residuenvarianz <r UTest auf Gleichheit zweier Regressionen in 2 Stichproben Signifikanztest auf gleichen Anstieg (/?i =/?2) Signifikanztest auf gleichen Achsenabschnitt («i = 0:2) Mehrfachregression Das multiple Regressionsmodell Bildungsgesetz der Normalgleichungen Die 3-Variablen Regression Konfidenzintervalle für die Regressionskoeffizienten Konfidenzintervall für einen Wert auf der Regressionsgeraden Das Bestimmtheitsmass R 2 und die ANOVA Die Bayes'sche ANOVA im Regressionsmodell Das Korrigierte R Die funktionale Form des Regressionsmodells Die Cobb-Douglas Produktions-Funktion Der Bayestest der Regressionskoeffizienten Anstieg und Elastizität Test eines linearen Modells gegen ein log-log (lineares) Modell Bayes- und F-Test für lineare Restriktionen Bayes-Test auf zusätzliche Regressoren F-Test auf zusätzliche Regressoren Regression mit Dummy-Variablen Dummy-Regression: Staatsanleihen Berechnung der Varianz des Achsenabschnitts in der Dummy-Regression Test auf Ausreisser Spezifikationsfehler im Regressionsmodell 319

8 INHALTSVERZEICHNIS XV Zuwenige Regressoren Zuviele Regressoren Trendmodelle Exponentielles Wachstum Wachstumsraten Regression und exponentielles Wachstum Trend-Schätzung und Prognose Wachstumsraten OLS-Schätzung bei zentrierten Regressoren Prognoseintervalle * MSE-Prognosen Prognosevergleich mit NAIV * Korrelation * Die partielle Korrelation Modelldiagnose Residuenanalyse: Graphische Methode Autokorrelation in den Residuen Das Problem Der DURBIN-WATSON (DW)-Test Der Bayes-Test auf Autokorrelation * Korrektur der Autokorrelation GoLDFELD-QuANDT-Test auf Heteroskedastizität Bayes-Test auf die Gleichheit zweier Standardabweichungen Bayesscher GoLDFELD-QuANDT-Test Das Quantil-Quantil (Q-Q) Plot Ein Stufenplan für statistische Analysen 353 Literaturverzeichnis 355 A Tabellen 357 A.l Das griechische Alphabet 357 A.2 Einige wichtige Konfidenzintervalle 358 A.2.1 Klassische Konfidenzintervalle 358 A.2.2 HPD-Intervalle bei nicht-informativer a-priori Verteilung360 A.2.3 HPD-Intervalle bei informativer a-priori Verteilung A.3 Gleichverteilte Zufallszahlen 362 A.4 Logarithmierte Fakultäten 363 A.5 Verteilungsfunktion <&(#) der standardisierten Normalverteilung N(0,l) 365 A.6 Verteilungsfunktion F v {x) der standardisierten ^-Verteilung. 366 A.7 Standardisierte x 2 -Verteilungen 370 A.7.1 Verteilungsfunktion der x 2 -Verteilung 370 A.7.2 HPD-Intervalle der x 2 -Verteilung 371

9 XVI INHALTSVERZEICHNIS A.7.3 Verteilungsfunktion der inversen x 2 -Verteilung (x~ 2 - Verteilung) 372 A.7.4 HPD-Intervalle der inversen x 2 -Verteilung (x!7 2 - Verteilung) 373 A.7.5 HPD-Intervalle der inversen \w Verteilung (xj 1 - Verteilung) 374 A.8 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen einiger Binomialverteilungen Bin(n,p) 375 A.9 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen einiger Poisson-Verteilungen Po(A) 376 A.10 Quantile der F m, n -Verteilung 377 A Quantile der F m>n -Verteilung 377 A Quantile der F m ' n -Verteilung 378 A.ll Quantile der Behrens-Verteilung 379 A.12 Beta-Verteilung Beta(a,b) 380 A.12.1 Formender Beta-Verteilung Beta(a,b) 380 A.12.2 Verschiedene Beta-Verteilungen gleicher Modalwerte. 381 A.12.3 HPD-Intervallgrenzen für die Beta-Verteilung Beta(a,b) 383 A.13 Theoretische HPD-Intervallgrenzen für Quantile p 389 A.14 Kritische Werte für den U-Test 395 A.15 Kritische Werte für den WiLCOXON-Paardifferenzentest A. 16 Kritische Werte des DURBIN-WATSON-Tests 397 B Rechenregeln 401 B.l Rechnen mit Summenzeichen 401 B.2 Rechnen mit Matrizen 403 Index 407 C Im Text verwendete Symbole 411 C.l Abkürzungen 411 C.2 Masszahlen 413 C.3 Funktionen 413 C.4 Verteilungen 414 C.5 Symbole und Abkürzungen 414 C.6 Regeln für Symbole 415