Die Vorbereitungsaufgaben müssen vor dem Seminartermin gelöst werden.

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1 Nachrichtentechnisches Praktikum Versuch 2: Analoge Winkelmodulation Fachgebiet: Nachrichtentechnische Systeme Name: Matr.-Nr.: Betreuer: Datum: N T S Die Vorbereitungsaufgaben müssen vor dem Seminartermin gelöst werden.

2 Inhaltsverzeichnis 0 Hinweise zum Referat 1 1 Einleitung 2 2 Theoretische Grundlagen Phasen- und Frequenzmodulation Spektrum eines FM-Signals Demodulation des FM-Signals durch eine Phasen-Regelschleife Vorbereitungsaufgaben 9 4 Versuchsdurchführung Frequenzmodulation Frequenzdemodulation Referenzangaben 14 Literatur 14 i

3 0 Hinweise zum Referat Zu Beginn des Seminars soll einer oder mehrere der für das einführende Referat verantwortlichen Studenten einen Kurzvortrag von ca Minuten halten, in dem die wesentlichen Aussagen zu diesem Thema zusammengefasst dargestellt werden. Die Präsentation ist vor Seminarbeginn vorzubereiten. Die hierfür nötigen Hilfsmittel (Folien, Overheadprojektor) werden zur Verfügung gestellt. Sie können diesen Kurzvortrag entweder handschriftlich auf dem Overheadprojektor oder mit selbstgefertigten Folien vortragen oder auf einen Satz vorgefertigter Folien zurückgreifen, die beim Versuchsbetreuer als Folien verfügbar sind und auf unseren Internetseiten als pdf-dateien zur Verfügung stehen! 1

4 1 Einleitung Die Bezeichnung Winkelmodulation beschreibt ein nicht-lineares Modulationsverfahren, bei dem das Nachrichtensignal die Dehnung eines sinusiodalen Trägers steuert. Bei der Frequenzmodulation wird die Frequenz des Trägers f c durch das Nachrichtensignal verändert, während bei der Phasenmodulation die Phase des Trägers entsprechend den Schwankungen im Nachrichtensignal verändert wird. Aufgrund der Nichtlinearität sind Winkelmodulationsverfahren schwer zu analysieren. In vielen Fällen kann nur eine ungefähre Analyse durchgeführt werden. Eine weitere wichtige Eigenschaft von Winkelmodulationsverfahren, ist die enorme Dehnung der Bandbreite und die damit verbundene Verbesserung des Störverhaltens im Vergleich zu Amplitudenmodulationsverfahren. Dies ist auch der Grund, warum FM-Systeme vorwiegend im HiFi-Musikrundfunk und in Richtfunksystemen verwendet werden. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Phasen- und Frequenzmodulation Im Allgemeinen lässt sich ein winkelmoduliertes Signal ausdrücken als x T (t) = A c cos(ϕ i (t)), (1) wobei ϕ i (t) die Momentanphase des Signals ist. Im Fall der Phasenmodulation für ein Nachrichtensignal x(t) lautet die Momentanphase ϕ i (t) = 2πf c t + ϕ x(t), ϕ : reelle Konstante. (2) Die Konstante ϕ wird als Phasenhub bezeichnet. Die Momentanfrequenz eines phasenmodulierten Signals ist dann gegeben durch f i (t) = 1 dϕ i 2π dt = f c + ϕ 2π dx(t) dt (3) Die Momentanfrequenz eines phasenmodulierten Signals ändert sich also proportional zur zeitlichen Ableitung des Nachrichtensignals. Wird nun die Momementanphase mit dem laufenden Integral über das Nachrichtensignal moduliert, so erhält man die Frequenzmodulation. Die Momentanpahse des modulierten Signals x T (t) lautet in diesem Fall 2

5 t ϕ i (t) = 2πf c t + 2π f x(τ)dτ, (4) wobei f als Frequenzhub bezeichnet wird. Somit zeigen die Gleichungen (2) und (4) eine interessante Beziehung zwischen FM- und PM-Systemen. Die Phasenmodulation des integrierten Nachrichtensignals ist ergebnisgleich mit der Frequenzmodulation des Nachrichtensignals. Entsprechend stimmt die Frequenzmodulation des differenzierten Nachrichtensignals mit der Phasenmodulation des Nachrichtensignals überein. Beide Modulationsarten lassen sich einfach ineinander überführen. Aus diesem Grund ist es nicht möglich, ohne Kenntnisse des Nachrichtensignals ein FM- und PM-Signal voneinander zu unterscheiden. In Abbildung 2.1 ist dieser Zusammenhang dargestellt. x(t) Differentiator FM-Modulator u(t) x(t) PM-Modulator u(t) x(t) Integrator PM-Modulator u(t) x(t) FM-Modulator u(t) Abbildung 2.1 : Vergleich zwischen FM- und PM-Modulatoren Ein modulierendes Signal x(t) sei monochromatisch mit der Form x(t) = cos(2πf m t) Somit ergibt sich mit den Gleichungen (1),(2) und (4) für das modulierte Signal 3

6 A c cos(2πf c t + ϕ cos(2πf m t)), x T (t) = A c cos(2πf c t + f sin(2πf m t)), f m PM FM. Der Faktor f f m wird als Modulationsindex µ FM bezeichnet. In Abbildung 2.2 sind PM- und FM-Signale für ein monochromatisches Nachrichtensignal dargestellt. x T (t) / A c harmonische Frequenzmodulation x T (t) x(t) x T (t) / A c t/[s] harmonische Phasenmodulation x x T (t) 0.5 x(t) t/[s] x 10 3 Abbildung 2.2 : FM-Signal mit f m = 1kHz,f c = 10kHz, f = 6kHz und PM-Signal mit f m = 1kHz,f c = 10kHz, ϕ = 2π 4

7 2.2 Spektrum eines FM-Signals Im allgemeinen Fall ist der Zusammenhang zwischen den Spektren des Nachrichtensignals und des winkelmodulierten Signals sehr komplex. Allerdings lassen sich allgemeine Ergebnisse über die FM-Spektren ableiten, wenn das Nachrichtensignal cosinusförmig ist. Es folgt für das modulierte Signal Mit der Beziehung x T (t) = A c cos(2πf c t + µ FM sin(2πf m t)). cos(α + µ sin(β)) = J n (µ) cos(α + nβ), n= J n : Bessel Funktion der Ordnung n kann man ein FM-Signal schreiben als x T (t) = A c J n (µ FM ) cos(2πf c t + n2πf m t) (5) n= Durch Fourier-Transformation des Zeitsignals folgt das Spektrum des FM-Signals X T (f) = 1 2 A c J n (µ FM )[δ(f f c nf m ) + δ(f + f c + nf m )] (6) n= In Abbildung 2.3 ist das Spektrum des FM-Signals dargestellt X T (f) f/[hz] x 10 4 Abbildung 2.3 : Spektrum des FM-Signals mit µ FM = 10,f m = 1kHz,f c = 30kHz 5

8 Aus Gleichung (6) geht hervor, dass im Fall eines monochromatischen Nachrichtensignal bei der Frequenz f m das modulierte Signal Anteile bei allen Frequenzen der Form f c + nf m besitzt. Daraus folgt, dass die tatsächliche Bandbreite des FM-Signals unendlich ausgedehnt ist. Allerdings sind die Amplitudenanteile für große n sehr klein. Daher können wir eine endliche effektive Bandbreite definieren. Es gilt die sogennante Carson-Bandbreite B FM = 2(µ FM + 1)f m. (7) Somit ist der Bandbreitendehnungsfaktor gegeben durch β FM = B FM f m = 2(µ FM + 1). (8) Mit Gleichung (8) ist also der Modulationsindex µ FM auch ein Maß für die Bandbreitendehung einer FM-Übertragung. 2.3 Demodulation des FM-Signals durch eine Phasen-Regelschleife Die Phasen-Regelschleife (PLL) besteht aus drei Komponenten. 1. Phasendetektor bzw. Multiplizierer 2. Schleifenfilter g(t) 3. VCO (Voltage Controlled Oscillator) FM-Signal X e(t) g(t) v(t) Demoduliertes Signal s(t) VCO Abbildung 2.4 : Blockdiagramm des PLL-FM Demodulators dargestellt. Der VCO erzeugt ein monochromatisches Signal mit der Mittenfrequenz f 0, in Abwesenheit einer Eingangssteuerspannung. Liegt nun die Steuerspannung v(t) am Eingang des VCO, folgt für die augenblickliche Frequenz des VCO 6

9 f v = f 0 + k v v(t) (9) wobei k v die Empfindlichkeit des VCO mit der Einheit Hz/Volt ist. Somit ergibt sich für das Ausgangssignal am VCO s(t) = A v sin(2πf 0 t + ϕ v (t)), (10) wobei gilt : t ϕ v (t) = 2πk v v(τ)dτ (11) Wird nun die Mittenfrequenz f 0 des VCO auf die Trägerfrequenz f c eingestellt lässt sich das Ausgangssignal e(t) am Multiplizierer mit den Gleichungen (1), (4), (10) und (11) ausdrücken als 0 e(t) = A c cos(2πf c t + ϕ(t)) A v sin(2πf 0 t + ϕ v (t)) = A ca v 2 [ sin(ϕ(t) ϕ v(t)) + sin(4πf c t + ϕ(t) + ϕ v (t))], (12) wobei für die FM gilt : ϕ(t) = 2π f t x(τ)dτ. Das lineare Schleifenfilter mit der Impulsantwort g(t) stellt einen Tiefpassfilter dar, das die Frequenzkomponenten um 2f c sperrt. Der Filterausgang ist dann v(t) = A ca v 2 sin[ϕ(t) ϕ v (t)], (13) wobei die Differenz ϕ(t) ϕ v (t) = ϕ e (t) den Phasenfehler darstellt. Unter der Annahme, dass die PLL eingerastet ist, so dass der Phasenfehler sehr klein ist, folgt für das Ausgangssignal des Schleifenfilters g(t) v(t) = A ca v 2 sin[ϕ(t) ϕ v (t)] A ca v 2 Unter dieser Bedingung ergibt sich für den Phasenfehler [ϕ(t) ϕ v (t)] = A ca v ϕ e (t). (14) 2 7

10 ϕ e (t) = ϕ(t) 2πk v t v(τ)dτ. 0 t = ϕ(t) πk v A c A v ϕ e (τ)dτ (15) Den Faktor K = πk v A v A c bezeichnet man als den Rückkopplungsfaktor. Die Laplace- Transformation der Gleichung (15) lautet 0 Daraus folgt : φ e (p) = φ(p) K p φ e(p). (16) φ e (p) = 1 φ(p). (17) 1 + K p Mit V (p) = A ca v 2 φ e(p) ergibt sich für die Steuerspannung des VCO V (p) = A ca v K p φ(p). (18) Wird der Rückkopplungsfaktor so gewählt, dass Folgendes gilt: erhält man K p 1 (19) V (p) = A ca v 2 Durch die Inverse Laplace-transformation folgt p φ(p) (20) K v(t) = A ca v 2 = f x(t) k v 1 K d dt ϕ(t) = A ca v 2π f x(t) 2K (21) Es ist festzustellen, dass das Ausgangssignal v(t) proportional zum Nachrichtensignal x(t) ist. Daher sollten die Bandbreite des Schleifenfilters g(t) und die Bandbreite des Nachrichtensignals x(t) übereinstimmen. 8

11 3 Vorbereitungsaufgaben 1. Erläutern Sie die Beziehung zwischen einer Phasenmodulation und einer Frequenzmodulation. Ist es möglich ein FM-Signal und ein PM-Signal voneinander zu unterscheiden? Begründen Sie ihre Antwort. 2. Was für Eigenschaften besitzt das Spektrum eines FM-Signals? Warum wird für FM- Signale eine sogennante Carson-Bandbreite definiert? 3. Erklären Sie die Funktionsweise eines PLL-FM-Demodulators. 4. Ein FM-Signal sei ( t ) x T (t) = 100V cos 2πf c t π Hz/V x(τ)dτ, (22) wobei x(t) = k= 5V [ ( t 2kTx rect 1 ) ( t 2kTx rect 3 )] T x 2 T x 2 (23) ist. (a) Zeichnen Sie das Nachrichtensignal x(t). Geben Sie dabei alle wichtigen Punkte auf Abzisse und Ordinate an. (b) Bestimmen Sie die maximale Frequenzänderung. (c) Zeichnen Sie die augenblickliche Frequenz als Funktion der Zeit. 5. Das Ausgangssignal eines FM-Modulators sei [ t ] x T (t) = 10V cos 400π khz t + 20π khz/v x(τ)dτ, (24) wobei x(t) = 1V cos(4π khz t) ist. Das Ausgangssignal des FM-Modulators wird nun über ein ideales Bandpassfilter, dessen Übertragungsfunktion ( ) ( ) f f c f + f c H BP (f) = rect + rect B Carson + f m B Carson + f m ist, übertragen. (a) Bestimmen Sie den Modulationsindex µ FM. (b) Bestimmen Sie die Carson-Bandbreite. 9 (25)

12 (c) Bestimmen Sie die Frequenzkomponenten und die Gesamtleistung am Ausgang des Filters. Hinweis : J n (µ FM ) = J n (µ FM ) n J n (5)

13 4 Versuchsdurchführung 4.1 Frequenzmodulation 1. Die einfachste und schnellste Methode, ein FM-Signal zu generieren ist es, einen VCO zu verwenden. Bauen Sie die Übertragungsstecke gemäß Blockschaltbild 3.1 auf. Bevor Sie das VCO Modul anschließen, stellen Sie den Modus auf VCO mit dem Schalter, das sich auf der Platine befindet und den Frequenzbereich auf LO mit dem Schalter auf der Frontplatte. Verwenden Sie den BUFFER AMPLIFIER-Anschluss für die Verstärkung. DC VCO FM-Signal Einstellbarer Verstärker Blockschaltbild Stellen Sie die Mittenfrequenz f 0 des VCO, in Abwesenheit einer Steuerspannung am Eingang des VCO, mit dem FREQUENCY COUNTER Anschluss auf 10 khz ein. 3. Stellen Sie mit dem Oszilloskop eine DC-Spannung von 2V ein. 4. Stellen Sie nun mit dem Verstärker eine Eingangsspannung am VCO von exakt -1V ein. Beachten sie das der GAIN-Regler am VCO dabei vollständig nach links gedreht ist. 5. Drehen Sie den GAIN-Regler solange nach rechts bis sich die Frequenz des Ausgangssignals am VCO um 3 khz erhöht. Sie haben somit die Empfindlichkeit des VCO auf 3 khz/v eingestellt. 6. Nächster Schritt ist es, den linearen Bereich des VCO zu ermitteln. Nehmen Sie verschiedene Wertepaare von Eingangsspannung und Frequenz auf und tragen Sie diese in ein Diagramm ein. 7. Ersetzen Sie den DC-Anschluss durch das AUDIO OSZILLATOR Modul. Verwenden Sie den FREQUENCY COUNTER, um das Nachrichtensignal am AUDIO OSZILLA- TOR auf 1 khz einzustellen. 8. Betrachten Sie das FM-Signal am Ausgang des VCO und vergleichen Sie das FM-Signal mit den, in Abbildung 2.2 dargestelltem FM-Signal. 11

14 9. Für µ FM = 2.45 ist theoretisch der Träger-Anteil vernachlässigbar klein. Dies ist zu überprüfen. Berechnen Sie mit den unten angegebenen Formeln die erforderliche Eingangsspannung am VCO, und stellen Sie diese Spannung mit dem Regler am BUFFER AMPP- LIFIER ein. Betrachten Sie anschließend das FM-Signal im Frequenzbereich, unter Verwendenung der FFT Funktion, am Oszilloskop. Begründen Sie warum für µ FM = 2.45 der Träger-Anteil zu vernachlässigen ist? µ FM = f f m f = A m S A m = µ FMf m S wobei S die Empfindlichkeit des VCO und A m die Amplitude des Nachrichtensignals ist. 10. Wiederholen Sie Schritt 9. Stellen Sie dieses Mal µ FM = 1.45 ein, und überprüfen Sie, ob die Amplitude der ersten Seitenbänder gleich groß ist wie die Amplitude des Träger- Anteils. Begründen Sie warum die Amplitude der ersten Seitenbänder gleich groß ist wie die Amplitude des Träger-Anteils? 11. Berechnen Sie mit Gleichung (7) die Carson-Bandbreite und vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der Bandbreite des FM-Signals. 4.2 Frequenzdemodulation 1. Ergänzen Sie die Übertragungsstrecke gemäß Abbildung 2.4 mit der Phasen- Regelschleife. Verwenden Sie für das Schleifenfilter das RC-Tiefpassfilter des UTILITIES-Moduls. 2. Stellen Sie sicher, dass das VCO Modul auf VCO eingestellt ist. Stellen Sie die Mittenfrequenz f 0 des VCO am Empfänger auf 10 khz und den GAIN-Regler zunächst mittig ein. 3. Dass die Phasen-Regelschleife eingerastet ist, hängt im Wesen von den folgenden Faktoren ab: Genauigkeit der Mittenfrequenz f 0, Erfassungsbereich der Phasen-Regelschleife, Rückkopplungsfaktor der Phasen-Regelschleife. 12

15 Schließen Sie das Ausgangssignal der Phasen-Regelschleife an das Oszilloskop und stellen Sie sicher, dass das demodulierte Signal dem gesendeten Nachrichtensignal entspricht. Für den Fall, dass die Phasen-Regelschleife nicht unmittelbar einrastet, stellen Sie unter Berücksichtigung der oben angegebenen Faktoren die Phasen-Regelschleife ein. 4. Berechnen Sie näherungsweise mit Gleichung (24) den Frequenzhub f. 5. Ersetzen Sie das AUDIO OSZILLATOR Modul durch das SPEECH Modul. Nehmen Sie eine Sprachnachricht auf. Schließen Sie das demodulierte Signal und einen Kopfhöhrer an den HEADPHONE AMPLIFIER Anschluss. Überprüfen Sie ob die gesendete Sprachnachricht verzerrungsfrei empfangen worden ist. 13

16 Referenzangaben [1] PROAKIS, J. G. und SALEHI, M., Grundlagen der Kommunikationstechnik, Prentice Hall Inc. [2] KAMMEYER, K. D., Nachrichtenübertragung, Vieweg+Teubner Verlag Literatur [1] CZYLWIK, A., Vorlesung Übertragungstechnik, Universität Duisburg-Essen [2] PROAKIS, J. G. und SALEHI, M., Grundlagen der Kommunikationstechnik, Prentice Hall Inc. [3] KAMMEYER, K. D., Nachrichtenübertragung, Vieweg+Teubner Verlag [4] OHM, J. R. und LÜKE, H. D., Signalübertragung, Springer Verlag [5] HAYKIN, S., Communication Systems, John Wiley & Sons,Inc. 14