Vorwärtsarbeiten (Schlussfolgern)

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1 Vorwärtsarbeiten (Schlussfolgern) Eine häufig angewandte Problemlösestrategie ist das Vorwärtsarbeiten. Ausgehend vom Problem sollten sich die Schülerinnen und Schüler grundlegende Fragestellungen vor Augen führen, die ihnen schrittweise bei der Lösung hilfreich sein können: Um sich einen Überblick zu verschaffen, sollten die Schülerinnen und Schüler zunächst alle gegebenen Informationen detailliert zusammentragen und auflisten bzw. strukturiert darstellen. Was kann ich alles aus den gegebenen Informationen berechnen, zeichnen oder schließen? Die Schülerinnen und Schüler arbeiten zunächst in verschiedene Richtungen, indem sie auf ihre Kenntnisse und ihr mathematisches Wissen zurückgreifen. Ist das Problem damit gelöst? Durch Rückbesinnung auf das Ausgangsproblem entscheiden sie, ob sie sich damit der Lösung des Problems angenähert oder sie gefunden haben. Wenn die Lösung noch nicht vollständig ist, muss der letzte Schritt mehrfach durchlaufen werden. Was kann ich daraus weiter folgern (berechnen, zeichnen, schließen)? Aufgabe: Handykauf (IQB 2010, A- und B-Heft Nr. 3.2) In der Preisliste des Händlers Digital World steht das Handy VR 17 mit einem Nettopreis von 77,30. Ein Kunde muss beim Kauf zusätzlich 19 % Mehrwertsteuer zahlen. Der Telefonladen X-World bietet dasselbe Handy zu einem Bruttopreis (einschließlich 19 % Mehrwertsteuer) von 89,25 an. Wer verkauft das Handy günstiger? Kreuze an. Digital World X-World Begründe rechnerisch. Mit der Strategie Vorwärtsarbeiten können die Schülerinnen und Schüler bei dieser Aufgabe z. B. so vorgehen:

2 Gesucht ist entweder der Bruttopreis des Handys bei Digital World oder der Nettopreis bei X-World. Gegeben sind der Nettopreis von 77,30 bei Digital World, der Bruttopreis von 89,25 bei X-World und der Mehrwertsteuersatz von 19 %. Der Bruttopreis ist der Nettopreis plus die Mehrwertsteuer. Für das Handy von Digital World kann die Mehrwertsteuer berechnet werden: 77,30. 0,19 14,69. Der Bruttopreis ist dann gleich 77, ,69 = 91,99. Ist das Problem damit gelöst? Die Preise müssen noch verglichen werden. 89,25 ist kleiner als 91,99, das Handy ist bei X- World billiger. Aufgabe: Würfel mit Muster (IQB 2010, A-Heft, Nr. 9) Mit der Strategie Vorwärtsarbeiten lässt sich diese Aufgabe z. B. so bearbeiten: Gesucht sind die Muster auf den nicht sichtbaren Seitenflächen. Gegeben sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse Kreis, Kreuz und Dreieck. Sichtbar sind 1 Kreis, 1 Kreuz, 1 Dreieck.

3 Ein Würfel hat 6 Seitenflächen. Jede Seitenfläche wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 gewürfelt. Aus P( Kreis ) = 1/6 folgt, dass dieser Würfel nur eine Seitenfläche mit einem Kreis hat. Ein Kreis ist sichtbar, also kann auf den nicht sichtbaren Seitenflächen kein Kreis mehr sein. Aus P( Kreuz ) = 1/3 = 2/6 folgt, dass dieser Würfel zwei Seitenflächen mit einem Kreuz hat. Ein Kreuz ist sichtbar, also muss auf den nicht sichtbaren Seitenflächen noch ein Kreuz sein. Aus P( Dreieck ) = 1/2 = 3/6 folgt, dass es drei Seitenflächen mit einem Dreieck gibt. Ein Dreieck ist sichtbar, also müssen auf den nicht sichtbaren Seitenflächen noch zwei Dreiecke sein. Ist das Problem damit gelöst? Ja, angekreuzt werden muss: ein Kreuz, zwei Dreiecke. Aufgabe: Kleinanzeigen (IQB 2009, A-Heft Nr. 14.2; B-Heft Nr. 12.2, C-Heft Nr. 11.2)

4 Mit der Strategie Vorwärtsarbeiten können die Schülerinnen und Schüler bei dieser Aufgabe so vorgehen: Gesucht ist der Preis für die zweite Anzeige. Gegeben sind Grundinformationen zur Preisberechnung von Anzeigen, die Zeilenzahl kann der Anzeige entnommen werden. Die zweite Anzeige muss zerlegt werden in die fünf Zeilen, die bereits im Grundpreis enthalten sind und alle weiteren Zeilen. Die Schülerinnen und Schüler könnten nun, ausgehend vom Grundpreis, sukzessive den Preis für eine Zeile addieren und diese Rechnungen tabellarisch darstellen. Dieses Vorgehen ähnelt ab da wieder dem systematischen Probieren. Sie könnten aber auch den Grundpreis von den vorgegebenen Preisen subtrahieren und überprüfen, wie oft der Preis für eine Zeile in den Rest passt. Dies kann durch eine Überschlagsrechnung geschehen oder durch eine Division. Das Problem wird durch dieses Vorgehen auf ein Bekanntes zurückgeführt (proportionaler Zusammenhang). Die Schülerinnen und Schüler können aber auch einen Term aufstellen: y = 1,80. (x-5) + 10 und daraus eine Gleichung gewinnen, die sie nach dem bekannten Algorithmus lösen. Besonders bei allgemeinen Ansätzen (hier Erstellung eines Terms) sollten die Schülerinnen und Schüler eine Kontrollstrategie anwenden und das Ergebnis stets überprüfen (Rechenprobe, Plausibilitätsüberlegung). Typische Schülerlösungen:

5 Aufgabe Streichholzmuster (IQB 2009, B-Heft Nr. 16; C-Heft Nr. 15) Gesucht wird die Anzahl der Hölzer für die 10. Figur. Durch die Aufgabenstellung ist das Muster vorgegeben. Es werden Achtecke aneinander gefügt. Die Eigenschaften des Musters müssen mathematisiert werden. Hilfsstrategien könnten sein, die Anzahl der benötigten Hölzer an die Figur zu schreiben oder aber auch das Muster in einer Zeichnung fortzusetzen. Die daraus gewonnenen Informationen werden dann weiterverarbeitet. Die Schülerinnen und Schüler sollten erkennen, dass das Muster zerlegt werden muss in die Ausgangsfigur und alle angehängten Figuren. Von einem Schritt zum nächsten kommt dann immer eine feste Anzahl von Hölzern hinzu. Analog zur Aufgabe Kleinanzeigen können die Schülerinnen und Schüler eine tabellarische Zahlenreihe erstellen. Sie können aber auch die Anzahl der Hölzchen der Ausgangsfigur subtrahieren und das Problem auf einen proportionalen Zusammenhang zurückführen oder sie können einen allgemeinen Term entwickeln. Auch hier sollten am Ende wieder eine Überprüfung des Ergebnisses (Rechenprobe, Plausibilitätsüberlegung) und eine Reflexion (Wie war der Lösungsweg? Gibt es Alternativen?) stehen. Weitere Aufgaben, die mit der Strategie Vorwärtsarbeiten gelöst werden können: Kino (LSE 2005) Gummibären 2 (IQB 2009, B- und C-Heft)

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