Sachrechnen/Größen WS 14/ Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit in der Schule

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1 3.2 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit in der Schule

2 Stochastik in der Schule? am Ende von Sekundarstufe I und in Sekundarstufe II oft bei Schülern wie Lehrern unbeliebt zu geringes inhaltliches Verständnis bei den Schülern eventuell fehlen hier praktische, spielerische Erfahrungen 2

3 Stochastik in der Schule? Die Schülerinnen und Schüler sollen von Klasse 1 an die Chance haben, Kenntnisse über den Zufall zu erwerben und damit langfristig zu der Überzeugung kommen, dass der Zufall kalkulierbar ist und dass zufällige Ereignisse mit mathematischen Mitteln modelliert werden können. Dazu sollen die Kinder lernen, was mit Daten gemeint ist und wie man sie erfassen und darstellen kann. An einfachen Beispielen sollen sie lernen, was Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen sind und wie man mit Ereignissen experimentiert. (Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret, 2009) 3

4 Kombinatorische Aufgaben in der Grundschule Sachrechnen/Größen WS 14/15- bereits bekannte Aufgaben: Ein Wanderer will zwei Flüsse überqueren. Über den ersten Fluss führen 3 Brücken, über den zweiten Fluss 4 Brücken. Wie viele verschiedene Wege kann der Wanderer einschlagen? Wie viele Möglichkeiten gibt es? Streblinde, Quicki, Murks und zwei Kommilitonen gehen in die Ferien. Jeder von ihnen verabschiedet sich von jedem mit Handschlag. Wie viele Handschläge sind es insgesamt? Einordnung solcher Aufgaben als Problemaufgaben: anspruchsvolle mathematische Strukturen vertraute Rechenoperationen oder mathematische Modelle werden nicht sofort deutlich bzw. sind nicht ohne vorherige Transferleistung anzuwenden. 4

5 Kombinatorische Aufgaben in der Grundschule Ziele des Arbeitens mit kombinatorischen Fragestellungen Entwicklung sinnvoller Zählstrategien Finden und Begründen eigener Lösungswege Training von Problemlösestrategien geeignete Darstellungsformen wählen Muster und Strukturen erkennen / Gesetzmäßigkeiten Entdecken, Beschreiben, Überprüfen und Verallgemeinern Zugangswege: spielerisches Ausprobieren Experimentieren Zeichnungen 5

6 Kombinatorische Aufgaben in der Grundschule Sachrechnen/Größen WS 14/15- Beispiele: Türme bauen: Du hast einen roten, einen blauen und einen gelben Legostein. Wie viele verschiedene Türme aus drei Steinen kannst du damit bauen? Wie viele Möglichkeiten hat Greta, ihr Deutsch-, Mathe und Sachkundebuch nebeneinander in den Schrank zu stellen? Hans hat 4 Pullover und 3 Hosen. Auf wie viele Arten kann er sich damit anziehen? Bearbeitungsmöglichkeiten enaktiv handelnd ikonisch symbolisch 6

7 Kombinatorische Aufgaben in der Grundschule 7

8 Kombinatorische Aufgaben in der Grundschule 8

9 Kombinatorische Aufgaben in der Grundschule 9

10 Kombinatorische Aufgaben in der Grundschule 10

11 Empirische Untersuchung: Einzel-Video-Interviews mit zwei Gruppen von Kindern: 1. Gruppe: 23 mathematisch interessierte Erst- und Zweitklässler 2. Gruppe: 23 Kinder einer willkürlich ausgewählten 2. Klasse 11

12 Ergebnisse der Untersuchung: alle Kinder erfassten die Problemstellung schnell und starteten sehr motiviert mit der Bearbeitung erarbeitetes Wissen wurde auf die neue Problemstellung übertragen 1. Gruppe verschiedene Vorgehensweisen, mit und ohne Material Motivation nahm kaum ab 1. Teilaufgabe: vollständig richtige Lösung: 16 Kinder Teilaufgaben 2 und 3: richtige Lösung: 4 bzw. 6 Kinder 2. Gruppe Kinder nutzten Material, malten Türme oft auf, Versuch-und-Irrtum ab Teilaufgabe 2 ließ die Motivation bei einigen Kindern kontinuierlich nach 1. Teilaufgabe: vollständig richtige Lösung: 8 Kinder Teilaufgaben 2 und 3: keine richtigen Lösungen 12

13 die mathematisch interessierten Kinder waren die besseren Problemlöser sie gingen häufiger strategiegestützt vor, wechselten leichter die Handlungsebene bis hin zum kognitiven Arbeiten Sollen solche Aufgaben dann nur mathematisch Interessierten Kindern gestellt werden? Bestimmt nicht, denn hierzu zeigten sich in der Regelklasse zu deutliche Hinweise auf Ansätze strategischen Vorgehens und auf kreative und wertvolle Lösungswege. Wie könnten diese in Ansätzen vorliegenden Fähigkeiten nun besser gefördert werden, als durch die Auseinandersetzung mit derartigen Problemaufgaben? (Claudia Lack, Grundschulunterricht Mathematik ) 13

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19 Gründe für die Behandlung kombinatorischer Aufgaben (Schipper, 2009) rein rechnerische Anforderungen sind oft gering (kleine Anzahlen wählen!) bewusst machen: in erster Linie kommt es nicht auf das richtige Ausrechnen, sondern auf das Finden eines Lösungsweges an. fehlende Losungsalgorithmen regen zum Knobeln an: Probieren systematisches Untersuchen, strategisches Vorgehen 19

20 Gründe für die Behandlung kombinatorischer Aufgaben (Schipper, 2009) sie fordern und fördern alle prozessbezogenen Kompetenzen (Modellieren von Sachsituationen, Problemlösen, Kommunizieren, Argumentieren, sowie Darstellen mathematischer Sachverhalte mit konkreten Gegenstanden mit Zeichnungen und mit symbolischen Darstellungen. Aufgaben können auf unterschiedliche Weise bearbeitet werden individuelle Lösungen Strategiekonferenzen Kinder können voneinander lernen 20

21 erstes unsystematisches Finden einer Lösung Systematisierung der Lösungsprozesse systematisches Vorgehen um alle Lösungen zu finden Entwicklung und Weiterentwicklung einer Entdeckerhaltung und der Fähigkeit, an Probleme zunehmend systematisch zu heranzugehen keine neuen Aufgaben, sondern neue Arten der Lösung (über gesamte GS-Zeit): Einstieg und erste Lösung Lösungen vergleichen geordnete Darstellung der Lösungen erste Variationen: Anzahlen werden verändert weitere Variationen: Kontexte werden verändert Systematik wird herausgearbeitet Systematik wird genutzt (Schipper, 2009) 21

22 Zugangswege zur Wahrscheinlichkeit Sachrechnen/Größen WS 14/15- Zufallsgeneratoren Erinnerung: Zufallsexperiment wird unter genau festgelegten Bedingungen durchgeführt und kann unter diesen beliebig oft wiederholt werden alle möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorab bekannt das Ergebnis eines einzelnen Experiments kann nicht vorhergesagt werden 22

23 Zugangswege zur Wahrscheinlichkeit Sachrechnen/Größen WS 14/15- Zufallsgeneratoren Geometrischer Zugang Zugang über relative Häufigkeiten 23

24 Zugangswege zur Wahrscheinlichkeit Sachrechnen/Größen WS 14/15- Geometrischer Zugang Es werden die geometrischen Eigenschaften des Zufallsgenerators betrachtet, zum Beispiel die geometrische Struktur eines Würfels oder eines Glücksrades Welcher Teil der Flache ist grün? Mathematischer Hintergrund: Laplace-Experiment Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem jeder Versuchsausgang mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt. Sei Ω die Ergebnismenge mit n gleichwahrscheinlichen Ergebnissen, dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses E gegeben durch: P(E)= 1 n 24

25 Zugangswege zur Wahrscheinlichkeit Sachrechnen/Größen WS 14/15- Geometrischer Zugang Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A Ω gegeben durch: P(A) = Anzahl der Elemente in A n oder = Anzahl der der (für A) günstigen Fälle Anzahl aller möglichen Fälle 25

26 Zugangswege zur Wahrscheinlichkeit Sachrechnen/Größen WS 14/15- Geometrischer Zugang Um für ein Ereignis die Anzahl der günstigen Fälle und die Anzahl aller möglichen Falle zu bestimmen müssen kombinatorische Probleme gelöst werden Kenntnisse in der Bruchrechnung nötig. Kenntnisse über geometrische Figuren und Körper müssen erst entwickelt werden Ist das vor der dritten Klasse möglich? Ja. Experimente mit einem 6er-Wurfel und der Thematisierung der Verteilung der Häufigkeiten der gewürfelten Augenzahlen können Erkenntnisse über die geometrische Struktur eines Würfels zu gewinnen (keine Wartehaltung!) 26

27 Zugangswege zur Wahrscheinlichkeit Sachrechnen/Größen WS 14/15- Zugang über relative Häufigkeiten Für ein bestimmtes Ereignis wird experimentell die relative Häufigkeit ermittelt: Verhältnis absolute Häufigkeit Anzahl der Versuche = relative Häufigkeit Aber: - möglichst viele Versuche nötig; daher oft mühsam und zeitaufwendig - in den ersten beiden Schuljahren stehen das Ermitteln, Darstellen und Analysieren von absoluten Häufigkeiten im Mittelpunkt. Mathematischer Hintergrund: Das Gesetz der großen Zahlen Das Gesetz der großen Zahlen besagt (vereinfacht ausgedruckt), dass sich die relative Häufigkeit des Auftretens eines Zufallsergebnisses immer mehr an dessen Wahrscheinlichkeit annähert, je öfter das Zufallsexperiment durchgeführt wird. 27

28 Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret Bildungsstandards Sachrechnen/Größen WS 14/15- Welche Meilensteine beim Erwerb von Einsicht in den Begriff Wahrscheinlichkeit gibt es? 1) qualitative Einschätzungen von Eintrittswahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse mithilfe von Fachbegriffen wie sicher, unmöglich und wahrscheinlich ; dazu Vermutungen und Begründungen; das wesentliche Merkmal von zufälligen Ereignissen ist die Ungewissheit der einzelnen Ergebnisse 2) Die Kinder erkennen, dass bei entsprechenden geometrischen Eigenschaften (z.b. Würfel) von einer Gleichwahrscheinlichkeit der Ereignisse ausgegangen werden kann 28

29 Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret Bildungsstandards Sachrechnen/Größen WS 14/15- Welche Meilensteine beim Erwerb von Einsicht in den Begriff Wahrscheinlichkeit gibt es? 3) Bestimmen der günstigen sowie aller möglichen Fälle für ein Ereignis durch kombinatorische Gedanken bei einfachen Zufallsexperimenten; Einschätzung der Eintrittswahrscheinlichkeit auf dieser Grundlage noch eher qualitativ (im Sinne des ersten Meilensteins) 4) durch die fortgesetzte Wiederholung eines Zufallsexperiments wird die qualitative Einschätzung von Eintrittswahrscheinlichkeiten immer genauer (Gesetzmäßigkeiten bei langen Versuchsreihen erkennbar) 29

30 Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret Bildungsstandards Sachrechnen/Größen WS 14/15- Welche Meilensteine beim Erwerb von Einsicht in den Begriff Wahrscheinlichkeit gibt es? 5) Ziehungen aus Urnen: begründete Prognosen 6) quantitatives Errechnen von Eintrittswahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse 7) berechnen von LAPLACE-Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse (Quotienten aus der Anzahl der für das Ereignis günstigen Falle und der Anzahl aller möglichen Falle) 30

31 Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret Bildungsstandards Sachrechnen/Größen WS 14/15- Welche Meilensteine beim Erwerb von Einsicht in den Begriff Wahrscheinlichkeit gibt es? 8) einem Zufallsexperimenten ein gleichwertiges Urnenmodell zuordnen. 9) Berechnen von relativen Häufigkeiten; die relative Häufigkeit nähert sich der Wahrscheinlichkeit an 31

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