Kenngrößen und Eigenschaften zeitdiskreter LTI-Systeme

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1 Arbeit zum Seminar Digitale Signalverarbeitung Kenngrößen und Eigenschaften zeitdiskreter LTI-Systeme Thomas Wilbert Zusammenfassung Dieses Dokument befasst sich mit der Beschreibung von zeitdiskreten LTI-Systemen sowie der dafür notwendigen theoretischen Grundlagen. Die Unterklasse der rekursiven und nichtrekursiven Systeme wird erläutert und deren Realisierbarkeit durch simple Programme aufgezeigt. [vg02] [AVO9b] [AVO9a] [Mey02] [Web]

2 INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Einführung 3 2 Zeitdiskrete Transformationen 3 2. Fourier-Transformierte abgetasteter Signale DTFT Inverse DTFT z-transformation Inverse z-transformation Eigenschaften der z-t Linearität Zeitverschiebung Das Faltungstheorem Kenngrößen von LTI-S 3. Frequenz-, Amplituden-, Phasengang Dämpfung Phasen- und Gruppenlaufzeit Übertragungsfunktion FIR- und IIR-Systeme 3 4. Definition Impulsantwort Aufbau Übertragungsfunktion Umsetzung in ein Programm Fazit 9 2

3 2 ZEITDISKRETE TRANSFORMATIONEN Einführung Wie aus voran gegangenen Arbeiten bekannt heißen Systeme, welche ein zeitdiskretes Eingangssignal x[n] in ein zeitdiskretes Ausgangssignal y[n] überführen und dabei die Eigenschaften der Linearität und der Zeitinvarianz erfüllen, zeitdiskrete LTI-Systeme (linear time-invariant discrete systems). Die Linearitätssowie die Zeitinvarianzbedingung seien an dieser Stelle noch einmal als Referenz angegeben. Linearitätsbedingung: x[n] k x [n] + k 2 x 2 [n] y[n] k y [n] + k 2 y 2 [n] Zeitinvarianzbedingung: x[n i] y[n i] Auch die Impulsantwort h[n] wurde schon eingeführt. Sie ist das Ausgangssignal y[n] eines LTI-Systems wenn man für dessen Eingangssignal den Einheitspuls wählt. x[n] δ[n] y[n] h[n] Die Impulsantwort ist eine Möglichkeit ein zeitdiskretes LTI-System zu beschreiben. Im Folgenden sollen noch weitere Kenngrößen von LTI-Systemen eingeführt werden. Namentlich sind dies der sog. Frequenzgang, der Amplitudenund Phasengang, die Dämpfung, die Phasen- bzw. Gruppenlaufzeit und die Übertragungsfunktion. Anschließend wird noch eine Unterklasse von LTI-Systemen beschrieben, nämlich die der sog. nichtrekursiven und rekursiven LTI-Systeme. Diese bringen gerade für die Realisierung mittels eines Rechners vorteilhafte Eigenschaften mit sich und stellen daher eine der wichtigsten Klassen von zeitdiskreten LTI-Systemen dar. Eben diese Realisierung mittels eines Programms wird abschließend ebenfalls beschrieben werden. Um all diese Eigenschaften von LTI-Systemen einführen zu können ist jedoch noch etwas Vorarbeit notwendig. 2 Zeitdiskrete Transformationen Zunächst werden zwei grundlegende auf diskrete Signale anwendbare Transformationen betrachtet. Diese sind die zeitdiskrete Fourier-Transformation sowie die z-transformation. Sie werden beide später bei der weiteren Beschreibung von linearen zeitdiskreten Systemen (LTI-Systemen) benötigt. 2. Fourier-Transformierte abgetasteter Signale Will man auf das Frequenzspektrum eines Signals schließen, so kann man hierfür bekanntermaßen die Fourier-Transformation nutzen. Die Fourier-Transformierte X(f) eines Signals x(t) ergibt sich wie schon gesehen wie folgt: X(f) x(t)e j2πft dt () 3

4 2.2 DTFT 2 ZEITDISKRETE TRANSFORMATIONEN Zur digitalen Weiterverarbeitung muss ein zeitkontinuierliches Signal x(t) zunächst jedoch abgetastet werden. Dies geschieht durch Multiplikation von x(t) mit der Abtastfunktion δ T (t). x s (t) x(t) δ T (t) Durch Einsetzen der Definition der Abtastfunktion δ T (t) ergibt sich x s (t) x(t) δ(t nt ) x(nt )δ(t nt ), δ(t nt ) wobei T das Abtastintervall darstellt. Nun lässt sich mit Gleichung die Fourier-Transformierte für abgetastete Signale angeben: X s (f) x s (t)e j2πft dt x(nt )δ(t nt )e j2πft dt x(nt ) δ(t nt )e j2πft dt. Die letzte Zeile ergibt sich hier aus der Vertauschung von Summenbildung und Integration und anschließendem Herausziehen der von der Integrationsvariablen unabhängigen Terme, hier also x(nt ). Da δ(t nt ) nur genau bei t nt den Wert und sonst immer 0 annimmt, lässt sich das Integral leicht weiter ausrechnen. Für die Fourier-Transformierte eines abgetasteten Signals ergibt sich dann: X s (f) x(nt )e j2πfnt (2) 2.2 Die zeitdiskrete Fourier-Transformierte Die Abtastwerte x(nt ) des kontinuierlichen Signals entsprechen den Werten x[n] des zeitdiskreten Signals. Durch diese Ersetzung und Zusammenfassen von 2πf T zu Ω und ergibt sich die sog. zeitdiskrete Fourier-Transformierte (DTFT, Discrete-Time Fourier-Transform) als Funktion von Ω: X(Ω) x[n]e jωn (3) Diese Gleichung heißt auch Analysegleichung, sie gibt Aufschluss über die in x[n] vorhandenen Frequenzen und deren Gewichtung. 4

5 2.3 Inverse DTFT 2 ZEITDISKRETE TRANSFORMATIONEN x[n] Abbildung : grafische Darstellung des Einheitspulses δ[n] n x[n] Abbildung 2: grafische Darstellung von 4 (crect[ n 5 ] δ[n]) n Beispiel : Zeitdiskrete Fourier-Transformierte des Einheitspulses δ[n] Durch Einsetzen in Gleichung 3 ergibt sich: (Ω) δ[n]e jωn e jω 0 Beispiel 2: Zeitdiskrete Fourier-Transformierte von 4 (crect[ n 5 ] δ[n]) Hier ein etwas komplexer erscheinendes Beispiel. Abbildung 2 zeigt zur Verdeutlichung die hier genannte Funktion. Sie wird im weiteren Verlauf noch öfter auftauchen. Nach Gleichung 3 ergibt sich: X(Ω) 4 4 n 4 (crect[n 5 ] δ[n])e jωn e jωn 2.3 Die inverse zeitdiskrete Fourier-Transformation Aus einer gegebenen DTFT eines Signals x[n] lässt sich das Ursprungssignal wieder gewinnen. Diese Operation heißt inverse zeitdiskrete Fourier-Transforma- 5

6 2.3 Inverse DTFT 2 ZEITDISKRETE TRANSFORMATIONEN.5 X[Ω] /2 0 π/2 π Ω Abbildung 3: Grafische Darstellung des Betragsspektrums von 4 (crect[ n 5 ] δ[n]) (Beispiel 2) tion. Um die diese Aufgabe lösende Synthesegleichung zu erhalten sind wieder einige Umformungen nötig. X(Ω) X(Ω)e jωk X(Ω)e jωk dω x[n]e jωn e jωk x[n]e jωn e jωk x[n] x[n]e jωn e jωk dω Das Integral lässt sich leicht weiter ausrechnen. Es gilt: e jωn e jωk dω dω x[n] e jω(k n) dω (4) falls n k: e jω(k n) dω falls n k bzw. l n k 0: e jωl dω cos(ωl) + j sin(ωl) dω cos(ωl) dω + j [ l sin(ωl) ] π + j e 0 dω [Ω] π 2π sin(ωl) dω [ ( cos(ωl)) l (sin(πl) sin(l) + j (cos(l) cos(πl))) l ] π (5) (0 + j 0) 0 l 6

7 2.4 z-transformation 2 ZEITDISKRETE TRANSFORMATIONEN Das Einsetzen in 4 liefert also: X(Ω)e jωk dω x[k]2π Damit ergibt sich für die Rücktransformation von Frequenz- nach Zeitbereich folgende Gleichung: x[n] X(Ω)e jωn dω (6) 2π Beispiel 3: Rücktransformation der zeitdiskreten Fourier-Transformierten von δ[n] Wie eben gesehen ist die zeitdiskrete Fourier-Transformierte von δ[n] einfach. Mit Gleichung 6 ergibt sich: x[n] e jωn dω 2π { falls n 0 : 2π 2π sonst : 0 δ[n] Das Integral wurde hier analog zu Rechnung 5 behandelt. Ein zeitdiskretes Signal x[n] und die zugehörige Fourier-Transformierte X(Ω) bilden durch die Gleichungen 3 und 6 also ein Transformationspaar: 2.4 z-transformation x[n] X(Ω) Bei genauerer Betrachtung stellt man jedoch fest, dass sich längst nicht für jedes Signal x[n] auch eine zeitdiskrete Fourier-Transformierte angeben lässt. Dies ist nur möglich für Signale, bei denen die Summe in Gleichung 3 konvergiert. Ein einfaches Elementarsignal für welches sich keine zeitdiskrete Fourier-Transformierte finden lässt ist beispielsweise der Einheitsschritt u[n] (siehe Abbildung 4). Multipliziert man ein solches Signal x[n] jedoch mit der komplexen Exponentialfolge r n, so kann das entstehende x[n]r n bei geeignetem r eine zeitdiskrete Fourier-Transformierte besitzen, wenn die besagte Summe dann konvergiert. Das Ausführen dieser beiden Operationen auf einem Signal, also Multiplikation mit r n und anschließendes zeitdiskretes Fourier-Transformieren, bezeichnet man Man beachte, dass die besagte Summe sich jedoch für alle Signale, deren Wert an endlichen vielen Stellen von 0 verschieden ist, direkt angeben lässt. Zu solchen endlichen Signalen lässt sich also immer die zeitdiskrete Fourier-Transformierte angeben. 7

8 2.4 z-transformation 2 ZEITDISKRETE TRANSFORMATIONEN x[n] n Abbildung 4: grafische Darstellung des Einheitsschrittes u[n] als z-transformation. Der Name rührt von der folgenden Vereinfachung her: x[n]r n e jωn x[n]r n (e jω ) n x[n](re jω ) n x[n]z n Der Ausdruck re jω wurde einfach durch das komplexe z ersetzt. Für die z- Transformation ergibt sich damit 2 : X(z) x[n]z n (7) Mit der z-transformation lassen sich also auch diskrete Signale in den Frequenzbereich transformieren, bei denen die Fourier-Transformation nicht anwendbar ist. Bei jeder Transformation ist eigentlich der Wertebereich für z anzugeben, für den die z-transformierte tatsächlich existiert. Der variierbare Anteil von z re jω ist r bzw. z. Auf der komplexen z-ebene stellt der Konvergenzbereich also einen Ring dar. Für alle Werte von z innerhalb dieses Rings existiert die z-transformierte, weil die fragliche Summe konvergiert, für alle anderen nicht. Ferner fällt auf, dass die z-transformation für r genau der DTFT entspricht, denn dann gilt: X(z) x[n]z n x[n]( e jω ) n x[n]e jωn X(Ω) Schließt der Konvergenzbereich von X(z) also den Einheitskreis auf der z-ebene ein, so existiert auch die zeitdiskrete Fourier-Transformierte zu x[n]. Abbildung 5 verdeutlicht diese Sachverhalte für den in Beispiel 4 gezeigten Fall. 2 Genauer gesagt ist dies die zweiseitige z-transformation. Läuft die Summe nur von 0 bis bezeichnet man dies als einseitige z-transformation, welche sich augenscheinlich der Einfachheit halber für kausale Signale anbietet. 8

9 2.5 Inverse z-transformation 2 ZEITDISKRETE TRANSFORMATIONEN 3 2 j(z) R(z) Abbildung 5: Die komplexe z-ebene mit grau hinterlegtem Konvergenzbereich für Bsp. 4, für auf dem Einheitskreis liegende z ist X(z) X(Ω) Beispiel 4: Z-Transformierte von 2 n u[n] Entsprechend Gleichung 7 ergibt sich: X(z) ( ) n 2 n u[n]z n 2 n z n 2 z n0 n0 n0 ( ) n 2 z Hier ist die geometrische Reihe zu erkennen, es liegt also Konvergenz für 2 < bzw. z > 2 vor. Es ergibt sich: z X(z), falls z > 2 2z Hier ist zu erkennen, dass z nicht im Konvergenzbereich liegt, somit hat 2 n u[n] keine zeitdiskrete Fourier-Transformierte. 2.5 Die inverse z-transformation Dieser Abschnitt soll zeigen, wie es möglich ist ein Signal x[n] aus seiner z- Transformierten zurück zu gewinnen. Die hierfür notwendige Formel soll zunächst hergeleitet werden. Dafür sei noch einmal daran erinnert, dass sich die z-transformation eines Signals x[n] durch die Multiplikation mit r n mit anschließendem Ausführen der DTFT ergibt: F {x[n]r n } X(re jω ) X(z) 9

10 2.6 Eigenschaften der z-t. 2 ZEITDISKRETE TRANSFORMATIONEN Anwenden der inversen zeitdiskreten Fourier-Transformation nach Gleichung 6 ergibt dann: x[n]r n F {X(re jω )} x[n] r n F {X(re jω )} r n X(re jω )e jωn dω 2π X(re jω )(re jω ) n dω 2π Für die direkte Rücktransformation von X(z) nach x[n] benötigt man eine Gleichung die direkt von z abhängt. Diese lässt sich durch ändern der Integrationsvariablen nach z erreichen. Es ist z re jω, bei festem r gilt dann: dz je jω dω bzw. dω j z dz. Die Integration über ein Intervall von 2π über Ω entspricht einem vollen Umlauf um den Kreis mit dem Radius z in der komplexen z-ebene. Es folgt die Gleichung der inversen z-transformation: x[n] 2πj X(z)z n dz (8) Das Zeichen symbolisiert dabei den vollen linksläufigen Kreis mit Radius z um den Ursprung. Mit den Gleichungen 7 der z-transformation und 8 der inversen z-transformation bilden x[n] und X(z) ebenfalls ein Transformationspaar. x[z] X(z) Die Bestimmung der z-transformierten und ihrer inversen mittels der gegebenen Definitionsgleichungen ist recht aufwendig. Für die praktische Anwendung wird man daher beispielsweise auf eine tabellarische Umsetzung zurück greifen. 2.6 Eigenschaften der z-transformation Die z-transformation weist einige Eigenschaften auf, die im weiteren Verlauf noch benötigt werden. Diese seien hier kurz betrachtet. Eine detailliertere Liste findet sich in [Mey02] Linearität Sind k und k 2 Konstanten und es gilt x [n] X [n] sowie x 2 [n] X 2 [n], dann gilt auch: Zeitverschiebung k x [n] + k 2 x 2 [n] k X [n] + k 2 X 2 [n] (9) Gilt x[n] X(z), so entspricht eine Multiplikation der z-transformierten mit z i einer Verzögerung des transformierten Signals um i Abtastintervalle: x[n i] z i X(z) (0) 0

11 3 KENNGRÖSSEN VON LTI-S Das Faltungstheorem Die Faltung zweier Signale h[n] und x[n] im diskreten Zeitbereich entspricht der Multiplikation ihrer z-transformierten im z-bereich: h[n] x[n] H(z) X(z) () 3 Kenngrößen von LTI-Systemen Mit Hilfe der zeitdiskreten Fourier-Transformation und der z-transformation können nun neben der Impulsantwort noch weitere Kenngrößen von zeitdiskreten LTI-Systemen angegeben werden. 3. Frequenz-, Amplituden- und Phasengang Wie im Vorfeld bereits gesehen lässt sich ein zeitdiskretes LTI-System über seine Impulsantwort h[n] charakterisieren. Das Ausgangssignal y[n] ergibt sich dabei durch die Faltung des Eingangssignals x[n] mit h[n]. Es gilt also der Zusammenhang: y[n] h[n] x[n] (2) An dieser Stelle sollen die Begriffe des Frequenz-, Amplituden- und Phasengangs eingeführt werden. Hierzu wird ein LTI-System betrachtet, welches mit einem sinusförmigen Eingangssignal 3 gespeist wird. Es lässt sich folgendermaßen umformen: y[n] h[n] cos(ωn) h[i] cos(ω(n i)) i i 2 2 ( h[i] 2 (ejω(n i) + e jω(n i) ) i i h[i]e jω(n i) + h[i]e jωi e jωn + } {{ } α i i h[i]e jω(n i) ) h[i]e j( Ω)i e jωn } {{ } β Bei genauerer Betrachtung fällt an dieser Stelle auf, dass sich die Terme α und β auch als Fourier-Transformation schreiben lassen. Dabei gilt α H(Ω) und β H( Ω). Diese lassen sich weiter in Exponentialform notieren, es ergibt sich: α H(Ω) e j H(Ω) sowie β H(Ω) e j H(Ω). Nach Einsetzen lässt sich dann 3 Der Einfachheit der Rechnung halber wird hier cos(ωn) gewählt. Ferner wird hier von einem reellen zeitdiskreten LTI-System ausgegangen, dh. h[n] ist reell.

12 3.2 Dämpfung 3 KENNGRÖSSEN VON LTI-S weiter umformen: y[n] ( H(Ω) e j H(Ω) e jωn + H(Ω) e j H(Ω) e jωn) 2 ( 2 H(Ω) e j H(Ω) e jωn + e j H(Ω) e jωn) H(Ω) (e ) j( H(Ω)+Ωn) + e j( H(Ω)+Ωn) 2 H(Ω) cos( H(Ω) + Ωn) Wie zu sehen ist, ist das Ausgangssignal y[n] seinerseits wieder sinusförmig. Gegenüber dem Eingangssignal ist eine Amplitudenänderung um den Faktor H(Ω) sowie eine Phasenverschiebung von H(Ω) festzustellen. H(Ω) wird als der Amplitudengang des zeitdiskreten LTI-Systems bezeichnet, H(Ω) ist der sog. Phasengang des Systems. Die Fourier-Transformierte der Impulsantwort selbst, eben H(Ω), heißt Frequenzgang des System. Für Eingangssignale verschiedener Frequenzen ergeben sich im allgemeinen offensichtlich verschiedene Werte für H(Ω). Damit hängt die Größe der Amplitudenänderung sowie der Phasenverschiebung von der Frequenz des Eingangssignals ab. Da H(Ω) eine 2π-periodische Funktion ist, erfahren Eingangssignale deren Frequenzen um ein Vielfaches von 2π differieren jedoch die gleiche Amplituden- und Phasenänderung. Beispiel 5: Frequenzgang eines LTI-Systems mit h[n] 4 (crect[ n 5 ] δ[n]) Betrachtet werde ein LTI-System, dessen Impulsantwort h[n] dem aus Beispiel 2 bekannten Signal 4 (crect[ n 5 ] δ[n]) entspricht. Bei der Abtastung soll die Abtastfrequenz f s 2Hz gewesen sein, dementsprechend ist T 0, 5s. Mit Hilfe des im Beispiel errechneten H(Ω) lassen sich die in Abbildung 5 gezeigten Graphen erstellen 4. Aus Ihnen lässt sich Amplituden- und Phasengang in Abhängigkeit der Frequenz f ablesen (zur Erinnerung: Ω 2πfT ). Schön zu erkennen sind auch die Eigenschaften der Periodizität sowie der Symmetrie bei beiden Graphen. Dementsprechend würde es auch genügen, den Frequenzgang nur für das Intervall [0, 2 f s] anzugeben. Dieser Bereich heißt auch Nyquistbereich, die halbe Abtastfrequenz wird Nyquistfrequenz genannt. Man beachte, dass obwohl der Frequenzgang periodisch ist trotzdem jeder Frequenz im abgetasteten Signal eine individuelle Modifikation zugeteilt ist, denn in diesem tauchen ja (bei korrekter Abtastung) keine Frequenzen auf, welche größer als die Nyquistfrequenz sind. 3.2 Dämpfung Vielfach findet man auch statt der direkten Angabe des Amplitudengangs H(Ω) die sog. Dämpfung A(Ω) in db. Diese ist wie folgt definiert: A(Ω) in db 20 log( H(Ω) ) 4 Aufgrund der Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen empfiehlt sich beim Zeichen des Winkels folgende Funktion in gnuplot: angle(x) imag(x)>0? acos(real(x)/abs(x)) : acos(-real(x)/abs(x))-pi 2

13 3.3 Phasen- und Gruppenlaufzeit 4 FIR- UND IIR-SYSTEME H(f) H(f) π 0 -π f [Hz] f [Hz] Abbildung 6: Grafische Darstellung von Frequenz- und Phasengang eines LTI- Systems mit h[n] 4 (crect[ n 5 ] δ[n]) 3.3 Phasen- und Gruppenlaufzeit An dieser Stelle seien auch noch ohne nähere Angaben die Definitionen der Phasen- (τ p (Ω)) und der Gruppenlaufzeit (τ g (Ω)) angegeben. Es gilt: τ p (Ω) H(Ω) Ω bzw. τ g (Ω) d H(Ω) dω 3.4 Übertragungsfunktion Schlussendlich wird noch der Begriff der Übertragungsfunktion (engl. response amplification operator) eingeführt. Diese ist die z-transformierte H(z) der Impulsantwort h[n], also: h[n]z n Gemäß Faltungstheorem für die z-transformation (Gleichung ) gilt dann folgender Zusammenhang: h[n] x[n] H(z) X(z) y[n] Y (z) Mit Hilfe der Übertragungsfunktion ist also der wesentliche Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangswerten eines zeitdiskreten LTI-Systems ebenfalls vollständig wiedergegeben. Daher findet man für sie auch häufig die Bezeichnung Systemfunktion. Sie spielt die wichtigste Rolle beim Entwurf von digitalen Filtern. 4 Nichtrekursive und rekursive Systeme Nachdem nun die zeitdiskreten LTI-Systeme und ihre Eigenschaften allgemein betrachtet worden sind wird noch eine speziellere Klasse von LTI-Systemen vorgestellt. Diese Klasse hat, wie schon angesprochen, attraktive Eigenschaften, die die Realisierung mittels eines Rechensystems auch unter Echtzeitbedingungen erleichtern. 3

14 4. Definition 4 FIR- UND IIR-SYSTEME 4. Definition Ein zeitdiskretes LTI-System heißt rekursiv, wenn es sich um ein kausales System 5 handelt und Eingangs- und Ausgangsfunktion über die sog. Differenzengleichung zusammen hängen: M N y[n] a i y[n i] + b i x[n i] (3) i Der Wert der Ausgangsfunktion zu einem Zeitpunkt n ergibt sich also aus der Differenz der gewichteten Summe der bis zu diesem Zeitpunkt aufgetretenen Eingangswerte und der ebenfalls gewichteten Summe der bis dahin entstandenen Ausgangswerte. Der rekursive Anteil steckt hier in der vorderen Summe, gilt für alle Koeffizienten a i 0, so findet keine Rückkopplung statt. Ein solches System heißt dann auch nichtrekursives System. 4.2 Impulsantwort Rekursive bzw. nichtrekursive Systeme besitzen eine sog. Ordnung, diese ist gegeben durch die größere der beiden Zahlen M und N. Im Fall der nichtrekursiven Systeme ist die Ordnung etwa als Maß für das Erinnerungsvermögen eines Systems zu interpretieren, sie gibt an, von wie vielen vorhergehenden Eingangswerten der Wert der Ausgangsfunktion zu einem bestimmten Zeitpunkt abhängt. Bei den rekursiven Systemen ist diese Anschauung jedoch problematisch, da über die Rückkopplung des Ausgangssignals theoretisch alle vorhergehenden Eingangswerte ins Ausgangssignal eingehen. Dem entsprechend besitzen nichtrekursive Systeme eine endliche Impulsantwort 6, während bei rekursiven LTI- Systemen die Impulsantwort von unendlicher Länge sein kann. Nichtrekursive Systeme bezeichnet man daher auch als FIR-System (f inite i mpulse r esponse), rekursive hingegen als IIR-Systeme (i nfinite i mpulse r e- sponse). Bei FIR-Systemen findet sich die Impulsantwort sogar direkt in der Differenzengleichung wieder. Für diese Systeme gilt mit Gleichung 3 und a i 0 i: y[n] i0 N b i x[n i] (4) i0 Die Impulsantwort ergibt sich also wie folgt: h[n] N i0 h[n] b n b i δ[n i] }{{} in Die Impulsantwort zum Zeitpunkt n entspricht also genau dem n-ten Koeffizienten oder anders notiert: {h F IR [n]} {b, b 2, b 3,..., b n } (5) 5 Zur Erinnerung: kausal bedeutet, dass für die Impulsantwort des Systems gilt: h[n] 0 n < 0 6 davon ausgehend, dass die Ordnung immer endlich ist 4

15 4.3 Aufbau 4 FIR- UND IIR-SYSTEME x [n] x 2 [n]... x i [n] + y[n] x i [n] y 2 [n] a x[n] y[n] y[n] a x[n] x[n] z - y[n] x[n ] y[n] Abbildung 7: Grafische Darstellung von Additions- und Multiplikationsglied sowie des Verzögerungselements Dies stimmt natürlich überein mit den bisherigen Betrachtungen nach Gleichung 2, die Faltungsoperation ist bei genauerem Hinsehen nichts anderes als das Lösen der Differenzengleichung: 4.3 Aufbau y[n] h[n] x[n] N y[n] h[i]x[n i] y[n] i0 N b i x[n i] i0 Wie man sich leicht veranschaulichen kann, können sowohl FIR- als auch IIR- Systeme aus 3 Grundelementen zusammen gesetzt werden: Additionsglied Für die Summenbildung zwischen verschiedenen Signalwerten Multiplikationsglied Für das Multiplizieren mit den verschiedenen Koeffizienten a i bzw. b i Verzögerungselement Für das Zuführen der zeitlich vorangegangen Signalwerte Mit diesen lassen sich solche Systeme auch gut grafisch veranschaulichen. Abbildung 7 zeigt die symbolische Darstellung der Elemente 7. Beispiel 6: Grafische Darstellung eines IIR-Systems zweiter Ordnung Ein IIR-System lässt sich leicht als Blockbild darstellen. Abbildung 8 gibt das System wieder, welches folgender Regel gehorcht: y[n] 2 a i y[n i] + i 2 b i x[n i] i0 y[n] b 0 x[n] + b x[n ] + b 2 x[n 2] a y[n ] a 2 y[n 2] 7 Warum für das Verzögerungselement z geschrieben wird zeigt sich später bei der Behandlung der Übertragungsfunktion. 5

16 4.4 Übertragungsfunktion 4 FIR- UND IIR-SYSTEME x[n] b 2 z - b b z - + a 2 a y[n] Abbildung 8: Blockbild zu Beispiel 6: Ein IIR-System 2-ter Ordnung 4.4 Übertragungsfunktion Als einer der letzten Punkte soll noch die Übertragungsfunktion von LTI-Systemen, deren Verhalten der Differenzengleichung (Gl. 3) folgt, betrachtet werden. Dazu werden beide Seiten der Differenzengleichung unter Nutzung der Linearitätssowie der Zeitverschiebungseigenschaften der z-transformation (Gleichungen 9 bzw. 0) in den z-bereich überführt. Man erhält folgende Gleichung, die dann zur z-transformierten der Ausgangsfunktion hin aufgelöst werden muss: Y (z) + Y (z) Y (z) ( + M N Y (z) a i z i Y (z) + b i z i X(z) M a i z i i ) M a i z i i Y (z) i N b i z i X(z) i0 N b i z i X(z) i0 i0 N i0 b iz i + M i a X(z) i iz Zusammen mit dem Faltungstheorem (Gleichung ) wird deutlich, dass es sich bei dem Faktor P N i0 biz i + P M i aiz i um die Übertragungsfunktion H(z) handeln muss. 4.5 Umsetzung in ein Programm Wie schon gesagt lassen sich FIR- bzw. IIR-Systeme durch ihren einfachen, strukturierten Aufbau gut auf einem Rechensystem implementieren. Hat man das Blockbild vorliegen, so kann man mit einfachstem Vorgehen eine Programmstruktur ablesen, welche das Verhalten des Systems nachbildet. Hierzu wird für jedes vorhandene Verzögerungselement eine Hilfsvariable eingeführt, um sich den Zustand im letzten Berechnungsschritt zu merken. Zu allen Zeitpunkten vor der Erregung des Systems liegt an dessen Eingang nur das Nullsignal, alle Verzögerungselemente enthalten also bei n 0 ebenfalls nur die 0 als Wert des Signals. Dementsprechend werden alle Hilfsvariablen mit 0 initialisiert. Anschließend lassen sich die Berechnungsvorschriften einfach aus dem Blockbild ablesen. Zur Verdeutlichung wird dazu das Programm zum Blockbild aus Beispiel 6 angegeben. Der Wert des rechten der beiden Verzögerungsglieder wird in temp[0], der Wert 6

17 4.5 Umsetzung in ein Programm 4 FIR- UND IIR-SYSTEME x[n] h 4 h 3 h 2 h h 0 z z - z z - + y[n] Abbildung 9: Blockbild zu Beispiel 7: Das System aus Bsp. 2 des linken in temp[] zwischengespeichert. Es ergibt sich: for all done 0 n < t max do y[n] b 0 x[n] + temp[0] temp[0] b x[n] + temp[] a y[n] (6) temp[] b 2 x[n] a 2 y[n] Damit ergeben sich alle Werte des Ausgangssignals y[n] bis zum gewünschten Zeitpunkt t max. Beispiel 7: Lauffähiger Filter als C-Code Abschließend soll noch in einem etwas umfassenderen Beispiel ein tatsächlich lauffähiges Programm zum Filtern eines Signals erstellt werden. Der Filter soll die Eigenschaften des Systems aus Beispiel 2 haben. Zunächst wird das System mittels eines Blockdiagramms nachgebildet. Dies ist nicht weiter schwierig und läuft vollkommen analog zu Beispiel 6. Da es sich hier offensichtlich um ein FIR-System handelt (denn die Impulsantwort ist ja gerade endlich), machen wir uns bei der Umformung auch die in Gleichung 5 beschriebene Eigenschaft zu Nutzen, wonach sich aus der Impulsantwort direkt die Koeffizienten b i ergeben. Abbildung 9 gibt das Blockbild des Systems an. Bevor der Code zur Realisierung des Filters angegeben wird, zunächst noch einige Betrachtungen zum Verhalten des Systems. Aus Abbildung 5 lässt sich ersehen, dass der Amplitudengang bei f 0, 5Hz eine Nullstelle aufweist. Signale dieser Frequenz werden vom Filter also blockiert. Andere Frequenzen passieren das System und erfahren ebenfalls eine Amplitudenund Phasenänderung wie sie den Graphen zu entnehmen ist. Sehr niedrige Frequenzen passieren den Filter mit sehr geringer Amplitudenänderung. Das bedeutet, dass man mit Hilfe dieses Systems beispielsweise ein Nutzsignal, welches bei einer Übertragung oder ähnlichem von einem Störsignal der Frequenz 0, 5Hz verunreinigt wurde, befreien kann. Aus dem Blockbild wird nun das filternde Programm analog zu Listing 7 erstellt. Für jedes Verzögerungselement existiert eine Index in temp[], die Impulsantwort respektive die Koeffizienten b i sind in h[] festgehalten. Das Eingangssignal wird in x[] erzeugt und sofort mit einem Störsignal von 0, 5Hz überlagert. Anschließend erfolgt die eigentliche Filterung und Erstellung des Ausgangssignals in y[] sowie schlussendlich noch die Ausgabe in einem für gnuplot verwendbaren Format. 7

18 4.5 Umsetzung in ein Programm 4 FIR- UND IIR-SYSTEME n( 2t [s]) Eingang Eingangssignal Abbildung 0: Zeitkontinuierliches Signal zu Beispiel 7 und das dazugehörige abgetastete Signal #include <stdio.h> #include <math.h> double x[00], y[00]; double h[] { 0, 0.25, 0.25, 0.25, 0.25 }; int main(int argc, char* argv[]){ double temp[] { 0, 0, 0, 0 }; int n; for(n0; n<00; n++){ x[n] sin((0.02 * M_PI) * n ); x[n] + sin( (0.5 * M_PI) * n ); } for(n0; n<00; n++){ y[n] h[0]*x[n] + temp[0]; temp[0] h[]*x[n] + temp[]; temp[] h[2]*x[n] + temp[2]; temp[2] h[3]*x[n] + temp[3]; temp[3] h[4]*x[n]; } printf("# Ursprungsfunktion\n"); for(n0; n<00; n++) printf("%d, %f\n", n, x[n]); printf("# Ergebnis\n"); for(n0; n<00; n++) printf("%d, %f\n", n, y[n]); } Abbildung 0 zeigt das kontinuierliche Signal und das durch Abtastung entstehende zeitdiskrete Signal welches als Eingangssignal für den Filter dient. In Abbildung ist dann das durch den Filter produzierte zeitdiskrete Signal dargestellt. Abbildung 2 verdeutlicht noch einmal die Phasenverschiebung durch Übereinanderzeichnen von Nutz- und Ausgangssignal. Wie die Abbildungen erkennen lassen, arbeitet das mit einfachen Mitteln erstellte Programm also tatsächlich analog zum LTI-System in Beispiel 2 und besitzt entsprechende filternde Wirkung. 8

19 5 FAZIT n( 2t [s]) Ausgang Abbildung : Durch den Filter in Beispiel 7 erzeugtes zeitdiskretes Ausgangssignal n( 2t [s]) Ausgang Nutzsignal Abbildung 2: Kontinuierliches Nutzsignal und Zeitdiskretes Ausgangssignal zu Beispiel 7. Man beachte die Phasenverschiebung. 5 Fazit Neben verschiedenen Möglichkeiten der Transformation zeitdiskreter Signale von Zeit- nach Frequenzraum und deren Inversen wurden hier weitere Eigenschaften von zeitdiskreten LTI-Systemen aufgezeigt. Später für den systematischen Entwurf von digitalen Filtern wichtige Größen und Bezeichnungen wurden erläutert. Eine spezielle Klasse von LTI-Systemen, nämlich die der rekursiven und nichtrekursiven, wurde beschrieben und auf ihre Eigenschaften untersucht. Schlussendlich wurde auch ein Weg aufgezeigt, eben diese Systeme in ein Programm umzusetzen, so dass tatsächlich erste Digitalfilter realisiert werden können. Bis jetzt fehlen allerdings neben schnell auf einem Rechner ausführbaren Transformationsarten auch noch eine Methode zum geordneten Entwurf von Filtern, dh. eine Möglichkeit die Übergangsfunktion eines Systems so zu gestalten, dass die Filterwirkung auch tatsächlich vorher aufgestellten Kriterien folgt. Diese Punkte werden im weiteren Verlauf noch zu erläutern sein. 9

20 LITERATUR LITERATUR Literatur [AVO9a] Alan V. Oppenheim, Alan S. Willisky: Signale und Systeme Arbeitsbuch. Wiley VCH, 99. [AVO9b] Alan V. Oppenheim, Alan S. Willisky, Jan T. Young: Signale und Systeme Lehrbuch. Wiley VCH, 99. [Mey02] Meyer, Martin: Grundlagen der Informationstechnik. Vieweg, [vg02] [Web] Grünigen, Daniel Ch. von: Digitale Signalverarbeitung. Fachbuchverlag Leipzig/Hanser Verlag, Wikipedia. 20