Übungsaufgaben zur Mathematikvorlesung I für den Studiengang Verfahrenstechnik

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1 Prof. Dr. Reinhard Strehlow Übungsaufgaben zur Mathematikvorlesung I für den Studiengang Verfahrenstechnik Arithmetik:. Vereinfachen Sie die Ausdrücke c) a 5 a + a 4 a + + a + 6a + a + 5a + 6 ( a a b + b ) ( a : a + b a + b + b ) a b. Vereinfachen Sie die Wurzelausdrücke b) d) a a + a a + 4a + 5b 9c a + b 7c sowie , b) , c) (r 4 ) r 8 r, d) Die folgenden Brüche sind so umzuformen, dass ihre Nenner jeweils rational werden 8 + 4, b) 9, c) ab 7 a b. 4. Vereinfachen Sie die Wurzelausdrücke a a a a, b) a6 b, c) n 4n, d) a 4 b b a a. 5. Berechnen Sie (ohne Taschenrechner!) die Unbekannte aus den Gleichungen log, 5 =, b) log =, 5, c) lg =, d) log 6. Berechnen Sie (ohne Taschenrechner!) = lg 5 lg + (lg ), b) = +lg 9, c) = ( e ) ln = Wie lauten die Koeffizienten von 7 y 5 und 9 y für das Binom ( + y)? 8. Rechnen Sie (im Kopf!) mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes: 9, und Berechnen Sie mit Hilfe der Binomischen Lehrsatzes (a + b). Mengenlehre, Aussagelogik:. Klassifizieren Sie die folgenden Aussagen nach wahr oder falsch Ein Dreieck mit den Seitenlängen 6 cm 8 cm und cm ist rechtwinklig.

2 Die Zahlen 7 und 9 bilden einen sogenannten Primzahlzwilling. Die Menge der Quadratzahlen, 4, 9, 6,... ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Primzahlen sind stets ungerade Zahlen. Die Zahl 96 ist durch 9 teilbar, weil durch 9 teilbar ist. Jedes Parallelogramm ist auch ein Trapez. Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen berechnet sich aus n(n )/. Natürliche Zahlen n 6, die von einem Primzahlzwilling eingeschlossen sind, sind stets durch 6 teilbar. Jede gerade Zahl größer als ist als Summe zweier Primzahlen darstellbar.. Überprüfen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen A \ B = { : ( A) ( B)}; b) A B = A \ (A \ B); c) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C); d) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). Gleichungen und Ungleichungen:. Lösen Sie die folgenden Gleichungen =, b) =, c) =.. Gesucht sind die Lösungen der Wurzelgleichungen = , b) =.. Zu berechnen sind die -Werte, die die Eponential- bzw. Logarithmusgleichungen =, b) lg( + 5) lg( + ) =, c) log ( ) + log 4 ( ) =, d) 9+ = 9 erfüllen. 4. Man löse die Gleichungen (log 5 ) log 5 = 5 log 5, b) lg lg = lg( lg ). 5. Welche -Werte erfüllen die Gleichungen + = 6 und b) + = 4? 6. Es sind für die folgenden Ungleichungen die Lösungsmengen anzugeben 5 6 < 4 + 9, b) <, c) + = +, d) + >, e) > 5, f) 5 + <. 7. Welche Punkte (; y) werden durch das Ungleichungssysteme y >, + y > 4 definiert. Stellen Sie diese Punktmengen grafisch dar! 8. Die 5 km lange Etappe eines Radrennens legt der Materialwagen in einer um,5 Stunden kürzeren Zeit und mit einer um 6,5 km/h höheren Durchschnittsgeschwindigkeit

3 zurück als die Radsportler. Wie groß sind Fahrzeit und Geschwindigkeit von Materialwagen und Radsportlern? Trigonometrie/Goniometrie:. Wandeln Sie die folgenden Winkelangaben in das jeweils andere Winkelmaß (Gradmaß bzw.bogenmaß) um: 45 ; 7, 4 ; 4 ;, 5π;, ; 7,.. Zu lösen sind die Goniometrischen Gleichungen sowie cos + cos() =, b) sin sin cos =, c) + cos = sin d) sin + cos =, e) tan sin = sin ( ), f) sin sin(π ) =.. Für ein Dreieck sind bekannt a = 79 m, b = 8, m und β = 6. Zu berechnen sind alle anderen Seiten und Winkel. 4. Ein Beobachter ist durch einen Fluß von einem Kirchturm getrennt, dessen Höhe er zu bestimmen hat. Er mißt aus einer unbekannten Entfernung die Spitze (vom Boden!) unter einem Winkel von. Geht er 5 m zurück, so ist der entsprechende Winkel um reduziert. Wie hoch ist der Kirchturm? Elementare Funktionen:. Zu untersuchen sind die folgenden Funktionen hinsichtlich Beschränktheit, Monotonie und Symmetrie: y = , b) y = +, c) y = arctan, d) y = e, e) y = cos(), f) y = cosh, g) y =, h) y = sin + sin().. Man bestimme (wenn möglich!) die Umkehrfunktionen für y = +, b) y = arctan( ), c) y = arctan, d) y = e, e) y = +, f) y = cosh, g) y = log 4, h) y = +. und gebe jeweils deren Definitionsbereich an.. Für die folgenden mittelbaren Funktionen (Verkettungen) bestimme man jeweils innere und äußere Funktion y = e, b) y = sin(), c) y = ln( + ), d) y = e, e) y = cos, f) y = cosh, g) y = e sin, h) y = + e. 4. Wandeln Sie die unecht gebrochen rationale Funktion y = in eine Summe aus einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochenen rationalen Funktion um.

4 5. Zu berechnen sind Scheitelpunkt und Nullstellen des Polynom. Grades y = (+) Man bestimme arctan, b) cosh, c) log 9, d) arcsin, 5, e) arsinh und f) arccos Zeichnen Sie den Graphen der Archimedesspirale r = φ für das Intervall φ π. Analytische Geometrie der Ebene:. Man bestimme die Gleichungen der Geraden G, die jeweils folgende Eigenschaften haben: G schneidet die -Achse bei = und die y-achse bei y = 5. G hat den Anstiegswinkel 45 und geht durch den Punkt P (; ). G schneidet die y-achse bei y = und hat den Anstieg m =. G geht durch die Punkte P (; ) und P (; 6) G hat vom Koordinatenursprung den Abstand p = und das Lot schließt mit der positiven -Achse den Winkel ein.. Welchen Abstand hat der Punkt P (6; 4) von der Geraden y =, 75 +, 5?. Gesucht sind Schnittpunkt und Schnittwinkel der Geraden y = + und +y+ =. 4. Gesucht ist die Gleichung der Tangente an den Kreis + y = 4 im Punkt P (; ). 5. Man bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises 4 + 4y + y 6 =. 6. Zu berechnen sind die große und kleine Halbachse der Ellipse 4 + y 4 =. 7. Wie lautet die Gleichung der Geraden y = + 4 in neuen einem Koordinatensystem, dessen Ursprung im Punkt P (, ) des Ausgangssystems liegt? Veranschaulichen Sie sich die Aufgabenstellung auch grafisch. Vektorrechnung:. Welche der folgenden Vektorpaare stehen aufeinander senkrecht? u = e + e y e z und v = e e y + 4 e z, b) u = e + e y + e z und v = e + e y e z, c) u = e + e z und v = e + e y + e z, d) u = e + e y und v = e e y.. Zu berechnen ist die allgemeine Ebenengleichung für die Ebenen, die die Punkte P (4; 6; ), P ( 6; 8; ) und P (; ; ) enthält. Man bestimme weiterhin die Gleichung der Geraden, die auf diese Ebene senkrecht steht und durch den Koordinatenursprung geht.. Stehen die Ebenen 5 + y z = und y + 7z = 5 aufeinander senkrecht? 4. Welchen Abstand hat die Ebene + y + z = vom Koordinatenursprung? 5. Überprüfen Sie den Entwicklungssatz für das doppelte Kreuzprodukt a ( b c) am Beispiel der Vektoren a =, b =, c = 4.

5 6. Man berechne den Anteil der Kraft F /N = e + e y 5 e z, der in die durch den Vektor a = e + e y + e z definierte Raumrichtung fällt. 7. Man zerlege die Kraft F /N = e + e y in die Summe zweier Kräfte F, F, wobei F in die Richtung der -Achse zeigt und F in die Richtung des Vektors a = ( e + e y ). 8. Zu berechnen ist das Volumen des Spats, der von den Vektoren 9 a = 4, b = 5, c = 5 6 aufgespannt wird. Folgen:. Geben Sie das Glied a n für die nachstehenden Folgen an,, 4, 5, 6, 7, 8, b), 4, 7, 56, 5,... c),,,,, d), 5,, 7, 6, 7, 5,... e),,,, 5, 8,,,.... Die beiden ersten Glieder einer arithmetischen Folge sind a = und a = 8. Wie groß ist a 7 und wie groß ist die Summe der ersten 5 Glieder?. Wie groß ist a 9 und die Summe der ersten neun Glieder der geometrischen Folge 8, 4,, Vier Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Die Summe der ersten drei Zahlen ist 6, das Produkt der beiden letzten Zahlen ist um 4 größer als das Produnkt der beiden ersten. Man bestimme diese Zahlen. 5. Jemand setzt, Euro bei einem Spiel und verliert. Er setzt darauf hin noch viermal, indem er den Einsatz immer verdoppelt, verliert aber immer. Nun muß er aufhören, da er nur noch,8 Euro besitzt. Wieviel Geld hatte er am Anfang? 6. Welche der nachstehenden Folgen sind konvergent und wie lauten ihre Grenzwerte a n = n + 4 5n + n, b) a n = n + 5 4n +, c) a n = ( + n + )n, d) a n = 6n + n 4 + n +, e) a n = n + n, f) a n = 4n + 5n + n, g) a n = ( + n )n, h) a n = n n +, i) a n = ( ) n ( + n ). 7. Zu berechnen sind die Grenzwerte lim ( n + ( ) n n + n ) und b) lim. n > n > n 5

6 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen:. Zu berechnen sind die folgenden Grenzwerte + 6 lim, b) lim 8 e) lim > > + sin 4, f) lim > + i) lim > cot, j) lim > sin cos 4 +, c) lim tan, d) lim, > π > sin, g) lim > cot,, k) lim > e ( +, h) lim > π 4 + +, l) lim ) > +. Bestimmen Sie eventuelle Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktionen und geben Sie den Typ an f() = +, b) f() =, mit >, c) f() = 4 + 4, ( ) d) f() = tan, e) f() = sgn, f) f() = arctan Differenzialrechnung:. Man bestimme die. Ableitungen für die Funktionen y = sin, b) y = sin, c) y =, d) y = ln( + ( ) n + ), e) y =, f) y = arctan( + + ), g) y = ln tan h), y = ln cos e, i) y = 5 e, j) y = sinh( + ), k) y = ( + + ) sin, l) y = e ( + ln ).. Bestimmen Sie y (), y () und y () für die Funktion y = arctan.. Gegeben ist die Parameterdarstellungen der Ellipse (t) = cos t, y(t) = sin t für t < π. Man berechne y () an der Stelle =. b) Für die Zykloide (t) = (t sin t), y(t) = ( cos t) berechne man y () an der Stelle = π.. Man bestimmen die Gleichungen der Tangenten und Normalen an die beiden Funktionen y = ln sin im Punkt (; y ) und b) y = + im Punkt (; y ). Hinweis: Der Wert für y ist jeweils zu berechnen! 4. Berechnen Sie wirklichen Zuwachs y und Differenzial dy für y = sin, wenn man von der Stelle = π/ um = d =, (, 5) fortschreitet. 5. Man berechnen die folgenden Grenzwerte arcsin a b lim, b) lim > > ( d) lim > ln( + ) ) + sin, c) lim >, e) lim + cos +, f) lim > sin ln. 6,..

7 6. Bestimmen Sie mittels Newton-Verfahren und b) Fipunkt-Iteration die Nullstelle der Gleichung tan =, die im Intervall (π/; π/) liegt. 7. Gesucht sind die relativen Etrema und die Wendepunkte der Funktion y = e sin für das Intervall [, π] und b) der Funktion y = e. 8. Bestimmen und charakterisieren Sie das Etremum (Maimum/Minimum) der Funktion y = ln Führen Sie für die Funktionen y = eine Kurvendiskussion durch. und b) y = Zwei Korridore der Breite a =, 5 m und b =, 8 m kreuzen einander unter einem rechten Winkel. Wie lang kann eine Leiter maimal sein, wenn man sie waagerecht (horizontal) von einem Korridor in den anderen tragen muss?. Ein Bild der Höhe h = m hängt an einer Wand mit der Unterkante genau cm über den Augen eines Beobachters. In welcher Entfernung von der Wand sieht der Beobachter das Bild unter möglichst großem Sehwinkel?. Zur Auffrischung elementarmathematischer Zusammenhänge suchen wir bei dieser Übung die Ableitungen der Funktionen y = arsinh (sinh ) b) y = c) y = ln( sin ).. Bestimmen Sie die Ableitungen an den vorgegebenen Stellen für: = cos t, y = sin t für =, b) y = / + arccos(/) für = und c) y = ln tan( + ) für =. Integralrechnung:. Zu berechnen sind die folgenden unbestimmten Integrale cos d, b) ln d, c) e sin d.. Gesucht sind die Stammfunktionen für ln d, b) d, + c) arctan + d.. Folgende Integrale sind auf Grundintegrale mittels Partialbruchzerlegung zurückzuführen d d, b) 4, c) + + d. 4. Berechnen Sie die bestimmten Integrale ln d und b) sinh d. 7

8 5. Man berechne die bestimmten Integrale e d und b) + e π sin cos d. 6. Zu berechnen sind die Stammfunktionen für y = arctan, b) y = (e + e + ), c) y = sin cos Gesucht sind die Stammfunktionen 7 arcsin d und b) 4 + d. 8. Welche Flächen schließen jeweils f() = sin und g() = im Intervall [, π/], b) ( ) + y = 4 und y =, 5 zwischen ihren Schnittpunkten sowie c) y = sin und y = cos zwischen zwei benachbarten Schnittpunkten ein? 9. Man dikutiere die uneigentlichen Integrale d, b) d, c) α d, wobei im letzten Integral α eine beliebige reelle Zahl ist. Funktionen mehrerer Veränderlicher:. Man bestimme die partiellen Ableitungen bis einschließlich. Ordnung der Funktionen z = y + y, b) z = + y y, wenn y, c) z = sin(y).. Für die Funktion z = + y y 4 5y + 6 sind zu berechnen: z (; ), b) z y (; ), c) z (; ) und z y (; ).. Berechnen Sie den wirklichen Zuwachs z und das vollständige Differential dz für die Funktion z = y an der Stelle P(5; ) für die Änderungen d =, 4 und dy =,. 4. Für die Funktion z = + y vergleiche man im Punkt P(; ) wirklichen Zuwachs und vollständiges Differential für d =,, dy =, und b) d =, 5, dy =,. 5. Einer skalaren Funktion f(, y, z) kann man eine Vektorfunktion zuordnen, die man Gradient von f nennt und die in der Physik eine wichtige Rolle spielt. Es gilt grad f(, y, z) = f (, y, z) e + f y (, y, z) e y + f z (, y, z) e z. Berechnen Sie diesen Gradienten für f(, y, z) = ln y + y z arctan. 6. Sind die Ausdrücke dz = ( + y 4 ) d + (4y + y ) dy und b) dz = sin y d + cos y dy vollständige Differentiale? 7. Zu berechnen ist f y für die Funktion f(, y) = + arctan( + 4 ) + y cos +. 8

9 Fehlerrechnung:. Die Wirkleistung P eines sinusförmigen Wechselstroms berechnet sich aus den Effektivwerten für Strom und Spannung und dem Phasenwinkel φ allgemein nach der Formel P = U eff I eff cos φ. Man berechne den Phasenwinkel φ, seinen maimalen und relativen Fehler, wenn wie folgt gemessen wurde: U eff = ( ± ) V, I eff = (5 ±, ) A und P = (8 ± ) W.. Für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels wurden folgende Meßwerte gleier Genauigkeit erhalten:, 54 s,, 6 s,, 5 s, 5 s,, 45 s,, 58 s. Zu berechnen sind Mittelwert, Standardabweichung und mittlerer Fehler des Mittelwertes.. Das Massenträgheitmoment eines dünnen Stabes bei Drehung um eine durch seinen Schwerpunkt gehenden Achse senkrecht zum Stab berechnet sich aus J = ml. Die Ergebnisse von zehn Einzelmessungen mit gleicher Genauigkeit für Masse m und Stablänge l enthält die folgende Tabelle: i m i g 9,5 9,, 9,7,,4 9,8,4 9,,5 l i cm, 9,9 9,7 9,7, 9,6,,5 9,8,4 Zu berechnen sind das Massenträgheitsmoment J und sein mittlerer Fehler. 4. Berechnen Sie für die folgenden Datenpaare ( i, y i ) eine lineare und eine quadratische Ausgleichsfunktion. i 4 - y i 4 6 Stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar. 5. Die Entladung eines Kondensators C über einen ohmschen Widerstand R erfolgt nach dem Eponentialgesetz u(t) = u e t/rc. Im Eperiment wurden folgende Werte fünf Wertepaare gemessen: i 4 5 t i /s, 4, 7,, 5, u i /V 8, 45,5 4,5,9 4,7 Zu berechnen sind durch Regressionsrechnung die Anfangsspannung u und die Zeitkonstante τ = RC. 9