Binäre Suchbäume. Mengen, Funktionalität, Binäre Suchbäume, Heaps, Treaps

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1 Binäre Suchbäume Mengen, Funktionalität, Binäre Suchbäume, Heaps, Treaps

2 Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer Menge (hier: ganzer Zahlen) unter folgenden Operationen:

3 Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer Menge (hier: ganzer Zahlen) unter folgenden Operationen: n n Einfügen eines Elements Löschen eines Elements

4 Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer Menge (hier: ganzer Zahlen) unter folgenden Operationen: n n n Einfügen eines Elements Löschen eines Elements Suchen eines Elements

5 Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer Menge (hier: ganzer Zahlen) unter folgenden Operationen: n n n Einfügen eines Elements Löschen eines Elements Suchen eines Elements n Anforderung: effizient auch bei grossen Mengen!

6 Mengen: Anwendungen (I) n Telefonbuch (Menge von Namen mit zugehörigen Telefonnummern) n n n Einfügen: Neue Telefonanschlüsse Löschen: Aufgegebene Telefonanschlüsse Suchen: Telefonnummer einer Person

7 Mengen: Anwendungen (II) n Nutzerverwaltung (Menge von Nutzern mit Passwörtern und/oder weiteren Informationen) n n n Einfügen: Neue Nutzer Löschen: Ex-Nutzer Suchen: Einloggen

8 Mengen: Anwendungen (II) n Nutzerverwaltung (Menge von Nutzern mit Passwörtern und/oder weiteren Informationen) n n n Einfügen: Neue Nutzer Löschen: Ex-Nutzer Suchen: Einloggen n Effizienz: Keine Wartezeit beim Einloggen, auch bei Millionen von Nutzern.

9 Mengen: Lösung mit Listen? n Menge wird als Liste gespeichert

10 Mengen: Lösung mit Listen? n Menge wird als Liste gespeichert. n Einfügen: zum Beispiel vorne anfügen (effizient)

11 Mengen: Lösung mit Listen? n Menge wird als Liste gespeichert. n Einfügen: zum Beispiel vorne anfügen (effizient)

12 Mengen: Lösung mit Listen? n Menge wird als Liste gespeichert. n Löschen: Durchlaufen der Liste bis zum Element (oder bis zum Ende, falls nicht vorhanden), Zeiger umhängen

13 Mengen: Lösung mit Listen? n Menge wird als Liste gespeichert. n Suchen: Durchlaufen der Liste bis zum Element (oder bis zum Ende, falls nicht vorhanden)

14 Mengen: Lösung mit Listen? n Falls die Menge n Elemente enthält, so ist der Aufwand fürs Suchen eines Elements im schlimmsten Fall proportional zu n.

15 Mengen: Lösung mit Listen? n Falls die Menge n Elemente enthält, so ist der Aufwand fürs Suchen eines Elements im schlimmsten Fall proportional zu n. n Soziales Netzwerk: Zeit zum Einloggen wäre proportional zur Anzahl der Nutzer.

16 Mengen: Lösung mit Listen? n Beispiel: Suche nach den letzten 100 Elementen in einer Liste von 10,000,000 Elementen

17 Mengen: Lösung mit Listen? n Beispiel: Suche nach den letzten 100 Elementen in einer Liste von 10,000,000 Elementen List l; for (int i=0; i< ; ++i) l.push_front(i); //...and search for i = for (int i=0; i<100; ++i) l.find(i);

18 Mengen: Lösung mit Listen? n Beispiel: Suche nach den letzten 100 Elementen in einer Liste von 10,000,000 Elementen List l; for (int i=0; i< ; ++i) l.push_front(i); //...and search for i = for (int i=0; i<100; ++i) l.find(i); 6.5 Sekunden

19 Mengen: Lösung mit Listen? n Beispiel: Suche nach den letzten 100 Elementen in einer Liste von 10,000,000 Elementen List l; for (int i=0; i< ; ++i) l.push_front(i); //...and search for i = for (int i=0; i<100; ++i) l.find(i); Facebook hat 1,400,000,000 Nutzer, eine Suche würde 10 Sekunden dauern! 6.5 Sekunden

20 Mengen: Lösung mit Binären Suchbäumen. n Falls die Menge n Elemente enthält, so ist der Aufwand fürs Suchen eines Elements im schlimmsten Fall proportional zu log 2 n. n Facebook: Zeit zum Einloggen ist proportional zum Logarithmus der Anzahl der Nutzer.

21 Mengen: Lösung mit Binären Suchbäumen. n Falls die Menge n Elemente enthält, so ist der Aufwand fürs Suchen eines Elements im schlimmsten Fall proportional zu log 2 n. n Facebook: Zeit zum Einloggen ist proportional zum Logarithmus der Anzahl der Nutzer. log 2 (1,400,000,000) 30.

22 Mengen: Lösung mit Binären Suchbäumen. n Falls die Menge n Elemente enthält, so ist der Aufwand fürs Suchen eines Elements im schlimmsten Fall proportional zu log 2 n. n Auch Einfügen und Löschen geht in Zeit proportional to log 2 n.

23 Binärbäume, Definition und Terminologie n Ein binärer Baum ist entweder leer,...

24 Binärbäume, Definition und Terminologie n Ein binärer Baum ist entweder leer,... n oder er besteht aus einem Knoten (Kreis) n mit einem Schlüssel (hier: ganze Zahl),... 3

25 Binärbäume, Definition und Terminologie n Ein binärer Baum ist entweder leer,... n oder er besteht aus einem Knoten (Kreis) n n mit einem Schlüssel (hier: ganze Zahl),... und einem linken und rechten Teilbaum, die jeweils Binärbäume sind. 3

26 Binärbäume, Definition und Terminologie n Ein binärer Baum ist entweder leer,... n oder er besteht aus einem Knoten (Kreis) n n mit einem Schlüssel (hier: ganze Zahl),... und einem linken und rechten Teilbaum, die jeweils Binärbäume sind. 3 Wurzel des Baums Linker Teilbaum Rechter Teilbaum

27 Binäre Suchbäume n Ein Binärbaum heisst binärer Suchbaum, wenn er leer ist, oder wenn folgende Bedingungen gelten: n n Sowohl der linke als auch der rechte Teilbaum sind binäre Suchbäume. Der Schlüssel der Wurzel ist n n > alle Schlüssel im linken Teilbaum, und alle Schlüssel im rechten Teilbaum.

28 Binäre Suchbäume: Beispiel

29 Binäre Suchbäume: Beispiel Blätter des Baums

30 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel 4 5?

31 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel 4 = 5? nein

32 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel 4 > 5? Nein, also muss die 5 rechts sein

33 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel = 5? nein

34 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel 4 3 Ja, also muss die 8 5 links sein. > 5?

35 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel = 5? nein

36 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel Ja, also muss die 5 links sein. 6 > 5?

37 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel = 5? 7 Ja, Schlüssel gefunden!

38 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel 4 0? müsste links von der 1 sein, Teilbaum ist aber leer 0 nicht da

39 Mengen: Lösung mit binären Suchbäumen n Speichere die Elemente der Menge als Schlüssel in einem binären Suchbaum!

40 Mengen: Lösung mit binären Suchbäumen n Speichere die Elemente der Menge als Schlüssel in einem binären Suchbaum! n Suchzeit ist proportional zur Höhe des Baums (Länge des längsten Pfades von der Wurzel bis zu einem Blatt).

41 Mengen: Lösung mit binären Suchbäumen Höhe 3 7

42 Mengen: Lösung mit binären Suchbäumen n Speichere die Elemente der Menge als Schlüssel in einem binären Suchbaum! n Suchzeit ist proportional zur Höhe des Baums (Länge des längsten Pfades von der Wurzel bis zu einem Blatt). n Einfügen und Löschen von Elementen?

43 Binäre Suchbäume: Einfügen n Neues Element suchen und als Blatt an der passenden Stelle anhängen!

44 Binäre Suchbäume: Einfügen 4 0 einfügen müsste links von der 1 sein, Teilbaum ist aber leer neues Blatt 2 5 7

45 Binäre Suchbäume: Einfügen 4 0 einfügen

46 Binäre Suchbäume: Einfügen n Neues Element suchen und als Blatt an der passenden Stelle anhängen! n Auch die Einfügezeit ist proportional zur Höhe des Baums.

47 Binäre Suchbäume: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen!

48 Binäre Suchbäume: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen! n Rotation: lokale Operation, welche die Positionen von Knoten verändert, nicht jedoch die Suchbaumeigenschaften.

49 Rotation eines Teilbaums s t B A B

50 Rotation eines Teilbaums s t C A B A < t B < s C

51 Rotation eines Teilbaums Rechtsrotation s t t s C A A B B C A < t B < s C = A < t B < s C

52 Rotation eines Teilbaums Rechtsrotation s Linksrotation t t s C A A B B C A < t B < s C = A < t B < s C

53 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen

54 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen C A 7 B Rechtsrotation (Linksrotation wäre auch möglich)

55 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen A 8 2 B 7 9 C

56 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen 3 6 B und C sind leere Bäume A 7 9 Linksrotation (Rechtsrotation wäre auch möglich) B C

57 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen 3 6 B und C sind leere Bäume A 7 8 B C

58 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen 3 6 A, B, C sind leere Bäume C Rechtsrotation (Linksrotation wäre nicht möglich) A 7 B

59 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen 3 6 A, B, C sind leere Bäume A B 8 C

60 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen delete 8

61 Binäre Suchbäume: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen! n Rotation: lokale Operation, welche die Positionen von Knoten verändert, nicht jedoch die Suchbaumeigenschaften. n Auch die Löschzeit ist proportional zur Höhe des Baums (nicht mehr ganz so offensichtlich)

62 Die Höhe eines binären Suchbaums... n bestimmt die Laufzeit des n n n Suchens, Einfügens, Löschens.

63 Die Höhe eines binären Suchbaums... n bestimmt die Laufzeit des n n n Suchens, Einfügens, Löschens. n kann aber bereits bei einer ungünstigen Einfügereihenfolge sehr gross werden!

64 Die Höhe eines binären Suchbaums... n bestimmt die Laufzeit des n n n Suchens, Einfügens, Löschens. n kann aber bereits bei einer ungünstigen Einfügereihenfolge sehr gross werden! n Laufzeit im schlimmsten Fall nicht besser als bei einer Liste!

65 Die Höhe eines binären Suchbaums... Beispiel: Einfügen in sortierter Reihenfolge 1

66 Die Höhe eines binären Suchbaums... Beispiel: Einfügen in sortierter Reihenfolge 1 2

67 Die Höhe eines binären Suchbaums... Beispiel: Einfügen in sortierter Reihenfolge 1 2 3

68 Die Höhe eines binären Suchbaums... Beispiel: Einfügen in sortierter Reihenfolge Höhe = n-1, Baum sieht aus und verhält sich wie eine Liste. n

69 Abhilfe: Balancierung n Beim Einfügen und Löschen stets darauf achten, dass der Baum balanciert ist, (d.h. keine grossen Höhenunterschiede zwischen linken und rechten Teilbäumen)

70 Abhilfe: Balancierung n Beim Einfügen und Löschen stets darauf achten, dass der Baum balanciert ist, (d.h. keine grossen Höhenunterschiede zwischen linken und rechten Teilbäumen) n Verschiedene Möglichkeiten (mehr oder weniger kompliziert): n AVL-Bäume, Rot-Schwarz-Bäume,...

71 Abhilfe: Balancierung n Beim Einfügen und Löschen stets darauf achten, dass der Baum balanciert ist, (d.h. keine grossen Höhenunterschiede zwischen linken und rechten Teilbäumen) n Verschiedene Möglichkeiten (mehr oder weniger kompliziert): n n AVL-Bäume, Rot-Schwarz-Bäume,... Hier: Treaps (randomisierte Suchbäume)

72 Treap = Tree + Heap n Ein Binärbaum heisst Heap, wenn er leer ist, oder wenn folgende Bedingungen gelten: n n Sowohl der linke als auch der rechte Teilbaum sind Heaps. Der Schlüssel der Wurzel ist n das Maximum aller Schlüssel.

73 Heap: Schlüssel heissen Prioritäten n Ein Binärbaum heisst Heap, wenn er leer ist, oder wenn folgende Bedingungen gelten: n n Sowohl der linke als auch der rechte Teilbaum sind Heaps. Die Priorität der Wurzel ist n das Maximum aller Prioritäten.

74 Heap: Beispiel

75 Treaps n Ein Binärbaum heisst Treap, wenn jeder Knoten einen Schlüssel und eine Priorität hat, so dass folgende Eigenschaften gelten: n n Der Baum ist ein binärer Suchbaum bzgl. der Schlüssel. Der Baum ist ein Heap bzgl. der Prioritäten.

76 Treap: Beispiel Schlüssel Prioritäten 4, 9 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 2, 3 5, 2 7, 1

77 Treaps: Eindeutigkeit n Satz: Für n Knoten mit verschiedenen Schlüsseln und Prioritäten gibt es genau einen Treap mit diesen Knoten.

78 Treaps: Eindeutigkeit n Satz: Für n Knoten mit verschiedenen Schlüsseln und Prioritäten gibt es genau einen Treap mit diesen Knoten. n Beweis: Die Wurzel ist der Knoten mit der höchsten Priorität;; im linken Teilbaum sind alle Knoten mit kleineren und im rechten Teilbaum alle Knoten mit grösseren Schlüsseln. Mit Induktion sind die Teilbäume auch eindeutig.

79 Treaps mit zufälligen Prioritäten n Wir benutzen einen Treap als binären Suchbaum.

80 Treaps mit zufälligen Prioritäten n Wir benutzen einen Treap als binären Suchbaum. n Beim Einfügen eines neuen Schlüssels wird seine Priorität zufällig gewählt.

81 Treaps mit zufälligen Prioritäten n Wir benutzen einen Treap als binären Suchbaum. n Beim Einfügen eines neuen Schlüssels wird seine Priorität zufällig gewählt. n Wie bei normalen binären Suchbäumen: neuer Knoten wird neues Blatt.

82 Treaps mit zufälligen Prioritäten n Wir benutzen einen Treap als binären Suchbaum. n Beim Einfügen eines neuen Schlüssels wird seine Priorität zufällig gewählt. n Wie bei normalen binären Suchbäumen: neuer Knoten wird neues Blatt. n Zusätzlich muss die Treap-Eigenschaft wieder hergestellt werden!

83 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 2, 3 5, 2 7, 1

84 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 0, 7.5 2, 3 5, 2 7, 1 Neues Blatt

85 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 Heap-Eigenschaft verletzt: 4 < 7.5 0, 7.5 2, 3 5, 2 7, 1

86 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 0, 7.5 2, 3 5, 2 7, 1 Rechtsrotation!

87 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 0, 7.5 6, 6 9, 5 1, 4 2, 3 5, 2 7, 1

88 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 0, 7.5 Heap-Eigenschaft verletzt: 7 < 7.5 6, 6 9, 5 1, 4 2, 3 5, 2 7, 1

89 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 0, 7.5 6, 6 9, 5 1, 4 2, 3 5, 2 Rechtsrotation! 7, 1

90 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 0, 7.5 8, 8 3, 7 6, 6 9, 5 1, 4 2, 3 5, 2 7, 1

91 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 0, 7.5 Heap-Eigenschaft ok, wir haben wieder einen Treap! 8, 8 3, 7 6, 6 9, 5 1, 4 2, 3 5, 2 7, 1

92 Treaps: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen!

93 Treaps: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen! n Stets so rotieren, dass der Knoten mit seinem Nachfolger höherer Priorität vertauscht wird. Das erhält die Heap- Eigenschaft.

94 Treaps: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen! n Stets so rotieren, dass der Knoten mit seinem Nachfolger höherer Priorität vertauscht wird. Das erhält die Heap- Eigenschaft. n Suchbaum-Eigenschaft gilt wieder nach Löschen des Blatts.

95 Treaps: Laufzeit n Satz (Seidel, Aragon 1996): In einem Treap über n Knoten mit zufälligen Prioritäten ist der zeitliche Aufwand für eine Einfüge-, Lösch- oder Suchoperation im Erwartungswert proportional zu log 2 n.

96 Treaps: Laufzeit

97 Mengen: Lösung mit Treaps n Zur Erinnerung: Suche nach den letzten 100 Elementen in einer Liste von 10,000,000 Elementen List l; for (int i=0; i< ; ++i) l.push_front(i); //...and search for i = for (int i=0; i<100; ++i) l.find(i); 6.5 Sekunden

98 Mengen: Lösung mit Treaps n Neu: Suche nach den gleichen 100 Elementen in einem Treap von 10,000,000 Elementen Treap t; for (int i=0; i< ; ++i) t.insert(i); //...and search for i = for (int i=0; i<100; ++i) t.find(i); Sekunden

99 Sortieren mit Treaps n Folgerung: Durch Einfügen einer Folge von n Zahlen in einen Treap mit zufälligen Prioritäten kann die Folge in Zeit proportional zu n log 2 n sortiert werden.

100 Sortieren mit Treaps n Folgerung: Durch Einfügen einer Folge von n Zahlen in einen Treap mit zufälligen Prioritäten kann die Folge in Zeit proportional zu n log 2 n sortiert werden. n Sortierte Reihenfolge: Elemente des Treaps von links nach rechts (inorder-reihenfolge)

101 Sortieren mit Treaps 4, 9 In-Order-Reihenfolge (Baum) = 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 2, 3 5, 2 7, 1

102 1,2,3 Sortieren mit Treaps 4, 9 In-Order-Reihenfolge (Baum): = 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 2, 3 5, 2 7, 1 In-Order-Reihenfolge (linker Teil Baum)

103 1,2,3,4 Sortieren mit Treaps 4, 9 In-Order-Reihenfolge (Baum): = 3, 7 Wurzel 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 2, 3 5, 2 7, 1

104 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Sortieren mit Treaps 4, 9 In-Order-Reihenfolge (Baum): = 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 2, 3 5, 2 7, 1 In-Order-Reihenfolge (rechter Teil Baum)

105 Sortieren mit Treaps n Folgerung: Durch Einfügen einer Folge von n Zahlen in einen Treap mit zufälligen Prioritäten kann die Folge in Zeit proportional zu n log 2 n sortiert werden. n Das Treap-basierte Verfahren ist im wesentlichen äquivalent zu Quicksort.

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