Agenda. 1 Einleitung. 2 Binäre Bäume. 3 Binäre Suchbäume. 4 Rose Trees. 5 Zusammenfassung & Ausblick. Haskell Bäume. Einleitung.

Transkript

1 Vortrag: Bäume in Haskell Bäume in Haskell Vortrag Christoph Forster Thomas Kresalek Fachhochschule Wedel University of Applied Sciences 27. November 2009 Christoph Forster, Thomas Kresalek 1/53 Vortrag

2 Agenda Christoph Forster, Thomas Kresalek 2/53 Vortrag

3 Agenda Christoph Forster, Thomas Kresalek 3/53 Vortrag

4 Motivation Natürliche Repräsentation hierarchischer Strukturen Ordnung von Mengen durch Hierarchisierung Bessere Laufzeiten als Liste Implizit Sortierung Christoph Forster, Thomas Kresalek 4/53 Vortrag

5 verschiedene Baumtypen verschiedene Baumtypen (binary tree) Daten nur in den Blättern Daten in Blättern und Knoten jeweils gleiche Typen unterschiedliche Typen, z.b. Int in Knoten für jeweilige Blätter-Anzahl Daten nur in den Knoten Datentyp hat Ordnungsrelation Daten vor Unterbäumen (binary heap) Daten zwischen Unterbäumen (binary search tree) N-äre Bäume () Christoph Forster, Thomas Kresalek 5/53 Vortrag

6 Agenda 1 2 Erweiterung Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 6/53 Vortrag

7 Definition: Datentyp {- Binärbaum -} data Btree a = Leaf a Fork (Btree a ) (Btree a) Erweiterung Hier zunächst einfachste Art: Daten in den Blättern Christoph Forster, Thomas Kresalek 7/53 Vortrag

8 Beispiel {- Beispiel 1 -} Fork (Leaf 1) (Fork (Leaf 2) (Leaf 3)) {- Beispiel 2 -} Fork (Fork (Leaf 1) (Leaf 2)) (Leaf 3) Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 8/53 Vortrag

9 Beispiel {- Beispiel 1 -} Fork (Leaf 1) (Fork (Leaf 2) (Leaf 3)) {- Beispiel 2 -} Fork (Fork (Leaf 1) (Leaf 2)) (Leaf 3) Erweiterung Beispiel 1 Beispiel 2 Christoph Forster, Thomas Kresalek 8/53 Vortrag

10 Wichtige Maße eines Baumes {- Größe des Baums -} size :: Btree a -> Int size (Leaf x) = 1 size (Fork xt yt) = size xt + size yt Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 9/53 Vortrag

11 Wichtige Maße eines Baumes {- Größe des Baums -} size :: Btree a -> Int size (Leaf x) = 1 size (Fork xt yt) = size xt + size yt {- Höhe des Baums -} height :: Btree a -> Int height (Leaf x) = 0 height (Fork xt yt) = 1 + (height xt max height yt) Erweiterung Was sagen uns diese Maße? Christoph Forster, Thomas Kresalek 9/53 Vortrag

12 Wichtige Maße eines Baumes {- Größe des Baums -} size :: Btree a -> Int size (Leaf x) = 1 size (Fork xt yt) = size xt + size yt {- Höhe des Baums -} height :: Btree a -> Int height (Leaf x) = 0 height (Fork xt yt) = 1 + (height xt max height yt) Erweiterung Was sagen uns diese Maße? Größe entspricht der Länge einer Liste Höhe entspricht der maximalen Tiefe Christoph Forster, Thomas Kresalek 9/53 Vortrag

13 {- Tiefe des Baumes -} depths :: Btree a -> Btree Int depths = down 0 down :: Int -> Btree a -> Btree Int down n (Leaf x) = Leaf n down n (Fork xt yt) = Fork (down (n + 1) xt) (down (n + 1) yt) Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 10/53 Vortrag

14 {- Tiefe des Baumes -} depths :: Btree a -> Btree Int depths = down 0 down :: Int -> Btree a -> Btree Int down n (Leaf x) = Leaf n down n (Fork xt yt) = Fork (down (n + 1) xt) (down (n + 1) yt) {- Baum in Liste umwandeln -} Erweiterung flatten :: Btree a -> [a] flatten (Leaf x) = [x] flatten (Fork xt yt) = flatten xt ++ flatten yt depths ersetzt die Blätter durch die Tiefe Reihenfolge der durch flatten erzeugten Liste? Christoph Forster, Thomas Kresalek 10/53 Vortrag

15 {- Tiefe des Baumes -} depths :: Btree a -> Btree Int depths = down 0 down :: Int -> Btree a -> Btree Int down n (Leaf x) = Leaf n down n (Fork xt yt) = Fork (down (n + 1) xt) (down (n + 1) yt) {- Baum in Liste umwandeln -} Erweiterung flatten :: Btree a -> [a] flatten (Leaf x) = [x] flatten (Fork xt yt) = flatten xt ++ flatten yt depths ersetzt die Blätter durch die Tiefe Reihenfolge der durch flatten erzeugten Liste? von Links nach Rechts Christoph Forster, Thomas Kresalek 10/53 Vortrag

16 Erstellung von Bäumen {- Erstellt Bäume aus einer Liste -} mkbtree :: [a] -> Btree a mkbtree xs (m == 0) = Leaf (unwrap xs) otherwise = Fork (mkbtree ys) (mkbtree zs) where m = (length xs) div 2 (ys, zs) = splitat m xs unwrap [x] = x Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 11/53 Vortrag

17 Erstellung von Bäumen {- Erstellt Bäume aus einer Liste -} mkbtree :: [a] -> Btree a mkbtree xs (m == 0) = Leaf (unwrap xs) otherwise = Fork (mkbtree ys) (mkbtree zs) where m = (length xs) div 2 (ys, zs) = splitat m xs unwrap [x] = x Erweiterung Erstellt Baum minimaler Höhe Rekursives Aufbauen von optimalen Teilbäumen Halbierung der Ausgangsliste in jedem Schritt Laufzeit? Christoph Forster, Thomas Kresalek 11/53 Vortrag

18 Erstellung von Bäumen {- Erstellt Bäume aus einer Liste -} mkbtree :: [a] -> Btree a mkbtree xs (m == 0) = Leaf (unwrap xs) otherwise = Fork (mkbtree ys) (mkbtree zs) where m = (length xs) div 2 (ys, zs) = splitat m xs unwrap [x] = x Erweiterung Erstellt Baum minimaler Höhe Rekursives Aufbauen von optimalen Teilbäumen Halbierung der Ausgangsliste in jedem Schritt Laufzeit? O(n log n) Christoph Forster, Thomas Kresalek 11/53 Vortrag

19 Maximum Ermittlung {- Maximum der gespeicherten Werte -} maxbtree :: (Ord a) => Btree a -> a maxbtree (Leaf x) = x maxbtree (Fork xt yt)=(maxbtree xt) max (maxbtree yt) Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 12/53 Vortrag

20 Maximum Ermittlung {- Maximum der gespeicherten Werte -} maxbtree :: (Ord a) => Btree a -> a maxbtree (Leaf x) = x maxbtree (Fork xt yt)=(maxbtree xt) max (maxbtree yt) Gesetze {- Gesetze über bisherige -} size = length. flatten Erweiterung height = maxbtree. depths {- Stimmts oder nicht? -} mkbtree. flatten = id flatten. mkbtree = id Christoph Forster, Thomas Kresalek 12/53 Vortrag

21 Maximum Ermittlung {- Maximum der gespeicherten Werte -} maxbtree :: (Ord a) => Btree a -> a maxbtree (Leaf x) = x maxbtree (Fork xt yt)=(maxbtree xt) max (maxbtree yt) Gesetze {- Gesetze über bisherige -} size = length. flatten Erweiterung height = maxbtree. depths {- Stimmts oder nicht? -} mkbtree. flatten = id flatten. mkbtree = id Stimmt! Christoph Forster, Thomas Kresalek 12/53 Vortrag

22 Verarbeitung mit map {- Map für den Binären Baum -} mapbtree :: (a -> b) -> Btree a -> Btree b mapbtree f (Leaf x) = Leaf (f x) mapbtree f (Fork xt yt) = Fork (mapbtree f xt) (mapbtree f yt) Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 13/53 Vortrag

23 Verarbeitung mit map {- Map für den Binären Baum -} mapbtree :: (a -> b) -> Btree a -> Btree b mapbtree f (Leaf x) = Leaf (f x) mapbtree f (Fork xt yt) = Fork (mapbtree f xt) (mapbtree f yt) Erweiterung Analogon zu map auf Listen Anwendung von Funktionen auf die Elemente des Baums mapbtree ist wie map für Listen ein Funktor für Bäume Christoph Forster, Thomas Kresalek 13/53 Vortrag

24 Gesetze für map {- Gesetze für map auf binärem Baum -} mapbtree id = id mapbtree (f. g) = mapbtree f. mapbtree g map f. flatten = flatten. mapbtree f Was ist ein Funktor? Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 14/53 Vortrag

25 Gesetze für map {- Gesetze für map auf binärem Baum -} mapbtree id = id mapbtree (f. g) = mapbtree f. mapbtree g map f. flatten = flatten. mapbtree f Was ist ein Funktor? mapbtree, genau wie map bei Listen Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 14/53 Vortrag

26 Gesetze für map {- Gesetze für map auf binärem Baum -} mapbtree id = id mapbtree (f. g) = mapbtree f. mapbtree g map f. flatten = flatten. mapbtree f Was ist ein Funktor? mapbtree, genau wie map bei Listen Erweiterung Definition: Funktor Ein Operator, der aus einem oder mehreren singulären Termen wiederum einen singulären Term erzeugt. Quelle: angelehnt an CARNAP, 1954 Christoph Forster, Thomas Kresalek 14/53 Vortrag

27 fold {- Fold für den Binären Baum -} foldbtree :: (a->b) -> (b->b->b) -> Btree a->b foldbtree f g (Leaf x) = f x foldbtree f g (Fork xt yt) = g( foldbtree f g xt) (foldbtree f g yt) Erweiterung Analogon zu fold auf Listen fold ermöglicht Verarbeitung der Christoph Forster, Thomas Kresalek 15/53 Vortrag

28 fold {- Fold für den Binären Baum -} foldbtree :: (a->b) -> (b->b->b) -> Btree a->b foldbtree f g (Leaf x) = f x foldbtree f g (Fork xt yt) = g( foldbtree f g xt) (foldbtree f g yt) Erweiterung Analogon zu fold auf Listen fold ermöglicht Verarbeitung der Funktion f bearbeitet Blätter Funktion g arbeitet in den Knoten Christoph Forster, Thomas Kresalek 15/53 Vortrag

29 Nutzung von fold für size = foldbtree (const 1) ( + ) Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 16/53 Vortrag

30 Nutzung von fold für size = foldbtree (const 1) ( + ) height = foldbtree (const 0) maxsubs where m maxsubs n = 1 + m max n Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 16/53 Vortrag

31 Nutzung von fold für size = foldbtree (const 1) ( + ) height = foldbtree (const 0) maxsubs where m maxsubs n = 1 + m max n flatten = foldbtree wrap ( ++ ) Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 16/53 Vortrag

32 Nutzung von fold für size = foldbtree (const 1) ( + ) height = foldbtree (const 0) maxsubs where m maxsubs n = 1 + m max n flatten = foldbtree wrap ( ++ ) Erweiterung maxbtree :: (Ord a) => Btree a -> a maxbtree = foldbtree id (max) Christoph Forster, Thomas Kresalek 16/53 Vortrag

33 Nutzung von fold für size = foldbtree (const 1) ( + ) height = foldbtree (const 0) maxsubs where m maxsubs n = 1 + m max n flatten = foldbtree wrap ( ++ ) Erweiterung maxbtree :: (Ord a) => Btree a -> a maxbtree = foldbtree id (max) mapbtree f = foldbtree (Leaf. f) Fork Christoph Forster, Thomas Kresalek 16/53 Vortrag

34 Erweiterung Binärer Bäume Definition: Datentyp {- Erweiterter Binärbaum -} data ATree a = ALeaf a AFork Int (ATree a) (ATree a) Erweiterung Zusätzlicher Wert im Knoten Speichert Größe des linken Teilbaums Christoph Forster, Thomas Kresalek 17/53 Vortrag

35 Erweiterung Binärer Bäume Konstruktor {- Konstruktor AFork -} fork :: ATree a -> ATree a -> ATree a fork xt yt = AFork n xt yt where n = lsize xt {- Konstruktur ATree-} mkatree :: [a] -> ATree a mkatree xs (m==0) = ALeaf (unwrap xs) otherwise = fork (mkatree ys) (mkatree zs) where m = (length xs) div 2 (ys,zs) = splitat m xs unwrap [x] = x Erweiterung Christoph Forster, Thomas Kresalek 18/53 Vortrag

36 Erweiterung Binärer Bäume Indizierter Zugriff {- indizierter Zugriff -} retrieve :: ATree a -> Int -> a retrieve (ALeaf x) 0 = x retrieve (AFork m xt yt) k = if k < m then retrieve xt k else retrieve yt (k-m) Erweiterung Nutzt gespeicherte Informationen in Knoten Effizienter als Zählen in Listen, bei großen n Christoph Forster, Thomas Kresalek 19/53 Vortrag

37 Agenda & Eigenschaften en & Eigenschaften en 4 5 Christoph Forster, Thomas Kresalek 20/53 Vortrag

38 Definition: Datentyp {- Binärer Suchbaum -} data (Ord a) Stree a = Null Fork (Stree a ) a (Stree a) & Eigenschaften en Christoph Forster, Thomas Kresalek 21/53 Vortrag

39 Eigenschaften Die Daten befinden sich in den Knoten zwischen den Subbäumen Für den Datentyp a muss eine Ordnungsrelation definiert sein Fork xt e yt x : x xt (x e), x yt (x > e) Gute Repräsentationsmöglichkeit für Multimengen mit Ordnungsrelation & Eigenschaften en Christoph Forster, Thomas Kresalek 22/53 Vortrag

40 Beispiel Beispiel {- Beispiel 1 -} Fork (Fork Null 1 Null) 3 (Fork (Fork Null 4 Null) 5 (Fork Null 6 Null)) 3 & Eigenschaften en 1 5 Null Null 4 6 Null Null Null Null Christoph Forster, Thomas Kresalek 23/53 Vortrag

41 : Erzeugung aus Liste Erzeugung {- Erzeugung eines Suchbaums aus einer Liste -} mkstree :: (Ord a) => [a] -> Stree a mkstree [] = Null mkstree (x:xs) = Fork (mkstree ys) x (mkstree zs) where (ys,zs) = partition (<= x) xs {- Aufteilung zweier Listen an Hand von Prädikat -} partition :: (a -> Bool) -> [a] -> ([a],[a]) partition p xs = (filter p xs,filter (not. p) xs) & Eigenschaften en Aus sortierten Listen erzeugte Bäume sind leider sehr unbalanciert Christoph Forster, Thomas Kresalek 24/53 Vortrag

42 Beispiele Beispiel {- Beispiel 2 -} {- mkstree [1,3,4,5,6] => -} Fork Null 1 (Fork Null 3 (Fork Null 4 (Fork Null 5 (Fork Null 6 Null)))) & Eigenschaften en Christoph Forster, Thomas Kresalek 25/53 Vortrag

43 Beispiele 1 Null 3 Null 4 Null 5 & Eigenschaften en Null 6 Null Null Christoph Forster, Thomas Kresalek 26/53 Vortrag

44 : Rückführung zu Liste Erzeugung einer Liste aus einem Stree flatten :: (Ord a) => Stree a -> [a] flatten Null = [] flatten (Fork xt x yt) = flatten xt ++ (x:flatten yt) & Eigenschaften en Christoph Forster, Thomas Kresalek 27/53 Vortrag

45 : Sortieren Sortieren sort :: (Ord a) => [a] -> [a] sort = flatten. mkstree entspricht einer möglichen Implementierung des Quicksort-Algorithmus & Eigenschaften en Christoph Forster, Thomas Kresalek 28/53 Vortrag

46 : Höhe Höhe heightst :: (Ord a) => Stree a -> Integer heightst Null = 0 heightst (Fork xt x yt) = 1 + (max (heightst xt) (heightst yt)) & Eigenschaften en Die Höhe eines Suchbaums ergibt sich über die Knoten Christoph Forster, Thomas Kresalek 29/53 Vortrag

47 : Member Membership member :: (Ord a) => a -> Stree a -> Bool member x Null = False member x (Fork xt y yt) (x < y) = member x xt (x == y) = True (x > y) = member x yt & Eigenschaften en besonders effizient, wenn der Baum perfekt balanciert ist Christoph Forster, Thomas Kresalek 30/53 Vortrag

48 : Einfügen Einfügen insert :: (Ord a) => a -> Stree a -> Stree a insert x Null = Fork Null x Null insert x (Fork xt y yt) (x < y) = Fork (insert x xt) y yt (x == y) = Fork xt y yt (x > y) = Fork xt y (insert x yt) & Eigenschaften en Christoph Forster, Thomas Kresalek 31/53 Vortrag

49 : Entfernen von Elementen Entfernen von Elementen delete :: (Ord a) => a -> Stree a -> Stree a delete x Null = Null delete x (Fork xt y yt) (x < y) = Fork (delete x xt) y yt (x == y) = join xt yt (x > y) = Fork xt y (delete x yt) & Eigenschaften en Teilbäume müssen an der Stelle des gelöschten Elements zusammengeführt werden Das Ergebnis soll perfekt balanciert sein. Christoph Forster, Thomas Kresalek 32/53 Vortrag

50 : Join Join join :: (Ord a) => Stree a -> Stree a -> Stree a join Null yt = yt join (Fork ut x vt) yt = Fork ut x (join vt yt) & Eigenschaften en Einfache Implementierung Aber Ergebnis ist nicht gut balanciert Christoph Forster, Thomas Kresalek 33/53 Vortrag

51 : Join Join join :: (Ord a) => Stree a -> Stree a -> Stree a join xt yt = if empty yt then xt else Fork xt (headtree yt) (tailtree yt) & Eigenschaften en komplexere Implementierung empty, headtree und tailtree müssen implementiert werden Christoph Forster, Thomas Kresalek 34/53 Vortrag

52 : Empty Empty empty :: (Ord a) => Stree a -> Bool empty Null = True empty (Fork xt y yt) = False & Eigenschaften en Christoph Forster, Thomas Kresalek 35/53 Vortrag

53 : Head und Tail eines Baums Head und Tail {- Head -} headtree :: (Ord a) => Stree a -> a headtree = fst. splittree {- Tail -} tailtree :: (Ord a) => Stree a -> Stree a tailtree = snd. splittree splittree & Eigenschaften en splittree :: (Ord a) => Stree a -> (a,stree a) splittree (Fork xt y yt) = if empty xt then (y,yt) else (x, Fork wt y yt) where (x,wt) = splittree xt Christoph Forster, Thomas Kresalek 36/53 Vortrag

54 : Join-Optimierung Join join :: (Ord a) => Stree a -> Stree a -> Stree a join xt yt = if empty yt then xt else Fork xt headoftree tailoftree where (headoftree,tailoftree) = splittree yt & Eigenschaften en splittree wird nur einmal aufgerufen. Christoph Forster, Thomas Kresalek 37/53 Vortrag

55 Verarbeitung mit map {- Map für den Binären Suchbaum -} mapstree :: (a -> b) -> Stree a -> Stree b mapstree f Null = Null mapstree f (Fork xt x yt) = Fork (mapbtree f xt) (f x) (mapbtree f yt) & Eigenschaften en Analog zur Implementierung für Btree Christoph Forster, Thomas Kresalek 38/53 Vortrag

56 en fold foldstree :: (Ord a) => (a -> b) -> (b -> b -> b -> b) -> b -> Stree a -> b foldstree f g v Null = v foldstree f g v (Fork xt x yt) = g (foldstree f g v xt) (f x) (foldstree f g v yt) & Eigenschaften en Christoph Forster, Thomas Kresalek 39/53 Vortrag

57 en Nutzung von fold für {- Höhe -} heightst :: (Ord a) => STree a -> Integer heightst = foldstree (const 1) (\ x y z -> (max x z) + y) 0 {- Bildung einer Liste -} flatten :: (Ord a) => STree a -> [a] flatten = foldstree (\ x -> [x]) (\ x y z -> x ++ (y ++ z)) [] & Eigenschaften en Christoph Forster, Thomas Kresalek 40/53 Vortrag

58 en FoldStree nicht direkt für member, insert und delete einsetzbar allerdings auch hier Strukturübereinstimmungen Schaffung einer weiteren sinnvoll? & Eigenschaften en Christoph Forster, Thomas Kresalek 41/53 Vortrag

59 en Erweitertes fold foldstree2 :: Ord a => (STree a -> a -> STree a -> c) -> (c -> a -> STree a -> c) -> (STree a -> a -> c -> c) -> (a -> c) -> a -> STree a -> c foldstree2 fm fl fr fn y Null = fn y foldstree2 fm fl fr fn x (Fork xt y yt) (x < y) = fl (foldstree2 fm fl fr fn x xt) y yt (x == y) = fm xt x yt (x > y) = fr xt y (foldstree2 fm fl fr fn x yt) & Eigenschaften en Christoph Forster, Thomas Kresalek 42/53 Vortrag

60 en Nutzung des erweiterten fold member :: (Ord a) => a -> Stree a -> Bool member = foldstree2 (\ x y z -> True) (\ x y z -> x) (\ x y z -> z) (\ x -> False) insert :: (Ord a) => a -> Stree a -> Stree a insert = foldstree2 (\ xt y yt -> Fork xt y yt) (\ xt x yt -> Fork xt x yt) (\ xt x yt -> Fork xt x yt) (\ x -> Fork Null x Null) & Eigenschaften en delete :: (Ord a) => a -> Stree a -> Stree a delete = foldstree2 (\ xt y yt -> join xt yt) (\ xt x yt -> Fork xt x yt) (\ xt x yt -> Fork xt x yt) (\ x -> Null) Christoph Forster, Thomas Kresalek 43/53 Vortrag

61 en Nutzung des erweiterten fold buildfork xt x yt = Fork xt x yt insert :: (Ord a) => a -> Stree a -> Stree a insert = foldstree2 buildfork buildfork buildfork (\ x -> Fork Null x Null) & Eigenschaften en delete :: (Ord a) => a -> Stree a -> Stree a delete = foldstree2 (\ xt y yt -> join xt yt) buildfork buildfork (\ x -> Null) Christoph Forster, Thomas Kresalek 44/53 Vortrag

62 Agenda Christoph Forster, Thomas Kresalek 45/53 Vortrag

63 Angelehnt an Verzweigungen des Rhododendron Busches Christoph Forster, Thomas Kresalek 46/53 Vortrag

64 Rose Tree Definition: Datentyp {- -} data Rose a = Node a [Rose a] Allgemeiner definiert Beliebig viele Kinder Rose Tree 2. Ordnung Blätter sind durch leere Listen dargestellt Christoph Forster, Thomas Kresalek 47/53 Vortrag

65 Unendliche Bäume Beispiel {- Unendlicher Rose Tree -} Node 0 [ Node n [] n <- [1..]] Christoph Forster, Thomas Kresalek 48/53 Vortrag

66 Unendliche Bäume Beispiel {- Unendlicher Rose Tree -} Node 0 [ Node n [] n <- [1..]] Spezielle Verarbeitung notwendig (breath-first) Analogon zu unendlichen Listen Im Folgenden: Endliche Christoph Forster, Thomas Kresalek 48/53 Vortrag

67 Wichtige Maße eines Baumes {- Anzahl der Elemente -} size :: Rose a -> Int size (Node x xts) = 1 + sum (map size xts) Christoph Forster, Thomas Kresalek 49/53 Vortrag

68 Wichtige Maße eines Baumes {- Anzahl der Elemente -} size :: Rose a -> Int size (Node x xts) = 1 + sum (map size xts) {- Höhe des Baums -} height :: Rose a -> Int height (Node x xts) = 1 + maxlist (map height xts) where maxlist = foldl (max) 0 Christoph Forster, Thomas Kresalek 49/53 Vortrag

69 Wichtige Maße eines Baumes {- Anzahl der Elemente -} size :: Rose a -> Int size (Node x xts) = 1 + sum (map size xts) {- Höhe des Baums -} height :: Rose a -> Int height (Node x xts) = 1 + maxlist (map height xts) where maxlist = foldl (max) 0 Höhe und Größe eines Rose Tree immer größer 0 Christoph Forster, Thomas Kresalek 49/53 Vortrag

70 Plätten eines Rosenbaumes {- Plätten des Baums -} flatten :: Rose a -> [a] flatten (Node x xts) = x:concat(map flatten xts) Christoph Forster, Thomas Kresalek 50/53 Vortrag

71 Plätten eines Rosenbaumes {- Plätten des Baums -} flatten :: Rose a -> [a] flatten (Node x xts) = x:concat(map flatten xts) Plätten nur bei endlichen Bäumen (depth-first) Plätten effizient O(n log n) Reihenfolge? Christoph Forster, Thomas Kresalek 50/53 Vortrag

72 Plätten eines Rosenbaumes {- Plätten des Baums -} flatten :: Rose a -> [a] flatten (Node x xts) = x:concat(map flatten xts) Plätten nur bei endlichen Bäumen (depth-first) Plätten effizient O(n log n) Reihenfolge? Christoph Forster, Thomas Kresalek 50/53 Vortrag

73 Plätten eines Rosenbaumes {- Plätten des Baums -} flatten :: Rose a -> [a] flatten (Node x xts) = x:concat(map flatten xts) Plätten nur bei endlichen Bäumen (depth-first) Plätten effizient O(n log n) Reihenfolge? Zuerst Knoten, dann Kinder von Links nach Rechts 5,2,1,3,7,6,8 Christoph Forster, Thomas Kresalek 50/53 Vortrag

74 fold {- Fold für den Rosenbaum -} foldrose :: (a -> [b] -> b) -> Rose a -> b foldrose f (Node x xts) = f x (map (foldrose f) xts) Christoph Forster, Thomas Kresalek 51/53 Vortrag

75 fold {- Fold für den Rosenbaum -} foldrose :: (a -> [b] -> b) -> Rose a -> b foldrose f (Node x xts) = f x (map (foldrose f) xts) Element Verarbeitung mit map {- map für den Rosenbaum -} maprose :: (a -> b) -> Rose a -> Rose b maprose f = foldrose (Node. f) Christoph Forster, Thomas Kresalek 51/53 Vortrag

76 Beispiele mit fold {- Größe eines Rosenbaums -} size :: Rose a -> Int size = foldrose f where f x ns = 1 + sum ns Christoph Forster, Thomas Kresalek 52/53 Vortrag

77 Beispiele mit fold {- Größe eines Rosenbaums -} size :: Rose a -> Int size = foldrose f where f x ns = 1 + sum ns {- Maximum eines Rosenbaumes -} maxrose :: (Ord a, Num a) => Rose a -> a maxrose = foldrose f where f x ns = x max maxlist ns maxlist = foldl (max) 0 Christoph Forster, Thomas Kresalek 52/53 Vortrag

78 Beispiele mit fold {- Größe eines Rosenbaums -} size :: Rose a -> Int size = foldrose f where f x ns = 1 + sum ns {- Maximum eines Rosenbaumes -} maxrose :: (Ord a, Num a) => Rose a -> a maxrose = foldrose f where f x ns = x max maxlist ns maxlist = foldl (max) 0 {- Plätten eines Rosenbaumes -} flatten :: Rose a -> [a] flatten = foldrose f where f x ns = x:concat ns Christoph Forster, Thomas Kresalek 52/53 Vortrag

79 Agenda Christoph Forster, Thomas Kresalek 53/53 Vortrag

80 Bäume 3 1/2 verschiedene Spezialfälle (Btrees / Atrees) (Strees) N-äre Bäume (Rose trees) Christoph Forster, Thomas Kresalek 54/53 Vortrag

81 Bäume 3 1/2 verschiedene Spezialfälle (Btrees / Atrees) (Strees) N-äre Bäume (Rose trees) en en Christoph Forster, Thomas Kresalek 54/53 Vortrag

82 Zusammenfassung Bäume Binäre Halden Christoph Forster, Thomas Kresalek 55/53 Vortrag

83 Zusammenfassung Bäume Binäre Halden Anwendungsfälle Merteens number Huffman trees Christoph Forster, Thomas Kresalek 55/53 Vortrag

84 Fragen? Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Christoph Forster, Thomas Kresalek 56/53 Vortrag