Versuch dp : Drehpendel

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1 U N I V E R S I T Ä T R E G E N S B U R G Naturwissenschaftliche Fakultät II - Physik Anleitung zum Physikpraktikum für Chemiker Versuch dp : Drehpendel

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Allgemeiner Zusammenhang Lernziele Vorbereitung Grundlagen Berechnung von Trägheitsmomenten Das Trägheitsmoment einer Hantel (siehe Abbildung 2) Der Steiner sche Satz Zur Berechnung des Drehimpulses J Literatur Fragen zur Vorbereitung Durchführung Bestimmung der Winkelrichtgröße D des Drehschwingers Bestimmung von D mit der Holzscheibe Bestimmung von D mit der Hantel Bestimmung von D mit der Federwaage Bestimmung von Trägheitsmomenten Steiner sche Satz Fehlerrechnung

3 1 Einführung 1.1 Allgemeiner Zusammenhang In diesem Versuch werden Drehbewegungen und Drehschwingungen behandelt. Diese dienen auch dem Verständnis der Rotationsspektren von Molekülen. 1.2 Lernziele An einem speziellen Beispiel der Drehbewegung, nämlich der harmonischen Drehschwingung, sollen die für die Drehbewegung wichtigen Größen wie Drehmoment, Drehimpuls und Trägheitsmoment bestimmt werden. Kenngrößen der Rotationsbewegung und ihr Zusammenhang (z.b. Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Rotationsenergie, Drehimpuls) sollen studiert werden. Der Bezug zu entsprechenden Größen bei der linearen Bewegung soll hergestellt werden. Die Berechnung von Trägheitsmomenten einfacher Körper wie Scheibe, Zylinder, Hohlzylinder, Kugel, soll durchgeführt werden. Der Steinersche Satz soll angewendet werden. Die Differentialgleichung der ungedämpften Drehschwingung und ihre Lösung sollen studiert werden. 2 Vorbereitung 2.1 Grundlagen Die Differentialgleichung für die Drehschwingung erhalten Sie aus der Bedingung, daß die Summe der angreifenden Drehmomente gleich Null sein muß (Dämpfung wird vernachlässigt): Θ ϕ + D ϕ = 0 (1) Dabei sind ϕ ˆ= Winkelauslenkung, ϕ ˆ= Winkelbeschleunigung, Θ ˆ= Trägheitsmoment und D Winkelrichtgröße der Spiralfeder. Mit dem Lösungsansatz ϕ = ϕ 0 cos(ωt) (2) erhält man T = 2π ω = 2π Θ D (3) wobei ω ˆ= Kreisfrequenz des Drehpendels und T ˆ= Schwingungsdauer des Drehpendels ist

4 2 VORBEREITUNG 2.2 Berechnung von Trägheitsmomenten Das Trägheitsmoment Θ = r 2 dm (4) hängt nur vom senkrechten Abstand r des Massenelements dm von der Drehachse ab. Die folgende Berechnung des Trägheitsmomentes einer Scheibe ist exemplarisch für andere rotationssymmetrische Körper. In dem gestrichelt gezeichneten Kreisring in Abbildung 1 haben alle Massenelemente dm den gleichen Abstand von der Drehachse. Wenn ρ die Dichte bezeichnet, gilt wegen dm = ρdv dθ Kreisring = r 2 dm = r 2 ρdv = r 2 2πrdr h ρ (5) Abbildung 1: Skizze zur Berechnung des Trägheitsmomentes einer Scheibe Das gesamte Trägheitsmoment erhält man durch Integration Θ = R dθ = 0 R r 2 2πrhρ dr = 2πhρ 0 r 3 dr = 2πhρ R4 4 = 1 2 πhρr4 (6) und mit M = ρv = ρhπr 2, der Gesamtmasse der Scheibe, erhält man schließlich Θ = 1 2 MR2 (7) Analog berechnen sich die Trägheitsmomente anderer Körper durch geeignete Integration. Zum Beispiel ergibt sich für eine Kugel Θ Kugel = 2 5 M KugelR 2 (8) und für einen Hohlzylinder (R a :Außendurchmesser, R i : Innendurchmesser) Θ Hohlzylinder = 1 2 M(R2 a + R 2 i ) (9) - 4 -

5 2.3 Das Trägheitsmoment einer Hantel (siehe Abbildung 2) 2.3 Das Trägheitsmoment einer Hantel (siehe Abbildung 2) Das Trägheitsmoment einer Hantel setzt sich aus dem der Verbindungsstange und dem der (punktförmig gedachten) Massen m zusammen. Man erhält Θ = Θ Stab + 2ma 2 und Formel (3) für die Schwin- Abbildung 2: Skizze zur Berechnung des Trägheitsmoment einer Hantel gungszeit T 2 = 4π2 D 2ma2 + 4π2 D Θ Stab (10) Ein dünner, langer Stab besitzt das Trägheitsmoment (Drehung um die Mitte, senkrecht zur Längsachse, l = Länge des Stabes) Θ Stab = 1 12 Ml2 (11) 2.4 Der Steiner sche Satz Wenn man das Trägheitsmoment eines Körpers in Bezug auf eine durch seinen Schwerpunkt gehende Achse A kennt (vgl. Abb. 3), dann liefert der Steiner sche Satz das Trägheitsmoment in Bezug auf eine andere, dazu parallele Achse A Θ A = Θ A + Ma 2 (12) Dabei ist a der Abstand der beiden Achsen A und A. Das Trägheitsmoment um A ist gleich dem um A, vermehrt um das Trägheitsmoment, das die ganze in A vereinigte Masse haben würde. Mit Hilfe von Abb. 3 sieht man leicht dass Abbildung 3: Zum Satz von Steiner - 5 -

6 Literatur Θ A = m i r 2 i = m i ( r 2 i + a a r i ) = m i r 2 i + a 2 m i + 2 a m i r i (13) Da A durch den Schwerpunkt geht, verschwindet die letzte Summe und es ergibt sich Gleichung Zur Berechnung des Drehimpulses J Es gilt J = Θ ϕ (14) Dabei ist die Winkelgeschwindigkeit ϕ aus 2 und 3 gegeben durch ( ) D D ϕ = ϕ 0 Θ sin Θ t (15) Die Anfangsauslenkung geht also in die Größe des Drehimpulses ein. 2.6 Literatur Literatur [1] Pohl, Mechanik, Akustik, Wärmelehre, S UC 127 P [2] Gerthsen, Kneser, Physik, S. 12 ff 84 UC 156 G Fragen zur Vorbereitung 1. Leiten Sie den Ausdruck 3 für die Schwingungszeit eines Drehpendels ab. 2. Leiten Sie die Formeln für die Trägheitsmomente einer Kugel und eines Hohlzylinders her. 3. Welche physikalische Bedeutung und Einheit hat die Richtgrösse D bei einer Schraubenfeder und die Winkelrichtgrösse D bei einer Spiralfeder? Wie kann man diese Grössen messen? (Hinweis: Es gibt zwei Methoden, eine davon ist durch Gleichung (3) vorgegeben). 4. Zwischen den Bestimmungsgrössen von linearer und Drehbewegung gibt es formale Analogien. Tragen Sie in der Tabelle die Bezeichnungen und Formeln ein

7 Lineare Bewegung Drehbewegung Größe Formel Größe Formel Koordinate Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Kinetische Energie Impuls Kraft Schwingungsgleichung mẍ = Dx Lösung x = x 0 cos(ωt) D Frequenz ω = m 5. Ein H 2 -Molekül (und andere Moleküle) stellt in guter Näherung ein Hantel dar, die z.b. zur Rotation gebracht werden kann. Berechnen Sie das Trägheitsmoment des H 2 -Moleküls für eine Rotation um eine Achse, die mittig senkrecht auf der Verbindungslinie der Atome steht. 3 Durchführung Geräte: Drehschwinger (mit Spiralfeder) Kugel Hantel Stoppuhr, Waage, Federwaage Holzscheibe Träger für 2 Holzzylinder Metallscheibe mit exzentrischer Scheibe Lineal, Maßstab - 7 -

8 3 DURCHFÜHRUNG 3.1 Bestimmung der Winkelrichtgröße D des Drehschwingers Bestimmung von D mit der Holzscheibe Messung: Montieren Sie die Holzscheibe und messen Sie die Schwingungsdauer T 10x 1 Periode 3 x 10 Perioden Auswertung: Berechnung des Trägheitsmomentes Θ nach Massenbestimmung und Abmessen. Θ Berechnung von D aus der Beziehung T = 2π D. Bestimmung der Fehler von Θ und T sowie Berechnung des Fehlers von D nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz Bestimmung von D mit der Hantel Bestimmen Sie für einen möglichst großen Abstand a der Aufsatzmassen m von der Drehachse die Winkelrichtgrösse D wie bei der Auswertung von Aufgabe 3.1. Lenken Sie die Feder möglichst wenig, nicht mehr als höchstens 90 aus. Messen Sie die Schwingungsdauer mit mindestens 10 Perioden. Berechnen Sie die Trägheitsmomente der Aufsatzmassen m, die Sie als punktförmig annehmen können, bzw. der Verbindungsstange Θ. Bestimmen Sie mit Gl.(10) wieder die Winkelrichtgrösse D und ihren Fehler. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem von Aufgabe und benutzen Sie im folgenden den genaueren Wert für D Bestimmung von D mit der Federwaage Bestimmen Sie D durch Messung des Drehmomentes M mittels einer Federwaage. Tragen Sie M gegen ϕ für ϕ = 45, 90, 135, 180, 225 und 270 auf und vergleichen Sie die daraus ermittelten Werte von D mit den oben gemessenen 3.2 Bestimmung von Trägheitsmomenten Da jetzt D der Spiralfeder bekannt ist, können Sie Trägheitsmomente einer Kugel, von zwei Zylindern und deren Träger aus der Beziehung T = 2π bestimmen. Machen Sie jeweils mehrere Θ D Messungen, bestimmen Sie Fehler und vergleichen Sie mit berechneten Werten aus Gl. (8) und (9)

9 3.3 Steiner sche Satz 3.3 Steiner sche Satz Mit der Anordnung in Abb. 4 sollen Sie den Steiner schen Satz durch Verändern der Exzentrizität a überprüfen. Wählen Sie die graphische Darstellung T 2 gegen a 2 und tragen Sie die Messfehler in die Zeichnung ein. Abbildung 4: Steiner scher Satz: Definition der Parameter zur Messung

10 4 FEHLERRECHNUNG 4 Fehlerrechnung Beispiel: Θ Zylinder = 1 2 MR2 Größe M = 0.1kg M = 0.001kg R = 0.01 m R = 0.01m Bedeutung Meßwert auf der Waage Angabe Meßfehler auf der Waage abgelesener Meßwert geschätzter Fehler (lieber zu groß als zu klein wählen) Θ = 1 2 M R 2 = kg (0.15m)2 = kgm 2 aber wie groß ist Θ? 1. Schritt: relative Fehler der Meßgrößen ausrechnen! 2. Schritt: Regeln: γ(m) = M M = 0.001kg 0.1kg = 0.01 γ(r) = R R = 0.01m SI0,15m = γ(x 1 x 2 ) = γ(x 1 ) + γ(x 2 ) (1) γ(x m ) = m γ(x) (2) Verwende (1) und (2) um γ(θ) auszurechnen γ(θ) = γ( 1 2 MR2 ) (1) = γ(m) + γ(r 2 ) (2) = γ(m) + 2γ(R) = = Schritt: Aus dem im 2. Schritt bestimmten relativen Fehler γ(θ) den absoluten Fehler (Θ) bestimmen γ(θ) = Θ Θ Θ = Θ γ(θ) = kg m = kg m 2 4. Schritt: Angabe des Ergebnisses in der Form: x = x = ± x so nicht: Θ = kg m 2 ± kg m 2, sondern: Θ = kg m 2 ±0.0002kg m 2 (alternativ : Θ = kg m 2 ± kg m 2 ) denn x wird auf eine Stelle aufgerundet und x nur bis zu dieser Stelle angegeben!