WS 2009/10. Diskrete Strukturen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "WS 2009/10. Diskrete Strukturen"

Transkript

1 WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel IV Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings 2

3 Bäume Definition: Ein ungerichteter Graph G = (V,E) heißt Baum, falls G zusammenhängend und kreisfrei ist. Ein Knoten v mit deg(v) = 1 heißt Blatt (leaf). Alle anderen Knoten heißen innere Knoten. 3

4 Graph oder Baum? 4

5 Bäume Die Bäume mit höchstens 5 Knoten sind 5

6 Ein Baum o h n r 6 p i d b m a c e g q f j k l

7 Kapitel III Graphen; Bäume Wälder Definition: Ein Graph, dessen (Zusammenhangs-) Komponenten jeweils Bäume sind, heißen Wälder. 7

8 Eigenschaften von Bäumen 8 Satz: Jeder Baum T = (V,E) mit V mindestens zwei Blätter. 2 enthält Beweis (verifiziere anhand der vorletzten Folie): Nehme eine beliebige Kante und laufe nach links und rechts solange du kannst. Da man nicht in einen Zyklus geraten kann endet man irgendwann in einem Blatt.

9 Eigenschaften von Bäumen 9 Satz: Ist T = (V,E) ein Baum mit V 2 Knoten und v V ein Blatt, so ist der Graph T := T[V \ {v}] ebenfalls ein Baum. Beweis: Durch Wegnahme eines Blattes bleibt der Baum kreisfrei. Da Pfade zwischen beliebigen Knoten u und w erhalten bleiben, ist der Graph T auch zusammenhängend.

10 Eigenschaften von Bäumen Definition: Ein Teilgraph T = (V,E ) von G = (V,E) heißt Spannbaum von G, falls T ein Baum und V = V. 10

11 Eigenschaften von Bäumen Satz: Jeder zusammenhängende Graph G =(V, E) enthält mindestens einen Spannbaum. Beweis: Durch Induktion über E. Basis: E =0. Dann ist G ein Baum und auch ein Spannbaum. 11

12 Eigenschaften von Bäumen Schritt: E 1. Wir betrachten zwei Fälle. Fall 1. G ist ein Baum. Dann ist G auch Spannbaum. Fall 2. G ist kein Baum. Dann enthält G einen Kreis. Entferne eine beliebige Kante des Kreises. Das Ergebnis G ist noch zusammenhängend und enthält einen Spannbaum T (Induktionsannahme). T ist auch Spannbaum 12 von G.

13 Eigenschaften von Bäumen Satz: Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (1) G = (V,E) ist ein Baum (2) Je zwei Knoten u,v V mit u v sind durch genau einen Pfad verbunden (3) G ist zusammenhängend und V = E

14 Kapitel III Graphen; Bäume (1), (2) Kein Kreis, keine zwei Knoten sind durch zwei verschiedene Pfade verbunden. Zusammenhängend, jede zwei Knoten sind durch mindestens einen Pfad verbunden. 14

15 Kapitel III Graphen; Bäume (1) (3) Sei G=(V,E) ein Baum. Wir zeigen V = E +1 durch Induktion über V : Basis: V = 1. Dann gilt E = 0 und wir sind fertig. Schritt: V 2. Sei u ein Blatt von G (G hat mindestens zwei Blätter). Entferne u sowie die Kante, die u mit dem Rest von G verbindet. Sei G =(V,E ) der resultierender Graph. G ist wieder ein Baum. Mit V < V gilt V = E + 1 (Induktionsannahme). Mit V = V +1 und E = E + 1 gilt V = E

16 Kapitel III Graphen; Bäume (3) (1) Sei G=(V,E) zusammenhängend mit V = E +1. G enthält einen Spannbaum T = (V, E ). Nach dem eben Bewiesenen gilt V = E + 1. Aus V = E +1 und V = E + 1 folgt E = E. Da E eine Teilmenge von E ist gilt E = E. Es folgt G = T. 16

17 Eigenschaften von Bäumen Korollar: Seien T = (V,E) ein Baum mit V = n und (d 1, d 2,, d n ) die Gradfolge von T, dann gilt: i n 1 d 2 E 2 V 2 2n 2 i 17

18 Spannbäume Frage: Wieviele aufspannende Bäume hat ein Graph? Satz: Für vollständige Graphen auf {1,2,,n} gilt: Die Anzahl aufspannender Bäume ist t(n) = n n-2 (Achtung: die Knoten sind unterscheidbar!) 18

19 Spannbäume des K 2 und K 3 n = 2 n = 3 19

20 Spannbäume des K 4 n = 4 20

21 Satz von Cayley: 21 Es gibt n n 2 markierte Bäume mit n Knoten. Beweis: Wir definieren eine Abbildung von der Menge der markierten Bäume mit n Knoten in die Menge der Folgen der Länge n 2 mit Elementen aus {1,...,n} (siehe die nächsten Folien). Diese Abbildung ist eine Bijektion (ohne Beweis). Da es n n 2 solche Folgen gibt, ist der Satz bewiesen.

22 Die Abbildung: Prüfer-Codes Gegeben sei ein markierter Baum T(V,E) mit Knotenmenge V = {1, 2,..., n}, n Wiederhole bis V = 2: Sei v V das Blatt mit der kleinsten Markierung in V. Sei u V der einzige Nachbar von v in V. Entferne v aus V und {u,v} aus E und gebe die Markierung von u aus. (Achtung!: die Markierung von u, nicht die von v)

23 Prüfer-Codes Die Ausgabe des Algorithmus auf der letzten Seite wird der Prüfer-Code des Baumes genannt (Heinz Prüfer ). Der Prüfer-Code eines Baums ist eine eindeutige Folge der Länge n 2 mit Elementen aus {1,..., n}. Zu einem gegebenen Prüfer-Code der Länge n 2 mit Elementen aus {1,..., n} gibt es einen 23 eindeutigen markierten Baum.

24 Prüfer-Codes Beispiel: 24

25 Prüfer-Codes Beispiel: 25

26 Wurzelbäume 26 Definition: Ein Wurzelbaum (rooted tree) ist ein Tupel (T,v) wobei T = (V,E) ein Baum ist und v V ein Knoten, den man auch als Wurzel des Baumes bezeichnet. Da es in einem Baum zwischen je zwei Knoten genau einen Pfad gibt, gibt es in einem Wurzelbaum von jedem Knoten genau einen Pfad zur Wurzel.

27 Wurzelbäume: Beispiel o h n r 27 p i b d root m a e q c g f j k l

28 Wurzelbäume 28 Im Bild eines Wurzelbaumes wird die Wurzel in der Regel oben angeordnet, und die Wege werden von der Wurzel weggerichtet betrachtet. Wurzelbäume dienen zur graphischen Darstellung hierarchischer Strukturen, z.b. Vererbungen, Stammbäume, grammatikalische Strukturen usw. C B D A 2 E

29 Wurzelbäume Die Knoten entlang eines Pfades von v V zur Wurzel heißen Vorgänger von v. Der zu v benachbarte Vorgänger heißt unmittelbarer Nachbar oder auch Vater- bzw. Mutter-Knoten. 29 Alle Knoten u V, von denen der Pfad zur Wurzel den Knoten v V enthält, werden Nachfolger von v genannt. Die unmittelbaren Nachfolger werden auch Sohnoder Kind-Knoten genannt.

30 Wurzelbäume Ein Binärbaum ist ein Wurzelbaum, in dem jeder Knoten höchstens 2 unmittelbare Nachfolger hat. Ein vollständiger Binärbaum ist ein Binärbaum, in dem jeder innere Knoten genau zwei unmittelbare Nachfolger hat und alle Blätter denselben Abstand zur Wurzel haben. 30

31 Wurzelbäume Ein Suchbaum ist ein Binärbaum, bei dem die (direkten) Nachfolger eines Knoten geordnet sind. Die Knotenmenge ist eine linear geordnete Menge Für alle inneren Knoten v gilt: Für alle Knoten u im linken Unterbaum von v gilt: u < v Für alle Knoten u im rechten Unterbaum von v gilt: u v 31

32 Binärbäume 32

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

Informatik II Bäume. Beispiele. G. Zachmann Clausthal University, Germany zach@in.tu-clausthal.de. Stammbaum. Stammbaum. Stammbaum

Informatik II Bäume. Beispiele. G. Zachmann Clausthal University, Germany zach@in.tu-clausthal.de. Stammbaum. Stammbaum. Stammbaum lausthal Beispiele Stammbaum Informatik II. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de. Zachmann Informatik - SS 06 Stammbaum Stammbaum / Parse tree, Rekursionsbaum Parse tree, Rekursionsbaum

Mehr

Bäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37

Bäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume und Wälder Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume Ein (ungerichteter) Baum ist ein ungerichteter Graph G = (V, E), der zusammenhängend ist und keine Kreise enthält. Diese Graphen sind Bäume: Diese aber nicht:

Mehr

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:

Mehr

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten Gliederung Zusammenhang von Graphen Stark Zusammenhängend K-fach Zusammenhängend Brücken Definition Algorithmus zum Finden von Brücken Anwendung Zusammenhangskomponente Definition Wichtige Aussagen und

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Dipl. Inform. Andreas Wilkens aw@awilkens.com Überblick Grundlagen Definitionen Elementare Datenstrukturen Rekursionen Bäume 2 1 Datenstruktur Baum Definition eines Baumes

Mehr

Bäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37

Bäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume und Wälder Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume Ein (ungerichteter) Baum ist ein ungerichteter Graph G = (V, E), der zusammenhängend ist und keine einfachen Kreise enthält. Bäume und Wälder 2 / 37 Bäume

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Anmerkungen zur Übergangsprüfung

Anmerkungen zur Übergangsprüfung DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung

Mehr

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder Programmieren in PASCAL Bäume 1 1. Baumstrukturen Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder 1. die leere Struktur oder 2. ein Knoten vom Typ Element

Mehr

8 Diskrete Optimierung

8 Diskrete Optimierung 8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von

Mehr

Lernziele: Ausgleichstechniken für binäre Bäume verstehen und einsetzen können.

Lernziele: Ausgleichstechniken für binäre Bäume verstehen und einsetzen können. 6. Bäume Lernziele 6. Bäume Lernziele: Definition und Eigenschaften binärer Bäume kennen, Traversierungsalgorithmen für binäre Bäume implementieren können, die Bedeutung von Suchbäumen für die effiziente

Mehr

Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn

Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Ein 5.55-Approximationsalgorithmus für das VPND-Problem Lars Schäfers Inhalt Einführung:

Mehr

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r )

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r ) Definition B : Menge der binären Bäume, rekursiv definiert durch die Regeln: ist ein binärer Baum sind t l, t r binäre Bäume, so ist auch t =, t l, t r ein binärer Baum nur das, was durch die beiden vorigen

Mehr

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.

Mehr

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes.

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes. Binäre Bäume Definition: Ein binärer Baum T besteht aus einer Menge von Knoten, die durch eine Vater-Kind-Beziehung wie folgt strukturiert ist: 1. Es gibt genau einen hervorgehobenen Knoten r T, die Wurzel

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum

Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Motivation Datenstruktur zur Repräsentation dynamischer Mengen

Mehr

Idee: Wenn wir beim Kopfknoten zwei Referenzen verfolgen können, sind die Teillisten kürzer. kopf Eine Datenstruktur mit Schlüsselwerten 1 bis 10

Idee: Wenn wir beim Kopfknoten zwei Referenzen verfolgen können, sind die Teillisten kürzer. kopf Eine Datenstruktur mit Schlüsselwerten 1 bis 10 Binäre Bäume Bäume gehören zu den wichtigsten Datenstrukturen in der Informatik. Sie repräsentieren z.b. die Struktur eines arithmetischen Terms oder die Struktur eines Buchs. Bäume beschreiben Organisationshierarchien

Mehr

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 9: Minimale Spannbäume Christian Scheideler WS 008 19.0.009 Kapitel 9 1 Minimaler Spannbaum Zentrale Frage: Welche Kanten muss ich nehmen, um mit minimalen

Mehr

2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume

2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume 2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume Beispiel: Beispiel (Teil 3): Beweis für L(G) L: Alle Strings aus L der Länge 0 und 2 sind auch in L(G). Als Induktionsannahme gehen wir davon aus, dass alle

Mehr

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.

Mehr

Steinerbäume. Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering

Steinerbäume. Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering Steinerbäume Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering Verfasser Flamur Kastrati Betreuer Prof. Dr. habil. Thomas

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63

Algorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63 Kapitel 6 Graphen Beziehungen zwischen Objekten werden sehr oft durch binäre Relationen modelliert. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit speziellen binären Relationen, die nicht nur nur besonders

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

Bäume. 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1

Bäume. 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1 Bäume 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1 Inhalt Grundbegriffe: Baum, Binärbaum Binäre Suchbäume (Definition) Typische Aufgaben Suchaufwand Löschen allgemein, Methode Schlüsseltransfer

Mehr

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes

Mehr

Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS / KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz Association

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University

Mehr

Tutorium Algorithmen & Datenstrukturen

Tutorium Algorithmen & Datenstrukturen June 16, 2010 Binärer Baum Binärer Baum enthält keine Knoten (NIL) besteht aus drei disjunkten Knotenmengen: einem Wurzelknoten, einem binären Baum als linken Unterbaum und einem binären Baum als rechten

Mehr

Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6

Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6 Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6 Thomas Krakow Rostock, den 26. April 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundbegriffe und einfache Sätze über Graphen 5 2.1 Der Knotengrad.................................

Mehr

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus

Mehr

3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1

3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1 3.2 Binäre Suche Beispiel 6.5.1: Intervallschachtelung (oder binäre Suche) (Hier ist n die Anzahl der Elemente im Feld!) Ein Feld A: array (1..n) of Integer sei gegeben. Das Feld sei sortiert, d.h.: A(i)

Mehr

Wiederholung zu Flüssen

Wiederholung zu Flüssen Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:

Mehr

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 11. VO DAP2 SS 2009 26. Mai 2009 1 Zusätzliche Lernraumbetreuung Morteza Monemizadeh:

Mehr

Algorithmische Methoden der Netzwerkanalyse

Algorithmische Methoden der Netzwerkanalyse Algorithmische Methoden der Netzwerkanalyse Marco Gaertler 9. Dezember, 2008 1/ 15 Abstandszentralitäten 2/ 15 Distanzsummen auf Bäumen Lemma Sei T = (V, E) ein ungerichteter Baum und T s = (V S, E s )

Mehr

Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung!

Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! 1 Wie gewinnt man ein Spiel? Was ist ein Spiel? 2 Verschiedene Spiele Schach, Tic-Tac-Toe, Go Memory Backgammon Poker Nim, Käsekästchen... 3 Einschränkungen Zwei

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

15 Optimales Kodieren

15 Optimales Kodieren 15 Optimales Kodieren Es soll ein optimaler Kodierer C(T ) entworfen werden, welcher eine Information (z.b. Text T ) mit möglichst geringer Bitanzahl eindeutig überträgt. Die Anforderungen an den optimalen

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007 Graphentheorie Rainer Schrader Organisatorisches Zentrum für Angewandte Informatik Köln 23. Oktober 2007 1 / 79 2 / 79 Organisatorisches Organisatorisches Dozent: Prof. Dr. Rainer Schrader Weyertal 80

Mehr

Definition eines Spiels

Definition eines Spiels Definition eines piels 1. Einleitung 1.1 Einführung: Die mathematische pieltheorie beschäftigt sich nicht nur mit der Beschreibung und Analyse von pielen im üblichen inn, sondern allgemein mit Konfliktsituationen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume

Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Überblick Einführung Einfügen und Löschen Einfügen

Mehr

Die Komplexitätsklassen P und NP

Die Komplexitätsklassen P und NP Die Komplexitätsklassen P und NP Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 3. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und

Mehr

Zeichnen von Graphen. graph drawing

Zeichnen von Graphen. graph drawing Zeichnen von Graphen graph drawing WS 2006 / 2007 Gruppe: D_rot_Ala0607 Christian Becker 11042315 Eugen Plischke 11042351 Vadim Filippov 11042026 Gegeben sei ein Graph G = (V; E) Problemstellung V E =

Mehr

Folge 19 - Bäume. 19.1 Binärbäume - Allgemeines. Grundlagen: Ulrich Helmich: Informatik 2 mit BlueJ - Ein Kurs für die Stufe 12

Folge 19 - Bäume. 19.1 Binärbäume - Allgemeines. Grundlagen: Ulrich Helmich: Informatik 2 mit BlueJ - Ein Kurs für die Stufe 12 Grundlagen: Folge 19 - Bäume 19.1 Binärbäume - Allgemeines Unter Bäumen versteht man in der Informatik Datenstrukturen, bei denen jedes Element mindestens zwei Nachfolger hat. Bereits in der Folge 17 haben

Mehr

KONSTRUKTION VON ROT-SCHWARZ-BÄUMEN

KONSTRUKTION VON ROT-SCHWARZ-BÄUMEN KONSTRUKTION VON ROT-SCHWARZ-BÄUMEN RALF HINZE Institut für Informatik III Universität Bonn Email: ralf@informatik.uni-bonn.de Homepage: http://www.informatik.uni-bonn.de/~ralf Februar, 2001 Binäre Suchbäume

Mehr

DATENSTRUKTUREN UND ZAHLENSYSTEME

DATENSTRUKTUREN UND ZAHLENSYSTEME DATENSTRUKTUREN UND ZAHLENSYSTEME RALF HINZE Institute of Information and Computing Sciences Utrecht University Email: ralf@cs.uu.nl Homepage: http://www.cs.uu.nl/~ralf/ March, 2001 (Die Folien finden

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung

Mehr

1 topologisches Sortieren

1 topologisches Sortieren Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung

Mehr

Programmiersprachen und Übersetzer

Programmiersprachen und Übersetzer Programmiersprachen und Übersetzer Sommersemester 2010 19. April 2010 Theoretische Grundlagen Problem Wie kann man eine unendliche Menge von (syntaktisch) korrekten Programmen definieren? Lösung Wie auch

Mehr

Grundlagen der Programmierung 2. Bäume

Grundlagen der Programmierung 2. Bäume Grundlagen der Programmierung 2 Bäume Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauÿ Künstliche Intelligenz und Softwaretechnologie 24. Mai 2006 Graphen Graph: Menge von Knoten undzugehörige (gerichtete oder ungerichtete)

Mehr

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner. Musterlösung Problem : Boruvka MST pt (a) Beweis durch Widerspruch. Sei T MST von G, e die lokal minimale Kante eines

Mehr

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen

Datenstrukturen und Algorithmen Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 1 Inhalt der Vorlesung 1. Motivation, Einführung, Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. Sortierverfahren 4. Halden

Mehr

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É.

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Tardos Janick Martinez Esturo jmartine@techfak.uni-bielefeld.de xx.08.2007 Sommerakademie Görlitz Arbeitsgruppe 5 Gliederung

Mehr

368 4 Algorithmen und Datenstrukturen

368 4 Algorithmen und Datenstrukturen Kap04.fm Seite 368 Dienstag, 7. September 2010 1:51 13 368 4 Algorithmen und Datenstrukturen Java-Klassen Die ist die Klasse Object, ein Pfeil von Klasse A nach Klasse B bedeutet Bextends A, d.h. B ist

Mehr

AVL-Bäume Analyse. Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl:

AVL-Bäume Analyse. Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl: AVL-Bäume Analyse (Folie 85, Seite 39 im Skript) Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl: 0 falls n = 0 F n = 1 falls

Mehr

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J Greedy-Strategie Definition Paradigma Greedy Der Greedy-Ansatz verwendet die Strategie 1 Top-down Auswahl: Bestimme in jedem Schritt eine lokal optimale Lösung, so dass man eine global optimale Lösung

Mehr

Algorithmische Mathematik

Algorithmische Mathematik Algorithmische Mathematik Wintersemester 2013 Prof. Dr. Marc Alexander Schweitzer und Dr. Einar Smith Patrick Diehl und Daniel Wissel Übungsblatt 6. Abgabe am 02.12.2013. Aufgabe 1. (Netzwerke und Definitionen)

Mehr

Bäume. Informatik B - Objektorientierte Programmierung in Java. Vorlesung 10: Collections 4. Inhalt. Bäume. Einführung. Bäume.

Bäume. Informatik B - Objektorientierte Programmierung in Java. Vorlesung 10: Collections 4. Inhalt. Bäume. Einführung. Bäume. Universität Osnabrück 1 Bäume 3 - Objektorientierte Programmierung in Java Vorlesung 10: Collections 4 Einführung Bäume sind verallgemeinerte Listenstrukturen Lineare Liste Jedes Element hat höchstens

Mehr

Graphentheorie 1. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Hausaufgaben Graph-Äquivalenz SetlX

Graphentheorie 1. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Hausaufgaben Graph-Äquivalenz SetlX Graphentheorie 1 Diskrete Strukturen Uta Priss ZeLL, Ostfalia Sommersemester 2016 Diskrete Strukturen Graphentheorie 1 Slide 1/19 Agenda Hausaufgaben Graph-Äquivalenz SetlX Diskrete Strukturen Graphentheorie

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 5. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Wdhlg.: Dijkstra-Algorithmus I Bestimmung der

Mehr

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert Inhalt Einführung 1. Arrays 1. Array unsortiert 2. Array sortiert 3. Heap 2. Listen 1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert 3. Bäume

Mehr

Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis

Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 13./14. VO DAP2 SS 2009 2./4. Juni 2009 1 2. Übungstest

Mehr

13. Binäre Suchbäume

13. Binäre Suchbäume 1. Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume realiesieren Wörterbücher. Sie unterstützen die Operationen 1. Einfügen (Insert) 2. Entfernen (Delete). Suchen (Search) 4. Maximum/Minimum-Suche 5. Vorgänger (Predecessor),

Mehr

Wasserfall-Ansätze zur Bildsegmentierung

Wasserfall-Ansätze zur Bildsegmentierung Wasserfall-Ansätze zur Bildsegmentierung von Philipp Jester Seminar: Bildsegmentierung und Computer Vision 16.01.2006 Überblick 1. Problemstellung 2. Wiederholung: Wasserscheiden-Ansätze 3. Der Wasserfall-Ansatz

Mehr

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Vorlesung Algorithmentechnik WS 2009/10 Dorothea Wagner Karlsruher Institut für Technologie Eisenbahnoptimierungsprozess 1 Anforderungserhebung Netzwerkentwurf

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 12.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik

Mehr

6. Flüsse und Zuordnungen

6. Flüsse und Zuordnungen 6. Flüsse und Zuordnungen In diesem Kapitel werden Bewertungen von Kanten als maximale Kapazitäten interpretiert, die über solch eine Kante pro Zeiteinheit transportiert werden können. Wir können uns einen

Mehr

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984)

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) NP-Vollständigkeit Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) 0 Übersicht: Einleitung Einteilung in Klassen Die Klassen P und NP

Mehr

Die in den Suchverfahren konstruierten Graphen waren zusammenhängend und enthielten keine Kreise. Also vereinbaren wir:

Die in den Suchverfahren konstruierten Graphen waren zusammenhängend und enthielten keine Kreise. Also vereinbaren wir: Kapitel 4 Bäume und Matchings Wir haben im letzten Kapitel Bäume implizit als Ergebnis unserer Suchverfahren kennengelernt. In diesem Kapitel wollen wir diese Graphenklasse ausführlich untersuchen. 4.1

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Suchbäume. Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik Programmierung und Softwareentwicklung

Suchbäume. Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik Programmierung und Softwareentwicklung Suchbäume Annabelle Klarl Zentralübung zur Vorlesung Einführung in die Informatik: http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/wise-13-14/infoeinf WS13/14 Action required now 1. Smartphone: installiere die App "socrative

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik Prof. Dr. A. Taraz, Dipl-Math. A. Würfl, Dipl-Math. S. König Weihnachtsblatt Aufgabe W.1 Untersuchen Sie nachstehenden

Mehr

Wiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen

Wiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen Was bisher geschah abstrakter Datentyp : Signatur Σ und Axiome Φ z.b. ADT Menge zur Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) mehrerer Elemente desselben Typs Spezifikation einer Schnittstelle Konkreter

Mehr

Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen

Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen aussagenlogischer Regeln: Wissensbasis (Kontextwissen): Formelmenge,

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Teil III: Routing - Inhalt I. Literatur. Geometric Routing. Voraussetzungen. Unit Disk Graph (UDG) Geometric Routing 29

Teil III: Routing - Inhalt I. Literatur. Geometric Routing. Voraussetzungen. Unit Disk Graph (UDG) Geometric Routing 29 1 29 Teil III: Routing - Inhalt I Literatur Compass & Face Routing Bounded & Adaptive Face Routing Nicht Ω(1) UDG E. Kranakis, H. Singh und Jorge Urrutia: Compass Routing on Geometric Networks. Canadian

Mehr

Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der. Pregelbrücken. überquert?

Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der. Pregelbrücken. überquert? Graphentheorie Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? 1 Königsberger Brückenproblem Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/6, Folie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

Was bisher geschah: Formale Sprachen

Was bisher geschah: Formale Sprachen Was isher geschah: Formale Sprachen Alphaet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen reguläre Ausdrücke: Syntax, Semantik, Äquivalenz Wortersetzungssysteme Wortersetzungsregeln

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen SS09

Algorithmen und Datenstrukturen SS09 Foliensatz 8 Michael Brinkmeier Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Sommersemester 29 TU Ilmenau Seite / 54 Binärbäume TU Ilmenau Seite 2 / 54 Binäre Bäume Bäume und speziell

Mehr

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 Info I Tutorium 24 Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 3.2.07 astian Molkenthin E-Mail: infotut@sunshine2k.de Web: http://infotut.sunshine2k.de Organisatorisches / Review is zum 2.2 müssen alle Praxisaufgaben

Mehr

Konzepte der Informatik

Konzepte der Informatik Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens

Mehr

Die Klassen P und NP. Dr. Eva Richter. 29. Juni 2012

Die Klassen P und NP. Dr. Eva Richter. 29. Juni 2012 Die Klassen P und NP Dr. Eva Richter 29. Juni 2012 1 / 35 Die Klasse P P = DTIME(Pol) Klasse der Probleme, die sich von DTM in polynomieller Zeit lösen lassen nach Dogma die praktikablen Probleme beim

Mehr

Was bisher geschah. deklarative Programmierung. funktionale Programmierung (Haskell):

Was bisher geschah. deklarative Programmierung. funktionale Programmierung (Haskell): Was bisher geschah deklarative Programmierung funktional: Programm: Menge von Termgleichungen, Term Auswertung: Pattern matsching, Termumformungen logisch: Programm: Menge von Regeln (Horn-Formeln), Formel

Mehr