Aufgaben zur Induktion. b 4cm Zeitpunkt t. U aus dem Induktionsgesetz her und berechnen Sie

Transkript

1 Aufgaben zur Indukton 1. Ene flache rechteckge Spule mt 5 Spule Wndungen und dem Wderstand 5 wrd cm mt der konstanten Geschwndgket, s durch das scharf begrenzte homogene Magnetfeld der magnetschen Flussdchte 1,5T 1cm bewegt. De Spulenenden snd kurz geschlossen. Zum Zetpunkt t 1 se de Spule gerade vollständg n das Magnetfeld engetaucht, zum b 4cm Zetpunkt t begnnt de Spule das Magnetfeld zu verlassen und zum Zetpunkt t 3 habe de Spule das Magnetfeld vollständg verlassen. 1.1 Geben Se ohne wetere echnung de Zetpunkte t 1, t und t 3 an. t1,s, t 5,s, t 3 7,s e v 1cm B 1. Während de Spule n das Magnetfeld endrngt s t t 1, wrd n hr de Spannung dessen Wert. NB v nduzert. Leten Se aus dem Induktonsgesetz her und berechnen Se Bem Hnenzehen der Leterschlefe n das Magnetfeld blebt de Kraftflussdchte B konstant. De sch m Magnetfeld befndendende und von der Leterschlefe engeschlossene Fläche ändert sch mt der Zet t. Zeht man de Leterschlefe um de Strecke s v t n das Feld, so glt für de sch m Feld befndende Fläche: A(t) s v t Für den Kraftfluss folgt: (t) A(t) B B vt (t) B v Für de nduzerte Spannung glt nach dem Faraday schen Induktonsgesetz: (t) N (t) N B v 5 1,5T,1m,,15V m s 1.3 De Spule se nun,cm n das Feld engedrungen. Tragen Se alle an der bewegten Spule angrefenden Kräfte (ohne Gewchtskraft) sowe de Stromrchtung n ene Skzze en, de auch de Spule und das Magnetfeld enthält. Mt der Leterschlefe werden Elektronen mtbewegt. Da auf se de Lorentzkraft F ev B wrkt werden se m Leterstück zur Stelle Q transportert. Zwschen P und Q entsteht somt de Spannung NB v. Somt wrkt das Leterstück als Spannungsquelle (P st Pluspol, Q st Mnuspol), welche den Strom n der engezechneten chtung fleßen lässt. De zu v parallelen Leterstücke lefern kenen Betrag. I techn. F1 F F3 P Q v B W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 1

2 1.4 m de Spule n das Feld hnenzuzehen st ene Kraft notwendg. Leten Se dese Kraft allgemen her und berechnen Se hren Wert. Auf en stromdurchflossenes Leterstück der Länge wrkt m Magnetfeld de Kraft F I B. Da F1 F3 heben se sch n hrer Gesamtwrkung auf. Übrg blebt de Kraft F, de entgegen der Bewegungsrchtung der Leterschlefe wrkt. m nun de Leterschlefe weterhn mt konstanter Geschwndgket v bewegen zu können muss ene Zugkraft FZ F aufgebracht werden (de Summe aller wrkenden Kräfte muss Null sen). Also glt: FZ N I B F NI B konst. da I,, B kons tan t sn d,15v 5 FZ N I B N B 5,1 m1,5t,31 N 1.5 Zegen Se, dass für t 1 t t glt: Z B konst. Da sch de vom Magnetfeld durchsetzte Fläche A der Spule für t 1 t t ncht ändert st auch A konst. Somt st auch AB konst. N 1.6 Zegen Se, dass für den magnetschen Fluss bem Herauszehen t t t3 aus dem Magnetfeld glt: (t) B b v t. Berechnen Se n desem Fall den Wert der nduzerten Spannung. der Spule Bem Herauszehen der Leterschlefe blebt de Kraftflussdchte B konstant. De sch m Magnetfeld befndendende und von der Leterschlefe engeschlossene Fläche ändert sch mt der Zet t. Zeht man de Leterschlefe um de Strecke s v t aus dem Feld, so glt für de m Feld verblebende Fläche: A(t) A s b vt b v t Schlefe Für den Kraftfluss folgt: (t) A(t) B B b vt B v N B v N B v 51,5T,1m,,15V m s 1.7 Was folgt für de nduzerte Spannung, wenn sch de Spule nun komplett außerhalb des Magnetfeldes bewegt t t 8,s 3 Da außerhalb des Magnetfeldes B st folgt: 1.8 Zechnen Se das t I Dagramm für de Spulenstromstärke ab dem Endrngen der Spule n das Magnetfeld für de Zetdauer von 8,s. W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng

3 Für de Spulenstromstärke I glt: NB v I I I s t t : I 3,mA t t t : I t t t : I 3,mA t t 8,s : I 3 I / ma t / s. Mt enem Dreecksgenerator st es möglch, de Stromstärke n ener lang gestreckten Spule (1 Wndungen, 5cm Länge) proportonal zur Zet anstegen zu lassen. Nach 4,s st de Änderung der Stromstärke,8A. Im Inneren der langen Spule befndet sch koaxal ene Induktonsspule (15 Wndungen, 1cm Querschnttsfläche), de mt enem Spannungsmesser verbunden st. Berechnen Se den Betrag der an den Enden der Induktonsspule nduzerten Spannung Akonst N N AB N (AB AB) N A B N mt B(t) I(t) folgt: N N di N I N A I(t) N A N A dt t 4 7 Vs 1,8 A m 41 Am 1,1 1 V,5m 4s 3. Das Magnetfeld ener lang gestreckten Spule hat de Flussdchte 3,1mT. In hm befndet sch ene Induktonsspule mt 1 Wndungen und ener Fläche von 6,5cm. Berechnen Se de mttlere nduzerte Spannung bem Ausschalten des Feldspulenstromes, wenn de Achsen beder Spulen zusammenfallen und der Ausschaltvorgang ene hundertstel Sekunde dauert. W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 3

4 Akonst db B N N AB N (A B A B) N A B N A N A dt t B B B B B N A N A N A N A Bn n t t t n t tn tn 3 4 3,11 T 16,51 m mv 1, 1 s 4. An de Enden ener lang gestreckten Feldspule (6 I n ma Wndungen, 1,m Länge) wrd ene Spannung angelegt und so verändert, dass de Stromstärke I n der Feldspule den zetlchen Verlauf aus dem Bld hat. In der Feldspule legt koaxal ene zwete Spule (1 Wndungen,,5cm Querschnttsfläche). 4.1 An den Enden der zweten Spule legt en flnkes Spannungsmessgerät. Welchen Spannungsverlauf zegt es an? Zechnen Se desen für t 6,s. t n s Akonst N N AB N (AB AB) N A B N mt B(t) I(t) folgt: N N di N I N In I N A I(t) N A N A N A dt t t t n v v 1. Berech: t 3s Vs 6 51 A 5 1, 51 m 41 Am 1,1 1 V 1,m 3s. Berech: 3s t 5s Da Iv In st I(t) 3. Berech: 5s t 6s Vs 6 51 A 5 1, 51 m 41 Am 3,31 V 1,m 6s 5s n 1 5 V t ns W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 4

5 4. We ändert sch der Spannungsverlauf, wenn de zwete Spule 15 Wndungen und 13,5cm Querschnttsfläche hat? 1. Berech: t 3s Vs 6 51 A ,5 1 m 41 Am 1,1 1 V 1,m 3s. Berech: 3s t 5s Da Iv In st I(t) 3. Berech: 5s t 6s Vs 6 51 A ,5 1 m 41 Am 3,31 V 1,m 6s 5s Insgesamt: Da de Anzahl der Wcklungen 3 des alten Wertes beträgt und de Fläche 3 des alten Wertes, ändert sch de nduzerte Spannung ncht. 5. Gegeben st der zetlche Verlauf der Stromstärke durch ene Feldspule mt der 1 Wndungsdchte 3. m. In der Feldspule st achsenparallel ene Induktonsspule mt 8,cm Durchmesser und 1 Wndungen ruhend angeordnet. 5.1 Zechne qualtatv n das vorlegende t-i-dagramm den zetlchen Verlauf der n der Induktonsspule erzeugten Induktonsspannung en. I n A t I Dagramm t n s Parabeläste I(t) I cos t Es glt: N B W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng o F F I F nd N N (A B A B) NA B NA I k I F N k ( konst.) 5

6 I n A t I Dagramm t n s 5. Berechne de Induktonsspannung m Zetntervall t,s. NF NF di NF I nd NA I NA NA dt t F F F 7 Vs 1 4,A nd 1, 4 m 41 Am 3 m 4,5 V,s Lk 1997/I 3. En Zeger aus Metall dreht sch mt konstanter Wnkelgeschwndgket um M (vgl. Skzze). Sene Sptze S gletet auf enem Metallrng mt dem adus. Zwschen der Metallachse des Zegers und dem ng st en Spannungsmessgerät geschaltet. En homogenes Magnetfeld mt der Flussdchte B, das senkrecht zur ngebene gerchtet st, durchflutet den ganzen ng. 3.1 Berechen Se de Fläche A, de der Zeger be ener Drehung um den Wnkel überstrecht, und mt Hlfe des Induktonsgesetzes de dabe zwschen M und S nduzerte Spannung. W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 6

7 Für de Fläche A, de der Zeger be ener Drehung um den Wnkel (m Bogenmaß) überstrecht glt: 1 A 1 A t t Für den magnetschen Fluss glt dann: Bkonst. da A 1 AB A B A B A B B B B dt t Nach dem Induktonsgesetz folgt: N 1 1 N B 3. Berechen Se de Lorentzkraft auf en Elektron m roterenden Zeger, das sch m Abstand r von M befndet. Welche Arbet wrd von der Lorentzkraft verrchtet, wenn se en Elektron von M nach S bewegt? Berechnen Se unter Verwendung deser Arbet den Betrag der zwschen M und S nduzerten Spannung. Da das Elektron um M mt dem adus r und der Wnkelgeschwndgket rotert, glt: v v r r Somt folgt für de Lorentzkraft: FL evb e rb 1 1 L L W F dr e Brdr e B r e B W e L 1 B (Stmmt vom Betrag her mt dem Ergebns aus Aufgabe 3.1 überen.) Lk 1999/I 3. Ene Spule mt quadratschen Querschntt Kantenlänge a 5,cm bestzt de Wndungszahl N 1. Se hängt an ener Feder und taucht zur Hälfte n en nur nach oben begrenztes homogenes Magnetfeld der Flussdchte B,1T en. Befndet sch deses Federpendel n der uhelage, so verläuft de Obergrenze des Magnetfeldberechs durch de Spulenmtte. De Feldlnen des Magnetfeldes stehen senkrecht auf der Zechenebene, de Spulenachse st mmer parallel zu den Feldlnen. 3.1 De Spule wrd um,5cm angehoben und zum Zetpunkt t s losgelassen. Se vollführt danach annähernd ene ungedämpfte harmonsche Schwngung mt der Perodendauer T,6s. Geben Se de zugehörge Zet-Ort-Funkton y(t) der Spulenmtte an und berechnen Se den maxmalen Geschwndgketsbetrag v max. Bestmmen Se den zetlchen Verlauf der Induktonsspannung nd (t) zwschen den Enden der Spule und geben Se den maxmalen Spannungswert an. 3. De Spule wrd zu Begnn um mehr als,5cm angehoben; se schwngt deshalb mt ener Ampltude A,5cm. Skzzeren Se qualtatv den zetlchen Verlauf der Induktonsspannung für t ; T. W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 7

8 3.3 De Enden der Spulen werden nun kurzgeschlossen und es wrd das gleche Experment we n Telaufgabe 3.1 durchgeführt. Beschreben Se de Bewegung der Spule und begründen Se Ihre Antwort qualtatv. W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 8

9 1998/III. Ene rechteckge Leterschlefe (Setenlänge ) befndet sch zum Zetpunkt t s telwese (Entauchtefe b ) n enem scharf begrenzten, homogenen, zetlch konstanten Magnetfeld der Flussdchte B. Se wrd mt der konstanten Geschwndgket v aus deser Anfangsstellung (sehe Skzze) nach rechts ( v B, v ) herausgezogen; dabe wrd mt dem Voltmeter de Induktonsspannung gemessen. Der Betrag deser Spannung wrd mt bezechnet. Zum Zetpunkt t 1 verlässt de Leterschlefe das Magnetfeld. Im Folgenden st mechansche ebung zu vernachlässgen..1. Der magnetsch Fluss, der zum Zetpunkt t de Leterschlefe durchsetzt, wrd mt (t) bezechnet..1.1 Zegen Se, dass glt: (t) B b v t, wobe s t t1. Bem Herauszehen der Leterschlefe blebt de Kraftflussdchte B konstant. De sch m Magnetfeld befndendende und von der Leterschlefe engeschlossene Fläche ändert sch mt der Zet t. Zeht man de Leterschlefe um de Strecke s v t aus dem Feld, so glt für de m Feld verblebende Fläche: A(t) A s b vt b v t Für den Kraftfluss folgt: (t) A(t) B B b v t.1. Bestätgen Se ausgehend vom Induktonsgesetz und der Funkton (t) aus.1.1, dass für de Spannung glt: B v. (t) B b v t (t) B ( v) B v mt N 1 (t) N (t) B ( v) B v.. In enem Messversuch wrd de Abhänggket der Spannung vom Betrag der Geschwndgket v überprüft. Für 4,cm ergbt sch folgende Messrehe: Versuch Nr Geschwndgket v n cm s Spannung n mv,18,8,44,73..1 Zegen Se durch grafsche Auswertung der Messrehe, dass de Glechung k v glt, wobe k ene Konstante st. Massstab :5, 1cm;,1mV 1cm cm s W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 9

10 n mv v v n cm s Im ahmen der Mess- und Zechengenaugket legen de Punkte auf ener rsprungshalbgeraden v k v k konst. bzw... Ermtteln Se aus dem Dagramm de Konstante k und berechnen Se daraus den Betrag der magnetschen Flussdchte B. Es glt: Mt 3,551 V k 1,8 1 v 31 m s k v und B v folgt: 3 Vs m 3 Vs k 1,8 1 m k v B v B 45mT 4,1 m.3. Das Voltmeter wrd nun entfernt und durch enen Wderstand ersetzt. De geschlossene Leterschlefe bestzt nun enen Gesamtwderstand. Se wrd wederum, we n. beschreben, aus dem Magnetfeld herausgezogen, dabe fleßt n der Leterschlefe der Induktonsstrom I..3.1 Erklären Se anhand ener beschrfteten Skzze, welche de Orenterung der Flussdchte B und der Geschwndgket v enthält, das Zustandekommen des Induktonsstroms I. Tragen Se n Ihre Skzze den mlaufsnn des Induktonsstromes en und begründen Se desen. x x x x P x x x x B x x x x I techn. v Q x x x x Mt der Leterschlefe werden Elektronen mtbewegt. Da auf se de Lorentzkraft F ev B wrkt werden se m Leterstück zur Stelle Q transportert. Zwschen P und Q entsteht somt de Spannung B v. Somt wrkt das Leterstück als Spannungsquelle (P st Pluspol, Q st Mnuspol), welche den Strom n der W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng I 1

11 engezechneten chtung fleßen lässt. De zu v parallelen Leterstücke lefern kenen Betrag..3. Begründen Se ohne echnung, dass zur Aufrechterhaltung der konstanten Geschwndgket v ene konstante Zugkraft F Z auf de Leterschlefe wrken muss. x x x x P F1 x x x x F3 x x x x B Q x x x F x v Auf en stromdurchflossenes Leterstück der Länge wrkt m Magnetfeld de Kraft F I B. Da F1 F heben se sch n hrer Gesamtwrkung auf. Übrg blebt de Kraft F 3, de entgegen der Bewegungsrchtung der Leterschlefe wrkt. m nun de Leterschlefe weterhn mt konstanter Geschwndgket v bewegen zu können muss ene Zugkraft FZ F3 aufgebracht werden (de Summe aller wrkenden Kräfte muss Null sen). Also glt: FZ I B F I B konst. da I,, B kons tan t sn d Z.3.3 Zegen Se, durch allgemene Herletung, dass m Zetntervall s; t 1 für den Betrag der Zugkraft F Z glt: F Z B v Es glt nach.3.:.1. B v B FZ I B B B v W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 11

12 Erzeugung snusförmger Wechselspannungen (Induktonsspannungen) Ene rechteckge Spule mt N Wndungen und der Fläche A (sehe Skzze) wrd mt der Wnkelgeschwndgket T m homogenen Magnetfeld der Kraftflussdchte B gedreht. Zum Zetpunkt t s snd Flächennormale der Spule und Feldlnen zuenander parallel. a) Berechnen Se aus den gegebenen Größen de nduzerte Spannung (t). nd Für de wrksame Spulenfläche glt: A(t) A cos t A cos t B A (Flächennormale) dann glt: ( B steht senkrecht auf Spulenfläche) B A (Flächennormale) dann glt: ( B legt n der Spulenfläche) Ist B konst., dann folgt für den magnetschen Fluss: AB A Bcos t A Bsn t Für de nduzerte Spannung glt dann: (t) N N A Bsn t N A B sn t T T b) Zu welchen Zetpunkten beträgt de nduzerte Spannung V? (Drücken Se dese Zeten durch T aus.) 1 (t) sn t t n t nt n IN T T n c) Zu welchen Zetpunkten st der Betrag der nduzerten Spannung maxmal? (Drücken Se dese Zeten durch T aus.) st maxmal N max AB T 1 1 (t) N A B sn t T T, wenn: sn t 1 t n 1 t n T n IN T T n 4 d) Berechnen Se den Maxmalwert der nduzerten Spannung. N A B max T e) Berechnen Se den Wnkel zwschen der Spulenachse und den Feldlnen des Magnetfeldes, wenn de Momentanspannung glech dem halben Maxmalwert st? (t) N A Bsn t N A B sn t T max T 4 f) Welche Spannung wrd zum Zetpunkt t T nduzert? 5 8 max ( T) N A Bsn T N A Bsn,951N A B, T 5 5 W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 1

13 g) We ändert sch der Schetelwert der nduzerten Spannung, wenn de Frequenz verdrefacht wrd? N A B N A B f max Verdrefacht man de Frequenz f, so verdrefacht sch auch der Schetelwert der nduzerten Spannung. h) Welcher Schlefrng stellt n der Skzze den Pluspol dar? Der hntere Schlefrng stellt den Pluspol dar! Beantworten Se obge Fragen für den Fall, dass zum Zetpunkt t s de Spulenachse um 3 gegen de Feldlnen genegt st. Für de Phasenverschebung glt: 6 Durch geegnete Gestaltung der Abgrffe an den Spulenenden (Kollektor) kann man enen sogenannten pulserenden Glechstrom erzeugen: Für de elektrsche Arbet, de n der Zet T m Wechselstromkres verrchtet wrd, glt: dw W(t) P(t) (t) I(t) (t) I(t) dt dw (t) I(t) dt dw (t) I(t)dt T T T T 1 W T o (t) W (t) I(t)dt (t) dt 1 sn( t) dt T sn ( t)dt 1 cos(t) dt T 1 t sn( t) 4 1 T 1 sn( T T) sn() T In enem Glechstromkres wrd n der Zet T dagegen de elektrsche Arbet W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 13

14 verrchtet. W IT T Wrd nun n beden Kresen (Wechselstromkres und Glechstromkres) de gleche Arbet verrchtet, so glt: T T eff Man bezechnet eff als Effektvwert ener Wechselspannung mt dem Schetelwert. Analog glt: I Ieff En Wechselstrom mt dem Effektvwert I eff verrchtet n der Zet T de gleche Stromarbet we en Glechstrom mt der Stromstärke I. 6. Ene Feldspule erzeugt ene magnetsche Flussdchte von 1mT. In hr st ene quadratsche Induktonsspule mt 5 Wndungen und ener Setenlänge von a 5,cm drehbar angeordnet. Se rotert mt konstanter Wnkelgeschwndgket. De otatonsachse der Induktonsspule st dabe senkrecht zu den magnetschen Feldlnen der Feldspule angeordnet. Zum Zetpunkt t s steht der Flächenvektor der Induktonsspule senkrecht zu den Feldlnen der Feldspule. 6.1 Lete ene Formel für den zetlchen Verlauf der Induktonsspannung aus den n 6. angeführten Größen her. Es glt: A(t) A cos t a cos t a sn t t At B a B sn t t a B cos t (t) N t N a Bcos t max 6. Berechne de erforderlche Frequenz der Induktonsspule damt ene Effektvspannung von 4V erzelt wrd. max eff f N a B N a Bf 4V f 5,5m,1T 7, 1 Hz eff N a B W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 14

15 Der Erdnduktor Der Erdnduktor dent zur Bestmmung der magnetschen Flussdchte des Erdmagnetfeldes. m de chtung der magnetschen Feldlnen auf der Erde zu bestmmen benützt man ene Magnetnadel (Bld 1), mt der man zunächst de N-S-chtung ermttelt. Dann kann dese Magnetnadel n de Vertkalebene gedreht werden. Se st dann drehbar um ene horzontale Achse, sodass se den Wnkel anzegt, unter dem de Feldlnen gegen de Horzontale genegt snd. Deser Wnkel wrd Inklnatonswnkel genannt; er beträgt n München 64. De Messung der magnetschen Flussdchte wrd mt enem Erdnduktor (Bld ) durchgeführt, dessen drehbar gelagerte flache Spule 15 Wndungen und ene Spulenfläche von,93m hat. Nachdem de Spule ausgerchtet und n otaton versetzt wurde, wrd ene Specheroszlloskopaufnahme gemacht. Bld1 Bld a) In welche Hmmelsrchtung st de otatonsachse des Erdnduktors zu orenteren, damt be Drehung der Spule de magnetsche Flussdchte B des Erdmagnetfeldes bestmmt wrd? b) Be welcher Spulenstellung wrd de Schetelspannung errecht? c) Berechnen Se allgemen de magnetsche Flussdchte des magnetschen Erdmagnetfeldes. d) Berechnen Se de Horzontal- und de Vertkalkomponente der magnetschen Flussdchte. W. Stark; Beruflche Oberschule Fresng 15