11 Unabhängige Ereignisse

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1 11 Unabhängige Ereignisse In engem Zusammenhang mit dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit steht der Begriff der Unabhängigkeit von Ereignissen. Wir klären zuerst, was man unter unabhängigen Ereignissen versteht und zeigen anschließend wieder an Hand von zahlreichen Beispielen, wie man diesen Begriff bei der Behandlung von konkreten Problemen einsetzen kann Unabhängigkeit von Ereignissen In der Regel wird sich die eines Ereignisses A von der bedingten BD dieses Ereignisses A unter der Bedingung B unterscheiden. BD, so bedeutet das, dass die zusätzliche Information "das Ereignis B ist eingetreten" keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A hat. Beispiele für derartige Ereignisse sind ä Beim zweimaligen Werfen eines Würfels die beiden Ereignisse "beim ersten Wurf wird eine Drei geworfen" und "beim zweiten Wurf wird eine Sechs geworfen"; ä Beim zweimaligen Ziehen mit Zurücklegen von je einer Kugel aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln die beiden Ereignisse "beim ersten Zug wird eine rote Kugel gezogen" und "beim zweiten Zug wird eine schwarze Kugel gezogen"; ä Beim radioaktiven Zerfall einer vorgegebenen Substanz mit bekannter (im Verhältnis zur Beobachtungsdauer großer) Halbwertszeit die beiden Ereignisse "im 1, t 1 D zerfallen n 1 Teilchen" und "im dazu disjunkten 2, t 2 D zerfallen n 2 Teilchen". Nun sind aber die BD= gleichbedeutend, wobei letztere auch für Ereignisse B sinnvoll ist. Wir definieren daher Definition: Sei ein W-Maß auf dem Ereignisraum W. a) Die beiden Ereignisse A, BŒW heißen unabhängig, falls BD= b) Die Ereignisse A 1, A 2, ŒW heißen paarweise unabhängig, falls für alle i k i A k i k D c) Die Ereignisse A 1, A 2, ŒW heißen vollständig unabhängig, falls für jede Auswahl von kœ paarweise verschiedenen Ereignissen A i1, A i2,, A ik stets i1 A i2 A ik i1 i2 ik D Zu dieser Definition sind einige Bemerkungen angebracht: Die Unabhängigkeit von Ereignissen geht beim Übergang zu einem anderen W-Maß ' im allgemeinen verloren. Man spricht deshalb auch von der -Unabhängigkeit.

2 11_Unabhaengige_Ereignisse.nb 41 Die vollständige Unabhängigkeit der Ereignisse A 1, A 2, ŒW zieht ihre paarweise Unabhängigkeit nach sich; umgekehrt folgt aber aus der paarweisen Unabhängigkeit der Ereignisse A 1, A 2, ŒW nicht ihre vollständige Unabhängigkeit. Ist beispielsweise W=81, 2, 3, 4< und ist die Gleichverteilung auf dieser Menge W, so sind die drei Ereignisse A=81, 2<, B=81, 3< und C=82, 3< zwar paarweise unabhängig aber nicht vollständig unabhängig. Gilt für die Ereignisse A 1, A 2,, A n 1 A 2 A n 1 2 n D so folgt daraus noch nicht, dass diese Ereignisse vollständig unabhängig sind. Ist etwa W=81, 2,, 8< und ist die Gleichverteilung auf der Menge W, so gilt für die Ereignisse A=81, 2, 3, 4<, B=81, 2, 5, 6<, C=81, 5, 7, 8< @CD Unabhängige Ereignisse besitzen einige elementare, für praktische Belange jedoch sehr wichtige Eigenschaften: Satz: Sei ein W-Maß auf dem Ereignisraum W. a) Ersetzen von Ereignissen durch ihr Komplement: Sind die Ereignisse A 1, A 2, ŒW paarweise bzw vollständig unabhängig, und ersetzt man einige dieser Ereignisse A i durch ihr Komplement A i c, so bleibt ihre paarweise bzw vollständige Unabhängigkeit erhalten. b) Siebformel von SYLVESTER: Sie die Ereignisse A 1, A 2,, A n ŒW vollständig unabhängig, so 1 A 2 A n 1 2 DL n DL Beweis: a) Wir zeigen exemplarisch: Sind die beiden Ereignisse A und B unabhängig, so B c c D b) Sie die Ereignisse A 1, A 2,, A n ŒW vollständig unabhängig, so gilt wegen 1 A 2 A n c 1 A2 c An c c c c D= = 1 2 DL n DL 11.2 Beispiele An einigen typischen Beispielen werden wir nun zeigen, wie der Begriff der Unabhängigkeit von Ereignissen angewendet werden kann Beispiel: Zwei Münzen werden geworfen. Es soll geprüft werden, ob drei zufälligen Ereignisse A :=8erste Münze zeigt Kopf<=8KK, KZ< B :=8zweite Münze zeigt Kopf<=8KK, ZK< C :=8genau eine Münze zeigt Kopf<=8KZ, ZK< vollständig unabhängig zueinander sind. Lösung: In diesem Experiment treten die obigen Ereignisse mit folgender @CD= 1 2 Die Ereignisse A, B, C sind paarweise unabhängig

3 42 BD= 1 @A CD= 1 @B CD= 1 Wegen A B C= 0 und @CD= 1 8 sind die 3 zufälligen Ereignisse nach der Definition nicht vollständig unabhängig, obwohl sie paarweise unabhängig sind Beispiel (Intaktwahrscheinlichkeit des Systems): Die Intaktwahrscheinlichkeit p S eines Systems S beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der das System fehlerfrei läuft. Mit H1- pl wird die Wahrscheinlichkeit des Systemausfalls beschrieben. Ein System bestehe aus vier vollständig unabhängigen Komponenten K 1, K 2, K 3 und K 4 (Abbildung), welche jeweils eine Intaktwahrscheinlichkeit p besitzen. Die Komponente K 3 stellt hierbei ein Backup-System für die Komponenten K 1 und K 2 dar. Bei der Analyse des Systems S stellt sich die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit der das System S ausfällt? Lösung: Die Intaktwahrscheinlichkeit des Systems S ist p S 1 intakt S intaktd= 1 defektdl p Ausfallwahrscheinlichkeit des Teilsystems S 1 1 defekt K 2 defektl K 3 1 defekt K defekt K defekt K 2 defektd=1- p+ 1- p-h1- pl 2 = 1- p 1 defektd=h1- p 2 LH1- pl=1- p- p 2 + p 3 Durch Einsetzen p S =H1-H1- p- p 2 + p 3 LL p= p 2 H1+ p- p 2 L

4 11_Unabhaengige_Ereignisse.nb 43 S Nimmt man an, die Intaktwahrscheinlichkeit jeder Komponente ist gleich 0.9, ergibt sich für die Intaktwahrscheinlichkeit des Systems S p S = H L= Beispiel: Durch einen Kanal werden zwei Kodeworte und mit den Wahrscheinlichkeiten 0.7 (bzw 0.3) übertragen. Bei der Übertragung können Störungen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Symbol (0 oder 1) richtig empfangen wird, ist 0.6. Es wird angenommen, daß alle Symbole voneinander unabhängig gestört werden. Der Empfänger hat das Wort registriert. Welches von beiden Worten wurde mit größerer Wahrscheinlichkeit gesendet? Lösung: Definieren wir folgende Ereignisse A :={das Wort wird registriert} und B 1 Hbzw B 2 L :={die Kombination (bzw ) wird übertragen} Aus der Angabe entnimmt 1 D=0.7 2 D=0.3. Die beiden Ereignisse B 1 und B 2 bilden offenbar ein vollständiges 1 2 D=1 Es wird angenommen, daß die Symbole unabhängig gestört werden, d.h. die bedingte B 1 D B 2 D werden wir folgt B 1 D=0.6µ 0.4µ 0.6µ 0.6µ 0.4=0.035 ( fl B 2 D=0.4µ 0.6µ 0.4µ 0.4µ 0.6=0.023 ( fl ) Damit ergibt sich aus dem Satz von Bayes für die 1 AD 2 A B [B 1 A] = 1 1 A B 1 1 A B 2 2 D = 0.035ÿ µ µ0.3 = A B [B 2 A] = 2 2 A B 1 1 A B 2 2 D = 0.023ÿ µ µ0.3 = 1 2 AD fl Wenn die Kombination `10110 wird registriert, dann mit größer Warhrscheinlichkeit 0.78 wird das Kodewort gesendet Beispiel (Die Formel von BERNOULLI): Gegeben sind die vollständig unabhängigen, gleichwahrscheinlichen Ereignisse A 1, A 2,, A n ŒW. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau k dieser Ereignisse A 1, A 2,, A n eintreten? Lösung: Wir bezeichnen mit i D die für alle iœ81, 2,, n< gleichen Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A i und für alle Teilmengen I Œ81, 2,, n< der Mächtigkeit k mit B I das Ereignis B I =H A i L H iœi iœi c A i c L Ersetzt man einige der Ereignisse A 1, A 2,, A n durch ihr Komplement, so beeinflusst dies wegen Satz ihre vollständige Unabhängigkeit nicht. Damit gilt für alle Teilmengen I Œ81, 2,, n< mit k Elementen

5 44 I A i L H iœi A iœi c i c LD= i D iœi i c D = p k H1- pl n-k Für die Wahrscheinlichkeit des uns interessierenden Ereignisses B, dass genau k der Ereignisse A 1, A 2,, A n eintreten, gilt damit (aus der Menge 81, 2,, n< lassen sich bekanntlich auf "n über k" verschiede Arten Teilmengen I mit der Mächtigkeit B I I D=K n k O pk H1- pl n-k IŒ81,2,,n< IŒ81,2,,n< I =k I =k Beispiel: Durch einen Kanal werden n unabhängige Kodeworte übertragen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Kodewort richtig empfangen wird, ist 0.9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das mindestens m n aller Kodeworte richtig empfangen werden? Lösung: Wir bezeichnen mit A i das Ereignis das i-te ausgewählte Kodewort wird richtig empfangen, i D=0.9. Aus der Formel von BERNOULLI ergibt sich damit für das Ereignis B k, dass sich unter n ausgewählten Kodeworten genau k richtig emfangen werden, die Wahrscheinlichkeit AB k E=K n k O 0.9k 0.1 n-k und damit n n n Bk D D = H k L pk H1- pl n-k k=m k=m k=m pb@m_, n_, p_d := SumBBinomial@n, kd p k H1 - pl n-k, 8k, m, n<f; Manipulate@If@m n, pb@m, n, pdd, 8n, 1, 1000, 1, Appearance Æ "Labeled"<, 8m, 1, 1000, 1, Appearance Æ "Labeled"<, 8p, 0, 1, 0.1, Appearance Æ "Labeled"<D n 1000 m 852 p 0.9 pb@852, 1000, 0.9D Beispiel: Wieviele Zahlen muß man einer Tabelle von im 1D gleichverteilten Zufallszahlen (mit jeweils 5 Stellen) entnehmen, um mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit sicher zu stellen, dass sich unter den ausgewählten Zahlen genau drei befinden, die mit einer 7 enden? Lösung: Wir bezeichnen mit A i das Ereignis "die i-te ausgewählte Zufallszahl endet mit einer 7". Die Ereignisse A 1, A 2, sind vollständig unabhängig und es gilt i D=1ê10. Aus der Formel von BERNOULLI ergibt sich

6 11_Unabhaengige_Ereignisse.nb 45 i damit für das Ereignis B, dass sich unter n ausgewählten Zufallszahlen genau drei befinden, welche mit einer 7 enden, die n 3 O n-3 Wir werten diese Formel mit Hilfe von Mathematica aus Table@8n, Binomial@n, 3D n-3 <, 8n, 20, 40<D 8820, <, 821, <, 822, <, 823, <, 824, <, 825, <, 826, <, 827, <, 828, <, 829, <, 830, <, 831, <, 832, <, 833, <, 834, <, 835, <, 836, <, 837, <, 838, <, 839, <, 840, << und erkennen, dass für n = 29 bzw n = 30 die Wahrscheinlichkeit mit dafür am größten ist, dass sich unter n im 1D gleichverteilten Zufallszahlen genau drei befinden, die mit einer 7 enden Beispiel (Das Telefonanschluss-Problem): Eine Telefonzentrale bedient n = 100 Teilnehmer. Jeder Teilnehmer benötigt sein Telefon unabhängig von den anderen Teilnehmern durchschnittlich 12 Minuten pro Stunde. Wieviele Amtsleitungen a sind erforderlich, um sicherzustellen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% alle Teilnehmer, die telefonieren wollen, sofort bedient werden können. Lösung: Wir wählen zufällig einen Zeitpunkt aus und bezeichnen mit A i das Ereignis "der i-te Teilnehmer benötigt zu diesem Zeitpunkt sein Telefon". Aus der Angabe entnimmt man, dass die Ereignisse A 1, A 2,, A n vollständig unabhängig sind und i D=1ê5 ist. Bezeichnen wir mit B k das Ereignis "von den n=100 Teilnehmern benötigen genau k Teilnehmer zu diesem Zeitpunkt ihr Telefon" und mit C m das Ereignis "mit m Amtsleitungen können zu diesem Zeitpunkt alle Teilnehmer bedient werden", so folgt aus der Formel von BERNOULLI m m m m Bk D= K k O pk H1- pl n-k k=0 k=0 k=0 Wir werten diese Formel mit Hilfe von Mathematica aus n = 100; p = 1ê5; Table@8m, Sum@Binomial@n, kd p k H1-pL n-k, 8k, 0, m<d êê N<, 8m, 20, 30<D Clear@n, pd 8820, <, 821, <, 822, <, 823, <, 824, <, 825, <, 826, <, 827, <, 828, <, 829, <, 830, << und erkennen, dass jedenfalls a = 25 Amtsleitungen erforderlich sind, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% alle Teilnehmer, die telefonieren wollen, sofort bedienen zu können.