Tabelle 1 Tabelle 2. a) Stellen Sie die Variablen U und F und die Variablen Y und C in jeweils einer Abbildung graphisch dar.

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1 1 Deterministische und Stochastische Modelle 1 Kapitel 1: Deterministische und Stochastische Modelle A: Beispiele Beispiel 1: In den beiden folgenden Tabellen sind Wertepaare von jeweils zwei Variablen gegeben. Tabelle 1 enthält den Umfang U und den Flächeninhalt F von 10 verschiedenen Kreisen. Tabelle 2 enthält die Höhe des verfügbaren Einkommens Y und des privaten Verbrauchs C der Bundesrepublik Deutschland in den Halbjahren (aus: Genesis Online: Das statistische Informationssystem). Kreis U(cm) F(cm 2 ) Halbjahr Y [Mrd.EUR] C[Mrd.EUR] Hj Hj Hj Hj Hj Hj Hj Hj Tabelle 1 Tabelle 2 a) Stellen Sie die Variablen U und F und die Variablen Y und C in jeweils einer Abbildung graphisch dar. b) Handelt es sich bei den hier sichtbar werdenden Zusammenhängen um stochastische oder um deterministische Zusammenhänge? c) Welchen Flächeninhalt hat ein Kreis mit einem Umfang U von cm? Sagen Sie den Flächeninhalt F aufgrund der graphischen Darstellung voraus und berechnen Sie ihn analytisch. (Hinweis : F = πr 2, U = 2πr, r = Radius des Kreises, π = ) F = d) In welcher Höhe würden Sie den halbjährlichen privaten Verbrauch C erwarten, falls in einem Halbjahr das verfügbare Einkommen Y der Bundesrepublik Deutschland 680 Mrd. EUR betragen würde? Welche Annahme wird bei dieser Prognose unterstellt? prognostizierter Konsum

2 1 Deterministische und Stochastische Modelle 2 Lösung: a) F(cm 2 ) C (Mrd. EUR) U(cm) Y (Mrd. EUR) Bild 1 Bild 2 b) Der Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Kreisflächeninhalt ist deterministisch. Der Zusammenhang zwischen verfügbarem Einkommen und privatem Verbrauch ist stochastisch. c) Aus der graphischen Darstellung kann man bei einem Umfang von cm einen Flächeninhalt von etwa 28 cm 2 ablesen. Berechnung: Aus der Formel U = 2πr folgt r = U 2π und damit F = πr2 = π U2 4π 2 = U 2 4π. Mit dieser Formel kann F in Abhängigkeit von U berechnet werden. Insbesondere für U = ergibt sich F = = Das Kästchen für Aufgabe c) sollte dann wie folgt aussehen: 4π F = Hinweis zur Bewertung in der Klausur: Für jedes Kästchen werden 2 Punkte vergeben. Zu beachten ist, dass lediglich das Ergebnis in das Kästchen einzutragen ist. D.h. keine Rechnung, persönliche Anmerkungen o.ä.. Wenn in der Aufgabe nichts anderes gefordert wird, ist das Ergebnis immer auf drei Nachkommastellen kaufmännisch zu runden (d.h. hier: ). Wenn auf zwei Nachkommastellen gerundet werden soll, dann lautet das Ergebnis: Brüche müssen vollständig gekürzt werden.

3 1 Deterministische und Stochastische Modelle 3 d) Unterstellt man die eingezeichnete Gerade als stochastisches Modell, so kann man aus der graphischen Darstellung bei einem verfügbaren Einkommen von Y = 680 Mrd. EUR einen privaten Verbrauch von etwa C = 620 Mrd. EUR ablesen. Diese Prognose wurde unter der Annahme getroffen, dass der hier erkennbare stochastische Zusammenhang auch für das Halbjahr gilt, in dem ein verfügbares Einkommen von 680 Mrd. EUR gemessen wurde. Das richtig ausgefüllte Kästchen sieht dementsprechend wie folgt aus: prognostizierter Konsum 620 Beispiel 2: Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. Sie benötigen 5 Zufallszahlen zwischen 0 und 9 und haben weder Computer noch Tabellen zur Verfügung. Sie erhalten 5 Zufallszahlen, wenn Sie... a) einen Bekannten bitten, Ihnen 5 Zahlen zwischen 0 und 9 aufzuschreiben. b) 2 Würfel werfen und die Augensumme als Zufallszahl nehmen, wenn sie kleiner als 10 ist. c) die Ziffern von 0 bis 9 auf 10 Zettel schreiben und sie in einen Beutel stecken. Dann ziehen Sie einen Zettel aus dem Beutel, ohne hinein zu sehen, schreiben sich die gezogene Ziffer auf, legen den Zettel in den Beutel zurück und mischen gründlich. Dieses Verfahren wiederholen Sie fünfmal. d) nacheinander und unabhängig voneinander fünf Passanten in der Göttinger Fußgängerzone bitten, Ihnen je eine Zahl zwischen 0 und 9 zu nennen. e) von 0 bis 9 durchnummerierte Kugeln in eine Urne geben, gut mischen und 5 mal blind mit Zurücklegen ziehen. Lösung: Eine Zufallszahl zwischen 0 und 9 erhält man dann, wenn alle Ziffern die gleiche Chance haben, in die Auswahl zu gelangen. Beurteilung der 5 Möglichkeiten: Möglichkeiten a) und d): Bei diesen Verfahren trifft man eine willkürliche, keine zufällige Auswahl. Ohne dass es dem Bekannten oder den Passanten bewusst ist, werden sie evtl. einige Ziffern gegenüber anderen bevorzugen. Bei dem Bekannten besteht außerdem die Gefahr, dass er vielleicht unbewusst nicht bereit ist, eine Ziffer mehrfach auszuwählen, so dass die Chancen nicht mehr für alle Ziffern gleich sind, nachdem er schon einige aufgeschrieben hat.

4 1 Deterministische und Stochastische Modelle 4 Möglichkeit b): Die Chancen der Ziffern sind nicht gleich. Z.B. haben die 0 und die 1 überhaupt keine Chance, ausgewählt zu werden, die 2 wird nur dann ausgewählt, falls mit beiden Würfeln eine 1 geworfen wird, während z.b. die 5 durch 4 verschiedene Würfe (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) ausgewählt wird. Möglichkeiten c) und e): Durch diese Verfahren erhält man echte Zufallszahlen. Da nach jedem Ziehen der gezogene Zettel (bzw. die gezogene Kugel) zurückgelegt wird und alle Zettel (Kugeln) gemischt werden, haben alle Ziffern bei jedem Zug die gleiche Chance, ausgewählt zu werden. Hinweis zur Bewertung von Ankreuzaufgaben in der Klausur: Maximal können bei einer Multiple Choice Aufgabe 2 Punkte erreicht werden. Dabei sind mindestens zwei Antworten wahr. Es ist möglich, dass alle Aussagen wahr sind. Für jedes falsch oder nicht gesetzte Kreuz wird 1 Punkt abgezogen. Weniger als 0 Punkte (also Minuspunkte ) können jedoch nicht erreicht werden. Das bedeutet beispielhaft für die obige Aufgabe: Hat man nur c) angekreuzt, wird 1 Punkt abgezogen, da Antwort e) nicht angekreuzt wurde. Man erhält insgesamt 1 Punkt. Kreuzt man c) und d) an, wird 1 Punkt für die fehlende richtige Antwort e) abgezogen, sowie 1 Punkte für das falsch gesetzte Kreuz für Antwort d). Man erhält 0 Punkte. B: Übungsaufgaben [ 1 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Zwischen dem Konsum und dem Einkommen in einer Volkswirtschaft besteht ein stochastischer Zusammenhang. b) Zwischen dem Umfang und dem Durchmesser eines Kreises besteht ein deterministischer Zusammenhang. c) Zwischen der erreichten Punktzahl der Statistik - Klausur WS 2007/08 und ihrem Schwierigkeitsgrad besteht ein deterministischer Zusammenhang. d) Zwischen der Häufigkeit, mit einem fairen Würfel eine sechs zu werfen, und der Anzahl der ausgeführten Würfe besteht ein stochastischer Zusammenhang. e) Zwischen der Größe eines Winkels und der Größe der beiden anderen Winkel in einem Dreieck besteht ein stochastischer Zusammenhang.

5 1 Deterministische und Stochastische Modelle 5 [ 2 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. Wenn Sie ein gutes stochastisches Modell für das Wachstum eines Baumes zur Verfügung haben, dann können Sie... a) die Wahrscheinlichkeit angeben, dass der Baum in 10 Jahren die Höhe von 10 m überschreitet. b) genau sagen, ob der Baum jemals eine Höhe von 10 m erreichen wird. c) sagen, ob der Baum im nächsten Jahr vom Blitz getroffen wird. d) die Höhe berechnen, die der Baum in 10 Jahren mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erreichen wird. e) genau berechnen, wieviel Holz aus diesem Baum nach 50 Jahren gewonnen werden kann. [ 3 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Menge der mit einem Taschenrechner darstellbaren Zahlen im Intervall (0, 1) ist überabzählbar. b) Die Anzahl der bei einem Schwimmwettbewerb gestoppten Zeiten der m Lagenstaffeln der Herren ist endlich. c) Das Körpergewicht der Teilnehmer an einer Statistikvorlesung ist ein stetiges Merkmal. d) Die Stärke des Geräuschpegels gegen Ende einer Statistik-Übung ist ein diskretes Merkmal. e) Die Stückzahl an verkauften Singles einer Popgruppe als Maß ihrer Beliebtheit ist ein diskretes Merkmal. [ 4 ] Die folgende Tabelle gibt beobachtete Wertepaare der diskreten Variablen X und Y an: x i y i Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Es besteht ein deterministischer Zusammenhang zwischen den beiden Variablen. b) Es liegt ein stochastischer Zusammenhang vor. c) Man kann keine Aussage über den Zusammenhang der beiden Variablen machen. d) Falls ein stochastischer Zusammenhang besteht, ist für einen festen x - Wert der zugehörige y - Wert eindeutig bestimmt. e) Stellt man die Wertepaare graphisch dar, so sieht man: Die y Werte steigen tendenziell mit steigenden x Werten.

6 1 Deterministische und Stochastische Modelle 6 [ 5 ] Ein Quadrat habe die Seitenlänge a. Die Diagonale c des Quadrates berechne sich dann durch: c = a 2. a) Die Seitenlänge des Quadrates betrage 4cm. Berechnen Sie c. c = b) Berechnen Sie a bei einer Diagonalenlänge von c = 8cm. a = [ 6 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Zwischen dem Verkaufspreis eines Buches und dessen Seitenzahl besteht ein deterministischer Zusammenhang. b) Zwischen der Länge der Diagonalen und der Seitenlänge eines Quadrates besteht ein deterministischer Zusammenhang. c) Zwischen dem Flächeninhalt eines Kreises und seinem Radius besteht ein deterministischer Zusammenhang. d) Zwischen der Anzahl der Wähler, die sich an der Bundestagswahl beteiligen, und der Zahl der Wahlberechtigten besteht ein stochastischer Zusammenhang. e) Wenn zwischen den Variablen x und y die Beziehung y = mx + b (m und b sind konstant) gilt, so ist der Zusammenhang stochastisch. [ 7 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Anzahl der an einem Tag in einer Mc-Donald s-filiale verzehrten Hamburger ist ein diskretes Merkmal. b) Die Anzahl der Studenten, die den Blauen Turm an einem Montag betreten ist ein diskretes Merkmal. c) Der jährliche Wasserverbrauch in Göttingen ist ein stetiges Merkmal. d) Die Zahl der monatlichen Autounfälle in Göttingen ist ein stetiges Merkmal. e) Der Geräuschpegel in einer Vorlesung ist ein stetiges Merkmal.

7 1 Deterministische und Stochastische Modelle 7 [ 8 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Deterministische Modelle sind zum Beschreiben von zufälligen Ereignissen geeignet. b) Der Zusammenhang zwischen dem Umsatz eines Unternehmens und den Absatzmengen ist deterministisch, sofern die Absatzpreise fest vorgegeben sind. c) Falls ein stochastischer Zusammenhang zwischen zwei Größen x und y besteht, so kann bei bekanntem x-wert der Wert von y genau bestimmt werden. d) Wird ein Phänomen durch ein Modell beschrieben, in dem nicht alle Einflussfaktoren explizit berücksichtigt werden können, so ist dieses Phänomen stochastisch. e) Stochastische Modelle können dazu genutzt werden, Aussagen über Wahrscheinlichkeiten zu machen. [ 9 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. Eine genügend abgegrenzte Grundgesamtheit wird gebildet durch a) die Hörer einer bestimmten Statistik - Vorlesung an der Universität Göttingen im WS 2007/08 am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften. b) die Wahlberechtigten der Landtagswahl in Niedersachsen am im Wahlkreis 28 nach der Wählerliste. c) die am zugelassenen Kraftfahrzeuge mit den Göttinger Kennzeichen nach der gültigen, amtlichen Liste der zuständigen Zulassungsstelle. d) die Zahl der Göttinger Studenten der Betriebswirtschaft, die bis zum Ende des SS 2009 ihren Bachelor mit einer Abschlussnote von 2.5 erwerben konnten. e) die Gesamtheit aller am auf dem Göttinger Campus stehenden Ahornbäume. [ 10 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die induktive Statistik stellt Methoden bereit, mit deren Hilfe Aussagen über die Verteilung eines oder mehrerer Merkmale in einer Grundgesamtheit möglich sind. b) Es ist grundsätzlich zweckmäßiger, Aussagen aufgrund von Vollerhebungen anstelle von Teilerhebungen zu treffen. c) Die Grundgesamtheit, über die man Aussagen machen will, ist zeitlich, räumlich und sachlich abzugrenzen. d) Die induktiven Schlüsse, die sich aus Stichprobendaten ableiten, beschreiben die Grundgesamtheit exakt. e) Die deskriptive Statistik befasst sich mit der Gewinnung, Aufbereitung und Darstellung von Daten.

8 1 Deterministische und Stochastische Modelle 8 [ 11 ] Aus einer Grundgesamtheit soll eine Stichprobe gezogen werden. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Grundgesamtheit muss zeitlich und sachlich abgegrenzt werden. b) Die Grundgesamtheit muss regional abgegrenzt werden. c) Die Grundgesamtheit muss in verschiedene Teilgesamtheiten zerlegt werden. d) Die Grundgesamtheit ist die Menge der Objekte, Personen oder anderer Dinge, über die wir Informationen gewinnen möchten. e) Die Grundgesamtheit muss aus materiellen Objekten bestehen. [ 12 ] Aus der Einwohnerkartei der Stadt Göttingen soll eine Stichprobe gezogen werden. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. Folgende Vorgehensweisen führen zu einer zufälligen Stichprobe: a) Jeder der Angestellten der Stadtverwaltung Göttingen darf einige Karteikarten aussuchen. b) Die Kartei wird durchnumeriert und mit Hilfe von Zufallszahlen wird eine Auswahl getroffen. c) Jeder, der im November 2007 an seinen Eintragungen etwas ändern lässt, kommt in die Auswahl. d) Die Karteikarten werden nach männlichen und weiblichen Einwohnern sortiert und beide Stapel durchnumeriert. Mit Hilfe von Zufallszahlen wird aus beiden Stapeln im Verhältnis ihres Anteils in der Grundgesamtheit ausgewählt. e) Alle Einwohner, die im Mai geboren sind, kommen in die Stichprobe. [ 13 ] Für eine Dopingprobe soll von sechs Spielern einer Mannschaft, denen die Startnummern 1,2,3,...,6 zugeordnet wurden, eine Person mit Hilfe eines fairen Würfels zufällig ausgewählt werden. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. Folgende Vorgehensweisen führen zu einer zufälligen Stichprobe: a) Die Spieler dürfen nacheinander würfeln. Wer als Erster eine Sechs würfelt, wird ausgewählt. b) Es wird einmal gewürfelt. Der Spieler, dessen Startnummer mit der geworfenen Augenzahl übereinstimmt, wird ausgewählt. c) Es wird sechsmal gewürfelt und der Mittelwert der geworfenen Augenzahlen berechnet. Der Spieler, dessen Startnummer am nächsten am berechneten Mittelwert liegt, wird ausgewählt. Im Zweifelsfall entscheidet das Los. d) Die Spieler dürfen nacheinander würfeln. Der Spieler, der als Erster die Augenzahl würfelt, die genau seiner Startnummer entspricht, wird ausgewählt. e) Jeder Spieler darf einmal würfeln. Der Spieler, der die höchste Augenzahl würfelt, wird ausgewählt. Haben mehrere Spieler diese Augenzahl erreicht, so entscheidet zwischen diesen Spielern das Los.

9 1 Deterministische und Stochastische Modelle 9 [ 14 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Eine zufällige Stichprobe aus einer endlichen Grundgesamtheit erhält man beispielsweise, indem man die Namen der Mitglieder der Grundgesamtheit auf gleich große Zettel schreibt, die Zettel in eine Schachtel wirft und nach sorgfältigem Mischen eine Anzahl von Zetteln aus der Schachtel zieht und die entsprechenden Mitglieder der Grundgesamtheit als ausgewählt betrachtet. b) Eine zufällige Stichprobe erhält man, wenn man allen Mitgliedern einer Grundgesamtheit fortlaufende Nummern zuordnet und dann mittels Zufallszahlentafel die Stichprobenmitglieder auswählt. c) Nominalskalierte Merkmale können entweder diskret oder stetig sein. d) Merkmale, deren Ausprägungen sich nur durch ihren Namen unterscheiden, heißen ordinalskaliert. e) Beim Schwierigkeitsgrad einer Klettertour handelt es sich um ein ordinalskaliertes Merkmal. [ 15 ] Betrachten Sie Abbildung 1.1 im Skript und versuchen Sie folgende Aufgaben nur mit der Grafik zu lösen. a) Wie lange schwingt das Pendel bei einer Länge von 8m? Schwingungsdauer = b) Wie lang ist das Pendel, wenn es 3 Sekunden lang schwingt? Länge = [ 16 ] Betrachten Sie Abbildung 1.2 im Skript. a) Sagen Sie die Flugzeit in Minuten vorher, wenn die Flugstrecke 1000 Meilen beträgt. Flugzeit b) Wie groß ist die Flugstrecke in Meilen ungefähr, wenn die Flugzeit 50 Minuten beträgt? Flugstrecke

10 1 Deterministische und Stochastische Modelle 10 [ 17 ] Betrachten Sie Abbildung 1.3 im Skript und beachten Sie, dass die Höhe der Rechtecke proportional zu dem Anteil der Beobachtungen im entsprechenden Intervall ist. a) Wieviele Blockzeiten waren kürzer oder gleich 180 Minuten? Wie würden Sie die Frage nur mit Hilfe der Abbildung lösen? b) Beantworten Sie diesselbe Frage mit Tabelle 1.2 im Skript. Anzahl Blockzeiten= [ 18 ] Betrachten Sie Abbildung 1.21 im Skript. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Brenndauer kleiner oder gleich 1000 Stunden oder größer als 1500 Stunden ist? P(Brenndauer 1000 oder Brenndauer > 1500) = [ 19 ] Betrachten Sie Abbildung 1.22 im Skript. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Brenndauer kleiner als 1600 Stunden ist? P(Brenndauer < 1600) = b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Brenndauer kleiner als 800 Stunden ist? P(Brenndauer < 800) =

11 1 Deterministische und Stochastische Modelle 11 C: Lösungen 1) a, b, d 2) a, d 3) b, c, e 4) b, e 5) 5.657; ) b, c, d 7) a, b, c, e 8) b, d, e 9) a, b, c, d, e 10) a, c, e 11) a, b, d 12) b, d 13) b, e 14) a, b, e 15) 6; 2 16) 140; ) Häufigkeit pro Klasse ergibt sich aus Höhe des Rechtecks über der Klasse multipliziert mit Gesamthäufigkeit und Klassenbreite. Zu betrachten sind hier die ersten drei Rechtecke. Die Summe der Häufigkeiten dieser Rechtecke ergibt die Blockzeiten kürzer oder gleich 180 Minuten; 73 18) ) 0.99; 0.08