2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

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1 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments abhängt, z.b. - Werfen zweier Würfel: X = Augensumme - Ziehen von n aus N = R + S Kugeln: Y = Anzahl der gezogenen roten Kugeln { - ω Zufallszahl in (0,): Z =, ω /2 0, ω > /2 - Ziehen von n aus N = N N k Kugeln: (X,...,X k ), wobei X i = Anzahl Kugeln der Farbe i u.s.w. Formal: Abbildung X : Ω X. Bei X - abzählbar: diskrete Zufallsvariable (ZV.) - R : reelle ZV. - R k : (k-dim.) Zufallsvektor X ist nicht beliebig, sondern so, dass die Mengen {X B} := {ω X(ω) B} = X (B) = X liegt in B für B B, B σ-algebra in X, eine Wahrscheinlichkeit besitzen; genauer: Definition 2.. Seien (Ω, A,P) ein W-Raum, X : Ω X eine Abbildung und B eine σ-algebra in X. X heißt Zufallsvariable (auf Ω mit Werten in X ), falls {X B} A B B ( Messbarkeit ) Schreibweise : X : (Ω, A) (X, B) 5

2 Bemerkung 2.. a) Das W-Maß P geht nicht in die Definition der ZV. ein, aber die Messbarkeit bewirkt, dass P(X B) für alle B B definiert ist. b) Falls A = P(Ω) (z.b. bei diskreten W-Räumen), so ist jede Abbildung X : Ω X eine ZV. c) Bei X = R, B = B = Borel-σ-Algebra, genügt es zu fordern (vgl. Wahrscheinlichkeitstheorie ), dass gilt: {X (a,b)} A (a,b) R. Durch eine ZV. X findet ein Übergang statt von einem (Urbild-) W-Raum (Ω, A,P) in einen (Bild-) W-Raum (X, B,P X ), wobei das W-Maß P X im Bildraum durch X und P wie folgt festgelegt ist: (2.) P X (B) := P(X B) = P(X (B)) B B. Satz 2.. Seien (Ω, A,P) ein W-Raum und X : (Ω, A) (X, B) eine Zufallsvariable. Dann ist durch (2.) ein W-Maß P X auf B definiert, d.h. (X, B,P X ) ist (wieder) ein W-Raum. Definition 2.2. Das durch X und P auf B induzierte W-Maß P X (W-)Verteilung der ZV. X. heißt Bemerkung 2.2. Jedes W-Maß P kann als Verteilung einer ZV. X aufgefasst werden. Man wähle, bei gegebenem (Ω, A,P), etwa X = Ω, B = A, X = id Ω [= P X = P ]. Dies führt dazu, dass anstelle von W-Modellen (Ω, A, P) häufig direkt Modelle für ZV. X angegeben werden, etwa (X, B,P X ). Beispiel 2.. a) Ziehen von n aus N = R + S Kugeln (mit Zurücklegen): X = Anzahl gezogener roter Kugeln W-Modell: (X, B,P X ), wobei X = {0,,...,n}, B = P(X) und P X (B) = ( n ( )p k ( p) n k p = R ) k N k B Es genügt die Angabe von: P X ({k}) = ( n k) p k ( p) n k (k = 0,,...,n). b) X = Anzahl von Schadenfällen in einer KFZ-Versicherungsklasse pro Jahr 6

3 W-Modell: (X, B,P X ), wobei X = N 0, B = P(N 0 ), P X ({k}) = λk k! e λ (k = 0,,... ; λ > 0, fest) c) U = Zufallszahl aus (0, ) W-Modell: (X, B,P U ), wobei X = (0, ), B = Borel-σ-Algebra und P U ( (a,b) ) = b a (a,b) (0, ) Bemerkung: Dies legt eindeutig ein W-Maß P U auf B fest (vgl. Wahrscheinlichkeitstheorie : Existenz und Eindeutigkeit von Maßfortsetzungen). d) T = Lebensdauer einer Festplatte W-Modell: (X, B,P T ), wobei X = [0, ), B = Borel-σ-Algebra, und ( ) b P T (a,b) = λe λt dt (a,b) [0, ) a (λ > 0, fest) P T =: Exp(λ) heißt Exponentialverteilung mit Parameter λ. Das Zufallsgeschehen der ZV. X wird vollständig durch P X beschrieben. Ist X reellwertig, so ist P X eindeutig durch die (so genannte) Verteilungsfunktion von X festgelegt: Definition 2.3. Sei (X, B,P X ) W-Modell einer reellen ZV. X. Die Abbildung F = F X : R [0, ] mit ( ) F(x) := P(X x) = P X (,x], x R, heißt Verteilungsfunktion (VF.) von X (bzw. zu P X ). Beispiele 2. (Fortsetzung) a) B(n,p) - Verteilung: F ist stückweise konstant mit Sprüngen in k der Höhe ( ) n p k = p k ( p) n k (k = 0,,...,n) k b) π λ - Verteilung: analog F stückweise konstant, Sprunghöhe in k : λ k k! e λ (k N 0 ) 7

4 c) R(0, ) - Verteilung: u (0, ) : F(u) = P(U u) = P(U (0,u]) = u u 0 : F(u) = 0 ; u : F(u) = d) Exp(λ) - Verteilung: t > 0 : F(t) = P(T t) = P(T [0,t]) = t 0 : F(t) = 0 t 0 λe λx dx = e λt Verteilungsfunktionen von reellen ZV. besitzen drei charakteristische Eigenschaften: Satz 2.2. Sei F VF. einer reellen ZV. X auf (Ω, A, P). Dann gilt : (i) F ist monoton wachsend ; (ii) F ist rechtsstetig ; (iii) lim F(x) = 0, x lim F(x) =. x + Weitere Eigenschaften reeller VF.: Satz 2.3. Sei F VF. einer reellen ZV. X auf (Ω, A, P). Dann gilt : (iv) F besitzt linksseitige Limiten, d.h. für x n x (n ), x n < x n, gilt : lim F(x n) =: F(x ) = P(X < x) ; n (v) P(X = x) = F(x) F(x ) x R ; (vi) Ist P X absolut-stetig mit Dichte f, d.h. gilt ( ) b P X (a,b) = f(x)dx (a,b) R, a so folgt : f(x) = F (x) Stetigkeitspunkte x von f (x C f ). Bemerkung 2.3. Die VF. F X einer ZV. X ist offenbar durch P X eindeutig festgelegt. Umgekehrt gilt (vgl. Wahrscheinlichkeitstheorie ): Jede Funktion F mit den Eigenschaften (i)-(iii) aus Satz 2.2 legt eindeutig ein W-Maß P X fest mit ( ) P X (a,b] = F(b) F(a) (a,b] R. 8

5 Mögliche Angabe von W-Modellen für ZV. X : a) X ist diskret verteilt, d.h. P(X = x i ) > 0 für abzählbar viele x i und P(X = x i ) =. Dann: i= Angabe von: X = X(Ω), etwa X = {x,x 2,...} B = P(X) p i = P(X = x i ) 0, (diskrete W-Dichte) p i = b) X ist reell und absolut-stetig mit W-Dichte f, d.h. ( ) b P X (a,b) = f(x)dx (a,b) R a i= Angabe von: X = R ( X(Ω)), B = B = Borel-σ-Algebra P X über Dichte f oder VF. F. Obige Möglichkeiten sind nicht erschöpfend, denn es gibt (z.b.) reelle ZV., die weder diskret noch absolut-stetig sind. Funktionen von Zufallsvariablen und deren Verteilungen Seien (Ω, A, P) W-Raum, X : Ω R ZV. und h : R R reelle Funktion. Ist dann Y := h(x) wieder eine reelle ZV. (Messbarkeit!), so berechnet sich deren Verteilung wie folgt: a) Y diskret verteilt mit Y (Ω) = {y,y 2,...} : P(Y = y i ) = P(h(X) = y i ) = P(X h ({y i })) b) Y besitzt VF. G, wobei G(y) = P(Y y) = P(h(X) y) = P(X h ((,y])), y R Bemerkung 2.4. Falls z.b. h stückweise stetig ist, d.h. stetig bis auf endlich viele Stellen, so ist Y = h(x) wieder eine ZV (vgl. Wahrscheinlichkeitstheorie ). 9

6 Beispiel 2.2. a) X diskret verteilt mit W-Dichte 3 2 x i P(X = x i ) Die Verteilung von Y = X 2 ergibt sich zu: 4 9 y i P(Y = y i ) b) X absolut-stetig verteilt mit Dichte { }, x 2 f(x) = 0, sonst R[, ] Verteilung Die Verteilung von Y = X 2 lässt sich z.b. über die VF. G von Y wie folgt bestimmen: { G(y) = P(Y y) = P(X 2 0, y < 0 y) = P( y X y), y 0 0, y < 0 = y, 0 y, y > G ist stückweise stetig differenzierbar mit { G 2 (y) =, 0 < y < y 0, y < 0 y > Setzt man g(y) = 2 I y (0,)(y), so gilt: G(y) = y g(v)dv, d.h. Y ist absolut-stetig verteilt mit Dichte g. 20

7 Kenngrößen von Verteilungen Betrachte ein Spiel, in dem man mit Wahrscheinlichkeiten p i einen Gewinn x i erzielen kann (i =,...,k). Was ist ein fairer Einsatz pro Spiel? Antwort (Jakob Bernoulli): Wird das Spiel n -mal gespielt ( n groß ), so erzielt man in ca. np Spielen den Gewinn x np 2 Spielen den Gewinn x np k Spielen den Gewinn x k Gesamtgewinn x np + x 2 np x k np k Durchschnittlicher Gewinn (pro Spiel) x p + + x k p k Definition 2.4. a) Sei X reell und diskret verteilt auf (Ω, A, P) mit W-Dichte x i p(x i ), i =, 2,.... Falls x i p(x i ) <, so heißt i= EX = E(X) = x i p(x i ) = i= x i P(X = x i ) i= der Erwartungswert (EW.) von X (unter P). b) Sei X reell und absolut stetig verteilt auf (Ω, A, P) mit Dichte f. Falls x f(x)dx <, so heißt EX = E(X) = xf(x)dx der Erwartungswert von X (unter P). Bemerkung 2.5. Sowohl im diskreten als auch im absolut-stetigen Fall lässt sich EX interpretieren als Schwerpunkt einer Massenverteilung auf der reellen Achse. Der Begriff des Erwartungswertes überträgt sich wie folgt auf eine reelle Funktion Y = h(x) : 2

8 Satz 2.4. (vgl. Wahrscheinlichkeitstheorie ) Sei X ZV. auf (Ω, A,P) mit Werten in (X, B) und Y = h(x) reelle ZV. Dann gilt : a) Falls X diskret verteilt ist mit Werten x i X (i =, 2,...), P(X = x i ) =, und h(x i ) P(X = x i ) <, so folgt : i= i= Eh(X) = h(x i )P(X = x i ). i= b) Falls X reell und absolut-stetig verteilt ist mit Dichte f und h(x) f(x)dx <, so folgt : Eh(X) = h(x)f(x)dx. Beispiel 2.3. a) X B(n,p) - verteilt (n N, 0 < p < ) : EX = n ( ) n k p k ( p) n k k k=0 b) X π λ - verteilt (λ > 0) : = np (p + ( p)) n = np n ( ) n = np p l ( p) (n ) l l l=0 EX = k=0 k λk k! e λ = λe λ k= λ k (k )! = λ c) X R[a,b] - verteilt (a < b): EX = b a x ( ) b a dx = b 2 b a 2 a2 2 = a + b 2 d) X Exp(λ) - verteilt (λ > 0) : EX = 0 xλe λx dx u=λx = du=λdx λ ue u du = λ 0 }{{} part.int. = 22

9 Wichtige Eigenschaften des Erwartungswertes: Satz 2.5. Seien X,Y reelle ZV. auf (Ω, A,P). Dann gilt : a) EX ist definiert ( existiert ) E X existiert, d.h. E X < ; b) EX E X, falls EX existiert ; c) X Y, EY existiert = EX existiert und E X EY ; d) X 0, EX = 0 P(X = 0) = ; e) P(X = Y ) =, EX existiert = EY existiert, EX = EY. Satz 2.6. Seien X,Y reelle ZV. mit existierenden EW. = E(aX) (a R), E(X + Y ) existieren und es gilt : } a) E(aX) = a EX b) E(X + Y ) = EX + EY Linearität Beispiel 2.4. (Qualitätskontrolle) Ziehen von n aus N = R + S Kugeln (ohne Zurücklegen) : X = Anzahl der gezogenen roten Kugeln, EX =?. Lösung: X ist H(n;N,R) - verteilt = ( n R N R ) EX = r r)( n r ) = = n R N r=0 ( N n 2. Lösung (Rechnen mit Indikatorvariablen) {, falls i - te gezogene Kugel Sei X i = 0, sonst = X = n X i, EX = i= rot n EX i = n R N, denn i= EX i = P(X i = ) + 0 P(X i = 0) R(N ) (N n + ) = = R N(N ) (N n + ) N =: p (also EX = n R N = np wie bei der B(n,p) - Verteilung) 23

10 Spezielle Erwartungswerte (falls existent): Für k N, E(X k ) - k-tes Moment von X E X k - k-tes absolutes Moment von X E(X EX) k - k-tes zentriertes Moment von X E X EX k - k-tes absolutes zentriertes Moment von X EX (k) = EX(X ) (X k + ) }{{} k Faktoren - k-tes faktorielles Moment von X Bemerkung 2.6. (Existenz obiger Momente) Seien X reelle ZV., c R, k N = a) E X k < E X ν < ν = 0,,...,k b) E(X k ) existiert E X k < E X c k < E(X c) k existiert Definition 2.5. Sei X reelle ZV. mit E(X 2 ) <. a) V ar(x) := E(X EX) 2 heißt Varianz von X; σ(x) := V ar(x) heißt Standardabweichung von X (auch Streuung von X); b) X heißt zentriert, falls EX = 0 ; X heißt standardisiert, falls EX = 0, V ar(x) =. Bemerkung 2.7. a) EX existiert = X := X EX ist zentriert; b) E(X 2 ) <, V ar(x) > 0 = X := X EX V ar(x) ist standardisiert. Es gilt der folgende Verschiebungssatz : Satz 2.7. Sei X reelle ZV. auf (Ω, A,P) mit E(X 2 ) < = V ar(x) = E(X 2 ) (EX) 2. 24

11 Weitere Eigenschaften : Satz 2.8. Sei X reelle ZV. auf (Ω, A, P). Dann gilt : a) V ar(ax + b) = a 2 V ar(x), falls E(X 2 ) <, a,b R ; b) P( X α) E X k α k, falls E X k <, α > 0 (Markov-Ungleichung), P( X EX α) V ar(x) α 2, falls EX 2 <, α > 0 (Tschebychev-Ugl.). Beispiele 2.3 (Fortsetzung) a) X B (n,p)-verteilt (n N, 0 < p < ) : EX(X ) = n ( n k(k ) k k=0 = n(n )p 2 n k=2 ) p k ( p) n k ( n 2 k 2 = E(X 2 ) = EX(X ) + EX = n(n )p 2 + np ) p k 2 ( p) (n 2) (k 2) = n(n )p 2 V ar(x) = EX(X ) + EX (EX) 2 = n 2 p 2 np 2 + np (np) 2 = np( p) b) X π λ - verteilt (λ > 0) : EX(X ) = k=0 k(k ) λk k! e λ = λ 2 e λ k=2 λ k 2 (k 2)! = λ 2 V ar(x) = EX(X ) + EX (EX) 2 = λ 2 + λ λ 2 = λ c) X R[a,b] - verteilt (a < b) : EX 2 = b a x 2 b a dx = b3 a 3 3(b a) = 3 (b2 + ab + a 2 ) V ar(x) = 3 (b2 + ab + a 2 ) 4 (a2 + 2ab + b 2 ) = d) X Exp(λ) - verteilt (λ > 0) : (b a)2 2 E(X 2 ) = 0 x 2 λe λx dx V ar(x) = 2 ( ) 2 λ 2 λ = λ 2 u=λx = du=λdx λ 2 0 = 2 λ 2 u 2 e u du }{{} part.int. = 2 (od. = Γ(3) = 2! = 2) 25

12 Beispiel 2.5. (Normalverteilung) W-Dichte f(x) = Eine reelle, absolut-stetig verteilte ZV. X mit 2πσ 2 e (x a)2 2σ 2, x R (a R, σ 2 > 0), heißt normalverteilt mit Parametern a,σ 2. Bezeichnung: N(a,σ 2 ) - Verteilung Die N(a,σ 2 ) - Verteilung spielt als Grenzverteilung von standardisierten Summenvariablen eine zentrale Rolle in der Stochastik (vgl. Zentraler Grenzwertsatz ). Man rechnet nach: f(x)dx = Ferner: ) X N(a,σ 2 ) - verteilt Z = X a σ N(0, ) - verteilt ; 2) EX = a ; 3) V ar(x) = σ 2. 26