Allgemeines Gleichgewicht

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1 Allgemeines Gleichgewicht Dr. Alexander Westkamp 30. November 2010 Allgemeines Gleichgewicht I 1/ 46

2 Einleitung Partielle Gleichgewichtsanalyse nützlich, wenn es wenig Interdependenzen zwischen verschiedenen Märkten gibt Viele Märkte stehen aber natürlicherweise in enger Abhängigkeit zueinander: Benzinpreise beeinflussen Nachfrage nach Automobilen und öffentlichem Nahverkehr Absatzchancen von Unternehmen beeinflussen Nachfrage nach Arbeitskräften. Allgemeine Gleichgewichtstheorie: Simultane Analyse mehrerer/aller Märkte Berücksichtigung der komplexen Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Märkten Allgemeines Gleichgewicht I 2/ 46

3 Plan 1. Eine 2-Güter Ökonomie (Eis und Kuchen) 2. Tausch 3. Allgemeines Gleichgewicht mit Produktion 4. Anwendungen Allgemeines Gleichgewicht I 3/ 46

4 Einleitung: Literatur (optional!) Douglas Bernheim, Michael Whinston: Microeconomics, Kapitel 16 Hal Varian: Intermediate Microeconomics (7th edition), Kapitel 31, 32, 33 Geoffrey Jehle, Philip Reny: Advanced Microeconomic Theory, Kapitel 5 Andreu Mas-Colell, Michael Whinston, Jerry Green: Microeconomic Theory, Kapitel 15, 16, 17 Allgemeines Gleichgewicht I 4/ 46

5 Eine 2-Güter-Ökonomie Allgemeines Gleichgewicht I 5/ 46

6 Eine 2-Güter-Ökonomie Betrachte Ökonomie mit zwei Gütern: Eis und Kuchen Nachfrage (reduzierte Form) Eis: D E (P E, P K ) = 85 4P E + αp K Kuchen: DK (P E, P K ) = 110 5P K + αp E Angebot (reduzierte Form) Eis: S E (P E, P K ) = 5P E 5 Kuchen: S K (P E, P K ) = 3P K 10 Mögliche Beziehungen zwischen den Gütern: 1. Substitute, falls Nachfrage nach einem Gut steigend im Preis des anderen Gutes (α > 0) 2. Komplemente, falls Nachfrage nach einem Gut fallend im Preis des anderen Gutes (α < 0) Bemerkung: Wenn α = 0 können wir beide Märkte separat untersuchen! Allgemeines Gleichgewicht I 6/ 46

7 Markträumungskurven und partielle Gleichgewichte Die Markträumungskurve eines Gutes gibt die Preiskombinationen an, für die der Markt des betrachteten Gutes im Gleichgewicht ist. Eis: DE (P E, P K ) = S E (P E, P K ) P E = 10 + α 9 P K Kuchen: DK (P E, P K ) = S K (P E, P K ) P K = 15 + α 8 P E Beachte: Jeder Punkt auf einer Markträumungskurve ist ein partielles Gleichgewicht im entsprechenden Markt! Allgemeines Gleichgewicht I 7/ 46

8 Allgemeines Gleichgewicht Ein allgemeines Gleichgewicht liegt vor, wenn beide Märkte im Gleichgewicht sind. Mathematisch: Schnittpunkt der Markträumungskurven In unserem Beispiel: Allgemeines Gleichgewicht gegeben durch und P E = α 72 α 2 P K = α 72 α 2 Nehmen im Folgenden immer an, dass P E, P K 0 (also das α ( 6, 72)) Allgemeines Gleichgewicht I 8/ 46

9 Allgemeines Gleichgewicht: Graphisch Allgemeines Gleichgewicht I 9/ 46

10 Substitute und Komplemente Steigende Substitutionsbereitschaft (α ) beide Preise steigen! Intuition? Steigende Komplementaritäten (α ) beide Preise fallen! Intuition? Allgemeines Gleichgewicht I 10/ 46

11 Steuern Steuern Wie verändert sich das Gleichgewicht, wenn eine Mengensteuer T auf Eis erhoben wird? Bisher: Veränderung des Gleichgewichts im Eismarkt unter der Annahme, dass sich im Kuchenmarkt nichts ändert. Jetzt: Veränderung des Gesamtgleichgewichts. Allgemeines Gleichgewicht I 11/ 46

12 Steuern Steuern - Markträumungskurven Veränderung des Gleichgewichts im Eismarkt: D E (P E, P K ) = S E (P E T, P K ) Neue Markträumungskurve für den Eismarkt ist P E = T + α 9 P K Partieller Gleichgewichtseffekt: Preis steigt um 5 9 T! Markträumungskurve für Kuchen unverändert gegeben durch P K = 15 + α 8 P E Allgemeines Gleichgewicht I 12/ 46

13 Steuern Steuern - Änderung des allgemeinen Gleichgewichts Gleichgewicht mit Mengensteuer T gegeben durch und P E = P K = T + 120α 72 α αT + 90α 72 α 2 Allgemeines Gleichgewicht I 13/ 46

14 Steuern Steuern - Änderung des allgemeinen Gleichgewichts Vergleich zum partiellen Gleichgewichtseffekt: Eis: α 2 }{{} Eispreiserhöhung (pro Steuereinheit) Kuchen > 5 9 }{{} partieller Gleichgewichtseffekt α > 0 5δ 72 α 2 }{{} Kuchenpreiserhöhung (pro Steuereinheit) > 0 }{{} partieller Gleichgewichtseffekt Falls Eis und Kuchen Substitute sind, steigt der (allgemeine Gleichgewichts)preis für Eis und fällt der Preis für Kuchen! α > 0 Allgemeines Gleichgewicht I 14/ 46

15 Steuern Anwendung: Kapital- versus Einkommenssteuern Häufige Forderung: Einkommen aus Kapital sollte mindestens genau so hoch besteuert werden wie Arbeitseinkommen! Gegenargument: Hohe Kapitalsteuern führen zu niedrigen Löhnen! Wer hat recht? In unserem einfachen Modell: Kapital = Eis, Arbeit = Kuchen Effekt einer Erhöhung der Kapitalsteuer auf Arbeitslohn? Positiv, falls α > 0 bzw. falls Arbeit und Kapital Substitute Negativ, falls α < 0 bzw. falls Arbeit und Kapital Komplemente Allgemeines Gleichgewicht I 15/ 46

16 Tausch Allgemeines Gleichgewicht I 16/ 46

17 Tausch Betrachten Ökonomie in der jedes Gut in fixer Menge vorhanden ist (keine Produktion). Jeder Konsument besitzt anfangs eine bestimmte Menge jedes Gutes (seine Anfangsausstattung) Perfekter Wettbewerb: Konsumenten nehmen Marktpreise als gegeben an Einkommen = Wert der Anfangsausstattung zu Marktpreisen (nicht exogen) Beschränken uns zunächst auf Analyse einer Ökonomie mit 2 Gütern, 2 Konsumenten Allgemeines Gleichgewicht I 17/ 46

18 Modell (einfache Fassung) Zwei Konsumenten (A und B) Zwei (beliebig teilbare) Güter (1 und 2) Nutzenfunktionen von Konsument i: u i (x i1, x i2 ), wobei x ij 0 konsumierte Menge von Gut j Anfangsausstattungen: e i = (e i1, e i2 ) 0 für i = A, B Gesamtmenge von Gut j: e j = e Aj + e Bj Ein Konsumvektor x = (x A1, x A2, x B1, x B2 ) 0 ist eine Allokation Eine Allokation x ist durchführbar, falls x Aj + x Bj e j für j = 1, 2. markträumend, falls xaj + x Bj = e j für j = 1, 2. Allgemeines Gleichgewicht I 18/ 46

19 Angebot und Nachfrage Gegeben Preisvektor p = (p 1, p 2 ) mit p 1, p 2 > 0 Einkommen von Konsument i (gegeben p) ist M i (p) := p 1 e i1 + p 2 e i2 Optimierungsproblem von Konsument i gegeben p ist max u i (x i1, x i2 ) so dass p 1 x i1 + p 2 x i2 M i (p) x i1,x i2 Nachfrage nach Gut j: x ij (p, M i (p)) Im Folgenden x ij (p) x ij (p, M i (p)) Nettonachfrage nach Gut j: n ij (p) := x ij (p) e ij ; Falls n ij (p) > 0 (< 0), ist i Nettonachfrager (Nettoanbieter) von Gut j Allgemeines Gleichgewicht I 19/ 46

20 Angebot und Nachfrage: Graphisch Allgemeines Gleichgewicht I 20/ 46

21 Edgeworth Box Können gesamtes Modell in einem Diagramm, der Edgeworth Box, zusammenfassen. Dazu: Rechteck der Breite e 1 und Höhe e 2 Konsum von Konsument A (B) wird vom südwestlichem (nordöstlichen) Eckpunkt aus gemessen Jeder Punkt in der Box repräsentiert eine markträumende Allokation. Allgemeines Gleichgewicht I 21/ 46

22 Edgeworth Box: Graphisch Allgemeines Gleichgewicht I 22/ 46

23 Gleichgewicht Gleichgewicht Perfekter Wettbewerb vollkommen dezentralisiert: Jeder Konsument entscheidet allein auf Basis der Marktpreise über seinen optimalen Konsum Problem: Entscheidungen möglicherweise nicht kompatibel miteinander! Die Übernachfrage nach Gut j/das Überangebot von Gut j gegeben Preisvektor p ist z j (p) = n Aj (p) + n Bj (p) Wir sprechen von einem Gleichgewicht, wenn beide Märkte geräumt werden. Allgemeines Gleichgewicht I 23/ 46

24 Gleichgewicht Gleichgewicht Definition Ein Gleichgewichtspreisvektor ist ein Preisvektor p = (p 1, p 2 ) der beide Gütermärkte simultan ins Gleichgewicht bringt, d.h. ein Preisvektor für den gilt z j (p ) = 0, j = 1, 2. Ein (kompetitives/walrasianisches/allgemeines) Gleichgewicht besteht aus einem Preisvektor p und einer markträumenden Allokation x = (xa1, x A2, x B1, x B2 ) welche den optimalen Konsumplänen entspricht, d.h. x ij = x ij (p ), i = A, B, j = 1, 2 Allgemeines Gleichgewicht I 24/ 46

25 Gleichgewicht Gleichgewicht: Graphisch Allgemeines Gleichgewicht I 25/ 46

26 Gleichgewicht Gleichgewicht: Mathematisch (p, x ) ist ein Gleichgewicht, falls und u i (x i1,x i2 ) x i1 u i (x i1,x i2 ) x i2 p1 p2 (=, falls x i1, x i2 > 0), i = A, B x Aj + x Bj = e j, j = 1, 2 Bemerkung: Aus dieser Formulierung folgt sofort, dass im Gleichgewicht nur der relative Preis der beiden Güter bestimmt wird! Allgemeines Gleichgewicht I 26/ 46

27 Gleichgewicht Gleichgewicht: Beispiel Nutzenfunktion von Konsument i hat die Form u i (x i1, x i2 ) = x α i1 x (1 α) i2 für ein α (0, 1) Anfangsausstattungen: e A = (1, 2), e B = (2, 1) Einkommen gegeben Preisvektor p: MA (p) = p 1 + 2p 2 M B (p) = 2p 1 + p 2 Nachfragefunktionen: x i1 (p) = αm i (p) p 1 x i2 (p) = (1 α)m i (p) p 2 Allgemeines Gleichgewicht I 27/ 46

28 Gleichgewicht Gleichgewicht: Beispiel Markträumung für Gut 1 erfordert x A1 (p) + x B1 (p) = 3 Dies ergibt p1 p2 = α 1 α Für jeden Preisvektor p mit dieser Eigenschaft gilt automatisch x A2 (p ) + x B2 (p ) = 3. Also: 1. Nur der relative Preis der beiden Güter wird im Gleichgewicht bestimmt. 2. Jeder Preisvektor der einen Markt ins Gleichgewicht bringt, bringt automatisch beide Märkte ins Gleichgewicht. Allgemeines Gleichgewicht I 28/ 46

29 Diskussion des Gleichgewichtskonzepts Wieso Gleichgewichte? Wie gelangt die Ökonomie ins Gleichgewicht? Eine Idee: 1. Auktionator setzt Preise für die beiden Güter 2. Konsumenten entscheiden über Konsum/Angebot gegeben diese Preise 3. Falls Übernachfrage/Überangebot wird Preis erhöht/gesenkt Falls dieser Prozess konvergiert, wird ein Gleichgewicht erreicht! Allgemeines Gleichgewicht I 29/ 46

30 Diskussion des Gleichgewichtskonzepts Perfekter Wettbewerb mit zwei Konsumenten? Perfekter Wettbewerb sinnvolle Annahme mit zwei Konsumenten? Beispielsweise könnte ja einer der beiden Konsumenten die gesamte Anfangsausstattung eines Gutes besitzen... Aber: Bisherige Analyse identisch für den Fall vieler Konsumenten, wobei jeweils Hälfte von Typ A/B Denn: Alle Konsumenten von Typ i haben den gleichen optimalen Konsumplan. Gleichgewichtsbedingung bei N Konsumenten ist N 2 x Aj(p ) + N 2 x Bj(p ) = N 2 e Aj + N 2 e Bj, j = 1, 2 Allgemeines Gleichgewicht I 30/ 46

31 Diskussion des Gleichgewichtskonzepts Markträumung und das Gesetz von Walras Im Beispiel: Markträumung des einen Marktes impliziert Markträumung des zweiten. Gilt das immer? Zunächst: Das Gesetz von Walras Für jeden Preisvektor p >> 0 ist der Wert der Gesamtübernachfrage Null, d.h. Begründung? p 1 z 1 (p) + p 2 z 2 (p) = 0 Allgemeines Gleichgewicht I 31/ 46

32 Diskussion des Gleichgewichtskonzepts Markträumung und das Gesetz von Walras Nun betrachten wir einen Preisvektor p = (p 1, p 2 ) >> 0. Behauptung: z 1 (p) = 0 z 2 (p) = 0 Begründung: Walras Gesetz Im allgemeinen gilt also: Wenn ein strikt positiver Preisvektor einen Markt ins Gleichgewicht bringt, bringt er automatisch auch den zweiten Markt ins Gleichgewicht. Preisfrage: Kann einer der Preise im Gleichgewicht Null sein? Allgemeines Gleichgewicht I 32/ 46

33 Diskussion des Gleichgewichtskonzepts Existenz eines Gleichgewichts Gibt es immer ein Gleichgewicht? Gegeben das Gesetz von Walras ist dies äquivalent zu: Gibt es eine Lösung der Gleichung z 1 (p) = 0? Annahmen: 1. u i ist hinreichend schön zb stetig + strikt steigend + strikt (quasi-)konkav 2. e 1, e 2 > 0 Behauptung: Annahmen hinreichend für Existenz! Allgemeines Gleichgewicht I 33/ 46

34 Diskussion des Gleichgewichtskonzepts Existenz eines Gleichgewichts 1. Es reicht ein p1 zu finden, so dass z 1(p1, 1) = 0 Übernachfrage homogen vom Grade Null. 2. Für sehr kleine p 1 gilt z 1 (p 1, 1) > 0 Zumindest einer der Konsumenten, sagen wir A, hat e A2 > 0 Für A gilt M A (p 1, 1) e A2 > 0 für alle p 1 Da Nutzen strikt steigend in xa1, muss lim p1 0 x A1 (p 1, 1) = gelten (nicht ganz einfach). 3. Für sehr große p 1 gilt z 1 (p 1, 1) < 0 Konsequenz aus erstem Statement, da z 1 (p 1, 1) = z 1 (1, 1 p 1 ) = 1 p 1 z 2 (1, 1 p 1 ) 4. Da z 1 (p 1, 1) stetig in p 1, muss es nach dem Mittelwertsatz ein p1 geben so dass z 1(p1, 1) = 0! Allgemeines Gleichgewicht I 34/ 46

35 Effizienz Effizienz Welche Allokationen sind aus gesamtwirtschaftlicher Perspektive wünschenswert? Minimale Anforderung: Pareto-effizienz Hier: Eine durchführbare Allokation x ist Pareto effizient, wenn es keine zweite durchführbare Allokation y gibt, die einen der beiden Konsumenten strikt besser stellt, ohne den zweiten Konsumenten strikt schlechter zu stellen. Beachte: Definition von Effizienz ausschließlich über Allokationen! Allgemeines Gleichgewicht I 35/ 46

36 Effizienz Effizienz: Mathematisch Mathematisch lässt sich die Effizienz einer Allokation über die Grenzraten der Substitution beschreiben... Eine Allokation x ist genau dann Pareto-effizient, wenn 1. Indifferenzkurven tangential zueinander, d.h. u A (x A1,x A2 ) x A1 = u A (x A1,x A2 ) x A2 u B (x B1,x B2 ) x B1 u i (x B1,x B2 ) x B2 2. beide Märkte geräumt werden x Aj + x Bj = e j, für j = 1, 2 Allgemeines Gleichgewicht I 36/ 46

37 Effizienz Effizienz: Graphisch Allgemeines Gleichgewicht I 37/ 46

38 Effizienz Effizienz: Beispiel Im Cobb-Douglas Beispiel sind Grenzraten der Substitution gleich genau dann wenn x A1 x A2 = x B1 x B2 Markträumung erfordert x Aj + x Bj = 3 für j = 1, 2 Für den Fall x A1 = x A2 = β, ist jede Aufteilung (β, 3 β) der beiden Güter Pareto effizient. Allgemeines Gleichgewicht I 38/ 46

39 Effizienz Direkte Verhandlungen und die Kontraktkurve Betrachte alternativen Handelsmechanismus: Konsumenten verhandeln direkt über Allokationen. Falls es keine Friktionen gibt, sollten wir ein effizientes Ergebnis erwarten! (Warum?) Machen alle effizienten Allokationen als Ergebnis dieses Mechanismus Sinn? Falls Tausch freiwillig: Kein Konsument darf schlechter dran sein, als würde er seine Anfangsausstattung konsumieren. Die Kontraktkurve besteht aus allen effizienten Allokationen x so dass u i (x i1, x i2 ) u i (e i1, e i2 ) für i = A, B. Allgemeines Gleichgewicht I 39/ 46

40 Effizienz Kontraktkurve: Graphisch Allgemeines Gleichgewicht I 40/ 46

41 Effizienz Kontraktkurve: Beispiel Im Cobb-Douglas Beispiel war e A = (1, 2) und e B = (2, 1) Nehmen wir an, dass α = 1 2 Es gilt u A (1, 2) = 2, u B (2, 1) = 2 Kontraktkurve besteht aus Allokationen x die folgende Bedingungen erfüllen x A1 x A2 1. = x B1 x B2 2. x i1 x i2 4 für i = A, B 3. x Aj + x Bj = 3 für j = 1, 2 Bonusfrage: Gibt es eine Allokation auf der Kontraktkurve so dass x A1 = x A2? Allgemeines Gleichgewicht I 41/ 46

42 Effizienz Gleichgewicht und Effizienz: 1. Wohlfahrtstheorem Theorem (Das 1. Theorem der Wohlfahrtsökonomik) Jedes Marktgleichgewicht ist Pareto-effizient. Warum? Beide Konsumenten bestimmen Konsum so, dass Grenzrate der Substitution gleich relativem Verhältnis der Marktpreise (für alle gleich im perfekten Wettbewerb)! Intuition wie im partiellen GG Modell mit quasilinearen Präferenzen (dort: Partielle Ableitung nach Geld immer eins!). Allgemeines Gleichgewicht I 42/ 46

43 Effizienz Gleichgewicht und Effizienz: 1. Wohlfahrtstheorem Ein zweites Argument für die Effizienz des Gleichgewichts: Angenommen (p, x ) ist ein Gleichgewicht aber es gibt eine markträumende Allokation y so dass u i (y i1, y i2 ) > u i (x i1, x i2), i = 1, 2 Dann muss p 1 y i1 + p 2 y i2 > M i (p ) für i = A, B gelten (Optimalität der Konsumentscheidungen) Aber p 1 (y A1+y B1 )+p 2 (y A2+y B2 ) = p 1 e 1+p 2 e 2 = M 1 (p )+M 2 (p ), da y markträumend Widerspruch! Allgemeines Gleichgewicht I 43/ 46

44 Effizienz Gleichgewicht und Effizienz Das 1. Theorem der Wohlfahrtsökonomik zeigt uns, dass Gleichgewicht notwendigerweise Pareto-effizient sind! Gilt auch der Umkehrschluss, d.h. kann jede Pareto-effiziente Allokation für einen bestimmten Preisvektor im Gleichgewicht erreicht werden? Wenn wir die Anfangsausstattungen umverteilen können ist die Antwort oft ja. Allgemeines Gleichgewicht I 44/ 46

45 Effizienz Gleichgewicht und Effizienz: 2. Wohlfahrtstheorem Theorem (Das 2. Theorem der Wohlfahrtsökonomik) Wenn alle Nutzenfunktionen konkav bzw. alle Präferenzen konvex sind, gibt es für jede effiziente Allokation x eine Anfangsausstattung e x und einen Preisvektor p x, so dass (p x, e x ) ein Gleichgewicht ist. Warum? 1. Effizienz gleichbedeutend mit Tangentialität der Indifferenzkurven 2. Wenn Bessermengen konvex finden wir eine Budgetgerade, die keine der beiden Indifferenzkurven schneidet. 3. Jede Anfangsausstattung auf dieser Budgetgerade führt zum gewünschten Gleichgewicht! Allgemeines Gleichgewicht I 45/ 46

46 Effizienz Gleichgewicht und Effizienz: Diskussion 1. Wohlfahrtstheorem: Perfekter Wettbewerb führt zu Effizienz Geringe informationelle Voraussetzungen für funktionieren des Marktmechanismus Problem: Möglicherweise extreme Ungleichheit 2. Wohlfahrtstheorem: Durch Umverteilung kann jedes effiziente Ergebnis durch den Marktmechanismus erreicht werden. Keine Umverteilung über Manipulation des Preissystems notwendig, Transfer von Einkommen reicht aus Wichtig: Umverteilung darf nicht von Entscheidungen der Konsumenten abhängen Allgemeines Gleichgewicht I 46/ 46

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