Potenzen einer komplexen Zahl

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1 Potenzen ener komplexen Zahl 1-E1

2 1-E

3 Abraham cc de Movre Abraham de Movre (17 175) französscher Mathematker Abraham de Movre der als Emgrant n London lebte glt als ener der Ponere der Wahrschenlchketsrechnung. Spezell sene Untersuchungen zu Sterblchkets- und Rentenproblemen bldeten ene Grundlage für de Entwcklung der Wahrschenlchketstheore durch Laplace. 1-1

4 Satz von cc Movre Ist z ene komplexe Zahl z r e r cos sn und n ene natürlche Zahl dann glt: n z n ( r e φ ) r n e n φ oder n trgonometrscher Form: z n r n ( cos(n φ) + sn (n φ) ) De Potenz ener komplexen Zahl ergbt sch besonders enfach n der Polarform. 1-

5 Punkte mt Kosnus- und Snuswerten auf dem Enhetskres (Wkpeda) 1-

6 Potenzen: Aufgaben 1- cc Erheben Se de komplexe Zahl z n de n-te Potenz z cos Aufgabe : z Aufgabe : z Aufgabe : z Aufgabe 5: z Aufgabe : z 5 n 1 -A sn Aufgabe 1: sn cos cos n n n5 sn 0 0 n cos n 5 sn

7 Potenzen:ccLösung 1 Abb. L1-a: Darstellung der komplexen Zahl z und der drtten Potenz von z z cos z e sn e e 1 n e 8 cos sn a

8 Potenzen:ccLösung 1 Abb. L1-b: Darstellung der komplexen Zahl z und der zweten und drtten Potenz von z z z z 8 φ 1 φ φ π -1b

9 Potenzen:ccLösung Abb. L-a: Darstellung der komplexen Zahl z und der verten Potenz von z z cos sn 1 z e e 1 e 1 n cos sn 1 0 -a

10 Potenzen:ccLösung Abb. L-b: Darstellung der komplexen Zahl z und der zweten drtten und verten Potenz von z z z z z φ1 φ φ φ π -b

11 Abb. L-c: Darstellung der komplexen Zahl z und der ersten dre Potenzen von z -c

12 Potenzen:ccLösung z 1 n5 Wr bestmmen de Polarform der komplexen Zahl r z 1 y 1 sn r z 5 5 e 5 10 e - 5 z e [ 10 cos ] sn

13 Potenzen:ccLösung Abb. L-a: Darstellung der komplexen Zahl z und der fünften Potenz von z 5 z z5 e -a cos sn e cos 1 5 e 0 n5 sn 1

14 Potenzen:ccLösung Abb. L-b: Darstellung der komplexen Zahl z und der ersten ver Potenzen von z z -b 5 z5

15 Potenzen:ccLösung 5 z r z sn x 1 y 1 r z 1 0 φ π α π π e y n 1 1 ( x > 0 e 1 y < 0) z e 1 e cos sn 1-5a

16 Potenzen:ccLösung 5 Abb. L5-b: Darstellung der komplexen Zahl z und der sechsten Potenz von z -5b ze π

17 Potenzen:ccLösung 5 Abb. L5-c: Darstellung der komplexen Zahl z und der ersten fünf Potenzen von z. Alle Zahlen befnden sch auf dem Kres mt Radus 1-5c z z... z 1 φ1 π

18 Potenzen:ccLösung Abb. L: Darstellung der komplexen Zahl z und der zwölften Potenz von z z z 1 - cos sn 1 e 1 e 1 e cos n 1 sn

19 Potenzen: Aufgaben 7-10 Erheben Se de komplexe Zahl z n de n-te Potenz Aufgabe 7: z1+ Aufgabe 8: z Aufgabe 9: z 1 + n8 n a ) n 5 b ) n 0 Aufgabe 10: Bestmmen Se de n-ten Potenzen der komplexen Zahl z: a ) z 0.9 e z 1.1 e b ) z 0.8 e z 1. e -A π π π π n 5 n 5 n 5 n 5

20 Potenzen: Lösung 7 Abb. L7: Darstellung der komplexen Zahl z und der 8-ten Potenz von z z1 x 1 y 1 r z 1 1 z 1 e n8 sn y 1 r 8 z e cos sn 1-1a

21 Lösung 7 mt dem Bnomalsatz a b n an n 1 a n 1 b 1 n n k 0 a n b n k n n 1 a 1 b n 1 b n an k bk Bnomalkoeffzenten ( n über k ): 1 n k n 0 n Fakultät: -1b n! k! n k! n! 1 n n 1 k n ℕ n k n 1 n n 0! 1

22 Lösung 7 mt dem Bnomalsatz a b 8 a 8 8 a 7 b 8 a b 8 a 5 b a b5 8 a b 8 a b 7 b ! 8! 8 1! 8 1! 7! 8 8! 7 8 8! 8! 8 8! 7 8 5! 8! 8! ! 8! 8-1c a b

23 Lösung 7 mt dem Bnomalsatz Aufgabe 7 kann auch mt Hlfe des Bnomschen Satzes gelöst werden: (a + b) a + 8 a b + 8 a b + 5 a b + 70 a b + 5 a b a b + 8 a b + b z1 8 a 1 8 b (1 + ) d

24 Potenzen: Lösung 8 z r z x y 1 x y 1 1 sn y 1 r z e 11 π ( z e ) 11 π z - n e π e 11 π e π

25 Potenzen: Lösung 9 z 1 n 5 r z sn z e π ( z5 e b ) z 5 e ) 5 π a ) z 5 cos e 5 e sn cos - y x y 1 1 y r x 1 10 π ( ) 5 e + π e π cos 0 sn e sn e 1 1

26 Potenzen: Lösung 9b z 1 n 0 z 1 e z e e e 0 0 e 0 0

27 Potenzen: Lösung 10a -1 Abb. L-10a: Graphsche Darstellung der Aufgabe

28 Potenzen: Lösung 10a z 0.9 e π z (0.9) e z (0.9) e z (0.9) e z 5 (0.9)5 e z (0.9) e π π π π 5 π 0.81 e 0.7 e 0. e 0.59 e π π π 5π 0.5 e π 0.5 De komplexe Zahl z und hre fünf Potenzen snd durch blaue Punkte n Abb. L-10a dargestellt. Da der Betrag der komplexen Zahl z klener als 1 st wrd der Betrag von Potenz zu Potenz mmer klener. Das Argument wrd um π/ größer. -

29 Potenzen: Lösung 10a z 1.1 e π z (1.1) e z (1.1) e z (1.1) e z 5 (1.1)5 e z (1.1) e π π π π 5 π 1.1 e 1. e 1. e 1.1 e π π π 5π 1.77 e π 1.77 De komplexe Zahl z und hre fünf Potenzen snd durch rote Punkte n Abb. L-10a dargestellt. Da der Betrag der komplexen Zahl z größer als 1 st wrd der Betrag von Potenz zu Potenz mmer größer. Das Argument wrd um π/ größer. -

30 Potenzen: Lösung 10b - Abb. L-10b: Graphsche Darstellung der Aufgabe

31 Potenzen: Lösung 10b z 0.8 e π z (0.8) e z (0.8) e z (0.8) e z 5 (0.8)5 e z (0.8) e π π π π 5 π 0. e 0.51 e 0.1 e 0. e π π π 5π 0. e π 0. De komplexe Zahl z und hre fünf Potenzen snd durch blaue Punkte n Abb. L-10b dargestellt. Da der Betrag der komplexen Zahl z klener als 1 st wrd der Betrag von Potenz zu Potenz mmer klener. Das Argument wrd um π/ größer. -5

32 Potenzen: Lösung 10b z 1. e π z (1.) e z (1.) e z (1.) e z 5 (1.)5 e z (1.) e π π π π 5 π 1. e 1.7 e.07 e.9 e π π π 5π.99 e π.99 De komplexe Zahl z und hre fünf Potenzen snd durch rote Punkte n Abb. L-10b dargestellt. Da der Betrag der komplexen Zahl z größer als 1 st wrd der Betrag von Potenz zu Potenz mmer größer. Das Argument wrd um π/ größer. -

33 Potenzen ener komplexen Zahl Abb.: De blauen Punkte entsprechen den ersten Potenzen der komplexen Zahl z 0.85 exp( π/) de grauen Punkte den ersten Potenzen der komplexen Zahl z exp( π/) und de roten Punkte den ersten Potenzen der komplexen Zahl z 1. exp( π/) -7

34 -8a

35 -8

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