Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik

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1 UNIVERSITÄT ULM Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Prof. Dr. Helmut Maier, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 100 Punkte Montag, 14. Dezember 2009, 12:00 Uhr 1. Es sei m = und n = (a) Gib die Primfaktorzerlegung für ggt (m, n) und kgv (m, n) an. Für den ggt (m, n) gilt, daß wir das Minimum der Primfaktoren nehmen müssen. Damit ergibt sich ggt (m, n) = = n. Beim kgv (m, n) nehmen wir das Maximum und erhalten kgv (m, n) = = m. (b) Gib eine Darstellung der Werte ϕ(m) und ϕ(n) als Produkt von Primfaktoren. Dabei bedeutet ϕ die Eulersche ϕ- Funktion. Die Eulersche ϕ- Funktion ist multiplikativ; also erhalten wir ϕ(m) = ϕ( ) = ϕ(2 2 ) ϕ(3 2 ) ϕ(5 2 ) ϕ(7) ϕ(11) ϕ(13) = ( ) ( ) ( ) = = und ϕ(n) = ϕ( ) = ϕ(2) ϕ(5 2 ) ϕ(7) ϕ(11) = 1 ( ) 6 10 = = Die Werte der Produkte brauchen jeweils nicht berechnet werden. (10 Punkte)

2 2. Es ist = Benütze diese Information, um das multiplikative Inverse von 37 mod 253 zu berechnen. Das multiplikative Inverse zu 37 mod 253 existiert, denn es gilt ggt (37, 253) = ggt (37, 11 23) = 1. Die Gleichung in der Aufgabenstellung läßt sich umformen zu 1 = = ( 41) 37. Damit ist -41 bzw. 212 ein multiplikatives Inverses zu 37 mod 253. (5 Punkte) 3. Gib ein Verfahren an, um folgendes System von Kongruenzen zu lösen: x 2 mod 3 x 1 mod 23 x 3 mod 37. Finde die kleinste natürliche Zahl, auf die dies zutrifft. Es ist m 1 = 3, m 2 = 23,, m 3 = 37 sowie m = = Außerdem ist a 1 = 2, a 2 = 1 und a 3 = 3. Dann berechnen wir M 1 := m m 1 = = 851 M 2 := m m 2 = 3 37 = 111 M 3 := m m 3 = 3 23 = 69 Das Inverse von M j, j = 1, 2, 3 berechnet sich folgendermaßen: 851 M mod 3 2 M mod 3 M mod M mod 23 4 M mod 23 M mod mod M mod 37 5 M mod 37 M mod mod 37 Damit folgt für eine Lösung x 0, daß x 0 = 3 j=1 Als Lösungsmenge ergibt sich M j M 1 j a j = = L = { k, k Z}. Die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft erhalten wir mit k = 3. Diese lautet dann n = (12 Punkte) 2

3 4. Wie heißt der Satz von Euler und der kleine Satz von Fermat? Begründe, warum der kleine Satz von Fermat ein Spezialfall des Satzes von Euler ist. Satz von Euler: Es sei m N, a Z und ggt (a, m) = 1. Dann ist a ϕ(m) 1 mod m. kleiner Satz von Fermat: Es sei p eine Primzahl und a Z nicht durch p teilbar. Dann ist a p 1 1 mod p. Der kleine Satz von Fermat ist deswegen ein Spezialfall des Satzes von Euler, weil die Eulersche ϕ- Funktion für eine Primzahl p immer den Wert p 1 annimmt. (8 Punkte) 5. Es ist mod 100. Benütze diese Information, um die letzten zwei Ziffern der Zahl 7 21 (im Dezimalsystem) zu berechnen. Es läuft hier auf die Kongruenz 7 21 mod 100 hinaus. Wir schreiben die 21 als Summe von Zweierpotenzen. Es gilt dann 21 = und für diese Potenzen ist mod mod mod 100 (aus Aufgabenstellung) mod mod 100 Also ist mod mod 100. Die letzten beiden Ziffern sind also 07. (10 Punkte) 6. Die Zahlen 101 und 103 sind prim. (a) Was ist mod 101? Es gilt zudem, daß ggt (13, 101) = 1 ist. Also können wir den kleinen Satz von Fermat anwenden. Dann ist mod 101. Mit viel Rechenaufwand kann man es auch konventionell lösen: 3

4 Wir schreiben 100 wieder als Summe von Zweierpotenzen. Dies ergibt 100 = und bekommen Also ist mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod ( 45) ( 22) mod mod mod 101. (b) Drücke das multiplikative Inverse von 15 mod 103 als Potenz von 15 aus. Gesucht ist also eine Potenz von 15, die auch invers zu 15 mod 103 ist, also ein x, so daß oder 15 x 15 1 mod x+1 1 mod 103. Da 103 eine Primzahl ist und ggt (15, 103) = 1 ist, können wir wieder den kleinen Satz von Fermat anwenden. Es ist also p 1 = x + 1 mit p = 103. Damit ist x = 101, und es gilt: mod 103. (10 Punkte) 7. (a) Formuliere und beweise eine Regel für die Teilbarkeit von n durch g + 1, die die g- adische Darstellung von n benutzt. Aus dem Binomischen Lehrsatz haben wir die Aussage, daß ( ) m (a + b) m = a m b m k b m mod a, k da die restlichen Summanden allesamt den Faktor a enthalten. Damit folgt für unser n, daß n = a k g k = a k ((g + 1) 1) k ( 1) k a k mod (g + 1), 4 a k ( 1) k mod (g + 1)

5 d.h. die Zahl n ist genau dann durch g +1 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der g- adischen Darstellung der Zahl durch g + 1 teilbar ist. (b) Eine Zahl liegt in ihrer 13- adischen Darstellung vor und lautet (1232) 13. Überprüfe die Teilbarkeit durch 2,3,5 und 7. Mittels Teilaufgabe a) ist Teilbarkeit dieser Zahl durch 14 (und damit durch 2 und 7) gleichbedeutend damit, daß ihre alternierende Quersumme durch 14 teilbar ist: es ist ( 1) ( 1) = damit ist (1232) 13 durch 2 und 7 teilbar. Im Zehnersystem ist die Darstellung durch (1232) 13 = = = Teilbarkeit durch 3 ist nicht gegeben, weil die Quersumme = 8 nicht durch 3 teilbar ist und Teilbarkeit durch 5 ist nicht gegeben, weil die letzte Ziffer weder 5 noch 0 ist. (12 Punkte) 8. Es ist ggt (77, 93) = 1 und ggt (39, 303) = 3. Welche der folgenden Diophantischen Gleichungen sind lösbar (mit Begründung)? (a) 77x + 93y = 50 Es gilt ggt (77, 93) = 1 und damit ggt (77, 93) 50. Die Diophantische Gleichung besitzt Lösungen. (b) 39x + 303y = 5 Hier gilt nun, daß ggt (39, 303) = 3 5. Diese Diophantische Gleichung besitzt keine Lösungen. (c) 39x + 303y = 33 Im Gegensatz zu dieser Gleichung, für die ggt (39, 303) = 3 33 gilt. Hier existieren Lösungen. Etwaige Lösungen brauchen nicht berechnet werden. (6 Punkte) 9. Finde eine Lösung der Diophantischen Gleichung 14x + 9y + 8z = 13. Wir bestimmen zuerst den ggt (14, 9) und ggt (14, 8) mit dem Tabellenschema: i q i+1 r i x i y i Für den ggt (14, 9) gilt: Also haben wir ggt (14, 9) = 1 =

6 Für ggt (14, 8) gilt: i q i+1 r i x i y i und wir erhalten ggt (14, 8) = 2 = Außerdem ist ggt (2, 1) = 1 = Die Darstellungen für 1 und 2 setzen wir hier ein und bekommen 1 = = ( ) ( ) = Als Lösung der Gleichung 14x+9y+8z erhalten wir durch Multiplikation von 13 schließlich x = 39, y = 39 und z = 26. (15 Punkte) 10. Eine Primzahl M n von der Form M n = 2 n 1 heißt Mersennsche Primzahl, und die k- te Fermatzahl F k war definiert durch F k := 2 2k + 1. Zeige: Gilt n = 2 m, so ist M n das Produkt der ersten m 1 Fermatzahlen, es gilt also Wir zeigen dies mit Induktion nach m: M n = m 1 Für m = 1 gilt: M n = = 4 1 = 3, was auch die erste Fermatzahl F 0 = 0 F k darstellt. Im Induktionsschritt m m + 1 gilt: m F k = m 1 F k. F k F m = ( 2 2m 1 ) (2 2m + 1 ) = 2 2m +2 m 1 = 2 2 2m 1 = 2 2m+1 1, was zu zeigen war. (12 Punkte) Viel Erfolg!

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