Fragen und Aufgaben zum Grundwissen Mathematik

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1 Natürliche Zahlen Kapitel I ZÄHLEN UND ORDNEN GROßE ZAHLEN UND ZEHNERPOTENZEN Acht Schwimmer bestreiten einen Wettkampf. Miriam gewinnt die Bronzemedaille. Franz wird Vorletzter. Welche Platzierung haben die beiden erreicht? Miriam belegt den dritten, Franz den siebten Platz. Ordne der Größe nach: 104; 35; 47; 16; 58 16<35<47<58<104 Bestimme den Vorgänger und den Nachfolger: 52 und 1099 Vorgänger Zahl Nachfolger Lies drei Millionen dreiundsiebzigtausendachtzig Schreibe mit Hilfe einer Zehnerpotenz: = Schreibe ohne Zehnerpotenz: Schreibe mit Ziffern: dreiundzwanzig Millionen achthundertfünfundsiebzigtausend einundzwanzig DEZIMALSYSTEM Wie lautet die größte sechsstellige Zahl, die genau drei verschiedene Ziffern enthält? Wie lautet die kleinste sechsstellige Zahl, die genau drei verschiedene Ziffern enthält?

2 Natürliche Zahlen Kapitel I ZAHLENSTRAHL Gib bei jeder Teilaufgabe an, auf welche Zahlen die Pfeile zeigen. Finde zuerst den Maßstab heraus. Welchem Abstand entspricht ein Kästchen (K)? a) 1K ˆ 1; A=1; B=4; C=13; D=19; E=22 b) 1K ˆ 10; A=10; B=40; C=130; D=190; E=220 c) 1K ˆ 30:15 2 ; A=2; B=4 2=8; C=30-2 2=26; D=30+4 2=38; E=30+7 2=44 d) 1K ˆ 24: 8 3 ; A=3; B=4 3=12; C=24+5 3=39; D= =57; E= =66

3 Natürliche Zahlen Kapitel I DIAGRAMM Runde die Höhenangaben auf Hunderter und stelle die gerundeten Werte in einem passenden Diagramm dar. Runde sinnvoll! Überlege dir einen geeigneten Maßstab! Zugspitze 2964 m 3000 m Beispiel Säulendiagramm Mont Blanc 4884 m 4900 m Großer Arber 1456 m 1500 m Ochsenkopf 1023 m 1000 m Mädelegabel 2645 m 2600 m Kampenwand 1668 m 1700 m Höhe in m Zugsp. Mont B. Gr. Arber O.Kopf Mädeleg. K.wand Hinweis: Beim Lesen von Diagrammen: Achseneinteilung beachten!

4 Natürliche Zahlen Kapitel I KOORDINATENSYSTEME Zeichne ein Koordinatensystem (KOS) und trage die folgenden Punkte ein: A(2 2); B(4 3); C(3 7) Beachte die größte x- und y-koordinate, daraus ergibt sich die Länge der Achsen! Beschriftung der Achsen nicht vergessen und Pfeile nur nach rechts und oben!

5 Natürliche Zahlen Kapitel I ZAHLENMENGEN Beispiele: Primzahlen = {2; 3; 5; 7; 11; }, Quadratzahlen = {1; 4; 9; 16, }, Teilermengen z. B. T(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}, Vielfachmengen z. B. V(7) = {7; 14; 21; } Überprüfe die Behauptungen! a) 9 T36 b) 3,1 NI ( 3,1 ist kein Element der natürlichen Zahlen ) a) Überlegung: 36 : 9 = 4 ohne Rest, d.h. 9 ist ein Teiler von 36. Also ist die Behauptung richtig! IN 1;2;3;4;5;..., d.h. 3,1 NI, die Behauptung ist richtig! b) RUNDEN Runde auf die vorgegebene Einheit: a) 475 cm (m) b) 4 kg 75 g (kg) a) Überlegung: 100 cm = 1 m ; 475 cm 5 m (7 an der Zehnerstelle Aufrunden) b) Überlegung: 1000g = 1 kg; 4 kg 75 g = 4075 g 4 kg

6 Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen Kapitel II ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN AM ZAHLENSTRAHL BEZEICHNUNGEN SCHRIFTLICHES ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN Stelle den Term auf und Berechne ihn anschließend: Subtrahiere 28 von der Summe der Zahlen 312 und 115. Beachte, subtrahiere 4 von 10 bedeutet Von der Summe der Zahlen 312 und 115 soll also die Zahl 28 abgezogen werden. ( ) 28 = = 399 Beispiele: Ergänzen: Borgen:

7 Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen Kapitel II KOMMUTATIVGESETZ (KG) UND ASSOZIATIVGESETZ (AG) GEMISCHTES ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN OHNE KLAMMERN KG: Bei Summen dürfen die Summanden vertauscht werden: = Vorsicht, es gilt nicht: 15 4 = 4 15 AG: Klammern dürfen bei Summen beliebig versetzt werden: 27 + ( ) = ( ) Daraus entsteht ein Rechenvorteil! Vorsicht, es gilt nicht: = 27 (2+8). Der linke Term ergibt =33, der rechte Term ergibt = 17. Die Verwendung der Rechengesetze führt zu Rechenvorteilen Grundsätzlich wird von links nach rechts gerechnet Bsp.: = = = 135. Mit Hilfe des KG ist die Aufgabe viel leichter im Kopf zu rechnen. Kommutativgesetz (KG): Für alle natürlichen Zahlen a, b gilt: a + b = b + a Bsp.: = = ( ) ( ) = = 36 Zuerst: Sortieren der Plus- und Minusglieder. Dann: Summe der Plusglieder minus Summe der Minusglieder.

8 Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen Kapitel II TERME Gliedere und berechne: = = 278 Differenz Summe Schreibe den Term ( ) (250 48) in Wortform. Subtrahiere die Differenz der Zahlen 250 und 48 von der Summe der Zahlen 475 und 25. oder: Der Term ist eine Differenz. Der Minuend ist die Summe der Zahlen 475 und 25, der Subtrahend ist die Differenz der Zahlen 250 und 48.

9 Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Kapitel III GANZE ZAHLEN a) Hier dreht sich alles um die drei Zahlen 3, -7 und 0! In welchen der Zahlenmengen IN, IN0 bzw. Z sind die drei Zahlen jeweils enthalten? Lsg.: 3 Î IN, 3Î IN 0 und 3Î Z, -7 Î Z, 0 Î IN 0 und 0 Î Z Ordne die drei Zahlen, beginne mit der größten Zahl! Lsg.: 3 > 0 > -7 Wo befindet sich auf folgender Zahlengeraden die 0? Bestimme die Einheit! Lsg.: Einheit: 0,5 cm Welche der drei Zahlen hat den größten Betrag? Lsg.: 3 3; 7 7 ; 0 0; also die Zahl -7 hat den größten Betrag, nämlich 7 b) Trage die Punkte P(-3/2), Q(-1/-2), R(0/1) und S(4/-1) Überlege zuerst, wie groß das Koordinatensystem werden muss, indem Du die größte bzw. kleinste x-koordinate und die größte bzw. kleinste y-koordinate der gegebenen Punkte betrachtest P y 2 1 R Q -1-2 S x

10 Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Kapitel III ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN KOMMUTATIVGESETZ ASSOZIATIVGESETZ Berechne! ( 19) 68 (19 68) ( 68) ( 19) ( 68) (6819) ( 19) ( 68) (19 68) ( 68) (19) ( 68) (19 68) 87 Verschaffe Dir einen Rechenvorteil durch Anwendung Dir bekannter Rechengesetze! als Summe schreiben ( 19) ( 19) ( 19) 31 AG AG ( 19) KG AG

11 Geometrische Grundbegriffe Kapitel IV KÖRPER Welche Formen haben diese Gegenstände? Gib jeweils den entsprechenden geometrischen Grundkörper an! Würfel und Pyramide Kugel Prisma Kegel, Zylinder Quader und Quader PUNKTE, GERADEN, STRECKEN Zeichne [AB], [CA, BC und bestimme AB! A A C C B B AB 3,5 cm

12 Geometrische Grundbegriffe Kapitel IV GEOMETRISCHE LAGEBEZIEHUNGEN Suche ein Parallelenpaar und ein Paar senkrechter Geraden! h II i und g h oder g i k g h i SYMMETRIE Welche der Verkehrsschilder sind achsensymmetrisch? ( Die ersten drei Schilder.)

13 Geometrische Grundbegriffe Kapitel IV WINKEL Bestimme die Größen der Winkel und

14 Multiplikation und Division natürlicher Zahlen Kapitel V LERNINHALTE MULTIPLIZIEREN, DIVIDIEREN UND POTENZIEREN NATÜRLICHER ZAHLEN 1. Überschlage und berechne dann schriftlich Überschlag: = : 76 = 721 Überschlag: : 80 = Berechne. 8 2 = = 16 8² = 8 8 = = = = 21 7³ = = = Wie ändert sich der Wert eines Produktes, wenn man den ersten Faktor vervierfacht und den zweiten Faktor halbiert. Überprüfe an einem selbst gewählten Beispiel. Antwort: Der Wert verdoppelt sich. Beispiel: 3 8 = 24 und (3 4) (8 : 2) = 12 4 = Zerlege in Primfaktoren = = = = = = 2³ 5 7² RECHENGESETZE UND RECHENVORTEILE 1. Berechne. a) = = 141 Punkt vor Strich! b) (5 + 17) 8 = 22 8 = 176 Klammern zuerst! c) 2 4 : 4 3 (2 7)² = 2 4 : ² Klammern zuerst! = 16 : Hoch vor Punkt! = Punkt vor Strich! = 584

15 Multiplikation und Division natürlicher Zahlen 2. Berechne und gib das verwendete Rechengesetz an. a) 8 (13 125) = 8 (125 13) Kommutativgesetz = (8 125) 13 Assoziativgesetz = = b) 25 (10 + 4) = Distributivgesetz = = 350 c) (240 48) : 12 = 240 : : 12 Distributivgesetz = 20 4 = 16 d) = 17 (15 + 5) Distributivgesetz = = 340 Kapitel V TERME 1. Gliedere und berechne. [146 - ( :9 )] 11 Quotient Summe Differenz Produkt Rechnung: [146 ( : 9)] 11 = [146 ( ) ] 11 = [ ] 11 = = Stelle den Term auf und berechne. Subtrahiere das Doppelte der Summe aus 431 und 87 vom Quotienten aus 64 und : 16 2 ( ) = = = 1032

16 Multiplikation und Division natürlicher Zahlen Kapitel V ABZÄHLEN MIT BAUMDIAGRAMMEN Florian hat in einer Tüte drei rote und ein gelbes Gummibärchen. Er lässt seine drei Freunde Annette, Bastian und Carsten jeweils eines herausnehmen. Wie viele Möglichkeiten für die Verteilung der Gummibärchen gibt es? r g Annette r g r Bastian r g r r Carsten Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten.

17 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen Kapitel VI MULTIPLIZIEREN UND DIVIDIEREN GANZER ZAHLEN 1. Berechne. a) 17 4 = 68 minus plus = minus b) ( 6) ( 12) = 72 minus minus = plus c) ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) = 8 d) 2 4 = = Berechne. a) 48 : ( 6) = 8 plus : minus = minus b) ( 27) : ( 9) = 3 minus : minus = plus c) 0 : ( 23) = 0 d) ( 5) : 0 =?? Durch Null kann man nicht dividieren! 3. a) Welche Zahl muss man durch 7 dividieren, um 5 zu erhalten? : 7 = 5 = ( 5) ( 7) = 35 b) Welche Zahl muss man mit 12 multiplizieren, um 48 zu erhalten? ( 12) = 48 = 48 : ( 12) = 4 RECHENGESETZE UND RECHENVORTEILE Berechne indem du Rechenvorteile ausnutzt. a) ( 4) 13 ( 25) 3 = ( 4) ( 25) 13 3 Kommutativgesetz = Assoziativgesetz = 3900 b) ( 5) 99 = ( 5) (100 1) = ( 5) ( 5) ( 1) Distributivgesetz = = 495 c) ( 28) 43 = (8 28) 43 Distributivgesetz = = 860

18 Größen Kapitel VII UMRECHNEN VON GRÖßEN 1. Schreibe die Größe mit der in Klammern angegebenen Einheit. a) 18 m (cm) = 1800 cm b) mm (m) = 123,456 m c) 4 km 80 m (km) = 4,080 km d) 3,4 kg (g) = 3400 g e) 125 kg (t) = 0,125 t f) 3200 Ct ( ) = 32 g) 390 min (h) = 360 min + 30 min = 6 h + 0,5 h = 6,5 h h) 3 d 10 h (h) = 72 h + 10 h = 82 h i) 1 h (s) = 60 min = 3600 s 2. Schreibe in gemischten Einheiten. a) 2405 mm = 2000mm mm + 5 mm = 2 m 4 dm 5 mm b) 2002,02 m = 2000 m + 2 m + 0,02 m = 2 km 2m 2 cm c) mg = mg + 9 mg = 13 g 9 mg d) 4,30201 t = 4 t 302 kg 10 g e) 500 s = 480 s + 20 s = 8 min 20 s f) 70 h = 48 h + 22 h = 2 d 22 h RECHEN MIT GRÖßEN 1. Berechne. a) 5 dm 3 cm + 1,2 m 22 mm = 530 mm mm 22 mm = 1730 mm 22 mm = 1708 mm b) 1 h 20 s 12 2 d : 6 = 12 h 240 s 48 h : 6 Größe Zahl = Größe = 12 h 4 min 8 h Größe : Zahl = Größe = 4 h 4 min c) 1,8 m : 12 cm = 180 cm : 12 cm = 15 Größe : Größe = Zahl

19 Größen Kapitel VII 2. Ein Metzger schneidet von einem Stück Schweinefleisch 6 Schnitzel zu je 180 g ab. Danach wiegt das Stück noch 750 g. Welche Masse hatte das Stück vorher? 750 g g = 750 g g = 1830 g =1,83 kg MAßSTAB 1. Peter plant mit einer Karte im Maßstab 1: eine Wandertour. Auf der Karte ist der Weg 32 cm lang a) Wie lang ist die Strecke in Wirklichkeit? b) Peter legt pro Stunde 5 km zurück. In wie viel cm Entfernung von seinem Wohnort muss er auf der Karte ein Ziel aussuchen, wenn er nicht mehr als 3 Stunden unterwegs sein will? a) 32 cm = cm = 9600 m = 9,6 km b) (3 5 km) : = 15 km : = cm : = 50 cm 2. Auf einem Bauplan ist der Grundriss eines Hauses 18 cm breit. In Wirklichkeit ist das Haus 9 m breit. Welchen Maßstab besitzt der Bauplan? 9 m : 18 cm = 900 cm : 18 cm = 50, d.h. der Maßstab ist 1 : 50.

20 Fläche und Flächenmessung Kapitel VIII FLÄCHENMESSUNG UND FLÄCHENEINHEITEN FLÄCHENINHALTE VON RECHTECKEN Schreibe mit der in Klammern angegebenen Einheit. a) 18 m 2 (cm 2 ) = cm 2 b) 0,876 dm² (m²) = 87,6 m² c) 567,2 ha (km²) = 5,672 km² d) 156 a (m²) = m² 1. a) Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von 9 a. Wie lang ist der Umfang des Quadrats? 9 a = 900 m²; 30 m 30 m = 900 m² ; Also ist der Umfang: 4 30 m = 120 m. b) Ein Quadrat hat einen Umfang von 124 m. Welchen Flächeninhalt hat das Quadrat? 124 m : 4 = 31 m; Also ist der Flächeninhalt: 31 m 31 m = 961 m². c) Ein Rechteck hat die Länge 147 m und die Breite 313 m. Welchen Flächeninhalt hat das Rechteck? 147 m 313 m = m² = 4 ha 60 a 11 m² d) Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 135 cm² und die Länge 30 cm. Berechne die Breite und den Umfang. Breite: mm² : 300 mm = 45 mm; Umfang: 2 (30 cm + 4,5 cm) = 69 cm

21 Fläche und Flächenmessung Kapitel VIII 2. a) Der Umfang eines rechtwinkligen Gartens, der doppelt so lang wie breit ist, ist 126 m lang. Wie lang sind die Seiten des Gartens? Welchen Flächeninhalt hat er? 126 m : 6 = 21 m; Also ist die Breite 21 m und die Länge 42 m. Flächeninhalt: 21 m 42 m = 882 m² b) Um den Garten wird ein 1 m breiter Weg mit Platten ausgelegt. Wie viel m² Platten werden benötigt? (21 m + 2 m) (42 m + 2 m) 882 m² = 23 m 44 m 882 m² = 1012 m² m² = 130m² 3. Bestimme den Flächeninhalt. A = (4 m + 3 m) 2 m 4 m 2 m = 14 m² - 8 m² = 6 m²

22 Fläche und Flächenmessung Kapitel VIII OBERFLÄCHENINHALTE VON QUADERN 1. Berechne den Oberflächeninhalt eines Quaders mit a) l = 5 cm, b = 6 cm, h = 7 cm 2 (5 cm 6 cm + 5 cm 7cm + 6 cm 7 cm) = 214 cm² b) l = 0,8 m, b = 8 cm, h = 80 mm 2 (80 cm 8 cm + 80 cm 8cm + 8 cm 8 cm) = 2688 cm² 2. Berechne die Länge eines Quaders mit O = 118 cm², b = 7 cm, h = 2cm. 118 cm² : 2 = 59 cm²; 59cm² - (7 2) cm² = 45 cm²; 45 cm² : (7 + 2) cm = 5 cm Also ist die Länge des Quaders 5cm. 3. Berechne den Oberflächeninhalt des Körpers. O = 2 (4 cm 4 cm + 2 cm 1 cm + 3 cm 6 cm + 4 cm 3 cm) = 96 cm²

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