Musteraufgaben Fachoberschule 2017 Mathematik

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1 Musteraufgaben Fachoberschule 07 Funktionsuntersuchung /8 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 0,05x 0,75x +,x +,8 und dem Definitionsbereich x [0;0]. Der Graph G f der Funktion f stellt den Verlauf einer Straße dar. Das Koordinatensystem nebenan zeigt einen Kartenausschnitt der Größe 0 km mal 0 km, d. h. für beide Achsen gilt: LE = km. Die x-achse zeigt in Richtung Osten, die y-achse in Richtung Norden. In dieses Koordinatensystem soll der Straßenverlauf eingezeichnet werden.. Berechnen Sie die Funktionswerte f(x) für die x-werte in der folgenden Tabelle. Zeichnen Sie die sich ergebenden Punkte in das Koordinatensystem oben ein. Verbinden Sie die Punkte erst, wenn Sie. und. bearbeitet haben. /6 x f(x). Die Straße ist in einem bestimmten Bereich rechtsgekrümmt und in einem anderen Bereich linksgekrümmt. Weisen Sie nach, dass es einen Punkt gibt, in dem sich die Krümmungsrichtung der Straße ändert, und berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes. Zeichnen Sie diesen Punkt in das Koordinatensystem (siehe oben) ein. Bestimmen Sie für diesen Punkt die Tangentensteigung m t. /7. Der nördlichste und der südlichste Punkt der Straße liegen an den Extrempunkten des Graphen von f. Bestimmen Sie die Art und die Lage dieser Extrempunkte. Kennzeichnen Sie diese Punkte im Koordinatensystem (siehe oben). Verbinden Sie nun alle bisher eingezeichneten Punkte zum Graphen G f von f. /9 Musteraufgaben Fachoberschule 07 Seite von 5

2 Musteraufgaben FOS. Diese Straße wird von einem Pkw befahren, der sich in östliche Richtung bewegt. Eine fest installierte Videokamera mit einem starken Teleobjektiv zeigt immer genau geradeaus, also in Richtung der Tangente. Als der Pkw auf der Straße den Punkt ( 6,6) durchfährt, erblickt der Fahrer auf dem Monitor der Kamera einen knallroten Lkw, der sich auf derselben Straße einige km entfernt befindet. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt ( 6,6). Zeichnen Sie die Tangente in das Koordinatensystem ein. Berechnen Sie die Koordinaten des Lkw. /.5 Nördlich der Straße steht ein Windrad im Punkt (6 ). Die Kamera hat einen Blickwinkel von 0, kann also Objekte erfassen, die bis zu 5 links oder rechts von der Blickrichtung (also der Tangente) liegen. Untersuchen Sie, ob die Kamera das Windrad bereits erfassen kann, wenn sich das Fahrzeug im Punkt ( 6,6) befindet. / Musteraufgaben Fachoberschule 07 Seite von 5

3 Musteraufgaben FOS Integralrechnung /5 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x) = x 0x + 9 (siehe Abbildung ). Der Graph einer Parabel p verläuft durch die drei Punkte P (0,5 0), P ( ), und P ( 5).. Begründen Sie, dass der Graph von f spiegelsymmetrisch zur y-achse verläuft. Weisen Sie nach, dass x = ± und x =± Nullstellen von f sind.. Der Graph der Funktion f und die x-achse schließen zwei Flächenstücke ein, die unterhalb der x-achse liegen. Berechenen Sie den Flächeninhalt dieser beiden Flächen.. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel p mit Hilfe eines Gleichungssystems. [Zur Kontrolle: p ( x) = x + ]. Die Graphen der Funktionen f und p schneiden sich mehrfach. Berechnen Sie alle Schnittpunkte der beiden Graphen..5 Skizzieren Sie den Graphen der Parabel p in dem Koordinatensystem. Im. und. Quadranten schließen die x-achse, der Graph von p und der Graph von f eine Fläche ein. Ermitteln Sie die Größe dieser Fläche..6 Verschiebt man den Graphen der Parabel p parallel zur y-achse nach oben, vergrößert sich die Fläche, die von dem Graphen der Parabel p und der x-achse im Intervall [ 0,5; 0,5] eingeschlossen wird. Berechnen Sie, um wie viele Einheiten der Graph der Parabel p nach oben verschoben werden muss, damit die im Intervall [ 0,5; 0,5] eingeschlossene Fläche 0 FE groß wird. / /6 /7 /6 /8 /5 Musteraufgaben Fachoberschule 07 Seite von 5

4 Musteraufgaben FOS Koordinatensystem zu Aufgabe. Musteraufgaben Fachoberschule 07 Seite von 5

5 Musteraufgaben FOS Stochastik /7 Laut Statistischem Jahrbuch waren im Jahr 0 von..89 Einwohnern der Stadt Berlin 5.5 als Mitglied in einem Sportverein organisiert. Diese werden im Folgenden kurz Sportler genannt.. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person Sportler ist. Geben Sie diese Wahrscheinlichkeit auch in Prozent an. / Bei Telefonumfragen werden zufällig ausgewählte Personen nach ihrer Vereinsmitgliedschaft befragt. Rechnen Sie bei den folgenden Aufgaben mit einer Wahrscheinlichkeit von 6 % dafür, dass eine zufällig befragte Person Sportler ist.. Ermitteln Sie folgende Wahrscheinlichkeiten, z. B. unter Verwendung eines Baumdiagramms: E : Von drei befragten Personen ist erst die dritte ein Sportler. E : Unter den ersten drei befragten Personen ist genau ein Sportler. /7. Formulieren Sie das Gegenereignis zum Ereignis E Unter den ersten vier befragten Personen sind höchstens drei Sportler. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von E mit Hilfe des Gegenereignisses.. Es werden viele Telefonumfragen mit stets 500 Personen durchgeführt. Geben Sie an, welche Anzahl von Sportlern bei solchen Umfragen durchschnittlich zu erwarten ist. / / Unter den 6.0 Einwohnern der Altersgruppe 9 Jahre gab es im Jahr 0 insgesamt.08 Sportler. In dieser Altersgruppe gab es Mädchen, davon waren.0 in einem Sportverein organisiert..5 Stellen Sie diese Daten in einer Vierfeldertafel dar und vervollständigen Sie diese. Nennen Sie ggf. die Bedeutung von Abkürzungen, die Sie verwenden. /5.6 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A: eine zufällig ausgewählte Person dieser Altersgruppe männlich und Sportler ist B: ein zufällig ausgewählter Sportler männlich ist. /5.7 Untersuchen Sie unter Verwendung der gegebenen Daten, ob es einen stochastischen Zusammenhang zwischen der Mitgliedschaft in einem Sportverein und der Zugehörigkeit zu einer Altersgruppe gibt. / Musteraufgaben Fachoberschule 07 Seite 5 von 5

6 Musteraufgaben Fachoberschule 07 Erwartungshorizont. x f(x),8 7 5,6,6,8 Punkte im Koordinatensystem eintragen. 6. Bestimmung des Wendepunktes f ( x) = 0,5x,5x +, f ( x) = 0= 0,x,5 notwendige Bedingung x= 5 mögliche Wendestelle f'''( x ) = 0, f'''( xw) 0 Überprüfen der hinreichenden Bed. f'''(5) 0 W(5,) Wendepunkt Wendepunkt einzeichnen Es ist: f (5) =,5 Steigung bei x= 5. Bestimmung der Extrempunkte f ( x) = 0= 0,5x,5x +, notwendige Bedingung x und x 8 mögliche Extremstelle = = f ( x) = 0,x,5 f ( x E ) 0 Überprüfen der hinreichenden Bed. f ( ) < 0 H( 7) lokales Maximum bei x = f ( 8) > 0 T(8,6) lokales Minimum bei x = Extrempunkte einzeichnen und Graph skizzieren Musteraufgaben Fachoberschule 07 Seite von 6

7 Erwartungshorizont Musteraufgaben. Bestimmung der Tangente an der Stelle x= : t( x) = mx+ b m= f ( x) = 0,75 und P( 6,6 ) als gemeinsamer Punkt: b = 8,85 Also: t( x) = 0,75x+ 8,85 Berechnung der Schnittpunkte: f(x)= t(x) 0= x 5x + 6x 8 Eine Lösung der Gleichung liegt wegen des Berührpunktes bei x=. Die Polynomdivision ergibt: ( x 5x + 6x 8):( x ) = x x+ 7 0 = x x + 7 x = undx 9 = Der Lkw befindet sich im Punkt Q(9,). Hinweis: Auch eine rechnerische Ermittlung des Punktes Q, die ohne Polynomdivision auskommt, wird akzeptiert. 6.5 Im Punkt ( 6,6) ist die Tangentensteigung m = 0, 75.,6 Die Gerade durch ( 6,6) und (6 ) hat die Steigung m =. Es ist tan,6 ( 0,75) 6,87 und tan ( ) 0,9. Also ist α, 0, also ist das Windrad bereits im Blickfeld der Kamera. t Summe der BE in den Anforderungsbereichen 6 0 Summe der BE 8 Musteraufgaben Fachoberschule 07 Seite von 6

8 Erwartungshorizont Musteraufgaben. Der Graph von f ist spiegelsymmetrisch zur y-achse, da die Funktionsgleichung nur Potenzen von x mit geraden Exponenten enthält. Einsetzen ergibt z. B.: f( + ) = 0und f ( + ) = 0. Da f spiegelsymmetrisch ist, sind auch x = und x = Nullstellen.. Berechnung der beiden Teilflächen A rechts [ x x + 9 ] = = 0, 7 = f( x) dx = x links A rechts 5 A = aus Gründen der Symmetrie Jede der beiden Teilflächen hat einen Flächeninhalt von ca. 0,7 FE Rekonstruktion der Parabelgleichung aus den gegebenen Punkten p( x) = ax + bx+ c a+ b+ c = 0 Punkt P (0,5 0) a + b+ c = Punkt P ( ) a + b+ c = 5 Punkt P ( 5) Lösungen des Gleichungssystems berechnen a = ; b = 0 ; c = + Funktionsgleichung: p ( x) = x. Berechnung der Schnittstellen von f und p f ( x) = p( x) Ansatz Schnittstellen 6 = x + x 8 0 Substitution z + 6z 8= 0 p-q-formel x = z z ; z Resubstitution x =± z = = x N = ; x N = ; x N = ; x N = Nullstellen Wegen der Symmetrie ist p x ) p( x ) = 5und p x ) p( x ) = 7, ( N = N ( N = N also: S ( 5), S( 7), S( 7), S( 5). Musteraufgaben Fachoberschule 07 Seite von 6

9 Erwartungshorizont Musteraufgaben.5 Graph von p skizzieren Ansatz für schraffierte Fläche z. B. 0,5 A = ( f( x) p( x)) dx+ f( x) dx 0 0,5 0.5 x 6x + 8 dx+ x 0x + = 9dx 0 0.5,756+,777, FE.6 Ansatz 0,5 A = ( p( x) + c) dx = 0,5 0 bzw. 0,5 ( 0 p ( x) + c) dx = c =, also c = 6 6 Die Parabel p muss um 6 Einheiten nach oben verschoben werden. 0 Summe der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 5 Musteraufgaben Fachoberschule 07 Seite von 6

10 Erwartungshorizont Musteraufgaben. 5.5 P (" Sportler") = 0,55= 5,5%..89. Sportler kein Sportler E E x x x x 5 P ( E) = 0,6 0,8 0,9 P ( E) = 0,6 0,8 0,87. E : Unter den ersten vier befragten Personen sind höchstens drei Sportler. E : Unter den ersten vier befragten Personen sind mindestens vier Sportler (also genau ). P ( E) = 0,6 0,0007 P ( E) = P( E) 0,999. E( X) = n p = 500 0,6 = 80 Musteraufgaben Fachoberschule 07 Seite 5 von 6

11 Erwartungshorizont Musteraufgaben.5 S: Die betreffende Person ist Mitglied eines Sportvereins. W: Die betreffende Person ist weiblich. W W S S P(W S) = 0, P S(W) = 0,777 = 7,77% h A ( S) = 0,97und h ( S) 0, Die relative Häufigkeit von Sportlern in der vorgegebenen Altersgruppe ist mit 9,7% deutlich höher als die realtive Häufigkeit der Sportler unter allen Einwohnern Berlins. In dieser Altergruppe findet man also überdurchschnittlich viele Sportler. Summe der BE in den Anforderungsbereichen 9 7 Summe der BE 7 Musteraufgaben Fachoberschule 07 Seite 6 von 6