Mikroökonomik 2. Vorlesungswoche

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1 Mikroökonomik 2. Vorlesungswoche Tone Arnold Universität des Saarlandes 30. Oktober 2007 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

2 Präferenzen Wie treffen Konsumenten/Individuen ihre Konsumentscheidungen? Konsumentscheidung Jeder Konsument will das Beste erreichen, was es sich leisten kann. Dabei wird das Beste bestimmt durch die Präferenzen des Individuums, und was es sich leisten kann durch seine Budgetbeschränkung. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

3 Präferenzrelationen Wir gehen davon aus, dass jeder weiss, was für ihn selbst am besten ist. Annahmen: Systematisches Verhalten der Konsumenten. Konsument kann angeben, ob er ein Konsumplan gegenüber einem anderen Konsumplan bevorzugt, also Konsumpläne bewerten. Konsument soll sich bei seiner Bewertung widerspruchsfrei verhalten. Bewertung unterschiedlicher Konsumpläne mittels einer Präferenzordnung oder Präferenzrelation. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

8 Beispiel Wir betrachten die Güter Milch (Gut 1) und Brot (Gut 2). Zwei Konsumpläne: x = (3, 1) (i.e. 3 Liter Milch und 1 Brot) y = (1, 2) (i.e. 1 Liter Milch und 2 Brote). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

9 Präferenzen Notation x y bedeutet: x ist echt besser als y, bzw. x wird gegenüber y strikt präferiert. x y bedeutet: Beide sind gleich gut, der Konsument ist indifferent. x y bedeutet: x ist mindestens so gut wie y, bzw. x wird gegenüber y schwach präferiert. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

12 Ordinale Präferenzordnung Wichtig: Die Präferenzordnung ist ordinal, nicht kardinal. Das bedeutet: Die Präferenzen geben eine Ordnung über alle Konsumpläne an, z.b. vom schlechtesten zum besten. Der Konsument kann z.b. sagen: x ist mir lieber als y. Es ist aber nicht möglich zu sagen: Ich mag x dreimal so gern wie y. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

13 Annahmen an die Präferenzordnung (Axiome) Axiome: Die Präferenzen sind 1 vollständig 2 transitiv 3 und monoton. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

14 Vollständige Präferenzen Vollständigkeit der Präferenzen bedeutet, dass der Konsument in der Lage ist, zwei beliebige Konsumpläne x und y zu bewerten, i.e. genau eine der folgenden Aussagen zu machen: entweder x ist besser als y, oder y ist besser als x, oder x und y sind beide gleich gut. Ausgeschlossen sind durch die Vollständigkeit Aussagen wie ich kann mich nicht entscheiden, ich bin mir nicht sicher, etc. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

15 Vollständigkeit Vollständigkeit der Präferenzen bedeutet, dass jeder immer genau weiss, was er will. Sei X die Menge aller denkbaren Konsumpläne. Definition 1 (Vollständigkeit/Completeness) Sei X die Menge aller möglichen Konsumpläne. Eine Präferenzrelation auf X ist vollständig genau dann, wenn für alle x, y X gilt x y oder y x. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

16 Transitive Präferenzen Studentin Claudia erzählt ihrer Freundin: 1 sie mag Ben lieber als Frank, 2 sie mag Frank lieber als Paul, 3 sie mag Paul genauso gern wie Michael, 4 und sie findet Michael besser als Ben. Frage: Wen von den fünf Jungen mag Claudia am liebsten? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

17 Claudias Präferenzen sehen so aus: Ben Frank Paul Micha Ben. Claudias Präferenzen sind inkonsistent: Micha Ben und Ben Frank impliziert, dass Micha Frank. Dies ist ein bf Widerspruch zu der Aussage Frank Paul Micha. Transitivität schliesst solche Zirkelschlüsse und Widersprüche in den Entscheidungen eines Konsumenten aus. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

22 Definition 2 (Transitivität/Transitivity) Eine Präferenzrelation auf X ist transitiv genau dann, wenn für alle x, y, z X gilt x y und y z = x z. Transitivität gilt auch für die strikte Präferenz und für Indifferenz: x y und y z = x z. und x y und y z = x z. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

23 In Büchern findet man häufig noch die Annahme der Reflexivität. Reflexivität bedeutet, dass jeder Konsumplan mindestens so gut ist wie er selbst. Definition 3 (Reflexivität/Reflexiveness) Eine Präferenzrelation auf X ist reflexiv genau dann, wenn für alle x X gilt x x. Die Eigenschaft der Reflexivität ist in der Vollständigkeit enthalten es wurde bei der Definition der Vollständigkeit nicht verlangt, dass die Konsumpläne x und y verschieden sein müssen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

24 Mögliche Probleme Es kann in einer vorgegebenen Menge von Konsumplänen mehrere beste Alternativen geben. Es ist nicht sicher, dass es überhaupt eine beste Alternative gibt. Z. B. ist die Relation auf den reellen Zahlen vollständig und transitiv, aber es gibt keine beste (also grösste) reelle Zahl. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

27 Monotone Präferenzen Bei Gütern sinnvoll: Annahme der Monotonie: mehr ist besser. Wir betrachten 3 Güter (Milch, Brot, Kaffe) und zwei Konsumpläne: x = (1, 2, 1) und y = (2, 3, 4). Monotonie impliziert y x, da y von jedem der drei Güter mehr enthält als x. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

28 Streng monotone Präferenzen Wir betrachten 3 Güter (Milch, Brot, Kaffe) und zwei andere Konsumpläne: x = (1, 2, 1) und y = (1, 2, 2). Der Konsumplan y enthält genau so viel Milch und Brot wie der Konsumplan x, aber mehr Kaffee. Strenge Monotonie impliziert y x, da y von jedem der drei Güter mindestens so viel enthält wie x, und von mindestens einem Gut mehr. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

29 Definition 4 (Monotonie) Eine Präferenzrelation auf X ist monoton genau dann, wenn für alle Konsumpläne x, y X gilt: Wenn y von jedem Gut mehr enthält als x, dann gilt y x. Definition 5 (Strenge Monotonie) Eine Präferenzrelation auf X ist streng monoton genau dann, wenn für alle Konsumpläne x, y X gilt: Wenn y von jedem Gut mindestens soviel enthält wie x und wenn y von mindestens einem Gut mehr enthält als x, dann gilt y x. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

30 Grafische Darstellung von Konsumplänen Wir betrachten zwei Güter (Milch und Brot) und drei Konsumpläne: x 2 (Brot) x = (3, 3), y = (2, 4) und z = (5, 5) y x z x 1 (Milch) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

31 Aus der Grafik sieht man, dass gelten muss z y und z x. Über die Präferenzrelation zwischen x und y lässt sich ohne weitere Information nichts sagen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

32 Grafische Darstellung von Monotonie x 2 x 2 besser als x besser als x x x schlechter als x schlechter als x (a) monoton x 1 (b) streng monoton x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

33 Indifferenzmenge Die Menge aller Konsumpläne, die für einen Konsumenten genau so gut sind wie ein gegebener Konsumplan x, wird als Indifferenzmenge zu x bezeichnet. Definition 6 (Indifferenzmenge) Gegeben sei ein Konsumplan x. Die Indifferenzmenge I(x) ist die Menge aller Konsumpläne, die aus der Sicht des Konsumenten geanuso gut sind wie x: I(x) = {y X y x}. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

34 Indifferenzkurve x 2 z y x I(x) x 1 Es gilt: x y z. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

35 Besser und Schlechtermenge Definition 7 (Bessermenge) Gegeben sei ein Konsumplan x X. Die Bessermenge B(x) ist definiert als die Menge aller Konsumpläne, die der Konsument als besser erachtet als x: B(x) = {y X y x}. Definition 8 (Schlechtermenge) Gegeben sei ein Konsumplan x X. Die Schlechtermenge S(x) ist definiert als die Menge aller Konsumpläne, die der Konsument als schlechter erachtet als x: S(x) = {y X x y}. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

36 x 2 B(x) S(x) x I(x) x 1 Monotonie impliziert: nichtpositive Steigung dieser Kurven strenge Monotonie impliziert: negative Steigung Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

37 System von Indifferenzkurven Eine Präferenzordnung lässt sich darstellen als ein System von Indifferenzkurven. Bessere Konsumpläne liegen auf höheren Kurven, schlechtere auf niedrigeren. x 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

38 Konvexität der Präferenzen Konvexität einer Präferenzordnung bedeutet: Mischungen von Konsumplänen sind besser als Extreme. Beispiel: Die Konsumpläne x = (2, 10) und y = (11, 1) sind extrem: Sie enthalten jeweils von einem Gut viel und von dem anderen wenig. Bei konvexen Präferenzen bevorzugt der Konsument Mischungen aus beiden Gütern gegenüber diesen Extremen, z. B. gilt für z = 0.5x + 0.5y = (5.5, 6.5) z x und z y. Der Konsumplan z ist eine konvexe Mischung aus den Konsumplänen x und y. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

39 Konvexe Mischung x 2 10 x 1 2 y 11 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

40 Konvexe Mischung x 2 10 x 5.5 z 1 y x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

41 Höhere Indifferenzkurve x 2 10 x 5.5 z 1 y x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

42 Konvexität der Präferenzen Definition 9 (Konvexität) Eine Präferenzordnung auf X ist konvex, wenn für jedes Paar x, y X gilt x y = λx + (1 λ)y x für alle λ (0, 1). Eine Präferenzordnung auf X ist streng konvex, wenn für jedes Paar x, y X gilt x y = λx + (1 λ)y x für alle λ (0, 1). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

43 Grafisch: x 2 x 2 x λx + (1 λ)y y x 1 2 x y y (c) streng konvex x 1 (d) konvex x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

44 Konvexität: Konvexität heisst also, dass jede Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf einer Indifferenzkurve immer auf der Indifferenzkurve oder in der Bessermenge liegen muss, strenge Konvexität bedeutet, dass sie komplett in der Bessermenge liegen muss. Für monotone Präferenzen bedeutet das, dass jede Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf einer Indifferenzkurve immer auf oder oberhalb der Indifferenzkurve liegen muss, strenge Konvexität bedeutet, dass sie stets oberhalb der Indifferenzkurve liegen muss. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

49 Wie realistisch sind konvexe Präferenzen? 1 Glas Cola oder 1 Glas Milch sollen schlechter sein als jeweils ein halbes Glas, womöglich Cola und Milch in einem Glas? Eine Badehose oder ein Winterpullover sollen schlechter sein als jeweils ein halbes Kleidungsstück von beiden? Ein Porsche oder ein Gummiboot... Aber: Die Annahme der Konvexität bezieht sich auf längere Zeiträume. Z.B. innerhalb eines Jahres braucht man sowohl Badehose als auch Pullover, sowohl Cola als auch Milch. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

50 Beispiel für eine nichtkonvexe Präferenzrelation. x 2 x 1 2 x y y x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

51 Verschiedene Typen von Indifferenzkurven 1. Vollkommene (perfekte) Substitute Bei vollkommen Substituten ist es dem Konsumenten gleichgültig, ob er eine Mischung aus zwei Konsumplänen oder die Extrempunkte erhält. Beispiele: Schwarze und blaue Kugelschreiber, Butterschmalz und Pflanzenöl in ihrer Verwendung als Backfette im Verhältnis 1 : 1, oder z.b. dicke und dünne Pullover im Verhältnis 1 : 2. Wir betrachten drei Konsumpläne x = (10, 2), y = (0, 12) und z = (6, 6). Bei Perfekten Substituten gilt: x y z. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

52 Indifferenzkurve bei perfekten Substituten x x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

53 Indifferenzkurvensystem Präferenzen sind streng monoton und konvex. x 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

54 Perfekte Komplemente 2. Vollkommene (perfekte) Komplemente Erläuterung: Vollkommene Komplemente möchte ein Konsument in einem bestimmten Verhältnis konsumieren. Mehr von einem Gut ist für den Konsumenten nicht besser, wenn nicht auch gleichzeitig mehr von dem anderen Gut konsumiert wird. Beispiele wären rechte und linke Schuhe, Kaffee und Milch, Butter und Brot etc. Bei perfekten Komplementen beträgt das fixe Verhältnis in dem sie zusammen konsumiert werden 1 : 1, im allgemeinen kann es aber bei vollkommenen Komplementen beliebig sein; man denke wieder an Zucker und Kaffee. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

59 Indifferenzkurve bei Komplementen x 2 (Käse) x 1 (Brot) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

60 Indifferenzkurve bei Komplementen x 2 (Käse) x 1 (Brot) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

61 Vollkommene (perfekte) Komplemente Präferenzen sind monoton und konvex. x 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

62 3. Präferenzen mit Sättigungspunkt x 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

63 Ein Sättigungspunkt (Bliss point) ist ein Konsumplan, den der Konsument allen anderen Konsumplänen vorzieht. Beispiel: Zwei Güter: Bier und Schnapps. Igendwann hat man von beiden genug. Mikro: Zeithorizont! Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

64 4. Neutrale Güter Ein Gut ist für einen Konsumenten ein neutrales Gut, wenn seine Menge in einem Konsumplan keinen Einfluss auf die Beurteilung durch den Konsumenten hat. x 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

65 Erläuterung: Das Gut 2 hat keine Bedeutung für den Konsumenten. Ob ein Konsumplan mehr oder weniger von Gut 2 enthält ist gleichgültig nur das Gut 1 zählt. Zigaretten für einen Nichtraucher, Fleisch für eine Vegetarier oder Alkohol für einen Abstinenzler Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

68 5. Indifferenzkurven mit positiver Steigung x x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

69 Erläuterung: Wenn wir zwei Punkte auf einer Indifferenzkurve betrachten, so wird klar, dass wir die Indifferenzkurven so interpretieren können, dass eine höhere Menge von Gut 2 als negativ empfunden wird. Erst durch die gleichzeitige Steigerung der Menge von Gut 1 gelangen wir zu einem Konsumplan, das der Konsument als gleich gut beurteilt. Gut 2 ist also eigentlich eher als Schlecht zu bezeichnen. Es könnte sich z. B. um Müll, Luftverschmutzung oder Lärm handeln. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

73 Indifferenzkurvensystem x 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

74 Können Indifferenzkurven sich schneiden? Kann eine solche Situation auftreten? x 2 y z x x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

75 Satz 1 Wenn die Präferenzen monoton und transitiv sind, können sich die Indifferenzkurven nicht schneiden. Beweis: Wegen der Monotonie gilt y z. Da x auf der Indifferenzkurve durch z liegt, gilt x z. Da x aber auch auf der Indifferenzkurve durch y liegt, gilt y x. Transitivität (der Indifferenzrelation) impliziert dann y z. Dies steht im Widerspruch zu y z, denn es kann nicht gleichzeitig y z und y z gelten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

76 Tauschrate x 2 6 x 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

77 Tauschrate x 2 6 x 1 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

78 Tauschrate x 2 6 x x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

81 Tauschrate x 2 6 x 1 x x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

82 Tauschverhältnis Das Verhältnis in dem der Konsument gerade noch zu tauschen bereit ist, kann also geschrieben werden als x 2 x 1 = 4 : 1. Für eine zusätzliche Einheit von Gut 1 ist der Konsument bereit, 4 Einheiten von Gut 2 herzugeben. Er ist indifferent zwischen den Konsumplänen (1, 6) und (2, 2). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

83 Tauschverhältnis grafisch x 2 6 x 1 α x x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

84 Steigung der Geraden Geometrisch ist das Tauschverhältnis gegeben durch x 2 x 1 = tan(α) = 1 4. Das Tauschverhältnis ist gegeben durch die Steigung der orangefarbenen Geraden. Achtung: Diese Steigung ist negativ! Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

85 Tauschverhältnis Das Tauschverhältnis ist negativ: er bekommt etwas von x 1 ( x 1 = 1) und muss etwas von x 2 aufgeben ( x 2 = 4). Aber: Tauschverhältnis hängt davon ab, wie groß x 1 gewählt wird Wie könnte man die Rate, mit der ein Konsument zu tauschen bereit ist, unabhängig von x 1 angeben? Grenzübergang: Man betrachtet den Limes x 1 gegen 0. Die Tauschrate ist durch die Steigung der Indifferenzkurve gegeben. lim x 1 0 x 2 x 1 = dx 2 dx 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

90 Grenzrate der Substitution x 2 x x 1 Der Betrag dieser Tauschrate ist die Grenzrate der Substitution (GRS). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

91 Die Steigung einer Indifferenzkurve und damit die GRS sind davon abhängig, an welcher Stelle wir diese Steigung betrachten. x 2 x x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

92 Abnehmende GRS Allgemein gilt: Die GRS nimmt in x 1 ab, wenn die Präferenzen streng konvex sind. Bei linearen Präferenzen (vollkommenen Substituten) ist die GRS konstant, und hat bei perfekten Substituten den Wert 1. Bei perfekten Komplementen ist die GRS entweder 0 (auf dem waagerechten Ast der Indifferenzkurve) oder nicht definiert (auf dem senkrechten Ast der Indifferenzkurve und an der Ecke). GRS ist nicht definiert, wenn eine Indifferenzkurve ein senkrechtes Stück hat sowie an Knickstellen der Indifferenzkurve. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

97 Abnehmende GRS x x 1 x x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

98 Abnehmende GRS x x 1 x 2 GRS = x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

99 Lexikografische Präferenzen Frage: Lässt sich jede Präferenzordnung durch ein System von Indifferenzkurven darstellen? Nein. Beispiel: Lexikografische Präferenzen. Idee: Konsument bewertet Konsumpläne so, wie die Worte in einem Lexikon angeordnet werden. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

100 Lexikografische Präferenzen Beispiel: Frau S. ist Chocoholic : Von zwei beliebigen Konsumplänen präferiert sie jeweils denjenigen, der mehr Schokolade enthält, unabhängig von der Zahl der anderen Güter. D.h. Schokolade kommt zuerst, wie die Wörter mit Aa im Lexikon. Nur wenn zwei Konsumpläne gleich viel Schokolade enthalten, zieht Frau S. die anderen Güter in Betracht. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

101 Lexikografische Präferenzen Bei lexikografischen Präferenzen besteht jede Indifferenzkurve aus genau einem Punkt. x 2 (e) 10 x 5 x 1 (Schoko) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

102 Lexikografische Präferenzen Konsumpläne (KP) oberhalb von x sind besser als x, da sie genauso viel Schokolade enthalten wie x, aber mehr von anderen Gütern. x 2 (e) 10 x 5 x 1 (Schoko) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

103 Lexikografische Präferenzen KP unterhalb von x sind schlechter als x, da sie genauso viel Schokolade enthalten wie x, aber weniger andere Güter. x 2 (e) 10 x 5 x 1 (Schoko) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

104 Lexikografische Präferenzen KP (KP) rechts von x sind besser als x, da sie mehr Schokolade enthalten als x. x 2 (e) 10 x 5 x 1 (Schoko) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

105 Lexikografische Präferenzen KP (KP) links von x sind schlechter als x, da sie weniger Schokolade enthalten als x. x 2 (e) 10 x 5 x 1 (Schoko) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

106 Nutzenfunktion Mathematisch werden die Präferenzen eines Konsumenten dargestellt durch eine Nutzenfunktion (Utility function). Die Nutzenfunktion dient der numerischen Darstellung einer Präferenzordnung. Nutzen verschiedener Konsumpläne: Ein Konsumplan x wird gegenüber dem Konsumplan y genau dann strikt präferiert, wenn der Nutzen von x größer ist als der Nutzen von y. Achtung: Nutzen ist hier ein ordinales Konzept! (Vgl. Temperatur Celsius/Fahrenheit) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

110 Beispiel u(x 1, x 2 ) ordnet jedem Konsumplan (x 1, x 2 ) eine Zahl zu derart, dass präferierte Konsumpläne höhere Zahlen zugeordnet bekommen. Präferenzordnung: (3, 2) (2, 3) (2, 2) (1, 2) (1, 1). u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 x 1 x 2 u(x 1, x 2 ) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

111 Nutzenfunktion Definition 10 (Nutzenfunktion) Eine Nutzenfunktion u(x) stellt die Präferenzen eines Konsumenten dar genau dann, wenn für alle x, y X gilt x y u (x) > u (y). Aus der Vollständigkeit folgt x y u (x) = u (y) und x y u (x) u (y). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

112 Nutzenfunktion nicht eindeutig Achtung: Nur die Reihenfolge der Zahlen (größere Zahlen präferierte Konsumpläne) spielt eine Rolle, nicht deren absolute Höhe! Beispiel: v(x 1, x 2 ) = 5 + 3u(x 1, x 2 ) stellt die selbe Präferenzordnung da wie u(x 1, x 2 ): x 1 x 2 v(x 1, x 2 ) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

113 Positiv monotone Transformation v(x 1, x 2 ) ist eine positiv monotone Transformation von u(x 1, x 2 ). Positiv monotone Transformationen: Multiplikation mit einer positiven Konstanten, z.b. v(x 1, x 2 ) = au(x 1, x 2 ) mit a > 0 (warum > 0?). Addition einer beliebigen (positiven oder negativen) Zahl, z.b. v(x 1, x 2 ) = u(x 1, x 2 ) 7. Potenzieren mit einem ungeraden Exponenten, z.b. v(x 1, x 2 ) = u(x 1, x 2 ) 3. Jede mögliche Kombination der drei Möglichkeiten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

114 Positiv monotone Transformation Achtung: Potenzieren mit einem geraden Exponenten ist i.d.r. keine postiv monotone Transformation, es sei denn, die ursprüngliche Nutzenfunktion nimmt nur nicht negative Werte an. In diesem Fall ist auch das Wurzelziehen eine positiv monotone Transformation. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

115 Positiv monotone Transformation Beobachtung 1 Eine positiv monotone Transformation ändert nicht die Reihenfolge der Konsumpläne. Jede positiv monotone Transformation einer Nutzenfunktion stellt die selbe Präferenzordnung dar wie diese Nutzenfunktion. Daher gibt es für eine gegebene Präferenzordnung keine eindeutige Nutzenfunktion. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

116 Äquivalente Nutzenfunktion Satz 2 (Äquivalente Nutzenfunktionen) Jede positiv monotone Transformation einer Nutzenfunktion ist eine äquivalente Nutzenfunktion, d.h. sie stellt die selbe Präferenzrelation dar. Das grundlegende Konzept sind die Präferenzen! Nutzenfunktionen sind nur ein analytisches Werkzeug, das per se keine Bedeutung hat. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

117 Perfekte Substitute x 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

118 Perfekte Substitute Welche Nutzenfunktion beschreibt solche Präferenzen? Lineare Nutzenfunktionen Beschreiben Präferenzen eines Konsumenten für den die Güter vollkommene Substitute sind. Sie haben die Form u (x 1, x 2 ) = ax 1 + bx 2 mit a, b > 0. Die GRS ist konstant und beträgt a b. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

119 Perfekte Substitute Beispiel: u(x 1, x 2 ) = 2x 1 + x 2. Entlang einer Indifferenzkurve gilt: u(x 1, x 2 ) = ū (konstant). Auflösen nach x 2 ergibt die Gleichung der Indifferenzkurve zum Nutzenniveau ū: x 2 (x 1 ) = ū 2x 1. Dies ist eine Gerade mit x 2 Achsenabschnitt ū und Steigung (GRS) 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

120 Perfekte Substitute Beispiel: Indifferenzkurve zum Nutzenniveau ū = 10. x x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

121 Perfekte Komplemente x 2 (Käse) x 1 (Brot) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

122 Perfekte Komplemente Welche Nutzenfunktion beschreibt solche Präferenzen? Es gilt: Da die Güter im Verhältnis 1 : 1 konsumiert werden, muss der Konsument von beiden Gütern gleich viel haben: x 1 = x 2. Angenommen der Konsument hat 6 Scheiben Brot und 6 Scheiben Käse. Eine zusätzliche Scheibe Brot bringt keinen zusätzlichen Nutzen: Aus 7 Scheiben Brot und 6 Scheiben Käse kann er nur 6 Käsebrote machen. Sein Nutzen wird bestimmt durch die kleinere Menge der beiden Güter: u(x 1, x 2 ) = min{x 1, x 2 }. Beispiel: u(6, 7) = min{6, 7} = 6. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

126 Perfekte Komplemente Leontief Nutzenfunktion Beschreibt die Präferenzordnung eines Konsumenten, für den zwei Güter vollkommene Komplemente sind. Wenn der Konsument Gut 1 und Gut 2 stets im festen Verhältnis a : b konsumieren möchte, ist die zugehörige Leontief Nutzenfunktion u (x 1, x 2 ) = min {bx 1, ax 2 }. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

127 Partielle Substitute Cobb Douglas Nutzenfunktion Eine Cobb Douglas Nutzenfunktion hat die Form u (x 1, x 2 ) = x1 α xβ 2, mit α, β > 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

128 Isohöhenlinien Markiert man auf der Oberfläche des Nutzengebirges alle Konsumpläne, die den selben Nutzen stiften, erhält man die Isohöhenlinien. y x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108 x 1

129 Indifferenzkurven Projiziert man nun diese Isohöhenlinien auf die x 1 -x 2 -Ebene, so erhält man die zu den jeweiligen Nutzenniveaus gehörenden Indifferenzkurven. y x 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108 x 1

130 Indifferenzkurven x 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

131 Steigung der Indifferenzkurve Entlang einer Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant, i.e. u(x 1, x 2 ) = ū. Für die Cobb Douglas Produktionsfunktion u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 gilt also: x 1 x 2 = ū. Auflösen der Gleichung nach x 2 ergibt x 2 (x 1 ) = ū x 1. Die Steigung der Indifferenzkurve ist gegeben durch die 1. Ableitung dx 2 = ū dx 1 x1 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

132 Nutzenfunktion und GRS Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Nutzenfunktion, einer Indifferenzkurve und der Grenzrate der Substitution? Die GRS in einem Punkt x = ( x 1, x 2 ) ist die Steigung der Indifferenzkurve in diesem Punkt. Die Indifferenzkurve liefert uns zu jedem Wert von x 1 den dazu gehörigen Wert von x 2, so dass (x 1, x 2 ) auf der Indifferenzkurve liegt. Damit haben wir (implizit) x 2 als Funktion von x 1 gegeben Die Grenzrate der Substitution ist der Betrag der Steigung dieser Funktion: GRS = dx 2 dx 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108

133 Nutzenfunktion und GRS Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Nutzenfunktion, einer Indifferenzkurve und der Grenzrate der Substitution? Die GRS in einem Punkt x = ( x 1, x 2 ) ist die Steigung der Indifferenzkurve in diesem Punkt. Die Indifferenzkurve liefert uns zu jedem Wert von x 1 den dazu gehörigen Wert von x 2, so dass (x 1, x 2 ) auf der Indifferenzkurve liegt. Damit haben wir (implizit) x 2 als Funktion von x 1 gegeben Die Grenzrate der Substitution ist der Betrag der Steigung dieser Funktion: GRS = dx 2 dx 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 2. Vorlesungswoche 30. Oktober / 108