Komplexe Zahlen. Berechnung von n-ten Wurzeln. Als Beispiel behandeln wir die Bestimmung der 3-ten Wurzeln von z = i

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1 Komplexe Zahlen Berechnung von n-ten Wurzeln Als Beispiel behandeln wir die Bestimmung der -ten Wurzeln von z = + i z:= + *I + i Nach diese Eingabe "weiss" das System, dass z die komplexe Zahl + i ist. Um die drei -ten Wurzeln berechnen zu können, müssen wir zunächst z in Polarkoordinaten darstellen und dazu den Absolutbetrag z, sowie das Argument z = arg(z) von z ermitteln: In unserem Fall ist direkt zu sehen, dass der Absolutbetrag abs(z) gleich der Quadratwurzel von 9+16=25, also gleich 5 ist. MuPAD verfügt über die eingebaute Funktion <abs>, um diese Ermittlung durchzuführen. abs(z) 5 Durch die ebenfalls eingebaute Funktion <arg> können wir das Argument von z ermitteln: alpha:=arg(z)! arctan "# Wie Sie sehen, ist die Ausgabe symbolisch; es handelt sich um "diejenige" reelle Zahl, deren Tangens gleich / ist. Genauer handelt es sich um diejenige reelle Zahl 0<= al <2*PI, für die cos(al)=/5 und sin(al)=/5 ist. Es ist dann tan(al)=sin(al)/cos(al)=/.

2 Eine numerische Ausgabe des Arguments erzwingen wir durch das Kommando <float>, welches uns - mit einstellbarer Genauigkeit - einen numerischen Wert für das Argument auswirft [float = Gleitkommazahl]: alpha1:=float(alpha) Achtung: das Argument von z ist hier im Bogenmaß angegeben, welches den Winkel als Länge des Winkelsegments von alpha auf dem Einheitskreis mißt. Erinnerung: der Winkel von 60 Grad entspricht der Größe 2*PI im Bogenmaß. Somit ergibt sich als Darstellung von z in Polarkoordinaten der symbolische bzw. numerische Ausdruck abs(z)*(cos(alpha) + I* sin(alpha)); abs(z)*(cos(alpha1) + I* sin(alpha1)) + i i Solange wir symbolisch und nicht genähert rechnen, sehen wir, dass wir z exakt zurück erhalten. Aber auch dem Näherungswinkel alpha1 erhalten wir ein zufriedenstellendes Ergebnis. Beachten Sie, dass in der internen Darstellung die Werte und.0 etwas Verschiedenes sind: ist die natürliche Zahl während.0 diejenige Gleitkommazahl ist, die mit der Genauigkeit von hier 10 Nachkommastellen die Zahl als Dezimalbruch darstellt. Berechnung der -ten Wurzel von z Zum Berechnen der -ten Wurzel von z sind drei Dinge zu tun: 1. Bildung der dritten Wurzel von z 2. Dritteln des Arguments alpha von z

3 . Nicht vergessen zu alpha/ noch Vielfache k*2*pi/ zu addieren Schritt 1: -te Wurzel des Absolutbetrags r:= abs(z)^(1/); float(r) Schritte 2 und : Dritteln des Arguments & Addition von k*2*pi/ for k from 0 to 2 do al[k]:= arg(z)/ + k*2*pi/ end_for: Sie bemerken, dass durch Abschluss mit Semikolon die Auswertung stumm geschieht. MuPAD weiß daher intern, welche Werte al[0], al[1] und al[2] haben, wirft sie momentan aber nicht aus. [Eine von den Designern des Systems gewollte - aber nicht recht nachvollziehbare - Wahl ist, bei Abschluß mit einem Semikolon nur den letzten Wert der obigen Schleifenzuweisung anzuzeigen. (Das MuPAD-Handbuch verweist hier auf das Erzwingen durch das <print>-kommando; dieses liefert aber nur eine klägliche graphische Darstellung.] Überprüfen der Werte exakt und numerisch Wir bilden die Liste (Klammern [,,, ], Einträge kommagetrennt, der drei oben definierten Wurzeln und ermitteln durch <float> die zugehörigen Gleitkommazahlen. Bemerkenswert, dass <float> auch auf Listen funktioniert. [al[0],al[1],al[2]]; float(%) % """"""" arctan& " 2 π, "" " arctan& + """"""" ", "" π" arctan& " ( + """"""" ) , , * Definition der drei Wurzeln Wir nehmen diese Darstellung hier stumm vor: for k from 0 to 2 do wurzel[k]:=r*(cos(al[k])+i*sin(al[k])) end_for: Darstellung der drei Wurzeln, exakt und numerisch

4 [wurzel[0],wurzel[1],wurzel[2]]; float(%) % arctan& ", + cos """"""" arctan& ",, + i sin """"""", cos "" 2 π" + """"""" arctan& ", + 2 π + i sin "" " arctan& ",, + """"""" i, i, i Damit haben wir unser Problem gelöst!! (vgl. die Darstellung auf den Vorlesungsfolien) Kopierhinweis Die obigen Ausgaben sind graphische Objekte und als solche nicht in andere Programme als numerische Werte kopierbar. Es hilft hier das <print>-kommando, welches kopierbare Ausgaben liefert. print(%) [ I, I, I] Direkte Berechnung von komplexen Wurzeln in MuPAD Die besprochenen Routinen sind in MuPAD von vornherein implementiert Wir geben nochmals z ein: z:= +*I + i Aufforderung an das System uns die dritte Wurzel zu bilden w:=z^(1/) /""""" + i

5 Das System gibt uns hier den symbolischen Ausdruck "Dritte Wurzel aus +*I" aus, womit das System in der Tat weiter rechnen kann. Sehen wir uns zum Beispiel an, was das System unter w^ versteht: w^ + i Allerdings hat uns die Ausgabe für w nicht weiter geführt, da es genau das ist, was wir eingegeben haben. Wir müssen daher das System veranlassen, uns sein Wissen um "die" dritte Wurzel von w mitzuteilen. Wir sind z.b. an der Darstellung in rechtwinkligen Koordinaten (d.h. in Real- und Imaginärteil) interessiert. Alternativ mag für uns auch die Darstellung in Polarkoordinaten interessant sein. Wir haben schon gesehen, dass wir zu Polarkoordinaten durch <abs> und <arg> kommen. Für die Darstellung in rechtwinkligen Koordinaten gibt es das Kommando <rectform>: rectform(w) 5 cos + """"""" arctan& ", + + i 5 sin + """"""" arctan& " ABER ACHTUNG: Hier erhalten wir nur eine der drei Wurzeln. Es bewahrheitet sich, dass man ein solches System mit Verstand benutzen sollte. Expertensysteme gehören in die Hand von Experten. Hier müssen wir also wissen, dass die Designer des Systems sich entschieden haben, nur eine Lösung der Gleichung w^=z auszuwerfen, diejenige mit dem kleinsten Argument.,, Alternative Möglichkeit, alle Wurzeln zu bestimmen: Wir fragen das System nach allen (komplexen) Lösungen der Gleichung x^n=z mit Hilfe des <solve>-kommandos: L:=solve(x^-z=0,x) 0/""""" /""""" + i, + i! i 2 " 1 2 "#, /""""" + i! i 2 " "#

6 Wir wissen inzwischen schon, dass wir auf obigen Ausdruck nur den <float> - Befehl loslassen müssen, um eine numerische Approximation der Menge der Lösungen zu erhalten. float(l) i, i, i Es überrascht uns nicht, dass wir hier dieselbe Lösungsmenge erhalten wie durch die frühere explizite Rechnung! Allerdings in veränderter Reihenfolge: I, I, I