Mathematik. für die berufliche Oberstufe. Klasse 12, Technik. Manfred Hoffmann, Norbert Krämer. 1. Auflage. Bestellnummer 5972

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1 Mnfred Hoffmnn, Norert Krämer Mthemtik für die eruflihe Oerstufe Klsse, Tehnik. Auflge estellnummer 597 ildungsverlg EINS Stm

2 Hen Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem uh? Dnn senden Sie eine E-Mil n S597@v-.de Autoren und Verlg freuen sih uf Ihre Rükmeldung. Gehlen, Kieser und Stm sind unter dem Dh des ildungsverlges EINS zusmmengeführt. ildungsverlg EINS Sieglrer Strße 5384 Troisdorf ISN Copright 005: ildungsverlg EINS GmH, Troisdorf Ds Werk und seine Teile sind urheerrehtlih geshützt. Jede Nutzung in nderen ls den gesetzlih zugelssenen Fällen edrf der vorherigen shriftlihen Einwilligung des Verlges. Hinweis zu 5 UrhG: Weder ds Werk noh seine Teile dürfen ohne eine solhe Einwilligung eingesnnt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt uh für Intrnets von Shulen und sonstigen ildungseinrihtungen.

3 Trigonometrishe Funktionen Trigonometrishe Funktionen. Winkelmessung.. Rehter Winkel, Grdmß Zwei sih shneidende Gerden ilden vier Winkel. Sind lle vier untereinnder gleih groß, so heißt jeder von diesen rehter Winkel. Der rehte Winkel wird ls Winkeleinheit verwendet. Zwei rehte Winkel ergeen einen gestrekten Winkel, vier rehte Winkel einen Vollwinkel. Winkel, die kleiner ls ein rehter Winkel sind, heißen spitze Winkel. Mn spriht von einem stumpfen Winkel, wenn es sih um einen Winkel hndelt, der größer ls ein rehter und kleiner ls ein gestrekter Winkel ist. Alle Winkel, die größer ls ein gestrekter Winkel sind, werden üerstumpf gennnt. Der 90. Teil eines rehten Winkels heißt Grd (, uh Altgrd gennnt, Tste DEG uf dem Tshenrehner). Wird die Mßzhl eines Winkels in Grd ngegeen, so heißt es ds Grdmß des Winkels. Ds Grdmß des rehten Winkels ist 90, ds des gestrekten Winkels 80 und ds des vollen Winkels 360. Für genuere Angen ist es notwendig, die Einheit Grd noh zu unterteilen. In der neueren Zeit verwendet mn die dezimle Unterteilung des Grdes in Zehntel Grd, Hundertstel Grd, usw., z.. 34,7809. Dneen ist er noh die trditionelle Unterteilung in Winkelminuten und Winkelsekunden in Geruh: Eine Winkelminute ( ) ist der 60. Teil eines Grdes, eine Winkelsekunde ( ) ist der 60. Teil einer Winkelminute. Der 00. Teil eines rehten Winkels ist ein Gon ( g, uh Neugrd gennnt. Tste GRA uf dem Tshenrehner). Ds Neugrdmß des rehten Winkels ist 00 g, ds des gestrekten Winkels 00 g und ds des vollen Winkels 400 g. Für genuere Angen ist ds Neugrd noh deziml unterteilt. Ds Neugrd wird in der Vermessungstehnik verwendet. eispiele ) 56,3 soll in Minuten und Sekunden unterteilt werden. 56,3 = ,3 Aufteilung in volle Grd und ruhteile.

4 Trigonometrishe Funktionen x min 0,3 = x = 0, = 3,8 erehnung der Minuten x. 3,8 = 3 + 0,8 Aufteilung in volle Minuten und ruhteile. 0,8 = = 0,8 60 = erehnung der Sekunden. 56,3 = Zusmmensetzung der Grd, Minuten und Sekunden. ) soll deziml unterteilt werden = ( ) = 48 = ( ) 7 und 7 = ( ) (77 + 0,8 + 0,0075) = 77,8075 Zusmmensetzung der Dezimlzhlen ogenmß Auh mit der ogenlänge des Einheitskreises lssen sih Winkel messen. Dies ht die Vorteile, dss für ds Winkelmß keine Einheit nötig ist, und die eträge der Zhlenwerte des Winkelmßes niht hoh sind. Die Winkel der trigonometrishen Funktionen werden stets im ogenmß ngegeen. Ein Kreis mit dem Rdius von einer Längeneinheit heißt Einheitskreis. Die Länge des Kreisogens, den ds Winkelfeld eines Winkels us dem Einheitskreis usshneidet, heißt ogenmß des Winkels. Mn ezeihnet es mit rα. (Gelesen: rus lph, lt. rus = ogen). O α r α Nhdem ds ogenmß uh ds Längenverhältnis ogenlänge: Rdius im elieigen Kreis ngit, ist seine Mßeinheit. Grdmß α und ogenmß rα Ds ogenmß eines Vollwinkels ist, d der Umfng des Einheitskreises ist. Für einen gestrekten Winkel ergit sih ds ogenmß, für einen rehten Winkel, usw. Hinweis: ist die sog. Kreiszhl, sie ergit sih us dem Verhältnis Kreisumfng : Kreisrdius für jeden elieigen Kreis. Die Kreiszhl ist eine irrtionle Zhl, ein Näherungswert ist im Tshenrehner erzeugr: 3, Ds ogenmß git mn lso entweder durh Vielfhe von oder durh Näherungswerte ls gerohene Dezimlzhlen n.

5 Trigonometrishe Funktionen..3 Wihtige Winkelmße Grdmß ogenmß (Altgrd) (Vielfhe von ) (Näherungswert) 80 0, , , , , , , , , ,8385 eispiele ) 68 soll in ds ogenmß umgerehnet werden. x = α, x = 0, =, ) Ds ogenmß,658 soll in ds Grdmß umgerehnet werden. 80 x 80,658 α =, α = = 4, Grdmß, ogenmß. Geen Sie folgende Winkel in dezimler Unterteilung n (uf zwei Stellen nh dem Komm gerundet): ) 90 0 ) ) d) e) 56 4 f) g) 69 h) 49 4 i) Aufge. Geen Sie folgende Winkel in Grd, Minuten und Sekunden n: ) 68,5 ) 9,57 ) 36, d) 4,0 e) 89,88 f) 47,044 g) 60,60 h),9 i) 00,67 3

6 Trigonometrishe Funktionen 3. Geen Sie folgende Winkel im ogenmß n (uf zwei Stellen nh dem Komm gerundet): ) 5 ) 4,64 ) 56 0 d) 70,55 e) 60 f) g) 4,75 h) i) 00,96 4. Geen Sie folgende Winkel in deziml unterteilte Altgrd n (uf zwei Stellen nh dem Komm gerundet): ) ) ), d) e) f) g) 7,834 h) 0,97 i) 8,345. Winkelfunktionen im rehtwinkligen Dreiek.. enennungen und Lehrsätze eim rehtwinkligen Dreiek Es empfiehlt sih, die Orientierungsfigur so zu legen, dss die längste Seite des rehtwinkligen Dreieks (Hpotenuse) wgreht liegt. Erst wenn die ezeihnungen und gegenseitigen Lgeeziehungen gelernt sind, soll und muss mn die Stellung der Orientierungsfigur ändern. C γ = 90 h A α q Gegenüer der Hpotenuse der Länge efindet sih der rehte Winkel γ. Die eiden kürzeren Seiten der Längen und, die uf den Shenkeln des rehten Winkels liegen, heißen Ktheten, woei die Gegenkthete des Winkels α oder die Ankthete des Winkels β, sowie die Gegenkthete von β und die Ankthete von α ist. h ist die Höhe (genuer: eine der drei Höhen) des rehtwinkligen Dreieks, sie teilt die Hpotenuse in die Hpotenusenshnitte p und q, woei p + q = ist. Hinweis: Es ist ülih, dss mit Smolen,,,... sowohl die ezeihnung der etreffenden Seite ls uh ihre Länge gemeint ist. Im rehtwinkligen Dreiek gelten die eknnten Lehrsätze: p β ezeihnungen im rehtwinkligen Dreiek + = = p, = q h = p q Stz des Pthgors Kthetensätze Höhenstz 4

7 .. Winkelfunktionen Alle rehtwinkligen Dreieke, die in einem spitzen Winkel üereinstimmen, sind einnder ähnlih. Trigonometrishe Funktionen C''... C C' A α ' ''... ΔAC ΔA C ΔA C... In ähnlihen Dreieken sind die Verhältnisse entsprehender Seiten konstnt, woei diese Konstnte von der Größe der Winkel hängt. eispiel C C' A 70 ' C = C 0,93 A A Ds Verhältnis Gegenkthete von α zu Hpotenuse hängt nur vom Winkel α, es heißt Sinuswert des Winkels α. Die Funktion, die jedem Winkel α seinen Sinuswert zuordnet, heißt Sinusfunktion. Ds Verhältnis Ankthete von α zu Hpotenuse hängt nur vom Winkel α, es heißt Kosinuswert des Winkels α. Die Funktion, die jedem Winkel α seinen Kosinuswert zuordnet, heißt Kosinusfunktion. Ds Verhältnis Gegenkthete von α zu Ankthete von α hängt eenflls nur von α, es heißt Tngenswert des Winkels α. Die Funktion, die jedem Winkel α seinen Tngenwerts zuordnet, heißt Tngensfunktion. Entsprehende Üerlegungen knn mn uh für den Winkel β nstellen. Mit den ezeihnungen uf Seite 4 lssen sih folgende Gleihungen ufstellen: sin α =, os α =, tn α = sin β =, os β =, tn β = 5

8 Trigonometrishe Funktionen Neen der Tngensfunktion git es ußerdem noh den Kotngens, der durh ot α = = definiert ist. Er ist für erehnungen in Dreieken tn α edeutungslos, jedoh für die Integrlrehnung wihtig. Die Vorshriften dieser Funktionen lssen sih niht durh einfhe Gleihungen ngeen. Im Tshenrehner git es einen Algorithmus, der die Funktionswerte näherungsweise erehnet. Die Definitionsmenge für die Sinus- und Kosinusfunktion im rehtwinkligen Dreiek ist α [0; 90 ], die Definitionsmenge für die Tngensfunktion ist α [0; 90 [ eispiele ) In einem rehtwinkligen Dreiek ist der Winkel α = 34,56 gegeen. Der ndere spitze Winkel ist β = 90 34,56 = 55,44. Dem Tshenrehner entnimmt mn dnn folgende Funktionswerte (uf 4 Dezimlen gerundet): sin α = 0,5673, os α = 0,835, tn α = 0,6888 sin β = 0,835, os β = 0,5673, tn β =,457 Hinweis: Mn sieht hier, dss os β = os (90 α) = sin α ist. Der Kosinus ist lso der Sinus des Komplementärwinkels, worus sih uh sein Nme erklärt. ) Gegeen sind die Seiten eines rehtwinkligen Dreieks: = 7,5 m, = 4,5 m, = 6,0 m. Gesuht sind die Winkel α und β. 4,5 m sin α = = 0,6 α = 36,87 Anstz: sin α = 7,5 m 6,0 m sin β = = 0,8 β = 53,3 Anstz: sin β = 7,5 m 36, , = 80 Proe: Winkelsumme im Dreiek ist 80 Zu denselen Ergenissen kommt mn mit folgenden Ansätzen: 6 m os α = = 0,8 α = 36,87 Anstz os α = 7,5 m 4,5 m os β = = 0,6 β = 53,3 Anstz: os β = 7,5 m 4,5 m tn α = = 0,75 α = 36,87 Anstz: tn α = 6 m 6 m tn β = =,33 β = 53,3 Anstz: tn β = 4,5 m 6

9 Wie mn us den Ergenissen des eispiels ) shon vermuten wird, ist: sin α = os (90 α) = os β und os α = sin (90 α) = sin β Trigonometrishe Funktionen is uf wenige Ausnhmen sind die Werte der Winkelfunktionen irrtionle Zhlen, die mn ls gerundete Dezimlzhlen ngeen muss. Für einige Winkel lssen sih die Werte jedoh exkt ngeen: α sin α 0 03 = = 043 os α = 0 tn α n.def. Die ngegeenen Werte sollen in den folgenden Aufgen 4 und 5 egründet werden. Stzgruppe des Pthgors. Ergänzen Sie folgende Telle: (Alle Zhlenwerte hen die Einheit m.) Aufge h p q ),5 ) 3 5 ),4 d),3 e) 3,,5 f) 4,5 g),8 h),6 3,8 i) 4,3 3 k),7,3 A α C h q p Orientierungsfigur γ = 90 β Winkelfunktionen im Dreiek. Ergänzen Sie die folgende Telle. Die Zhlenwerte der Streken hen die Einheit m. Gesuhte Winkel sind in deziml unterteilten Grden nzugeen. α β C γ = 90 ) 43 64,33 ) ) 75 4 d) 4 8 e) 3,5 6,8 A α q Orientierungsfigur h p β 7

10 Trigonometrishe Funktionen 3. Ergänzen Sie die folgende Telle. Die Zhlenwerte der Streken hen die Einheit m. Gesuhte Winkel sind in deziml unterteilten Grden nzugeen. h α γ C ) ),7 35 ) 40,5 4 0 d) 30,4 30,5 e) 6 4,7 f) 7,5 4 g) 0 h) 3 0,8 A α D α Gleihshenkliges Dreiek γ h Aufge Muster esondere Werte von Winkelfunktionen ( Seite 7) Es soll m gleihseitigen Dreiek gezeigt werden, dss sin 30 = 0,5 ist. A C Gleihseitiges Dreiek ' Ds rehtwinklige Dreiek AC mit α = 30 wird n der Gerden AC gespiegelt. So entsteht ein gleihseitiges Dreiek A, d jeder seiner Innenwinkel 60 misst. ist die Höhe des gleihseitigen Dreieks und =. Dnn ist sin 30 = = = Aufge esondere Werte von Winkelfunktionen 4. Zeigen Sie mit Hilfe eines gleihseitigen Dreieks die Gültigkeit folgender Aussgen: ) sin 60 = 03 ) os 30 = 03 ) os 60 = d) tn 30 = 03 3 e) tn 60 = Zeigen Sie mit Hilfe eines gleihshenkligen-rehtwinkligen Dreieks die Gültigkeit folgender Aussgen: ) tn 45 = ) sin 45 = 03 os 45 = 03 8

11 Trigonometrishe Funktionen Anwendungsezogene Aufgen (Fertigen Sie zu jeder Aufge eine Orientierungsskizze n.) 6. Ein eohter (Augenhöhe,75 m), der 50 m vom Fuße eines Turmes entfernt ist, sieht die Turmspitze unter einem Erheungswinkel von 7,33. erehnen Sie die Turmhöhe. Aufge 7. Ein 75 m hoher Turm wird unter einem Erheungswinkel von 4 5 gesehen. erehnen Sie die Entfernung des eohters (,5 m Augenhöhe) zum Turmfuß. 8. Von der Spitze eines Turmes sieht mn einen 00 m vom Fuße entfernten Punkt der Erdoerflähe unter einem Tiefenwinkel von 0,5. Wie hoh ist der Turm? 9. Wie groß ist der Neigungswinkel eines gerden Strßenstüks, wenn mn nh,0 km Weg 54 m n Höhe gewinnt? 0. Auf einer geneigten Eene mit dem Neigungswinkel von 0 efindet sih ein Körper mit der Msse von,5 kg. erehnen Sie die Normlkrft und die Hngtrieskrft. ( m g = 9,8 s ). Zwei Kräfte mit den eträgen F und F greifen n einem Punkt eines Körpers n, ihre Rihtungen sind zueinnder senkreht. Welhe Winkel ildet die Resultierende mit den eiden Krftrihtungen, wenn F = 5,4 N und F = 8,5 N ist? β Auf eine Glspltte mit der Dike = 6 mm fällt shräg ein Lihtstrhl ein, der die Glspltte prllel zur Einfllsrihtung mit einer Vershieung von = 7,0 mm wieder verlässt. Gesuht ist der rehungswinkel β. (Siehe Skizze) Aufge Muster C A 7 tnβ = tnβ = = 0, Lihtstrhl durh eine Glspltte β = 3,63 (rehungswinkel). Auf eine Glspltte (rehungszhl n =,5) mit der Dike von 5 mm fällt ein Lihtstrhl, der eim Austreten eine Vershieung von 5,0 mm ht. erehnen Sie den rehungswinkel, den Einfllswinkel und den Winkel der Totlreflexion für Gls. Aufge 9

12 Trigonometrishe Funktionen.3 Winkelfunktionen m Einheitskreis.3. Orientierte Winkel m Einheitskreis Der Mittelpunkt des Einheitskreises efindet sih im Ursprung eines rehtwinkligen Koordintensstems. Die Ahsen des Sstems shneiden us dem Kreis 4 Qudrnten I, II, III und IV in der drgestellten Weise us. 0 Ein Einheitsvektor 0 = ( ), 0 dessen Fuß sih im Ursprung efindet, rotiert im Einheitskreis. Er ildet mit dem Rdius [OA], der uf der x- Ahse liegt, vershieden große Winkel ϕ (Wir geen sie im ogenmß n.). II A' ϕ A - O 0 x III - 0 ' I IV 0 0 dreht sih im Einheitskreis Erfolgt die Drehung im Gegenuhrzeigersinn, so sind die Winkel positiv orientiert. ei einer Vierteldrehung des Vektors ildet sih der Winkel, ei einer hlen Drehung ildet sih der Winkel, ei einer vollen Drehung ergit sih, ei zwei Drehungen 4, usw. Erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinn, so sind die Winkel negtiv orientiert. ei einer Vierteldrehung des Vektors ildet sih der Winkel, ei einer vollen Drehung ergit sih, usw. Jede reelle Zhl knn ls ogenmß eines orientierten Winkels ngesehen werden..3. Sinus- und Kosinusfunktion m Einheitskreis (eine Drehung) Der Einheitsvektor drehe sih zunähst im Gegenuhrzeigersinn von ϕ = 0 is ϕ =. In der Stellung OM im I. Qudrnten werde er kurz ngehlten. Ds Dreiek ONM ist rehtwinklig mit dem spitzen Winkel ϕ. Es gilt: 0 0 sinϕ = = 0, osϕ = = 0 0

13 Trigonometrishe Funktionen I. Qudrnt M 0 0 ϕ - O 0 N x - Die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion können lso direkt ls Längen der Streken 0 und 0 gelesen werden. Diese Vernshulihung lässt erkennen, wie sih die Sinus- und Kosinuswerte ändern, während sih der Einheitsvektor dreht zw. während sih der Winkel ϕ ändert: Im I. Qudrnten nehmen die Sinuswerte monoton von 0 is zu, während die Kosinuswerte monoton von is 0 nehmen. Dreht sih der Einheitsvektor üer den I. Qudrnten hinus, so lssen sih uh hier Sinus- und Kosinuswerte durh die Komponenten des Einheitsvektors ilden. II. Qudrnt III. Qudrnt IV. Qudrnt 0 0 ϕ ϕ ϕ x - - x x sin ϕ > 0, os ϕ < 0 Sinus fällt von uf 0 Kosinus fällt von 0 uf sin ϕ < 0, os ϕ < 0 Sinus fällt von 0 uf Kosinus steigt von uf 0 sin ϕ < 0, os ϕ > 0 Sinus steigt von uf 0 Kosinus steigt von 0 uf Die Definitionsmenge der Sinus- zw. der Kosinusfunktion ei einer vollen Drehung des Einheitsvektors im Einheitskreis ist: D = [0; ]. Die Wertemenge ist W = [ ; ]. Für im Grdmß ngezeigte Winkel gilt: Die Sinus- und Kosinuswerte hen für den spitzen Winkel α sowie für die Winkel 80 α, 80 + α und 360 α denselen etrg. Die Vorzeihen erkennt mn n der Lge des Einheitsvektors im Einheitskreis.

14 Trigonometrishe Funktionen eispiele Hinweis: In den folgenden eispielen soll lediglih die Entstehung der Werte der Winkelfunktionen us denen des I. Qudrnten erläutert werden. Die Werte einshließlih der Vorzeihen entnimmt mn letztlih dem Tshenrehner und zwr für lle Winkel, die sowohl im Grdmß ls uh im ogenmß gegeen sein können. ) sin 38 = + 0,669 æsin 38 æ = æsin (80 38) æ = æsin 4 æ = æ0,669æ sgn (sin 38 ) = + us dem Einheitskreis ) os 66 = 0,9703 æos 66 æ = æos (80 66) æ = æos 4 æ = æ0,9703æ sgn (os 66 ) = us dem Einheitskreis ) sin = 0,599 æsin æ = æsin (80 + 3) æ = æsin 3 æ = æ0,599æ sgn (sin ) = us dem Einheitskreis d) os 35 = + 0,89 æos 35 æ = æos (360 35) æ = æos 35 æ = æ0,89æ sgn (os 35 ) = + us dem Einheitskreis e) sin ( 30 ) = Negtive Winkel werden zuerst sin ( ) = in positive Winkel umgerehnet. sin 30 sin 30 = 0, Tngensfunktion m Einheitskreis Der Einheitskreis wird noh um die sog. Hupttngente h erweitert. Anstelle des Einheitsvektors dreht sih jetzt die Gerde g einml im Gegenuhrzeigersinn durh den Ursprung O. T g g h tn ϕ ϕ - O A x ϕ - O A x tnϕ - h - T I. und III. Qudrnt II. und IV. Qudrnt

15 Ds rehtwinklige Dreiek OAT ist ein Steigungsdreiek der Gerden g mit OA =. Dher gilt für die Länge der Streke vom festen Punkt A is zum Shnittpunkt T von Gerde und Hupttngente AT = m, woei m der Steigungsfktor ist. AT AT Andererseits gilt im rehtwinkligen Dreiek OAT: tnϕ = = = AT = m OA Die Werte der Tngensfunktion werden durh die Streke [AT] uf der Hupttngente vernshuliht. Zwishen dem Neigungswinkel ϕ einer Gerden und ihrem Steigungsfktor m gilt der llgemeine Zusmmenhng tnϕ = m. Die Zeihnungen zeigen, dss uh für Winkel, die größer ls 90 sind, Tngenswerte vorhnden sind. Für spitze Winkel ϕ und Winkel von 80 + ϕ hen die Tngenswerte den gleihen etrg und positives Vorzeihen. Für Winkel von 80 ϕ und 360 ϕ hen die Tngenswerte den gleihen etrg er negtives Vorzeihen. Für ϕ = ± 90 und ± 70 git es keine Shnittpunkte der Gerden G mit der Hupttngente und folglih sind keine Tngenswerte vorhnden. Die Definitionsmenge der Tngensfunktion ei einer vollen Drehung der Gerden g gegen den Uhrzeigersinn im Einheitskreis ist demnh: D = [0; ]\ { 3, }. Die Wertemenge der Tngensfunktion ist W = Ø. eispiele ) tn 4 = tn (80 4) = tn 38 = 0,783 ) tn 37 = tn ( ) = tn 57 =,5399 Trigonometrishe Funktionen.3.4 Zusmmenhänge zwishen den Winkelfunktionen Der Einheitsvektor us.3. und die Gerde g us.3.3 rotieren nun gemeinsm im Einheitskreis. In der gezeihneten Stellung werden sie einen Moment ngehlten. N T 0 ϕ - O M A x - Zusmmenhänge zwishen sinϕ, osϕ, tnϕ 3

16 Trigonometrishe Funktionen Im rehtwinkligen Dreiek OMN gilt der Stz des Pthgors OM + MN = ON (sinϕ) + (osϕ) = oder kürzer sin ϕ + os ϕ =. In der V-Figur OMATN gilt der Strhlenstz MN OM sinϕ osϕ sinϕ = = tnϕ = AT OA tnϕ osϕ Die eziehungen gelten uh für Winkel, die größer ls 90 zw. größer ls sind. Trigonometrishe Grundeziehungen sin ϕ + os ϕ = sinϕ tnϕ = osϕ Trigonometrisher Pthgors Verknüpfung Sinus, Kosinus, Tngens eispiele 3 ) In einem rehtwinkligen Dreiek ist osα = gegeen. Gesuht sind 5 sin α und tn α ohne den Winkel zu ermitteln. sin α + os α = sinα = o3s3 α sinα = 3 3(3) = 3 = 4 5 Trigonometrisher Pthgors erehnung von sinα 3 sinα 5 3 tnα = tnα = = erehnung von tnα osα ) Der Sinuswert eines stumpfen Winkels ist. Gesuht sind die Kosinusund Tngenswerte desselen Winkels ohne diesen Winkel zu erehnen. 3 osα = 03 3 s3in3 α3 Der Kosinus eines stumpfen Winkels ist negtiv osα = = 3 = 03 erehnung von osα. 3 sinα tnα = tnα = = 03 erehnung von tnα. osα

17 ) Es soll gezeigt werden, dss die Umformung + tn α = rihtig ist. os α + tn sin sinα α = + α wegen tnα = os α osα sin + α os = α + sin α Huptnenner geildet os α os α os α + sin α os α = Trigonometrisher Pthgors os α Trigonometrishe Funktionen Werte von Winkelfunktionen. Führen Sie folgende Winkelfunktionen uf solhe von spitzen Winkeln zurük: ( eispiele uf Seite ) ) os 39 ) sin 5,56 ) tn 89 d) tn 5,5 e) sin 9 f) os 3 g) tn 88 h) os 305,75 i) sin 00 k) sin 56 0 l) os m) tn 0 n) sin ( 38 ) o) os ( 6,5 ) p) tn ( 98 ) q) os ( 00 ) r) sin 53 s) sin 330 erehnung von Winkeln Gesuht sind die Lösungen der Gleihung sinϕ = 0,57358, ϕ [0; 360 ].. ϕ = 35 Tshenrehner: INV SIN 0,57358 zw. sin 0, ϕ = = 45 Auh für Winkel im II. Qudrnten sind die Sinuswerte positiv Werte von Winkelfunktionen. Ermitteln Sie die Lösungen folgender Gleihungen: ) sinϕ = 0,6884, ϕ [0; 360 ] ) osϕ = 0,564, ϕ [0; 360 ] ) tnϕ =,5635, ϕ ]90, 70 [ d) osϕ = 0,588, ϕ [0, 360 ] e) sinϕ = 0,4067, ϕ [0; 360 ] f) osϕ = 0,559, ϕ [90 ; 80 ] g) tnϕ =,54, ϕ ]80 ; 70 [ h) sinϕ = 0,734, ϕ [0; 90 ] 3. Geen Sie die Lösungen folgender Gleihungen n: ) sinϕ = 0,707, ϕ [0; ] ) osϕ = 0,978, ϕ [0; ] ) sinϕ = 0,9004, ϕ [0; ] d) tnϕ = 0,8645, ϕ ]0; [ e) osϕ = 0,4695, ϕ [; ] f) tnϕ = 3,6456, ϕ ] ; [ 4. estimmen Sie die Lösungen folgender Gleihungen im Grdmß mit der Neenedingung sin ϕ < 0. ) tnϕ =,503 ) osϕ = 0,8988 ) osϕ = 0,7880 d) tnϕ =,486 Aufge Aufge Muster Aufge 5