Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec

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1 Binomialverteilung Jakob Bernoulli ( ) Ars Conjectandi Klassisches Verteilungsmodell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen in bestimmten noch näher zu charakterisierenden Situationen Situationen: Fixe Anzahl von unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperiments mit genau 2 möglichen Ausgängen Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle

2 Ausgangspunkt: Bernoulli-Versuch Ereignisse mit 2 möglichen Ausgängen Münzwurf: Kopf - Adler Geburt: Mädchen - Knabe Allgemein: Erfolg - Misserfolg Ausgang ist ungewiss (zufällig) Erfolgswahrscheinlichkeit: p Wahrscheinlichkeit für Misserfolg: q=1-p Von Interesse sei X die Anzahl der Erfolge X {0, 1} Statistik für SoziologInnen 2 Diskrete Verteilungsmodelle

3 Bernoulli-Versuch X Prob X² X Prob(X) X² Prob(X) 0 1-p p 1 p p p p Statistik für SoziologInnen 3 Diskrete Verteilungsmodelle

4 Bernoulli-Versuch X Prob X² X Prob(X) X² Prob(X) 0 1-p p 1 p p p p E(X)=p E(X²)=p V(X)=E(X²)-E(X)² = p-p² = p(1-p) Statistik für SoziologInnen 4 Diskrete Verteilungsmodelle

5 Bernoulli-Versuch (Beispiel) Würfeln eines 6-ers X Prob X² X Prob(X) X² Prob(X) 0 5/ /6 1 1/6 1/6 1/6 1/6 E(X)=1/6 V(X)=1/6-1/36 = 5/36=1/6*5/6 Statistik für SoziologInnen 5 Diskrete Verteilungsmodelle

6 Binomial-Experiment Ein Binomial-Experiment besteht aus einer Folge von Bernoulli-Experimenten, wobei folgende 4 Bedingungen gelten müssen: fixe vorgegeben Anzahl von Versuchen bei jedem einzelnen Versuch gibt es nur 2 mögliche Ausgänge "Erfolg" - "Misserfolg" alle Versuche haben eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit (p) die einzelnen Versuche müssen voneinander unabhängig erfolgen Galton-Brett Statistik für SoziologInnen 6 Diskrete Verteilungsmodelle

7 Beispiel zur Binomialverteilung 3 unabhängige Würfelwürfe Erfolg (E): 6-er p=1/6 Misserfolg (M): 1,...,5 q=1-p=5/6 Bei jedem einzelnen Wurf 2 Ausgänge Der Ereignisraum von 3 Würfen umfasst daher 2³=8 mögliche Ereignisse X... Anzahl der Erfolge X {0, 1, 2, 3} Statistik für SoziologInnen 7 Diskrete Verteilungsmodelle

8 Struktur des Stichprobenraums Ergebnis X (Anzahl Erfolge) Prob.. MMM 0 q³ (5/6)³ = 0,58 MME 1 pq² 1/6*(5/6)² = 0,12 MEM 1 pq² 1/6*(5/6)² = 0,12 EMM 1 pq² 1/6*(5/6)² = 0,12 MEE 2 p²q (1/6)²*5/6 = 0,02 EME 2 p²q (1/6)²*5/6 = 0,02 EEM 2 p²q (1/6)²*5/6 = 0,02 EEE 3 p³ (1/6)³ = 0,004 Statistik für SoziologInnen 8 Diskrete Verteilungsmodelle

9 Struktur des Stichprobenraums Ergebnis X (Anzahl Erfolge) Prob.. MMM 0 q³ (5/6)³ = 0,58 MME 1 pq² 1/6*(5/6)² = 0,12 MEM 1 pq² 1/6*(5/6)² = 0,12 EMM 1 pq² 1/6*(5/6)² = 0,12 MEE 2 p²q (1/6)²*5/6 = 0,02 EME 2 p²q (1/6)²*5/6 = 0,02 EEM 2 p²q (1/6)²*5/6 = 0,02 EEE 3 p³ (1/6)³ = 0,004 Statistik für SoziologInnen 9 Diskrete Verteilungsmodelle

10 Wahrscheinlichkeitsfunktion von X X=x Prob Beispiel 0 q³ 0,58 1 3pq² 0,36 2 3p²q 0,06 3 p³ 0,004 Formel: PX x x p x q x ( = ) =, x,,, 3 3 = 0123 mögliche Anordnungen der x Erfolge bei 3 Versuchen Wahrscheinlichkeit der x Erfolge Wahrscheinlichkeit der 3-x Misserfolge Statistik für SoziologInnen 10 Diskrete Verteilungsmodelle

11 Binomialverteilung Allgemein n- Versuche Die Zufallsvariable X heißt binomialverteilt mit den Parametern n (fixe Anzahl der Versuche) und p (konstante Erfolgswahrscheinlichkeit) X ~ B(n,p), wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion durch folgende Formel bestimmt ist: n PX x x p x q n x ( = ) =, x,,, n, = 01 1 n Statistik für SoziologInnen 11 Diskrete Verteilungsmodelle

12 Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsfunktion Anzahl der 6-er 3-facher Wurf Statistik für SoziologInnen 12 Diskrete Verteilungsmodelle

13 Verteilungsfunktion von X X=x Prob(X=x) Prob(X x) Prob(X>x) 0 0,58 0,58 0,42 1 0,36 0,94 0,06 2 0,06 0,996 0, ,004 1,00 0,00 Verteilungsfunktion Überlebensfunktion Statistik für SoziologInnen 13 Diskrete Verteilungsmodelle

14 Verteilungsfunktion kumulierte Wahrscheinlichkeit Anzahl der 6-er Statistik für SoziologInnen 14 Diskrete Verteilungsmodelle

15 Vergleich mit empirischen Daten X=x n i fach Würfe Stimmen die Beobachtungen mit dem theoretischen Modell überein? Statistik für SoziologInnen 15 Diskrete Verteilungsmodelle

16 Vergleich mit empirischen Daten X=x Prob(X=x) n i h i e i 0 0, , , , , , , , beobachtete Häufigkeiten "observed" erwartete (theoretische) Häufigkeiten "expected" Offensichtlich besteht eine deutliche Diskrepanz zwischen theoretisch erwarteten Häufigkeiten und den empirischen Daten Statistik für SoziologInnen 16 Diskrete Verteilungsmodelle

17 Erwartungswert & Varianz X~B(n, p) X ergibt sich laut Definition als Summe von n unabhängigen Bernoulli Zufallsvariablen X i welche jede die Werte 0 oder 1 annehmen kann X = n i= 1 X i n n EX = E X EX ( ) i i n p ( ) = = i= 1 i= 1 n n VX = V X VX ( ) i i n p p ( ) = = ( 1 ) i= 1 i= 1 Statistik für SoziologInnen 17 Diskrete Verteilungsmodelle

18 Interaktive Demonstration zur Binomial-Verteilung p1= 0,5 p2= 0,50 0, n= 10 Anzahl Erfolge Bi(n, p1) Bi(n, p2) 0 0,0010 0, ,0098 0, ,0439 0, ,1172 0, ,2051 0, ,2461 0, ,2051 0, ,1172 0, ,0439 0, ,0098 0, ,0010 0, ,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 E(X) 5 5 Var(X) 2,50 2,50 0, Statistik für SoziologInnen 18 Diskrete Verteilungsmodelle

19 Beispiel: Urnenmodell In einer Urne befinden sich nur rote und schwarze Kugeln Der Anteil der roten Kugeln sei 0,25, der der schwarzen Kugeln sei 0,75 Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer roten Kugel (Erfolg) konstant p=0,25. Wir ziehen n=4 Kugeln Der Erwartungswert für die Anzahl roter Kugeln ist: n*p = 4*0,25 = 1. Cave: d.h. absolut nicht, dass wir mit Sicherheit eine rote Kugel ziehen Statistik für SoziologInnen 19 Diskrete Verteilungsmodelle

20 Wahrscheinlichkeitsfunktion von X X=x Prob(X=x) X.Prob(X=x) 0 0,316 1*0,25 0 *0,75 4 0, ,422 4*0,25 1 *0,75³ 0, ,211 6*0,25²*0,75² 0, ,047 4*0,25³*0,75 1 0, ,004 1*0,25 4 0,015 E(X) = 1,000 Prob(X 1)=0,684 V(X) = n*p*(1-p)=4*0,25*0,75=0,75 Standardabw: = 0,87 Statistik für SoziologInnen 20 Diskrete Verteilungsmodelle

21 4 Ziehungen mit Zurücklegen p=1/4 Wahrscheinlichkeit Anzahl roter Kugeln Statistik für SoziologInnen 21 Diskrete Verteilungsmodelle

22 Anwendung in der Umfrageforschung Mögliche Stichprobenverteilungen (n=20) in Abhängigkeit vom Anteil π in der Grundgesamtheit 0, , , , , , , , , , , π=0, , , , , , , , , , , , π=0, , , ,15000 π=0,70 0, , ,00000 Statistik für SoziologInnen 22 Diskrete Verteilungsmodelle

23 Geometrische Verteilung Diese Verteilung ergibt sich, wenn die Anzahl der Versuche nicht fix vorgegeben ist, sondern die Bernoulli-Experimente solange fortgesetzt werden, bis der erste Erfolg eintritt. Die interessierende ZV X beschreibt jetzt nicht die Anzahl der Erfolge bei einer fixen Versuchsanzahl, sondern die Anzahl der Versuche, bevor das interessierende Ereignis zum ersten Mal eintritt. Wartezeitverteilung Statistik für SoziologInnen 23 Diskrete Verteilungsmodelle

24 Beispiel zur geometrischen Verteilung Bei einem Experiment geht man davon aus, dass der Anteil der Erfolge im langfristigen Mittel nur ca. 15% beträgt. In 85% der Durchführungen kommt es zu einem Misserfolg. X... Anzahl der Misserfolge bevor ein Erfolg verzeichnet wird Statistik für SoziologInnen 24 Diskrete Verteilungsmodelle

25 Beispiel zur geometrischen Verteilung Ereignis X Prob. im Beispiel E 0 q 0 p=p 0,15 ME 1 q 1 p 0,13 MME 2 q²p 0,11 MMME 3 q³p 0,09 MMMME 4 q 4 p 0,08 MMMMME 5 q 5 p 0,07 MMMMMME 6 q 6 p 0,06 etc. Formel: X~G(p) P(X=x)=q x p=(1-p) x p Statistik für SoziologInnen 25 Diskrete Verteilungsmodelle

26 Geometrische Verteilung 1 p EX ( ) = = q/ p p 1 p VX ( ) = = q/ p 2 p Im Beispiel: EX ( ) = 0, 85 / 0, 15 = 5, 666 VX ( ) = 0, 85 / 0, 15² = 37, 777 Std. Abw.( X) = 615, 2 Statistik für SoziologInnen 26 Diskrete Verteilungsmodelle

27 p=0,15 Wahrscheinlichkeit Statistik für SoziologInnen 27 Diskrete Verteilungsmodelle

28 Verteilungsfunktion der geom. Verteilung P(X > x) = P(X x+1)=? zumindest x+1 Misserfolge P(X > x) = P(MM...M) = (1-p) x+1 x+1 - mal F(x)=P(X x) = 1- P(X > x) = 1 - (1-p) x+1 Beispiel: F(10)=P(X 10) = 1 - (1-0,15) 11 = 0,83 Die Wahrscheinlichkeit höchstens 10 Misserfolge vor dem ersten Erfolg zu beobachten ist 0,83. Statistik für SoziologInnen 28 Diskrete Verteilungsmodelle

29 Anwendungsbeispiel: Binomialverteilung Prob(Knabengeburt)= 0,52 X Prob(X=x) Prob(Mädchengeburt)= 0,48 0 0, , Familienplanung: 4 Kinder (fixe Anzahl) 2 0, , , X.. Anzahl Mädchen 1 Anwendung der Binomialverteilung Anzahl der Mädchen 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Statistik für SoziologInnen 29 Diskrete Verteilungsmodelle

30 Anwendungsbeispiel: Geometrische Verteilung Prob(Knabengeburt)= 0,52 Prob(Mädchengeburt)= 0,48 X Prob(X=x) 0 0,5200 Familienplanung:? Kinder mindestens 1 Knabe 1 0, , ,0575 X.. Anzahl Mädchen 4 0, ,0132 Anwendung der geometrischen Verteilung 6 0,0064 Anzahl der Mädchen 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0, Statistik für SoziologInnen 30 Diskrete Verteilungsmodelle

31 Zusammenfassende Wiederholung Zufallsvariable X ~ B(n,p) X ist binomialverteilt mit den Parametern n (fixe Anzahl der Versuche) und p (konstante Erfolgswahrscheinlichkeit) n PX x x p x q n x ( = ) =, x,,, n, = 01 1 n Erwartungswert: E(X) = n.p Varianz: V(X) = n.p Die geometrische Verteilung ergibt sich, wenn die Anzahl der Versuche nicht fix vorgegeben ist, sondern die Bernoulli-Experimente solange fortgesetzt werden, bis der erste Erfolg eintritt. X Anzahl der Misserfolge X~G(p) P(X=x)=q x. p=(1-p) x. p Erwartungswert: E(X) = q/p Varianz: V(X) = q/p² Statistik für SoziologInnen 31 Diskrete Verteilungsmodelle

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