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Leopold Brauer
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1 LS-9- Eine Schale enthält vier rote und drei e Kugeln. Es werden blind zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. 7 rot 6 6 rot , , rot , ,8675 a) P(zwei rote) P((r,r)) 6/9 b) P(eine rote) P((r,b)) + P((b,r)) 2/9 + 2/9 2/9 c) P(mindestens eine rote) P((r,r)) + P((r,b)) + P((b,r)) 6/9 + 2/9 + 2/9 0/9 P(mindestens eine rote) - P(keine rote) - P((b,b)) - 9/9 0/9 d) P(höchstens eine e) P(mindestens eine rote) 0/9 Eine Schale enthält vier rote und drei e Kugeln. Es werden blind zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. 7 rot 2 2 rot , , rot , ,2857 a) P(zwei rote) P((r,r)) 2/7 b) P(eine rote) P((r,b)) + P((b,r)) 2/7 + 2/7 /7 c) P(mindestens eine rote) P((r,r)) + P((r,b)) + P((b,r)) 2/7 + 2/7 + 2/7 6/7 P(mindestens eine rote) - P(keine rote) - P((b,b)) - /7 6/7 d) P(höchstens eine e) P(mindestens eine rote) 6/7

2 LS-9-2 Ein Glücksrad (/ gelb, / ) wird dreimal gedreht. Geben Sie die Ergebnismenge an. Ω {(g,g,g), (g,g,b), (g,b,g), (g,b,b), (b,g,g), (b,g,b), (b,b,g), (b,b,b)} gelb gelb gelb 6 6 0, ,06875 gelb 6 6 0, ,0625 gelb gelb 0, , gelb 0, , a) P(dreimal gelb) P((g,g,g)) /6 b) P(genau einmal ) P((g,g,b)) + P((g,b,g)) + P((b,g,g)) * /6 9/6 c) P(mindestens einmal gelb) - P(keinmal gelb) - P((b,b,b)) - 27/6 7/6 d) P(mindestens zweimal ) P(zweimal ) + P(dreimal ) P((g,b,b)) + P((b,g,b)) + P((b,b,g)) + P((b,b,b)) * 9/6 + 27/6 5/6

3 LS-9- Von einem Medikament ist bekannt, dass es in / aller Fälle eine Krankheit heilt. Drei Patienten werden damit behandelt. Patient Patient 2 Patient nicht ,2875 nicht , ,0625 nicht 6 6 0,06875 nicht nicht ,0625 nicht 6 6 0, ,06875 nicht 6 6 0,05625 a) P(kein Patient ) P((ng,ng,ng)) /6 Gegenereignis: mindestens ein Patient b) P(genau ein Patuent wird ) P((g,ng,ng)) + P((ng,g,ng)) + P((ng,ng,g)) * /6 9/6 Gegenereignis: kein Patient oder zwei Patienten oder alle drei Patienten c) P(genau ein Patient nicht ) P((g,g,ng)) + P((g,ng,g)) + P((ng,ng,g)) * 9/6 27/6 Gegenereignis: kein Patient oder zwei Patienten oder alle drei Patienten nicht d) P(höchstens zwei Patienten ) - P(alle drei Patienten ) - P((g,g,g)) - 27/6 7/6 Gegenereignis: alle drei Patienten

4 LS-9- Bei einem Spiel erhält man eine Punktzahl nach folgendem Verfahren: Man würfelt mit zwei Würfeln und nimmt die kleinere der auftretenden Augenzahlen als Punktzahl. Bei gleichen Augenzahlen nimmt man diese. Zufallsvariable: X Minimum der beiden Augenzahlen a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Zufallsexperiment an. P(X ) P((,)) + P((,2)) + P((,)) + P((,)) + P((,5)) + P((,6)) + P((2,)) + P((,)) + P((,)) + P((5,)) + P((6,)) /6 P(X 2) P((2,2)) + P((2,)) + P((2,)) + P((2,5)) + P((2,6)) + P((,2)) + P((,2)) + P((5,2)) + P((6,2)) 9/6 P(X ) P((,)) + P((,)) + P((,5)) + P((,6)) + P((,)) + P((5,)) + P((6,)) 7/6 P(X ) P((,)) + P((,5)) + P((,6)) + P((5,)) + P((6,5)) 5/6 P(X 5) P((5,5)) + P((5,6)) + P((6,5)) /6 P(X 6) P((6,6)) /6 b) Skizzieren Sie den Graphen der Wahrscheinlichkeitsverteilung. X P(X) /6 2 / 7/6 5/6 5 /2 6 /6 0, 0, 0,2 0,

5 LS-0-5 In einer Schale liegen sechs Kugeln. Zwei tragen die Nummer, eine die Nummer 2, zwei die Nummer und eine die Nummer. Zwei Kugeln werden blind mit Zurücklegen gezogen. P() P() 2/6 /, P(2) P() /6 P((,)) P((,)) P((,)) P((,)) / * / /9 P((,2)) P((2,)) P((,)) P((,)) P((,2)) P((2,)) P((,)) P((,)) / * /6 /8 P((2,2)) P((2,)) P((,2)) P((,)) /6 * / /6 Betrachten Sie die Ereignisse E: Die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln beträgt höchstens. F {(,), (2,), (,), (,)} a) Geben Sie E in Mengenschreibweise an. E {(,), (,2), (2,)} Beschreiben Sie F in Worten. F: Die zweite gezogene Kugel trägt die Nummer. Beschreiben Sie das Gegenereignis von E in Worten. E quer : Die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln ist größer als. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten von E und F. P(E) P((,)) + P((,2)) + P((2,)) /9 + 2 * /8 2/9 P(F) P(zweite gezogene Kugel trägt die Nummer ) P() / b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln höchstens beträgt und dass man ein Ergebnis aus F erhält? E F {(,), (2,)} P(E F) P((,)) + P((2,)) /9 + /8 /6 c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten von E U F. P( E U F) P(E) + P(F) - P(E F) 2/9 + / - /6 7/8 E U F {(,), (,2), (2,), (,), (,)} P(E U F) P((,)) + P((,2)) + P((2,)) + P((,)) + P((,)) /9 + /8 + /8 + /9 + /8 7/8

6 LS-0-6 Dirk Nowitzki trifft beim Basketball-Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 9/0. Er macht drei Freiwürfe. a) Geben Sie die Ergebnismenge sowie eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung an. Ω {(T,T,T), (T,T,N), (T,N,T), (T,N,N), (N,T,T), (N,T,N), (N,N,T), (N,N,N)} P((T,T,T)) 9/0 * 9/0 * 9/0 729/000 P((T,T,N)) P((T,N,T)) P((N,T,T)) 9/0 * 9/0 * /0 8/000 P((T,N,N)) P((N,N,N)) P((N,N,T)) 9/0 * /0 * /0 9/000 P((N,N,N)) /0 * /0 * /0 /000 e (T,T,T) (T,T,N) (T,N,T) (T,N,N) (N,T,T) (N,T,N) (N,N,T) (N,N,N) P(e) 729/000 8/000 8/000 9/000 8/000 9/000 9/000 /000 b) Geben Sie das Ereignis E: mindestens zwei Treffer als Menge an und bestimmen Sie P(E). E {(T,T,T), (T,T,N), (T,N,T), (N,T,T)} P(E) 729/000 + * 8/ /000 97,2% Beschreiben Sie das Gegenereignis von E in Worten und geben Sie P(E quer ) an. E quer : höchstens ein Treffer / weniger als zwei Treffer P(E quer ) - P(E) - 972/000 28/000 2,8% c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Nowitzki höchstens zweimal trifft? P(höchstens zwei Treffer) - P(drei Treffer) - P((T,T,T)) - 729/000 27/000 27,%

7 LS-0-7 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei fünf Würfen mit einem Würfel a) mindestens eine sechs zu werfen? P(mindestens eine sechs) - P(keine sechs) - (/6) /7776 0,99987 b) lauter verschiedene Augenzahlen zu erhalten? P(lauter verschiedene Augenzahlen) 5! * [P((,2,,,5)) + P((,2,,,6)) + P((,2,,5,6)) + P((,2,,5,6)) + P((,,,5,6)) + P((2,,,5,6))] 5! *6 * (/6)^5 5/5 0,092 c) Die erste sechs beim fünften Wurf zu erzielen? P(erste sechs beim fünften Wurf) (5/6) * /6 625/7776 0,08

8 LS-0-8 Die Wahrscheinlichkeit für eine Jungengeburt beträgt 0,55. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt eine Familie mit fünf Kindern a) nach vier Söhnen eine Tochter? P((S,S,S,S,T)) 0,55 * 0,85 0,0 b) nach vier Töchtern einen Soh? P((T,T,T,T,S)) 0,85 * 0,55 0,0285 c) Söhne P( Söhne) 5 * P((S,S,S,S,T)) 5 * 0,55 * 0,85 0,706 Töchter P( Töchter) 5 * P((T,T,T,T,S)) 5 *0,85 * 0,55 0,25 d) abwechselnd Söhne und Töchter P(abwechselnd Söhne und Töchter) P((S,T,S,T,S)) + P((T,S,T,S,T)) 0,55^ * 0,85^2 + 0,55^2 * 0,85^ 0,062

9 LS-0-9 Lotto "6 aus 9" a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige? P(6 Richtige) 6! * /9 * /8 * /7 * /6 * /5 * / /9886 7,5 * 0^ /9886 7,5 * 0^-8 6 P(6 Richtige) ( ) 9886 b) Eine Ziehung mit sechs aufeinanderfolgenden Zahlen heiß "Sechsling". Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Sechsling? P(Sechsling) 6! * [P((,2,,,5,6)) + P((2,,,5,6,7)) + P((,,5,6,7,8)) + + P((,5,6,7,8,9))] * 6! * P((,2,,,5,6)) * /9886 /78,655 * 0^-6 c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für null Richtige? P(0 Richtige) /9 * 2/8 * /7 * 0/6 * 9/5 * 8/ 0,60 P(k Richtige) 6 k 6 - k 9 6 ( ) * ( ) ( )

10 LS-0-0 a) Ein Atom eines radioaktiven Stoffes zerfällt im Laufe eines Tages mit der Wahrscheinlichkeit 0,5. Anfangs sind von dem Stoff 00% vorhanden. Wie viel Prozent sind nach 0 Tagen noch da? Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Atom im Laufe eines Tages nicht zerfällt beträgt 0,85 0,85 0 0,969 Nach 0 Tagen sind noch ca. 9,7% des Stoffes vorhanden. Bestimmen Sie die Halbwertszeit (die Zeit, in der 50% des Stoffes zerfallen). 0,85 t 0,5 t log 0,85 (0,5),265 Die Halbwertszeit beträgt,265 Tage. b) Jod- besitzt eine Halbwertszeit von acht Tagen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jod--Atom in den nächsten 2 Stunden zerfällt? 8 /8 ( - p) 0,5 ( - p) 0,5 0,97 p 0,08 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jod--Atom in den nächsten 2 Stunden zerfällt, beträgt ca. 8,%.

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