Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.

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1 Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor ) Teil I: Unter einer Menge verstehen wir die Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte nennen wir die Elemente der Menge. Für Mengen A, B bedeute : x ist Element der Menge A i : x ist nicht Element der Menge A A besteht aus den Elementen a, b und c Zumindest der erste Teil dieser "Definition" ist weniger mathematisch angehaucht, doch er sollte seinen Zweck erfüllen. Unter einer Menge verstehen wir laut Cantor eine Gruppe von wohlunterscheidbarer, d. h. von einander verschiedenen, Elementen, die zu einem größeren Ganzen gebündelt werden. Diese Elemente müssen nicht unbedingt Zahlen sein. Auch Buchstaben können zu Mengen zusammengefasst werden, Namen und Personen. Der Mengenbegriff ist ziemlich abstrakt, jedoch kann man sich unter einer Menge eine Art Container vorstellen, in der ihre Elemente eingelagert sind. Ist ein Element dort vorhanden, so sagt man es ist Teil der Menge. Ist es nicht vorhanden, so kann es schlichtweg auch kein Element der Menge sein. Beispiel 1.1 Cantor Teil I: Gegeben seien: und Sei ferner dann gilt: i N Wir wissen nun zwar, wie es möglich ist eine Menge zu notieren und wie man angibt, ob ein Element Bestandteil eben derer ist oder nicht. Jedoch geschieht dies bisher nur durch explizite Auflistung der einzelnen Elemente. Wesentlich praktischer wäre allerdings eine allgemeinere Schreibweise, um den Schreibaufwand bei größeren Mengen zu minimieren und auch kompliziertere Strukturen erfassen zu können. Eine solche Schreibweise soll nun zusammen mit einigen weiteren grundlegenden Begriffen eingeführt werden. Ebenso sollen die Grundoperationen auf Mengen kennen gelernt werden, die es ermöglichen mit zwei Mengen zu rechnen. Außerdem stellt sich manch einem die Frage, ob es auch Mengen gibt, die kein einziges Element enthalten. Definition 1.1 (G. Cantor ) Teil II:

2 Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 2 i Eigenschaft E aufweisen bedeutet: A besteht aus den Elementen x, die die v vi Mit oder { } bezeichnen wir die leere Menge v A und B heißen disjunkt, falls gilt: Dieser Teil der Definition beseitigt einige wichtige Fragen, die beim bisherigen Umgang mit Mengen hätten auftreten können. Existieren Mengen ohne Elemente? In welcher Beziehung können zwei verschiedene Mengen zueinander auftreten? Lassen sich verschiedene Mengen miteinander verbinden und wenn ja, wie? Mengen ohne Elemente gibt es, wie wir definiert haben sehr wohl. Es mag den ein oder anderen vermutlich verwundern, warum in der Mathematik ständig von Definitionen die Rede ist. Die Antwort ist genauso simpel, wie vermutlich auch verwirrend: Wir definieren bisher nicht vorhandenes. Wir bilden sozusagen künstliche Strukturen, um von diesen Definitionen aus Regeln und Gesetzmäßigkeiten herzuleiten. Eine solche definierte Struktur ist in diesem Fall die leere Menge, eine Menge ohne Elemente. Es wurde bereits erwähnt, dass man sich Mengen als Container von Objekten vorstellen kann. Die Vereinigung zweier Mengen kann als Zusammenführen beider Container verstanden werden, bei der doppelte Elemente entfernt werden, da dadurch eine neue Menge entsteht und Mengen keine doppelt auftretenden Objekte beinhalten. Der Schnitt zweier Mengen beinhaltet dagegen nur die Elemente, die in beiden Containern gleichzeitig vorhanden sind. Gibt es dabei keinerlei Übereinstimmungen, so entsteht aus dem Schnitt die leere Menge und man bezeichnet die beiden Mengen als disjunkt. Beispiel 1.1 Teil II: i Sei und dann lässt sich sagen: A besteht aus den Elementen x, die eine Primzahl sind und B besteht aus den Elementen y, die natürliche Zahlen darstellen und zwischen 0 und 4 liegen, also Sei deswegen lässt sich schreiben: dann ist in B kein Element enthalten, bzw. v Seien und dann ist vi Seien und dann ist v Seien und dann sind A und B disjunkt, denn: Hier nochmals die grundlegendsten Operationen als visuelle Darstellung begleitet mit einer kurzen Erklärung: Die Vereinigung zweier Mengen bedeutet nach der oberen Definition, dass ein beliebiges Element x einer neuen Menge (das ist die Vereinigungsmenge) in der Menge A oder in B enthalten ist. Sie enthält also sämtliche Elemente, die in einer der beiden oder sogar in beiden Mengen vorhanden ist.

3 Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 3 Der Schnitt dagegen beinhaltet nur jene Elemente, die Bestandteil beider Mengen sind. Schneidet man zwei Mengen und existiert kein Element, das in beiden Mengen vorhanden ist, so erhält man als Schnittmenge die leere Menge. Man nennt in diesem Fall die beiden geschnittenen Mengen disjunkt. Anhand der bisher vorgestellten Basisoperationen wollen wir nun unsere Fähigkeit mit Mengen umzugehen erweitern. Im Nachfolgenden möchten wir die Beziehung zwischen den Mengen detaillierter betrachten und einige neue Verknüpfungsmöglichkeiten kennenlernen. Definition 1.2 (Teilmengen, Differenz, Potenzmenge, karthesisches Produkt): ix) A heißt Teilmenge von B, in Zeichen falls gilt: (B ist Obermenge von A) x) bedeutet, aber x heißt die Differenz ("A ohne B") Ist mit einer Obermenge, so heißt das Komplement von A bezüglich Wir schreiben oder, wenn aus dem Kontext klar ist xi Mit bezeichnen wir die Potenzmenge von A x die Menge der geordneten Paare, heißt karthesisches Produkt von A mit B. Dabei legen wir fest: mit Allgemein sei für Mengen mit die Menge der geordneten n- Tupel. Statt schreiben wir auch und statt schreiben wir Eine Teilmenge ist eine Menge, die in einer anderen Menge enthalten ist. Jedes Element in muss auch Teil von sein. Der Zusatz "echte" Teilmenge bedeutet, dass in enthalten, aber gleichzeitig nicht gleich ist. Eine "normale" Teilmenge dagegen, kann auch Teilmenge von sich selbst sein. Als kleine Anmerkung sollte noch erwähnt werden, dass die leere Menge Teilmenge von jeder Menge ist.

4 Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 4 Die Differenz zweier Mengen bedeutet nach der oberen Definition, dass ein beliebiges Element einer neuen Menge (das ist die Differenzmenge) in der Menge aber nicht in enthalten ist. Die Differenz enthält daher sämtliche Elemente, die Teil von, aber nicht von sind. Man nimmt sozusagen aus einem Container sämtliche Elemente heraus, die bereits in der anderen Menge vorhanden sind. Die Potenzmenge stellt die Menge sämtlicher in enthaltener Teilmengen dar. Es wird jede mögliche Kombination der Elemente von als eine einzelne Menge zusammengefasst, dazu zählt auch die leere Menge. Diese werden dann in der Potenzmenge gebündelt. Beim karthesischen Produkt werden die Elemente zweier Mengen in einem Tupel kombiniert. Die Reihenfolge innerhalb von Tupeln ist dabei wesentlich, während man die Reihenfolge innerhalb von Mengen vernachlässigen kann. Ein Tupel hat die Form und bildet ein Paar von Objekten. Es gibt auch Tupel mit mehr als zwei Elementen, aber diese sollen hier erstmal nicht behandelt werden. Mit diesen Definitionen kennen wir nun die grundlegendsten Begriffe aus der Mengenlehre. Wir sind in der Lage das Verhältnis zweier Mengen zueinander zu beschreiben, einige durchaus beachtliche Anzahl an Verknüpfungen auszuführen und elementare Mengen zu benennen. Auch hier möchten wir die bisherigen Begriffe an einigen Beispielen anwenden. Beispiele 1.2 (Teilmengen, Differenz, Potenzmenge, karthesisches Produkt): a) b) c) Seien und dann ist B sogar echte Teilmenge von A, denn und gleichzeitig gilt: und insgesamt folgt: Seien {y y N und 0<y<11} und dann ist B Teilmenge von A, denn: Seien und und dann ist, denn, außerdem ist d) Sei dann ist e) Sei dann ist f) Seien und dann ist und

5 Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 5 g) Seien und dann ist und Das Arbeiten mit zwei Mengen sollte inzwischen gut von der Hand gehen, jedoch wird es bei vielen Mengen mühselig. Dazu führen wir nun die Begriffe des allgemeinen Durchschnitts und der allgemeinen Vereinigung ein: Definition 1.3 (Allgemeiner Schnitt und allgemeiner Durchschnitt): Allgemein definieren wir für ein System S von Mengen den allgemeinen Durchschnitt: Aus den bisherigen Definitionen lässt sich Folgern, welche Kriterien nötig sind, um die Gleichheit zweier Mengen nachzuweisen. Dies geschieht, vornehmlich über den Begriff der Teilmenge, wie der Satz über Gleichheit von Mengen zeigt. Satz 1.4 (Gleichheit von Mengen): Um Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, beweist man, dass und also: a. b. Dieser Satz argumentiert folgendermaßen: Ist A Teilmenge von B und B Teilmenge von A, so müssen diese Teilmengen gleich sein. Sind also sämtliche Elemente von in vorhanden und sämtliche Elemente von in, so folgt Gleichheit der Mengen. Dies lässt sich wie folgt beweisen: Beweis 1.4 (Gleichheit von Mengen): Sei, so ist x aufgrund von auch Teil von. Sei, so ist x aufgrund von auch Teil von. u Der Gedankengang bei diesem Beweis ist folgender: Ist A Teilmenge von B, so muss ein Element x aus A auch in B enthalten sein. Analoges gilt, wenn B Teilmenge von A Ist. Daraus lässt sich folgern, dass die Elemente in beiden Mengen enthalten sein müssen. Und da sämtliche Elemente der einen Menge auch in der anderen vorkommen, lässt sich schlussendlich sagen, dass beide Mengen gleich sind.

6 Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 6 schlussendlich sagen, dass beide Mengen gleich sind. Satz 1.5 (Mächtigkeit der Potenzmenge): wobei mit A die Mächtigkeit, d. h. die Anzahl an Elementen, einer Menge A bezeichnet wird. In diesem Satz wird behauptet, dass die Potenzmenge einer -elementigen Menge A insgesamt Elemente besitzt. Man sagt: Die Mächtigkeit von beträgt. Beweis 1.5 (Mächtigkeit der Potenzmenge): Der Beweis geschieht mittels vollständiger Induktion (dieses Beweisverfahren wird in diesem Kapitel noch vorgestellt). Induktionsanfang: Sei (Die Anzahl der Elemente einer Menge B beträgt also 0 ). Laut unserer Annahme wäre die Mächtigkeit der Potenzmenge also Dies stimmt, weil die Potenzmenge in diesem Fall kein Element enthält, außer die leere Menge (die Teil einer jeden Menge ist). Induktionshypothese: Induktionsschritt: zu beweisen: Wir nehmen allgemein an, dass eine neue Menge A Teilmenge von ({1, 2, 3,, +1) ist. A kann dabei beispielsweise {1} sein oder {1, 2, 500, n+1}. Ist nicht Teil dieser Teilmengen, so tritt die Induktionshypothese ein. Wird das n um 1 erhöht, so werden alle Kombinationen nochmals notiert, mit dem Zusatz dass in jeder Menge zusätzlich n+1 vorkommt. Daher gilt: Dies ist unser Ausgangspunkt beim Induktionsschritt gewesen. Also ist die Aussage für jedes weitere (nichts anderes ist ) bewiesen. Wir haben zunächst bewiesen, dass unsere Behauptung für die kleinstmögliche Elementanzahl Gültigkeit besitzt. Daraufhin haben wir versucht das ganze für jedes um größere nachzuweisen. Also für Dazu haben wir zur Verdeutlichung die Teilmengen dieser großen Potenzmenge betrachtet. Zunächst bezog sich unsere Betrachtung auf die Teilmengen ohne, die unsere Hypothese wiederspiegeln. Daraufhin haben wir in unsere Überlegung mit einbezogen und festgestellt, dass sich die Mächtigkeit verdoppelt, weil sämtliche Teilmengen nochmals vorkommen, nur eben um das erweitert. Das führte zu den im Beweis angegebenen Umformungen und schließlich zur Rückführung auf unsere Behauptung. Um das Leben beim Umgang mit Mengen zu erleichtern und kompliziertere Ausdrücke zu

7 Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 7 Um das Leben beim Umgang mit Mengen zu erleichtern und kompliziertere Ausdrücke zu vereinfachen gibt es einige Rechenregeln, die im Anschluss auch bewiesen werden. Sie weisen, aus an dieser Stelle nicht genannten Gründen, eine gewisse Ähnlichkeit mit den Rechenregeln bei gewöhnlichen Zahlen auf, weswegen ihre Benutzung äußerst intuitiv sein sollte. Satz 1.6 (Rechenregeln für Mengen): (Kommutativgesetz) i (Assoziativgesetz) (Distributivgesetz) i dann Regeln von De Morgan v Sei X eine Menge und S P(X) ein System von Teilmengen von X, dann gilt: (Regeln von De Morgan -allgemein) Die ersten drei Regeln entsprechen dem Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz bei normalen Zahlen. Die 4. Regel besagt, dass das Komplement eines Komplements einer Menge die ursprüngliche Menge darstellt. Die 5. Regeln sind die Gesetze von De Morgan und gehören zu den bekanntesten Gesetzen der Mengenlehre. In Regel Nummer 6 werden diese Gesetze auf ein ganzes System von Mengen erweitert. Beweis 1.6 (Rechenregeln für Mengen) ( ( ) ( ( ) i

8 Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 8 v Durch Mengenschreibweisen sind wir in der Lage bestimmte Elemente über ihre Eigenschaften zu beschreiben. Für besonders häufig auftretende Mengen wollen wir nun einige Kurzschreibweisen einführen. Grundmenge sind hierbei die reellen Zahlen. Wir definieren verschiedene Zahlenbereiche, sogenannte Intervalle wie folgt: Definition 1.7 (Intervalle) Sind a, b R Elemente mit a b, so bezeichnet man die nachfolgenden Teilmengen als Intervalle: i i

9 Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 9 Beispiele 1.7 (Intervalle) Sei a = 3 und b = 8, dann gilt folgendes: i i Übungen zu Mengen: 1. Beschreibe folgende Mengen durch Aufzählung ihrer Elemente: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. 2. Skizziere folgende Mengen: a. b. c. d. e. f., 3. Skizziere folgende Intervalle auf einem Zahlenstrahl: a. b. c. d.