Mengenlehre. Jörg Witte

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1 Mengenlehre Jörg Witte Grbegriffe Die Menegenlehre ist heute für die Mathematik grlegend. Sie spielt aber auch in der Informatik eine entscheidende Rolle. Insbesondere fußt die Theorie der relationalen Datenbanken auf der Mengenlehre. Die Mengenlehre wurde von G. Cantor ( ) begündet. Er legte den Begriff der Menge folgendermaßen fest: Definition 1.1 (Menge) Unter einer Menge M verstehen wir eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen. Für ein ELement x von M schreiben wir: x M. Endliche Mengen lassen sich aufzählen: {x 1, x 2,..., x n } Häufig werden Mengen durch Aussageformen p(x) definiert. Eine Aussageform ist eine logische Aussage, die entweder wahr oder falsch ist, die von einem Parameter x abhängt. Schreibweise: {x p(x)} Mit Hilfe einer Aussageform knnen Elemente zu einer Menge zusammengefasst werden, die alle eine Eigenschaft gemeinsam haben. Beispiel: {x x ist eine Primzahl}. Wichtig ist die Unterscheidbarkeit der Elemente. Ein Element kann in einer Menge höchstens einmal auftreten. Das spiegelt sich in der Theorie der relationalen Datenbanken darin wieder, dass ein Datensatz in einer Tabelle höchstens einmal vorhanden sein kann.beispiel: {I, N, F, O, R, M, A, T, K}. 1

2 Das I tauch hier nur einmal auf, da die beiden I s, die in dem Wort Informatik auftauchen, nicht wohl unterschieden sind. Auch spielt die Reihenfolge, in der die Elemente aufgelistet werden, keine Rolle. Da Mengen auf unterschiedliche Weisen dargstellt werden können, stellt sich die Frage wann zwei Mengen gleich sind. Definition 1.2 (Gleichheit) Zwei Mengen A B sind genau dann gleich, wenn x A x B. Beispiel: die Menge der natürlichen Zahlen, die durch drei teilbar sind, die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quersummen durch drei teilbar sind, sind gleich. Die Menge, die keine elemente enthält, wird leere Menge genannt mit dem Symbol bezeichnet. Auf Gr der Gleichheitsdefinition kann es nur eine leere Menge geben. Definition 1.3 (Teilmenge) Eine Menge A ist genau dann eine Teilmenge von B, wenn x A = x B. Folgerung 1.1 Zwei Mengen A B sind genau dann gleich, wenn A B B A. 2 Mengenoperationen Auf Mengen können Operationen ausgeführt werden. Diese sind für das Verständnis relationaler Datenbanken wichtig, da alle Datenbankoperationen Mengenoperationen sind. Definition 2.1 (Durchschnitt) Der Durchschnitt A B zweier Mengen A B ist wie folgt definiert: A B = {x x A x B} Definition 2.2 (Vereinigung) Die Vereinigung A B zweier Mengen A B ist wie folgt definiert: A B = {x x A x B} Die Vereinigung un der Durchschnitt sind Assoziativ Kommutataiv. Weiterjhin gibt es zwei Distributvgesetze: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C). 2

3 Definition 2.3 (Differenz von Mengen) Die Differenz A\B zweier Mengen A B ist wie folgt definiert: A \ B = {x x A x B} Ein besonderer Fall der Mengendifferenz liegt, dann vor, wenn eine Menge eine Teilmenge der anderen ist. Definition 2.4 (Komplement von Mengen) Das Komplement A von A bezüglich einer Universalmenge Ω ist die Differenzmenge Omenga \ A, wenn A Ω. Häufig ist die Universalmenge aus dem Zusammenhang her klar, so dass sie nicht noch explizit erwähnt wird. Satz 2.1 (Regeln von Morgan) A B = A B A B = A B 3 Cartesisches Produkt Bei einem Schachspiel werden die Felder durch eine Kombination von 8 Buchstaben 8 Zahlen identifiziert. Betrachten wir die Mengen {A, B, C, D, E, F, G, H} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}! Ein Feld eine Schachspiels ist dann eindeutig duch ein Paar von je einem Element aus der ersten Menge einem Element aus der zweiten Menge bestimmt. Bei einem Tabellenkalkulationsprogramm finden wir ähnliches vor. Definition 3.1 (binäres Cartesisches Produkt) Seien A B zwei Mengen, dann heit A B = {(a, b) a A, b B} das Cartesische Produkt der Mengen A B. Das Cartesische Produkt ist also eine Menge von geordneten Paaren. Die Mengen A B müssen nicht notwendigerweise verschieden sein. Für die leere Menge eine Beliebige menge A erhaltren wir: A = A = 3

4 In der Theorie der relationalen Datenbanken werden uns Cartesische Produkte als Relationen bzw. bei Datenbankabfragen begegnen. In der Literatur zu den relationalen Datenbanken findet man häufig noch eine andere Definition des Cartesischen Produktes. Auch wird dort häufig von der Reihenfolge der Elemente abgesehen. Wenn das Cartesiche Produkt aber als geordnetes Paar definiert wird, dann spielt die Reihenfolge durchaus eine Rolle. Ihre Rolle reduziert sich allerdings darauf, die Elemente zu identifizieren. In der Theorie der relationalen Datenbanken werden dafür Bezeichner verwendet. Eine Definition, die nicht von einer Reihenfolge gebraucht macht, aber auch nicht von Bezeichnern, sieht wie folgt aus: A B = {{a, {a, b}} a A, b B}. Jedem geordneten Paar lät sich eindeutig ein Element dieser Menge zuordnen umgekehrt. Daher kann man die zweite Definition nur als eine andere Schreibweise für das Cartesische Produkt auffassen. Wir sprechen hier der Einfachheit wegen weiter von geordneten Paaren. Wir wollen uns herlegen, wie diese eindeutige Zuordnung aussieht. Offensichtlich wird dem Paar (a, b) die Menge {a, {a, b}} zugeordnet. Umgekehrt kann man dieser Menge auch eindeutig ein Paar (a, b) zuordnen. Warum geht das mit der Menge {a, b} nicht notwendigerweise? Mehrdeutigkeiten gibt es, wenn die Mengen A B einen nichtleeren Durchschnitt haben, a, b A B a b. Ist a = b, dann hat (a, b) nur ein Element ist eindeutig dem Paar A, A zugeordnet. Rekursiv lät sich die Definition des geordneten Paares verallgemeinernt: {(m 1,..., m n ) = ((m 1,..., m n 1 ), m n ). Definition 3.2 (Cartesische Produkt) Seien M 1,..., M n n Mengen, dann ist das Produkt aus M 1,..., M n wie folgt definiert: M 1 M n = {(m 1,..., m n ) m 1 M 1,..., m n M n } In der Theorie der relationalen Datenbanken ist es wichtig, eine Relation zu identifizieren von anderen Relationen abzugrenzen. Daherist die folgende Definition sinnvoll. Definition 3.3 Zwei n-tupel (r 1,..., r n ) (s 1,..., s n ) sind genau dann gleich, wenn fr alle i {1,..., n} gilt: r i = s i. Für das Cartesische Produkt gelten zwei Distributivgesetze: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 4

5 4 Relationen Funktionen Definition 4.1 (binäre Relation) Seien A B zwei Mengen, dann ist eine (binäre ) Relation R eine Teilmenge des Cartesischen Produktes A B: Beispiel: Gleicheitsrelation: R A B. R = {(x, x) x A}. Ordnungsrelation: Sei A eine angeordnete Menge, dann ist R = {(a, b) a, b A, a < b} eine Relation, nämlich die Ordnungsrelation. Definition 4.2 (n-stellige Relation) Seiebn M 1, M 2,..., M n n Mengen, dann ist R M 1 M n eine (nn-stellige) Relation. Von sehr wichtiger Besdeutung für des Entwurf relationaler Datenbanken ist die folgende Definition. Definition 4.3 (Funktionen) Sei R A B eine Relation zwischen A B. F heit linksvollständig, wennn es zu jedem a A ein b B gibt, so dass (a, b) R R heit rechtseindeutig, wenn für alle Paare (a, b), (a, c) R stets gilt: b = c. eine Relation, die sowohl linksvollständig als auch rechteindeutig ist, heit eine Funktion oder Abbildung. A heit der Definitionsbereich, B der Wertebereich. Man schreibt auch: R : A B bzw b = R(a). Man sagt dann: b hngt funktional von a ab. Beispiel R = {(ISBN, Buchtitel) ISBN-Nummer, passender Buchtitel} Da die ISBN-Nummer eindeutig ein Buchbeschreibt, hängt der Titel funktional von der ISBN-Nummer ab. Beim relationalen Datenbankentwurf werden systematisch solchhe funktionalen Abhängigkeiten aufgedeckt. 5

6 Neben der Bildung von Cartesischen Produkten spielen bie Datenbankabfragen gewisse Einschrnkungen eine Rolle. Zum einen wird die Anzahl der Faktoren eines Cartesischen Produktes eingeschrnkt. Abbildungen, die solche Einschränkungen bewirken, heißen Projektionen. Zum anderen kann durch die Formulierung von Bedinungen die Anzahl der Tupel eingeschränkt werden. Abbildungen,die derartige Einschränkungen bewirken, heißen Selektionen. Bedinungen werden i. A. durch Vergleichsoperatoren u logische Operatoren formuliert. Eine Hintereinanderausfhrung von Cartesischem Produkt Selektion heißt join spielt bei Datenbakabfragen eine wichtige Rolle. Eine minimale Menge von Operationen, die mindestens notwendig ist, um alle Ausdrü cke bilden zu knnen, die für Datanbankabfragen notwendig sind, umfasst Projektion Selektion Cartesisches Produkt Vereinigung Differenz 6