Mengenlehre. Jörg Witte

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mengenlehre. Jörg Witte"

Transkript

1 Mengenlehre Jörg Witte Grbegriffe Die Menegenlehre ist heute für die Mathematik grlegend. Sie spielt aber auch in der Informatik eine entscheidende Rolle. Insbesondere fußt die Theorie der relationalen Datenbanken auf der Mengenlehre. Die Mengenlehre wurde von G. Cantor ( ) begündet. Er legte den Begriff der Menge folgendermaßen fest: Definition 1.1 (Menge) Unter einer Menge M verstehen wir eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen. Für ein ELement x von M schreiben wir: x M. Endliche Mengen lassen sich aufzählen: {x 1, x 2,..., x n } Häufig werden Mengen durch Aussageformen p(x) definiert. Eine Aussageform ist eine logische Aussage, die entweder wahr oder falsch ist, die von einem Parameter x abhängt. Schreibweise: {x p(x)} Mit Hilfe einer Aussageform knnen Elemente zu einer Menge zusammengefasst werden, die alle eine Eigenschaft gemeinsam haben. Beispiel: {x x ist eine Primzahl}. Wichtig ist die Unterscheidbarkeit der Elemente. Ein Element kann in einer Menge höchstens einmal auftreten. Das spiegelt sich in der Theorie der relationalen Datenbanken darin wieder, dass ein Datensatz in einer Tabelle höchstens einmal vorhanden sein kann.beispiel: {I, N, F, O, R, M, A, T, K}. 1

2 Das I tauch hier nur einmal auf, da die beiden I s, die in dem Wort Informatik auftauchen, nicht wohl unterschieden sind. Auch spielt die Reihenfolge, in der die Elemente aufgelistet werden, keine Rolle. Da Mengen auf unterschiedliche Weisen dargstellt werden können, stellt sich die Frage wann zwei Mengen gleich sind. Definition 1.2 (Gleichheit) Zwei Mengen A B sind genau dann gleich, wenn x A x B. Beispiel: die Menge der natürlichen Zahlen, die durch drei teilbar sind, die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quersummen durch drei teilbar sind, sind gleich. Die Menge, die keine elemente enthält, wird leere Menge genannt mit dem Symbol bezeichnet. Auf Gr der Gleichheitsdefinition kann es nur eine leere Menge geben. Definition 1.3 (Teilmenge) Eine Menge A ist genau dann eine Teilmenge von B, wenn x A = x B. Folgerung 1.1 Zwei Mengen A B sind genau dann gleich, wenn A B B A. 2 Mengenoperationen Auf Mengen können Operationen ausgeführt werden. Diese sind für das Verständnis relationaler Datenbanken wichtig, da alle Datenbankoperationen Mengenoperationen sind. Definition 2.1 (Durchschnitt) Der Durchschnitt A B zweier Mengen A B ist wie folgt definiert: A B = {x x A x B} Definition 2.2 (Vereinigung) Die Vereinigung A B zweier Mengen A B ist wie folgt definiert: A B = {x x A x B} Die Vereinigung un der Durchschnitt sind Assoziativ Kommutataiv. Weiterjhin gibt es zwei Distributvgesetze: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C). 2

3 Definition 2.3 (Differenz von Mengen) Die Differenz A\B zweier Mengen A B ist wie folgt definiert: A \ B = {x x A x B} Ein besonderer Fall der Mengendifferenz liegt, dann vor, wenn eine Menge eine Teilmenge der anderen ist. Definition 2.4 (Komplement von Mengen) Das Komplement A von A bezüglich einer Universalmenge Ω ist die Differenzmenge Omenga \ A, wenn A Ω. Häufig ist die Universalmenge aus dem Zusammenhang her klar, so dass sie nicht noch explizit erwähnt wird. Satz 2.1 (Regeln von Morgan) A B = A B A B = A B 3 Cartesisches Produkt Bei einem Schachspiel werden die Felder durch eine Kombination von 8 Buchstaben 8 Zahlen identifiziert. Betrachten wir die Mengen {A, B, C, D, E, F, G, H} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}! Ein Feld eine Schachspiels ist dann eindeutig duch ein Paar von je einem Element aus der ersten Menge einem Element aus der zweiten Menge bestimmt. Bei einem Tabellenkalkulationsprogramm finden wir ähnliches vor. Definition 3.1 (binäres Cartesisches Produkt) Seien A B zwei Mengen, dann heit A B = {(a, b) a A, b B} das Cartesische Produkt der Mengen A B. Das Cartesische Produkt ist also eine Menge von geordneten Paaren. Die Mengen A B müssen nicht notwendigerweise verschieden sein. Für die leere Menge eine Beliebige menge A erhaltren wir: A = A = 3

4 In der Theorie der relationalen Datenbanken werden uns Cartesische Produkte als Relationen bzw. bei Datenbankabfragen begegnen. In der Literatur zu den relationalen Datenbanken findet man häufig noch eine andere Definition des Cartesischen Produktes. Auch wird dort häufig von der Reihenfolge der Elemente abgesehen. Wenn das Cartesiche Produkt aber als geordnetes Paar definiert wird, dann spielt die Reihenfolge durchaus eine Rolle. Ihre Rolle reduziert sich allerdings darauf, die Elemente zu identifizieren. In der Theorie der relationalen Datenbanken werden dafür Bezeichner verwendet. Eine Definition, die nicht von einer Reihenfolge gebraucht macht, aber auch nicht von Bezeichnern, sieht wie folgt aus: A B = {{a, {a, b}} a A, b B}. Jedem geordneten Paar lät sich eindeutig ein Element dieser Menge zuordnen umgekehrt. Daher kann man die zweite Definition nur als eine andere Schreibweise für das Cartesische Produkt auffassen. Wir sprechen hier der Einfachheit wegen weiter von geordneten Paaren. Wir wollen uns herlegen, wie diese eindeutige Zuordnung aussieht. Offensichtlich wird dem Paar (a, b) die Menge {a, {a, b}} zugeordnet. Umgekehrt kann man dieser Menge auch eindeutig ein Paar (a, b) zuordnen. Warum geht das mit der Menge {a, b} nicht notwendigerweise? Mehrdeutigkeiten gibt es, wenn die Mengen A B einen nichtleeren Durchschnitt haben, a, b A B a b. Ist a = b, dann hat (a, b) nur ein Element ist eindeutig dem Paar A, A zugeordnet. Rekursiv lät sich die Definition des geordneten Paares verallgemeinernt: {(m 1,..., m n ) = ((m 1,..., m n 1 ), m n ). Definition 3.2 (Cartesische Produkt) Seien M 1,..., M n n Mengen, dann ist das Produkt aus M 1,..., M n wie folgt definiert: M 1 M n = {(m 1,..., m n ) m 1 M 1,..., m n M n } In der Theorie der relationalen Datenbanken ist es wichtig, eine Relation zu identifizieren von anderen Relationen abzugrenzen. Daherist die folgende Definition sinnvoll. Definition 3.3 Zwei n-tupel (r 1,..., r n ) (s 1,..., s n ) sind genau dann gleich, wenn fr alle i {1,..., n} gilt: r i = s i. Für das Cartesische Produkt gelten zwei Distributivgesetze: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 4

5 4 Relationen Funktionen Definition 4.1 (binäre Relation) Seien A B zwei Mengen, dann ist eine (binäre ) Relation R eine Teilmenge des Cartesischen Produktes A B: Beispiel: Gleicheitsrelation: R A B. R = {(x, x) x A}. Ordnungsrelation: Sei A eine angeordnete Menge, dann ist R = {(a, b) a, b A, a < b} eine Relation, nämlich die Ordnungsrelation. Definition 4.2 (n-stellige Relation) Seiebn M 1, M 2,..., M n n Mengen, dann ist R M 1 M n eine (nn-stellige) Relation. Von sehr wichtiger Besdeutung für des Entwurf relationaler Datenbanken ist die folgende Definition. Definition 4.3 (Funktionen) Sei R A B eine Relation zwischen A B. F heit linksvollständig, wennn es zu jedem a A ein b B gibt, so dass (a, b) R R heit rechtseindeutig, wenn für alle Paare (a, b), (a, c) R stets gilt: b = c. eine Relation, die sowohl linksvollständig als auch rechteindeutig ist, heit eine Funktion oder Abbildung. A heit der Definitionsbereich, B der Wertebereich. Man schreibt auch: R : A B bzw b = R(a). Man sagt dann: b hngt funktional von a ab. Beispiel R = {(ISBN, Buchtitel) ISBN-Nummer, passender Buchtitel} Da die ISBN-Nummer eindeutig ein Buchbeschreibt, hängt der Titel funktional von der ISBN-Nummer ab. Beim relationalen Datenbankentwurf werden systematisch solchhe funktionalen Abhängigkeiten aufgedeckt. 5

6 Neben der Bildung von Cartesischen Produkten spielen bie Datenbankabfragen gewisse Einschrnkungen eine Rolle. Zum einen wird die Anzahl der Faktoren eines Cartesischen Produktes eingeschrnkt. Abbildungen, die solche Einschränkungen bewirken, heißen Projektionen. Zum anderen kann durch die Formulierung von Bedinungen die Anzahl der Tupel eingeschränkt werden. Abbildungen,die derartige Einschränkungen bewirken, heißen Selektionen. Bedinungen werden i. A. durch Vergleichsoperatoren u logische Operatoren formuliert. Eine Hintereinanderausfhrung von Cartesischem Produkt Selektion heißt join spielt bei Datenbakabfragen eine wichtige Rolle. Eine minimale Menge von Operationen, die mindestens notwendig ist, um alle Ausdrü cke bilden zu knnen, die für Datanbankabfragen notwendig sind, umfasst Projektion Selektion Cartesisches Produkt Vereinigung Differenz 6

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016 HM I Tutorium 1 Lucas Kunz 27. Oktober 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Logische Verknüpfungen............................ 2 1.2 Quantoren.................................... 3 1.3 Mengen und ihre

Mehr

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7 Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage

Mehr

2 Mengen, Relationen, Funktionen

2 Mengen, Relationen, Funktionen Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mengen, Relationen, Funktionen. Mengen Definition. [Georg Cantor 895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 15. Oktober 2015 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage veröffentlicht

Mehr

Brückenkurs Mathematik 2015

Brückenkurs Mathematik 2015 Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass

Mehr

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein Mengen 1.2 9 1.2 Mengen 7 Der Begriff der Menge wurde am Ende des 19. Jahrhunderts von Georg Cantor wie folgt eingeführt. Definition (Cantor 1895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten,

Mehr

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 1 1 - Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor.

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre 28102013 Erinnerung: Zeilen-Stufen-Form (ZSF) eines LGS 0 0 1 c 1 0 0 0 1 0 0 1 c r 0 0 0 c r+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c m Erinnerung: Information der Zeilen-Stufen-Form Aus der ZSF liest man ab: Folgerung

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen.

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Mengenlehre 2 Mengenlehre Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Üblicherweise werden Mengen mit Großbuchstaben

Mehr

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik 1 1.2 Mengenlehre Definition: Menge, Element, Variablenraum Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert

Mehr

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,

Mehr

Mathematik für Ökonomen 1

Mathematik für Ökonomen 1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,

Mehr

Grundlagen der Mengenlehre

Grundlagen der Mengenlehre mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener

Mehr

Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen

Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen 3.1 3.2 Induktion und Rekursion 3.3 Boolsche Algebra Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 14/15 48 / 155 Überblick

Mehr

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { } Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {

Mehr

Dieser Foliensatz darf frei verwendet werden unter der Bedingung, dass diese Titelfolie nicht entfernt wird.

Dieser Foliensatz darf frei verwendet werden unter der Bedingung, dass diese Titelfolie nicht entfernt wird. Thomas Studer Relationale Datenbanken: Von den theoretischen Grundlagen zu Anwendungen mit PostgreSQL Springer, 2016 ISBN 978-3-662-46570-7 Dieser Foliensatz darf frei verwendet werden unter der Bedingung,

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:

Mehr

Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von

Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von Grundbegriffe der Mengenlehre 2 Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von Georg Cantor begründet. Der Begriffsapparat der Mengenlehre hat sich als so nützlich für

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1.

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 22 Kapitel 1 Aussagen und Mengen 1.1 Aussagen Wir definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr w) oder falsch f) also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 2 ist eine

Mehr

Kapitel 2. Mathematische Grundlagen. Skript zur Vorlesung Einführung in die Programmierung

Kapitel 2. Mathematische Grundlagen. Skript zur Vorlesung Einführung in die Programmierung LUDWIG- MAXIMILIANS- UNIVERSITY MUNICH DEPARTMENT INSTITUTE FOR INFORMATICS DATABASE Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Skript zur Vorlesung Einführung in die Programmierung im Wintersemester 2012/13 Ludwig-Maximilians-Universität

Mehr

Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge

Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge Mengenlehre Grundbegriff ist die Menge Definition (Naive Mengenlehre). Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung

Mehr

1 Mengenlehre. 1.1 Grundbegriffe

1 Mengenlehre. 1.1 Grundbegriffe Dieses Kapitel behandelt Grundlagen der Mengenlehre, die in gewisser Weise am nfang der Mathematik steht und eine Sprache bereitstellt, die zur weiteren Formulierung der Mathematik sehr hilfreich ist.

Mehr

2 Mengenlehre. 2.1 Grundlagen Definition

2 Mengenlehre. 2.1 Grundlagen Definition 2 Mengenlehre 2.1 Grundlagen Einer der wichtigsten Grundbegriffe in der Mathematik ist der Mengenbegriff. Die zugehörige Theorie - die Mengenlehre - bildet die Grundlage für die gesamte Mathematik. Nur

Mehr

Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre

Mehr

Grundlagen. Kapitel Mengen

Grundlagen. Kapitel Mengen Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Mengen Grundobjekte mathematischer Theorien sind Mengen. Zwar stellt man sich darunter Gesamtheiten von gewissen Dingen (den Elementen der Menge) vor, doch führt die uneingeschränkte

Mehr

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16 Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 4. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 1 / 21 Themen

Mehr

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Definition Sei A eine Menge und ɛ A A A eine zweistellige

Mehr

mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen

mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen Einführung in die Logik - 6 mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen Modelltheoretische / Denotationelle Semantik der Prdikatenlogik Ein Modell ist ein künstlich geschaffenes

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen 1 Mengen und bbildungen sind Hilfsmittel ( Sprache ) zur Formulierung von Sachverhalten; naive Vorstellung gemäß Georg Cantor (1845-1918) (Begründer der Mengenlehre). Definition 1.1 Eine Menge M ist eine

Mehr

Ordnungsrelationen auf Mengen. Beispiel einer Ordnungsrelation. Spezielle Elemente von Ordnungen. Spezielle Elemente von Ordnungen

Ordnungsrelationen auf Mengen. Beispiel einer Ordnungsrelation. Spezielle Elemente von Ordnungen. Spezielle Elemente von Ordnungen Ordnungsrelationen auf Mengen! Eine (partielle) Ordnungsrelation oder kurz Ordnung O auf einer Menge M ist eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Beispiel: M = { 1, 2, 3 }, O =

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen (Teil I) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014 Table of Contents Mengen und ihre Darstellung Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik kartesische Produkte und und Funktionen (Teil I) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014 Table of Contents kartesische Produkte und 1 kartesische Produkte und 2 Darstellung

Mehr

Mengenlehre. Ist M eine Menge und x ein Element von M, so schreiben wir x M. Ist x kein Element von M, so schreiben wir x M.

Mengenlehre. Ist M eine Menge und x ein Element von M, so schreiben wir x M. Ist x kein Element von M, so schreiben wir x M. Mengenlehre Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Objekte. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. Die Objekte heißen Elemente der Menge.

Mehr

2 ZAHLEN UND VARIABLE

2 ZAHLEN UND VARIABLE Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als

Mehr

Einführung in die Semantik, 2./3. Sitzung Mengen / Relatione

Einführung in die Semantik, 2./3. Sitzung Mengen / Relatione Eigenschaften von Einführung in die Semantik, 2./3. Sitzung Mengen / / Göttingen 2. November 2006 Eigenschaften von Mengenlehre Eigenschaften von Eigenschaften von Das Konzept Menge Eine Menge ist eine

Mehr

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 7. November Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/18

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 7. November Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/18 1/18 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 7. November 2007 2/18 Geordnete Paare Mengen sind ungeordnet: {a, b} = {b, a} für viele Anwendungen braucht

Mehr

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober

Mehr

Elementare Mengenlehre

Elementare Mengenlehre Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johann-von-Neumann-Haus Fachschaft Menge aller Studenten eines Institutes

Mehr

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 10.03.2015 Mengen und Relationen Mengen Motivation Beschreibung von Mengen Mengenoperationen

Mehr

Zweite und dritte Sitzung

Zweite und dritte Sitzung Zweite und dritte Sitzung Mengenlehre und Prinzipien logischer Analyse Menge Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung und unseres Denkens

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen Dozentin: Wiebke Petersen 1. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 6 Frage Was ist eine Menge? 1 Minute zum Nachdenken

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Die Sprache der modernen Mathematik

Vorlesung Diskrete Strukturen Die Sprache der modernen Mathematik Vorlesung Diskrete Strukturen Die Sprache der modernen Mathematik Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden

Mehr

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen 09.10.2014 Herzlich Willkommen zum 2. Teil des Vorschaukurses für Mathematik! Organisatorisches Der Vorkurs besteht aus sechs Blöcken

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen Dozentin: Wiebke Petersen 2. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 20 n-tupel und Cartesisches Produkt Mengen sind ungeordnet,

Mehr

Formale Sprachen und Automaten

Formale Sprachen und Automaten Mengen Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.b. Halmos 1976). Formale Sprachen und Automaten Mathematisches Rüstzeug Mengen können verschiedene Typen von Elementen

Mehr

3. Für beliebiges A bezeichnet man die Menge A A manchmal auch mit A 2 (in Worten:

3. Für beliebiges A bezeichnet man die Menge A A manchmal auch mit A 2 (in Worten: 35 4 Paarungen 4. Produktmengen Die Mengen {x, y} und {y, x} sind gleich, weil sie die gleichen Elemente enthalten. Manchmal legt man aber zusätzlich Wert auf die Reihenfolge der Elemente. Die Objekte

Mehr

Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie

Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie Mengen, speziell Zahlenmengen Aussagenlogik, Beweistechniken Funktionen, Relationen Kombinatorik Abzählverfahren Binomialkoezienten Komplexität von Algorithmen

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Vorlesung 2. Tilman Bauer. 6. September 2007

Vorlesung 2. Tilman Bauer. 6. September 2007 Vorlesung 2 Universität Münster 6. September 2007 Organisatorisches Meine Koordinaten: Sprechstunden: Di 13:30-14:30 Do 9:00-10:00 tbauer@uni-muenster.de Zimmer 504, Einsteinstr. 62 (Hochhaus) für alle

Mehr

Einführung in die Mengenlehre

Einführung in die Mengenlehre Einführung in die Mengenlehre D (Menge von Georg Cantor 845-98) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung zu einem Ganzen wobei

Mehr

Kleine lateinische Buchstaben wie z. B. p, q, r, s t, usw.

Kleine lateinische Buchstaben wie z. B. p, q, r, s t, usw. 1.1 Aussagenlogik Grundlagen der Mathematik 1 1.1 Aussagenlogik Definition: Aussage Eine Aussage im Sinne der Logik ist ein formulierter Tatbestand, der sich bei objektiver Prüfung immer eindeutig als

Mehr

Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen

Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen 3.1 3.2 Boolsche Algebra 3.3 Induktion und Rekursion Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 46 / 708 Überblick

Mehr

Mengenoperationen, Abbildungen

Mengenoperationen, Abbildungen TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Z6 Rechengesetze für Mengenoperationen Lineare Algebra 1 WS 2006/07 en Blatt 3 06.11.2006 Mengenoperationen,

Mehr

3 Mengen, Logik. 1 Naive Mengenlehre

3 Mengen, Logik. 1 Naive Mengenlehre 3 Mengen, Logik Jörn Loviscach Versionsstand: 21. September 2013, 15:53 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos: http://www.j3l7h.de/videos.html This work is

Mehr

Mengenlehre. Mengenlehre. Vorkurs Informatik WS 2013/ September Vorkurs Informatik - WS2013/14

Mengenlehre. Mengenlehre. Vorkurs Informatik WS 2013/ September Vorkurs Informatik - WS2013/14 Mengenlehre Mengenlehre Vorkurs Informatik WS 2013/14 30. September 2013 Mengen Mengen Definition (Menge) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten

Mehr

DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN

DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN KAPITEL 1 DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN Es ist die Aufgabe der ersten drei Kapitel, eine vollständige Beschreibung des grundlegenden Tripels (Ω, A, P) und seiner Eigenschaften zu geben, das heutzutage

Mehr

17 Lineare Abbildungen

17 Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:

Mehr

Mathematik für Techniker

Mathematik für Techniker Siegfried Völkel u.a. Mathematik für Techniker 7., neu bearbeitete und erweiterte uflage 16 1 Rechenoperationen Prinzip der Mengenbildung Wenn eine ussageform für die Objekte eines Grundbereichs vorliegt,

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 1 Kapitel 1: Aussagen, Mengen

Mehr

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten

Mehr

1.2 Klassen und Mengen

1.2 Klassen und Mengen 14 1.2 Klassen und Mengen Als undefinierten Grundbegriff verwenden wir den Begriff der Klasse. Dieser ist allgemeiner als der Mengenbegriff und wird in der Algebra zur Definition sogenannter Kategorien

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@informatik.uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik &

Mehr

Grundlegendes der Mathematik

Grundlegendes der Mathematik Kapitel 2 Grundlegendes der Mathematik (Prof. Udo Hebisch) 2.1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig

Mehr

Vorsemesterkurs Informatik

Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung

Mehr

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte Einige mathematische Konzepte 1 Mengen 1.1 Elementare Definitionen Mengendefinition Die elementarsten mathematischen Objekte sind Mengen. Für unsere Zwecke ausreichend ist die ursprüngliche Mengendefinition

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete, Abbildungen, Aussagenlogik Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/32 Überblick Alphabete

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen Dozentin: Wiebke Petersen 2. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 25 n-tupel und Cartesisches Produkt Mengen sind ungeordnet,

Mehr

Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik

Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik Wolter/Dahn: Analysis Individuell 3 Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik In diesem Abschnitt werden einige Grundbegriffe der Mengenlehre und grundlegende 1/0/0 Prinzipien der mathematischen

Mehr

Grundlagen: 1. Logik. Aussagen und Aussagenformen Wahrheitstabellen; Tautologien und Kontradiktionen Logische Äquivalenz. Prädikate und Quantoren

Grundlagen: 1. Logik. Aussagen und Aussagenformen Wahrheitstabellen; Tautologien und Kontradiktionen Logische Äquivalenz. Prädikate und Quantoren Zusammenfassung Grundlagen Logik, Mengen, Relationen, Folgen & Mengenfamilien, Kardinalitäten Techniken Mathematisches Beweisen, Induktion, Kombinatorische Beweise Strukturen Graphen 1 Grundlagen: 1. Logik

Mehr

Aussagenlogik. Mengenlehre. Relationen. Funktionen. Zahlentheorie. Vollständige Induktion. Reihen. Zahlenfolgen. WS 2016/17 Torsten Schreiber

Aussagenlogik. Mengenlehre. Relationen. Funktionen. Zahlentheorie. Vollständige Induktion. Reihen. Zahlenfolgen. WS 2016/17 Torsten Schreiber Mengenlehre Aussagenlogik Relationen Zahlentheorie Funktionen Vollständige Induktion Zahlenfolgen Reihen 193 Definition einer Menge: Beziehungsjunktoren: ist Element, d.h. Wert und Format stimmen überein

Mehr

Aussagenlogik. 1 Einführung. Inhaltsverzeichnis. Zusammenfassung

Aussagenlogik. 1 Einführung. Inhaltsverzeichnis. Zusammenfassung Tobias Krähling email: Homepage: 13.10.2012 Version 1.2 Zusammenfassung Die Aussagenlogik ist sicherlich ein grundlegendes mathematisches Gerüst für weitere

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 9. November 2017 1/34 Beispiel 3.6 Wir können die rationalen Zahlen wie folgt konstruieren:

Mehr

Einführung in die mathematische Logik

Einführung in die mathematische Logik Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 7 Sprachen erster Sufe Die in der letzten Vorlesung erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten für Aussagen sind im Wesentlichen

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 23. November 2017 1/40 Satz 4.27 (Multinomialsatz) Seien r, n N 0. Dann gilt für

Mehr

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen 3. Relationen Eine Relation ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Relationen im Sinne der Mathematik sind ausschließlich diejenigen Beziehungen, bei denen stets klar ist, ob

Mehr

Mengenlehre. Spezielle Mengen

Mengenlehre. Spezielle Mengen Mengenlehre Die Mengenlehre ist wie die Logik eine sehr wichtige mathematische Grundlage der Informatik und ist wie wir sehen werden auch eng verbunden mit dieser. Eine Menge ist eine Zusammenfassung von

Mehr

Grundlegendes: Mengen und Aussagen

Grundlegendes: Mengen und Aussagen Kapitel 1 Grundlegendes: Mengen und Aussagen Wie jedes Fachgebiet hat auch die Mathematik eine eigene Fachsprache Ohne ihre Kenntnis wird man ein mathematisches Buch, selbst wenn es für Anwender geschrieben

Mehr

N = f0; 1; 2; : : : g: [n] = f1; : : : ; ng: M = f x j x hat die Eigenschaft E g:

N = f0; 1; 2; : : : g: [n] = f1; : : : ; ng: M = f x j x hat die Eigenschaft E g: 1 Mengen Gregor Cantor denierte 1895 eine Menge als eine Zusammenfassung wohldenierter, unterscheidbarer Objekte. Eine Menge wird als neues Objekt angesehen, die Menge ihrer Objekte. Ein Objekt x aus der

Mehr

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper 0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper In diesem Paragrafen behandeln wir einige für die Lineare Algebra und für die Analysis wichtige Grundbegriffe. Wir beginnen mit dem Begriff der Menge. Auf Cantor

Mehr

Mengenlehre. Mengenlehre. Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober QSI - Theorie - WS2011/12

Mengenlehre. Mengenlehre. Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober QSI - Theorie - WS2011/12 Mengenlehre Mengenlehre Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/12 10. Oktober 2011 Mengen Mengen Den Begriff Menge hat Cantor wie folgt beschrieben: Definition (Menge) Unter einer Menge verstehen

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 21. Januar 2016 Definition 8.1 Eine Menge R zusammen mit zwei binären Operationen

Mehr

3 Allgemeine Algebren

3 Allgemeine Algebren Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 3 Allgemeine Algebren Definition 3.1 Für eine Menge A nennen wir eine n-stellige Funktion ω : A n A eine n-äre algebraische Operation. Bemerkung zum Fall n

Mehr

Über die so definierten Potenzen beweisen wir nun einige einfache Aussagen. = a m+n a Def.

Über die so definierten Potenzen beweisen wir nun einige einfache Aussagen. = a m+n a Def. 4 NATÜRLICHE ZAHLEN UND VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 15 der Eigenschaften von N streng begründen, was hier aber nicht geschehen soll. (Statt Zahlen önnen die a n auch Elemente irgendwelcher Mengen sein.) Über

Mehr

1 Mengen und Aussagen

1 Mengen und Aussagen $Id: mengen.tex,v 1.2 2010/10/25 13:57:01 hk Exp hk $ 1 Mengen und Aussagen Der wichtigste Grundbegriff der Mathematik ist der Begriff einer Menge, und wir wollen damit beginnen die klassische, 1878 von

Mehr

Euler-Venn-Diagramme

Euler-Venn-Diagramme Euler-Venn-Diagramme Mengendiagramme dienen der graphischen Veranschaulichung der Mengenlehre. 1-E1 1-E2 Mathematische Symbole c leere Menge Folge-Pfeil Äquivalenz-Pfeil Existenzquantor, x für (mindestens)

Mehr

Kapitel 2. Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse. 2.1 Zufällige Versuche

Kapitel 2. Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse. 2.1 Zufällige Versuche Kapitel 2 Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse In diesem Kapitel führen wir zunächst anschaulich die grundlegenden Begriffe des zufälligen Versuchs und des zufälligen Ereignisses ein und stellen

Mehr

3 Mengen und Abbildungen

3 Mengen und Abbildungen $Id: mengen.tex,v 1.2 2008/11/07 08:11:14 hk Exp hk $ 3 Mengen und Abbildungen 3.1 Mengen Eine Menge fasst eine Gesamtheit mathematischer Objekte zu einem neuen Objekt zusammen. Die klassische informelle

Mehr

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem

Mehr

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:

Mehr