Gruppentheorie Eine Zusammenfassung

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1 Gruppentheorie Eine Zusammenfassung Stephan Tornier ETH Zürich FS Mai 2009 Zusammenfassung In diesem Skript sind grundlegende Definitionen und Aussagen der Gruppentheorie zusammengefasst. basierend auf: Artin, Michael: Algebra. Basel: Birkhäuser, 1993.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen Die Definition einer Gruppe Untergruppen Isomorphismen Homomorphismen Äquivalenzrelationen und Partitionen Nebenklassen Einschränkung von Homomorphismen auf Untergruppen Produkte von Gruppen Rechnen mit Kongruenzen Faktorgruppen Symmetrie Abstrakte Symmetrie: Gruppenoperationen Operation auf Nebenklassen Zerlegen und Zählen Mehr über Gruppen Operationen einer Gruppe auf sich Klassengleichung der Ikosaedergruppe Operationen auf Teilmengen Die Sylowschen Sätze Die freie Gruppe Erzeugende und Relationen Darstellungen von Gruppen Definition der Darstellung

3 1 GRUPPEN 1 Gruppen 1.1 Die Definition einer Gruppe Definition (Gruppe). Eine Gruppe besteht aus einer Menge G und einer assoziativen Verknüpfung auf G, die ein neutrales Element hat und für die jedes Element von G ein inverses Element besitzt. Definition (Abelsche Gruppe). Eine Gruppe heißt abelsch, wenn die Verknüpfung zusätzlich kommutativ ist. Definition (Symmetrische Gruppe). Die Gruppe der Permutationen der Menge {1,2,...,n} der natürlichen Zahlen von 1 bis n heißt symmetrische Gruppe und wird mit S n bezeichnet. 1.2 Untergruppen Definition (Untergruppe). Eine Teilmenge H einer Gruppe G heißt Untergruppe, wenn sie folgende Eigenschaften hat. 1. Abgeschlossenheit: Ist a H und b H, dann ist auch ab H. 2. Neutrales Element: 1 H 3. Inverse: Ist a H, dann ist auch a 1 H Satz (Untergruppen von Z + ). Für jede ganze Zahl b ist die Teilmenge bz eine Untergruppe von Z +. Umgekehrt ist jede Untergruppe H von Z + von der Form H = bz für eine ganze Zahl b. Definition (Ordung einer Gruppe). Die Ordnung G einer Gruppe G ist die Anzahl ihrer Elemente. Definition (Ordnung eines Elements). Die Ordnung g eines Elements g G ist die kleinste natürliche Zahl n N für die g n = 1 gilt. Existiert eine solche Zahl nicht, so hat g unendliche Ordnung. Definition (Erzeugte Untergruppe). Es sei G eine Gruppe. Die von einem Element g G erzeugte Untergruppe ist die Menge g = {...,g 1,1,g,... } G. Definition (Zyklische Gruppe). Eine Gruppe G heißt zyklisch, falls ein g G existiert, sodass g = G. Satz (Kleinsche Vierergruppe). Die Kleinsche Vierergruppe ist die einfachste Gruppe, die nicht zyklisch ist. 3

4 1.3 Isomorphismen 1 GRUPPEN 1.3 Isomorphismen Definition (Isomorphismus). Es seien G,G Gruppen. Ein Isomorphismus ϕ von G nach G ist eine bijektive Abbildung, die mit den Verknüpfungen verträglich ist, d.h. ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) a,b G Definition (Isomorphieklasse). Die Menge der Gruppen, die zu einer gegebenen Gruppe G isomorph sind, bilden die Isomorphieklasse von G. Bemerkung (Klassifikation). Klassifikation von Gruppen meint die Beschreibung von Isomorphieklassen. Definition (Automorphismus). Ein Isomorphismus ϕ einer Gruppe G auf sich selbst heißt Automorphismus. Beispiel Es sei G eine Gruppe. Die Konjugation unter einem Element g G ist ein Automorphismus ϕ(x) = gxg 1 Definition (Konjugiertheit). Es sei G eine Gruppe. Zwei Elemente a, b G heißen konjugiert, falls es ein g G gibt, sodass a = gbg 1 gilt. 1.4 Homomorphismen Definition (Homomorphismus). Es seien G,G Gruppen. Ein Homomorphismus ϕ : G G ist eine Abbildung, die mit den Verknüpfungen verträglich ist. Beispiel Die Determinantenfunktion det : GL n (R) R ist ein Homomorphismus. Satz (Eigenschaften eines Homomorphismus). Ein Gruppenhomomorphismus bildet das neutrale auf das neutrale Element und zueinander inverse auf zueinander inverse Elemente ab. Definition (Kern, Bild eines Homomorphismus). Es seien G,G Gruppen und ϕ ein Homomorphismus zwischen G und G. Die Menge Im(ϕ) = {g G g G : g = ϕ(g)} heißt Bild des Gruppenhomomorphismus und die Menge ker(ϕ) = {g G ϕ(g) = 1} Kern desselben. 4

5 1.5 Äquivalenzrelationen und Partitionen 1 GRUPPEN Satz (Kern, Bild Untergruppen). Kern und Bild eines Gruppenhomomorphismus stellen Untergruppen der jeweiligen Gruppe dar. Beispiel Der Kern des Homomorphismus aus Beispiel ist die spezielle lineare Gruppe SL n (R). Definition (Normalteiler). Eine Untergruppe N einer Gruppe G heißt Normalteiler, falls n N g G : gng 1 N Satz (Kern: Normalteiler). Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist ein Normalteiler. Beispiel Gemäß Beispiel ist die spezielle lineare Gruppe SL n (R) ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe GL n (R). Bemerkung In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Definition (Zentrum). Das Zentrum Z(G) einer Gruppe G ist die Menge der Elemente, die mit G kommutieren: Z(G) = {z G zg = gz g G} Beispiel Das Zentrum von GL n (R) ist die Menge der Matrizen der Form ce für ein c in R. 1.5 Äquivalenzrelationen und Partitionen Definition (Paritition). Es sei X eine Menge. Eine Partition der Menge X ist eine Menge von Teilmengen von X, die paarweise disjunkt sind und deren Vereinigung gleich der Menge X ist. Definition (Äquivalenzrelation). Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge X ist eine Teilmenge R X X, d.h. eine Relation auf der Menge X, für die gilt: (i) Reflexivität: x x x X (ii) Symmetrie: x y y x x,y X (iii) Transitivität: x y y z x z x,y,z X Definition (Äquivalenzklasse). Es sei X eine Menge und x X. Weiters sei eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklasse K x von x ist die Menge aller y X, die x äquivalent sind. x := K x = {y X x y} 5

6 1.5 Äquivalenzrelationen und Partitionen 1 GRUPPEN Satz (ÄR, Partition). Die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation bilden eine Partition der zugrunde liegenden Menge. Definition (Menge von Äquivalenzklassen). Es sei eine Äquivalenzrelation auf der Menge X. Die Menge X = {x x X} := X/ ist die Menge der Äquivalenzklassen von X. Bemerkung Die Abbildung ϕ : X X definiert durch x x ist surjektiv. Definition (Faser). Es seien G,G Gruppen und ϕ ein Homomorphismus zwischen diesen. Die Urbild eines Elements g G heißt Faser des Homomorphismus ϕ. Definition (Induzierte Äquivalenzrelation). Jede Abbildung ϕ : X Y induziert eine Äquivalenzrelation durch a b : ϕ(a) = ϕ(b) für a, b X. Satz Es sei ϕ : X Y eine Abbildung. Die Abbildung ϕ : X Im(ϕ), x ϕ(x) mit obiger Menge von Äquivalenzklassen ist bijektiv. Definition (Kongruenzrelation). Es seien G,G Gruppen und ϕ ein Homomorphismus zwischen diesen. Dann induziert ϕ eine Äquivalenzrelation deren Äquivalenzklassen durch die Fasern gegeben sind. Die zugrunde liegende Relationen heißt Kongruenzrelation. Es seien g,h G: g h : ϕ(g) = ϕ(h) Satz (Kongruenzrelation). Es sei ϕ : G G ein Gruppenhomomorphismus mit Kern N und seien g,h G. Es gilt ϕ(g) = ϕ(h) genau dann, wenn ein n N existiert, sodass h = gn, d.h. g 1 h N. g 1 gn ϕ(g) 1 Im(ϕ) N = ker(ϕ) G G ϕ 6

7 1.6 Nebenklassen 1 GRUPPEN Korollar Ein Gruppenhomomorphismus ϕ : G G ist genau dann injektiv, wenn der Kern die triviale Untergruppe ist. Bemerkung Korallar bildet zusammen mit Im(ϕ) = G ein Isomorphismuskriterium. 1.6 Nebenklassen Definition (Linksnebenklasse). Es sei H eine Untergruppe von G und g G. Eine Linksnebenklasse von H ist eine Teilmenge der Form gh = {gh h H} Bemerkung Linksnebenklassen sind die Äquivalenzklassen der Kongruenzrelation. Korollar Die Linsksnebenklassen einer Untergruppe bilden eine Partition der Gruppe. Definition (Index einer Untergruppe). Es sei G eine Gruppe und H G eine Untergruppe. Der Index von H in G ist die Anzahl der Linksnebenklassen von H und wird mit [G : H] bezeichnet. Satz (Ordnung von Nebenklassen). Jede Nebenklasse einer Untergruppe H hat gleichviele Elemente wie H. Satz (Abzählformel). Es sei G eine Gruppe und H G eine Untergruppe. Es gilt G = H [G : H] Korollar (Satz von Lagrange). Es sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe von G. Die Ordnung von H teilt die Ordnung von G. Korollar (Elementordnung: Teiler). Die Ordnung eines Elements g einer Gruppe G teilt die Ordnung G von G. Korollar (Gruppen mit Primzahlordnung). Es sei G eine Gruppe von Primzahlordnung p. Dann gilt für alle 1 g G: g = p. Es ist somit G = g. Bemerkung Korollar klassifiziert die Gruppen von Primzahlordnung vollständig. Korollar Es sei ϕ : G G ein Gruppenhomomorphismus endlicher Gruppen. Dann gilt G = ker(ϕ) Im(ϕ) 7

8 1.7 Einschränkung von Homomorphismen auf Untergruppen 1 GRUPPEN Definition (Rechtsnebenklasse). Es sei H eine Untergruppe von G und g G. Eine Rechtsnebenklasse von H ist eine Teilmenge der Form Hg = {hg h H} Bemerkung Rechtsnebenklassen sind die Äquivalenzklassen der Rechtskongruenz. Satz (Normalteiler). Eine Untergruppe H G ist genau dann ein Normalteiler, falls jede Linksnebenklasse auch eine Rechtsnebenklasse ist. 1.7 Einschränkung von Homomorphismen Bemerkung Die Untersuchung einer komplizierten Gruppe beginnt man oft mit der Untersuchung weniger komplizierter Untergruppen. Satz (Durchschnitt von Untergruppen). Der Durchschnitt K H von zwei Untergrupppen ist eine Untergruppe von H. Ist K ein Normalteiler von G, dann ist K H ein Normalteiler von H. Satz (Homomorphimen). Es sei ϕ : G G ein Homomorphismus und H eine Untergruppe von G. Bezeichne H das Urbild ϕ 1 (H ) = {g G ϕ(g) H }. Dann gilt (i) H ist eine Untergruppe von G. (ii) Ist H ein Normalteiler von G, so ist H Normalteiler von G. (iii) H enthält ker(ϕ) (iv) Die Einschränkung von ϕ auf H definiert einen Homomorphismus von H nach H mit demselben Kern. 1.8 Produkte von Gruppen Definition (Direktes Produkt). Es seien G,G Gruppen. Weiters seien g,h G sowie g,h G. Auf der Menge G G wird durch (g,g ),(h,h ) (gh,g h ) eine Gruppenstruktur definiert. Die so erhaltene Gruppe heißt Direktes Produkt von G und G. Definition (Projektion). Es seien G,G wie in Definition Die Abbildungen p : G G G, (g,g ) g ; p : G G G, (g,g ) g 8

9 1.9 Rechnen mit Kongruenzen 1 GRUPPEN heißen Projektionen. Beispiel Die Kleinsche Vierergruppe ist isomorph zum Produkt zweier Kopien der multiplikativen Gruppe {±1}. Satz (Abbildungseigenschaft von Produkten). Es sei H eine Gruppe. Die Homomorphismen Φ : H G G entsprechen eindeutig den Paaren (ϕ,ϕ ) von Homomorphismen ϕ : H G, ϕ : H G Der Kern von Φ ist der Durchschnitt ker(ϕ) ker(ϕ ). Satz Es seien r und s zwei natürliche Zahlen ohne gemeinsamen Teiler. Eine zyklische Gruppe ist isomorph zum Produkt zyklischer Gruppen der Ordnung r und s. Definition (Menge von Produkten). Es seien A und B zwei Teilmengen einer Gruppe G. Wir bezeichnen die Menge von Produkten von Elementen aus A und B mit AB = {x G a A,b B : x = ab} Satz (Charakterisierung von Produkten). Es seien H und K Untergruppen einer Gruppe G. (i) Ist H K = {1}, so ist die Produktabbildung p : H K G, definiert durch p(h,k) = hk, injektiv. Das Bild ist die Teilmenge HK. (ii) Ist H oder K ein Normalteiler von G, dann stimmen die Produktmengen HK und KH überein und HK ist eine Untergruppe von G. (iii) Sind H und K Normalteiler und gelten H K = {1} und HK = G, dann ist G isomorph zum Produkt H K. 1.9 Rechnen mit Kongruenzen Satz (Kongruenzklassen). Es gibt n Kongruenzklassen modulo n, und zwar 0,1,...,n 1. Bemerkung Nach Satz gilt [Z : nz] = n. Lemma Sind a a (mod n) und b b (mod n), dann gilt a +b a+b (mod n). Satz Für die Verknüpfungen a+b = a + b und ab = ab gelten Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz. Satz Die Abbildung Z nz mit z z ist mit Addition und Multiplikation vertränglich. 9

10 1.10 Faktorgruppen 1 GRUPPEN 1.10 Faktorgruppen Lemma Es sei N ein Normalteiler der Gruppe G. Dann ist das Produkt von zwei Nebenkklassen an und bn wieder eine Nebenklasse: (an)(bn) = abn Definition (Menge der Nebenklassen). Die Menge der Nebenklassen eines Normalteilers N in einer Gruppe G bezeichnen wir mit G/N = G. Hauptsatz Mit obiger Verknüpfung bildet G/N eine Gruppe. Die Abbildung π : G G/N mit g g ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern gleich N ist. Es gilt G/N = [G : N]. Korollar Jeder Normalteiler ist Kern eines Homomorphismus. Hauptsatz (Erster Isomorphiesatz). Es sei ϕ : G G ein surjektiver Gruppenhomomorphismus und sei N = ker(ϕ). Dann ist G/N isomorph zu G unter der Abbildung ϕ, die eine Nebenklasse g = gn auf ϕ(g) abbildet. 10

11 2 SYMMETRIE 2 Symmetrie 2.1 Abstrakte Symmetrie: Gruppenoperationen Beispiel Die Konjugation komplexer Zahlen ist eine Symmetrie derselben. Da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, stellt sie einen Automorphismus dar. Einen solchen Automorphismus kann man also als Symmetrie auffassen. Bemerkung (Automorphismengruppe). Die Menge der Automorphismen Aut(G) einer Gruppe G, die sogenannte Automorphismengruppe, bildet mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe. Definition (Gruppenoperation). Es sei G eine Gruppe und X eine Menge. Eine Aktion von G auf X ist eine Abbildung ϕ : G X X, (g,x) gx, die folgende Axiome erfüllt: (i) 1x = x x X, wobei 1 das neutrale Element von G ist. (ii) Assoziativgesetz: (gg )x = g(g x) g,g G x X. Bemerkung Die Menge X, auf die G wirkt, bezeichnen wir auch als G-Menge. Lemma Es sei X eine G-Menge. Die Abbildung m g : X X, m g (x) = gx ist bijektiv und somit eine Permutation der Menge X. Definition (Bahn). Es sei X eine G-Menge. Die Bahn eines Elements x X unter der Operation durch G ist die Menge B x = {y X g G : y = gx} Satz Die Bahnen einer Gruppenoperation sind die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation x y : g G : y = gx Korollar Eine G-Menge X ist Vereinigung disjunkter Bahnen. Definition (Transitive Operation). Eine Operation einer Gruppe G auf einer Menge X heißt transitiv, falls X aus nur einer Bahn besteht. 11

12 2.2 Operation auf Nebenklassen 2 SYMMETRIE Bemerkung Im Fall von Definition gilt also x,y X g G : y = gx Definition (Treue Operation). Eine Operation einer Gruppe G auf einer Menge X heißt treu, falls gx = x g G g = 1 Beispiel Die Diedergruppe D n operiert transitiv und treu auf der Menge der Ecken eines regelmäßigen n-ecks. Definition (Stabilisator). Der Stabilisator eines Elements x X ist die Menge der Elemente von G, die x festlassen: G x = {g G gx = x} 2.2 Operation auf Nebenklassen Definition Es sei H G eine Untergruppe von G. Wir bezeichnen den Raum der Linksnebenklassen der Form gh mit G/H. Satz Die Gruppe G operiere durch Linksmultiplikation auf G/H. Diese Operation ist transitiv. Der Stabilisator der Nebenklasse 1H ist die Menge H G. Satz Es seien X eine G-Menge und x ein Element von X mit Stabilisator H und Bahn B x. Dann gibt es eine natürliche bijektive Abbildung G/H ϕ B x, gh gx Bemerkung Nach Satz kann jede Gruppenoperation durch Operation auf Nebenklassen beschrieben werden. Satz Es sei X eine G-Menge und x X. Weiters sei y ein Element der Bahn von x, etwa y = ax. Dann gilt (i) Die Menge der Elemente g von G mit gx = y ist die Linksnebenklasse ag x = {g G h G x : g = ah} (ii) Der Stabilisator von y ist eine konjugierte Untergruppe des Stabilisators von x: G y = ag x a 1 = {g G h G x : g = aha 1 } 12

13 2.3 Zerlegen und Zählen 2 SYMMETRIE 2.3 Zerlegen und Zählen Satz (Bahnformel). Es sei X eine G-Menge. Dann gilt die Bahnformel G = G x B x Bemerkung Zur Herleitung von Satz 2.3.1: Es gilt nach Kapitel 2.2 B x = [G : G x ]. Satz Es sei X eine endliche G-Menge. Da X die Vereinigung disjunkter Bahnen ist, gilt X = B 1 + B B n für ein n N. 13

14 3 MEHR ÜBER GRUPPEN 3 Mehr über Gruppen 3.1 Operationen einer Gruppe auf sich Definition (Operation einer Gruppe auf sich). Wir sprechen von einer Operation einer Gruppe G auf sich, falls G sowohl die Rolle der Gruppe als auch die der Menge spielt. Satz (Satz von Cayley). Jede endliche Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe einer Permutationsgruppe. Hat G die Ordnung n, ist die Gruppe isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S n. Definition (Zentralisator). Die Gruppe G wirke auf sich selbst durch Konjugation. Der Stabilisator eines Elements x G unter dieser Operation heißt Zentralisator von x. Z(x) = {g G gxg 1 = x} = {g G gx = xg} Definition (Konjugiertenklasse). Die Gruppe G wirke auf sich selbst durch Konjugation. Die Bahn eines Elements x G unter dieser Operation heißt Konjugiertenklasse von x. K x = {x G g G : x = gxg 1 } Satz (Bahnformel: Konjugationsklasse). Es sei G eine Gruppe, die auf sich selbst durch Konjugation wirkt und x G. Dann gilt G = K x Z(x) Satz (Klassengleichung). Es sei G eine Gruppe, die auf sich selbst durch Konjugation wirkt und K i die Konjugationsklassen. Dann gilt G = i K i Korollar Es sei G eine Gruppe. Die Ordnungen der Konjugationsklassen von G sind Teiler der Gruppenordnung. Korollar Ein Element x liegt genau dann im Zentrum einer Gruppe G, wenn der Zentralisator Z(x) die ganze Gruppe umfasst. Insbesondere ist G = Z(G) + i K i für K i > 1 14

15 3.2 Klassengleichung der Ikosaedergruppe 3 MEHR ÜBER GRUPPEN Definition (p-gruppe). Eine Gruppe G heißt p-gruppe, wenn ihre Ordnung die positive Potenz einer Primzahl p ist. Satz Das Zentrum einer p-gruppe ist größer als {1}. Satz (Fixpunktsatz). Es sei G eine p-gruppe und X eine endliche Menge mit p X, auf der G operiert. Dann hat die Operation von G auf X einen Fixpunkt. Satz Jede Gruppe der Ordnung p 2 ist abelsch. Korollar (Klassifikation). Es gibt zwei Isomorphie-Klassen von Gruppen der Ordnung p 2 : (i) zyklische Gruppen der Ordnung p 2 (ii) Produkte von zwei zyklischen Gruppen der Ordnung p Bemerkung Die Anzahl an Möglichkeiten für Gruppen der Ordnung p n steigt mit wachsendem n stark an. 3.2 Klassengleichung der Ikosaedergruppe Definition (Einfache Gruppe). Eine Gruppe G heißt einfach, wenn {1} und G ihre einzigen Normalteiler sind. Lemma (Normalteiler). Ein Normalteiler ist die Vereinigung der Konjugiertenklassen seiner Elemente. Die Ordnung eines Normalteilers ist die Summe der Ordnungen der Konjugiertenklassen, die er enthält. Satz (Ikosaedergruppe). Die Ikosaedergruppe ist eine einfache Gruppe. 3.3 Operationen auf Teilmengen Beispiel (Wirkung auf Teilmengen). Die Diedergruppe D 3 wirkt auf der Menge ihrer zweielementigen Teilmengen. Auch hier lassen sich die Abzählformeln anwenden. Satz Es sei H eine Gruppe, die auf einer Menge X operiere. Weiters sei U Teilmenge von X. Die Gruppe H stabilisiert U genau dann, wenn U eine Vereinigung von H-Bahnen ist. Satz Es sei U eine Teilmenge einer Gruppe G. Die Ordnung des Stabilisators Stab(U) von U bezüglich der Operation der Linksmultiplikation ist ein Teiler der Anzahl der Elemente von U. 15

16 3.4 Die Sylowschen Sätze 3 MEHR ÜBER GRUPPEN Definition (Normalisator). Es sei H G eine Untergruppe. Der Stabilisator von H bzgl. der Operation der Konjugation heißt Normalisator von H und wird mit N(H) bezeichnet: N(H) = {g G ghg 1 = H} Korollar Es sei G eine Gruppe, die auf einer Untergruppe H durch Konjugation wirkt. Dann gilt: G = N(H) [G : N(H)] Korollar Es sei G eine Gruppe, die auf einer Untergruppe H durch Konjugation wirkt. Dann gilt (i) N(H) H (ii) H teilt N(H), N(H) teilt G 3.4 Die Sylowschen Sätze Definition Es sei G eine Gruppe der Ordnung n und sei p eine Primzahl, die n teilt. Mit p e bezeichnen wir die größte Potenz von p, die als Faktor in n vorkommt, sodass n = mp e mit m p. Hauptsatz (Erster Satz von Sylow). Die Gruppe G hat eine Untergruppe der Ordnung p e. Korollar Teilt eine Primzahl p die Ordnung einer endlichen Gruppe G, so enthält G ein Element der Ordnung p. Korollar (Klassifikation von Gruppen der Ordnung 6). Es gibt genau zwei Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung 6. Repräsentanten sind C 6 und D 3. Definition (p-sylowuntergruppen). Es sei G eine Gruppe der Ordnung n = mp e, wobei e 1 gelte und p eine nicht durch m teilbare Primzahl sei. Die Untergruppen der Ordnung p e von G nennt man p-sylowuntergruppen oder einfach Sylowuntergruppen von G. Korollar Es sei G eine endliche Gruppe. Dann hat G zu jedem Primteiler p der Gruppenordnung eine p-sylowuntergruppe. Korollar (Index von p-sylowuntergruppen). Der Index einer p-sylowuntergruppe in G ist nicht durch p teilbar. 16

17 3.5 Die freie Gruppe 3 MEHR ÜBER GRUPPEN Hauptsatz (Zweiter Satz von Sylow). Es sei K eine Untergruppe von G, deren Ordnung durch p teilbar ist, und H eine p-sylowuntergruppe von G. Dann gibt es eine zu H konjugierte Untergruppe H = ghg 1, sodass K H eine Sylowuntergruppe von K ist. Korollar (Sylowuntergruppen). (i) Ist eine Untergruppe K von G eine p-gruppe, so ist K in einer p-sylowuntergruppe von G enthalten. (ii) Die p-sylowuntergruppen von G sind alle zueinander konjugiert. Hauptsatz (Dritter Satz von Sylow). Es sei G = n mit n = mp e wie oben definiert. Weiters sei s die Anzahl der p-sylowuntergruppen von G. Dann ist s ein Teiler von m und s 1 ist durch p teilbar. s m ; s 1 (mod p) Satz (Klassifizierung von Gruppen der Ordnung 15 und 21). (i) Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch. (ii) Jede Gruppe der Ordnung 21 ist entweder isomorph zu C 21 oder zu der Gruppe G mit Erzeugenden x,y, die die Relationen x 7 = 1, y 3 = 1 und yx = x 2 y erfüllen. 3.5 Die freie Gruppe Definition (Freie Menge). Eine Menge X von Elementen einer Gruppe, die keine außer die durch die Axiome vorgeschriebenen Relationen erfüllen, heißt frei. Definition (Freie Gruppe). Eine Gruppe, die eine freie Menge von Erzeugenden hat, heißt freie Gruppe. Definition (Wort). Ein Wort einer Menge X ist eine endliche Folge von Zeichen aus X. Definition (Freie Halbgruppe). Die Menge W der Wörter einer Menge X bildet mit der Hintereinanderschaltung von Wörtern die freie Halbgruppe auf der Menge X. Definition (reduziertes Wort, reduzierte Form). Ein Wort w einer Menge X = {a,a 1,b,b 1,...} heißt reduziert, wenn keine Kürzungen der Form...xx 1... oder...x 1 x... 17

18 3.6 Erzeugende und Relationen 3 MEHR ÜBER GRUPPEN mehr vorgenommen werden können. Diese Form des Wortes w bezeichnen wir als reduzierte Form mit w 0. Satz (Eindeutigkeit der reduzierten Form). Jedes Wort w hat genau eine reduzierte Form. Definition (Äquivalente Wörter). Zwei Wörter w,w der Menge X heißen äquivalent, wenn sie dieselbe reduzierte Form haben. Satz (Produkt äquivalenter Wörter). Die Produkte äquivalenter Wörter sind äquivalent: Aus w w und v v folgt wv w v. Satz (Äquivalenzklassen: Gruppe). Die Menge F der Äquivalenzklassen von Wörtern in W bildet mit der von W induzierten Verknüpfung eine Gruppe. Definition (Freie Gruppe auf einer Menge). Die Menge F der Äquivalenzklassen von Wörtern nennt man die freie Gruppe auf der Menge X. 3.6 Erzeugende und Relationen Satz (Abbildungseigenschaft der freien Gruppe). Es sei F die freie Gruppe auf einer Menge X = {a,b,...}, und sei G eine Gruppe. Jede Abbildung von Mengen f : X G lässt sich in eindeutiger Weise zu einem Gruppenhomomorphismus ϕ : F G fortsetzen. Bezeichnen wir das Bild f(x) eines Elements x X mit x, so lässt sich ϕ folgendermaßen beschreiben: ϕ bildet ein Wort in X = {a,a 1,b,b 1,...} auf das entsprechene Produkt der Elemente {ã,ã 1, b, b 1,...} in G ab. Definition (Erzeugte Untergruppe). Eine Familie X von Elementen von G erzeugt die Gruppe, falls die Abbildung ϕ : F G von der freien Gruppe auf X nach G surjektiv ist. Das Bild von ϕ heißt in jedem Fall die von X erzeugte Untergruppe. Definition (Relation). Die Gruppe G sei durch X erzeugt. Weiters sei N = ker(ϕ). Dann gilt F/N = G und die Elemente von N heißen Relationen zwischen den Erzeugenden. Bemerkung In Definition wurde der 1. Isomorphiesatz verwendet. Satz (Relationen in F/N). In der Faktorgruppe F/N gelten die Relationen n = 1 für alle n N. Definition (Definierende Relationen). Eine Menge von Wörtern R = {r 1,r 2,...} 18

19 3.6 Erzeugende und Relationen 3 MEHR ÜBER GRUPPEN heißt Menge von definierenden Relationen für die Gruppe G, wenn R in N enthalten ist, und N der kleinste Normalteiler ist, der R umfasst. (D.h., N wird von R erzeugt.) Satz (Abbildungseigenschaft von Faktorgruppen). Es sei N ein Normalteiler einer Gruppe G, bezeichne G die Faktorgruppe G/N und sei π der kanonische Homomorphismus π : G G, definiert durch π(a) = a = an. Dann gibt es zu jedem Homomorphismus ϕ : G G mit ker(ϕ) N einen eindeutig bestimmten Homomorphismus ϕ : G G mit ϕ π = ϕ. Es gilt ϕ(a) = ϕ(a). ϕ G G π ϕ G Bemerkung Satz verallgemeinert den 1. Isomorphiesatz. Definition Für die von Elementen x 1,...,x m erzeugte Gruppe mit definierenden Relationen r 1,...,r k verwenden wir die Schreibweise x 1,...,x m r 1,...,r k Beispiel Es sei F die freie Gruppe auf der Menge {x,y}. Es existiert eine surjektive Abbildung ϕ : F D n und R = {x n,y 2,xyxy} ker(ϕ). Es sei N der kleinste Normalteiler von F der R umfasst. Dann ist ϕ : F/N D n bijektiv und es ist D n = x,y x n,y 2,xyxy Definition (Kommutator). Es sei G eine Gruppe und x,y G. Das Element xyx 1 y 1 heißt Kommutator von x und y. Korollar Es sei G eine Gruppe. Zwei Elemente in G kommutieren, falls ihr Kommutator gleich 1 ist. Satz Es sei F die freie Gruppe auf x,y, und sei N der kleinste Normalteiler, der den Kommutator xyx 1 y 1 enthält. Dann ist die Faktorgruppe G = F/N abelsch. 19

20 4 DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN 4 Darstellungen von Gruppen 4.1 Definition der Darstellung Definition (Matrixdarstellung). Es sei G eine Gruppe. Ein Homomorphismus von G in die allgemeine lineare Gruppe R : G GL n (K) heißt Matrixdarstellung von G. Definition (Treue Matrixdarstellung). Eine Matrixdarstellung heißt treu, falls der zugehörige Homomorphismus injektiv ist. In diesem Fall ist die Gruppe G isomorph zu ihrem Bild unter dem Homomorphismus. Definition (Darstellung auf einem Vektorraum). Es sei G eine Gruppe und V ein Vektorraum. Ein Homomorphismus von G in die Gruppe der invertierbaren Endomorphismen von V ρ : G GL(V ) heißt Darstellung von G auf dem Vektorraum V. Definition (Dimension einer Darstellung). Die Dimension einer Darstellung ist als Dimension des Vektorraums V definiert. Bemerkung Alle Darstellungen einer Gruppe auf endlichdimensionalen Vektorräumen lassen sich auf Matrixdarstellungen zurückführen. Definition (Gruppenoperation auf einem Vektorraum). Es sei G eine Gruppe. Eine Operation von G auf einem Vektorraum ist eine mit den Strukturen verträgliche Abbildung ϕ : G V V sodass v,v V, g G, c K: 1v = v ; (gh)v = g(hv) ; g(v + v ) = gv + gv ; g(cv) = cgv Bemerkung Die Konzepte Operation von G auf V und Darstellung von G auf V sind ebenso äquivalent wie die Konzepte Operation von G auf einer Menge X und Permutationsdarstellung von X. 20