TI II. Sommersemester 2008 Prof. Dr. Mesut Güneş 5. Exercise with Solutions

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1 Distributd mbddd 5. Exrcis with olutions Problm 1: Glitkomma-Darstllung ( =12) Ghn i bi dr binärn Glitkommadarstllung von 2-Byt großn Zahln aus. Dr Charaktristik sthn 4 Bit zur Vrfügung, dr Mantiss 11 und in Vorzichnbit. Gbn i folgnd Zahln in binärr Glitkomma- und in dr normaln dzimaln Fstkommadarstllung an, bzw. brchnn i dn nächstn Nachbarn, falls di Zahl slbst nicht darstllbar ist: a) di klinst in disr binärn Glitkommadarstllung darstllbar Zahl. b) di größt in disr binärn Glitkommadarstllung darstllbar Zahl. c) 11/10 d) ) 7 7 f) 0, F 16 olution 1 (i) Variant 1 aus dm kript: 0,M bzw. 0,1Mantiss (implizits 0,1) Bias(Exzss) = 2 n 1 Charaktristik = Exp + 2 n 1 Exp = Charaktristik 2 n 1 Variant 2: 1,M (implizit 1,) Bias = 2 n 1 1 Charaktristik = Exp + 2 n 1 1 Exp = Charaktristik 2 n Vrglich: Mantiss glich (i) +, Charaktristik in Variant (i) um 2 höhr als ind, wil Bias um ins höhr (wird ja zum Exp. addirt um Ch. zu rhaltn, und Komma um ins nach rchts grückt). Aufgab: Gb di folgndn Zahln in binärr Glitkommadarstllung (VZ: 1B, Ch: 4B, M: 11B) und dzimalr Fstkommadarstllung an. (a) klinst in binärr Glitkommadarstllung darstllbar Zahl: (i) btragsmäßig: 0/ = ±0, = ±0, absolut: =, = , = ( /2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32) = 127, btragsmäßig: 0/ = ±1, = ±0, absolut: = 1, = , = ( /2 + 1/4 + 1/8) = 511, 875 (b) (i) größt darstllbar Zahl: 127, größt darstllbar Zahl: 511, 875 1

2 Distributd mbddd (c) (i) = 1, 1 10 = 1, = 0, Exp = 1 Charaktristik = = 9 10 = M = /1 Glitkommazahl: / = 1, 1 10 = 1, , Exp = 0 Charaktristik = = 7 10 = M = /1 Glitkommazahl: /1 (d) (i) norm. = 17, = 10001, = 0, Exp = 5 Charaktristik = = Mantiss = Glitkommazahl: norm. = 17, = 10001, = 1, Exp = 4 Charaktristik = = = M = Glitkommazahl: () (i) sih Maximum bi (i) b) 7 7 norm. = = = Exp = 19 Charaktristik = = 24 = (nächst darstllbar Charaktristik: = ) Glitkommazahl = sih Maximum bi b) (f) (i) 0, F 16 = = = 0, (norm.) Exp = 0 Charaktristik = = 8 10 = Mantiss = 11 Glitkommazahl = , F 16 = = norm. 10 = 0, = 1, Exp = -1 Charaktristik = = 6 10 = Mantiss = 111 Glitkommazahl =

3 Distributd mbddd Problm 2: Glitkomma-Darstllung ( =8) tlln i di Zahln 1/3 und 1/7 als IEEE singl untr Vrwndung dr a) round-to-vn -Rgl b) Rundung zum nächstn Glitkommawrt in Richtung 0 c) Rundung zum nächstn Glitkommawrt in Richtung d) Rundung zum nächstn Glitkommawrt in Richtung dar. olution 2 IEEE-P 754 ingl (Bitvrtilung: 1 VZ, 8 Charaktristik, 23 Mantiss): Tabll 1: Zusammnfassung ds 32-Bit-IEEE-Formats Charaktristik Zahlnwrt 0 ( 1) VZ 0, Mantiss ( 1) VZ 1, Mantiss = 254 ( 1) VZ 1, Mantiss 2 Charaktristik ( 1) VZ 1, Mantiss Mantiss = 0: ( 1) VZ ovrflow 255 Mantiss 0: NaN (not a numbr) Bias/Exzss = = 127 (i) 1 3 = 0, 01 2 = 1, Exponnt = -2 Charaktristik = Exponnt + Bias = = = = 0, = 1, VZ = 1 Exponnt = -3 Charaktristik = Exponnt + Bias = = = Tabll 2: Mantissn nach Anwndung vrschidnr Rundungsrgln VZ + Charaktristik a) round-to-vn b) 0 c) d) (i) (01) 11 0 (01) 11 0 (01) 11 1 (01) (001) 7 00 (001) 7 00 (001) 7 00 (001)

4 Distributd mbddd Problm 3: Halbaddirr und Volladdirr (3+3+4=10) Ein NOR-Gattr ist in chaltntz mit zwi Eingängn und inm Ausgang. Am Ausgang ligt gnau dann in 1 vor, wnn an kinm Eingang in 1 anligt. a) Entwrfn i in chaltung für inn Halbaddirr (Rsultat und Übrtrag), dr ausschlißlich aus NOR-Gattrn mit 2 Eingängn bstht (Hrlitung!). Vrwndn i nicht mhr als 5 NOR-Gattr. b) Wi siht dr aus NOR-Gattrn bsthnd Volladdirr aus (für di Halbaddirr jwils in ymbol vrwndn)? c) Wir nhmn nun an, daß in NOR-Gattr in chaltzit von 20 psc hat. Wann ligt bi Ihrm Halbaddirr das Rsultat vor? Wann dr Übrtrag? Wi shn di Zitn für Ihrn Volladdirr aus? olution 3 (a) Halbaddirr aus nicht mhr als 5 Nor-Gattrn Ausgabn ds Halbaddirrs: x y s c Vrwnd D Morgan sch Rgl und di Darstllung dr Ngation: x x = NOR(x,x) umm s und Übrtrag c umgschribn: c = xy (xy) ( x y) ( (x x) (y y)) s = xy x y ( xy x y) ((x y)( x y)) (xy x y) (c (x y)) (b) Volladdirr aus NOR-Gattrn Ausgabn: 4

5 Distributd mbddd Abbildung 1: Halbaddirr x y c in s c out Ausgangsglichungn s = x y c in c out = xc in y in xy Entwdr langwirigs Umformn wi in a) odr chaltung dm kript ntnhmn und das OR-Gattr durch NOR(NOR(x,y),NOR(x,y)) rstzn: Abbildung 2: Volladdirr (c) Es hab in NOR-Gattr in chaltzit von 20 psk, dann ist für jd Ausgab (umm odr Übrtrag) dr längst Wg bzgl. dr Anzahl dr Gattr zu findn. Disr gibt di chaltzit bis zur ndgültign Ausgab an: HA: Übrtrag: 40 psk, umm: 60 psk 5

6 Distributd mbddd VA: Übrtrag: (Übrtrag(HA) + umm(ha) + 2 x chaltzit NOR-Gattr) psk = 140 psk, umm: 2*umm(HA) = 120 psk Problm 4: Assmblr (6) chribn i in MMIX-Assmblrprogramm, das di folgnd Aufgabnstllung löst: Das Programm soll dn ganzzahlign Antil x dr Quadratwurzl inr ggbnn ganzn Zahl z brchnn, d.h. gsucht wir x mit x = max{x Z x 2 z}, bzw. rsult = valu. Vrwndn i dabi di sich aus dr Nwton-Mthod rgbn Intrvallschachtlung: a := valu b := 0 whil a b > 1 a := (a + b)/2 b := valu/a nd whil rsult := min{a, b} olution 4 MMIX-Assmblrprogramm, dass ganzzahlign Antil dr Quadratwurzl inr ganzn Zahl brchnt nach dr Nwtonschn Intrvallschachtlung: Listing 1: sqrt.mms 1 a I $40 2 b I $41 3 valu I $42 4 cmp I $10 5 rsult I $ LOC # Main ET valu,30 10 ET a, valu // a := valu 11 ET b,0 // b := whil UB cmp, a, b // whil a- b > 1, ganzzahligr Rst /= BZ cmp, nd_ whil // Diffrnz = 0 = > Abbruch 16 UB cmp, cmp,1 // 0 < Diffrnz < 1 = > Abbruch 17 BZ cmp, nd_ whil 18 ADD cmp, cmp,2 // -1 < Diffrnz < 0 19 BZ cmp, nd_ whil ADD a,a,b // a := (a+b )/2 23 DIV a,a,2 24 DIV b,valu,a // b := valu /a 25 JMP whil 26 6

7 Distributd mbddd 27 nd_whil CMP cmp,a,b // rsult := min {a, b} 28 BN cmp, a_is_min 29 b_ is_ min ET rsult, b 30 JMP nd 31 a_ is_ min ET rsult, a nd TRAP 0, Halt,0 Listing 2: Assmblirn und Abfrag ds Ergbnis-Rgistrs rsult ($43) 1 $ mmixal sqrt. mms 2 $ mmix - I sqrt. mmo 3 mmix > $43 4 $43 =l [43]=5 5 mmix > 6 43 instructions, 0 mms, 405 oops ; 11 good gusss, 2 bad 7 ( haltd at location # ) 8 mari - hoffmanns - computr :~/ tudium / Tutorin / TI2_08 / Ubung /U5 Burbuliuk$ 7

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