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1 teilung Informtik, Fh Progrmmieren 1 Einführung Dten liegen oft ls niht einfh serier- und identifizierre Dtensätze vor. Stttdessen reräsentieren sie lnge Zeihenketten, z.b. Text-, Bild-, Tondten. Mn untersheidet im Wesentlihen zwishen folgenden Zeihenketten: solhe mit Textzeihen (z.b.,, B,,!) solhe mit inären Zeihen (0, 1) Diese Untersheidung ist für lgorithmen wihtig, weil wir es im ersten Fll mit einem grossen und im zweiten mit einem sehr kleinen lhet zu tun hen. In diesem Kitel sollen exemlrish einige lgorithmen für die Muster- zw. Ptternsuhe in Zeihenketten vorgestellt werden. Wir nehmen n, die Zeihenkette und ds Pttern liegen je ls String und vor (nlog wären uh rrys möglih): In der Regel gilt n >> m, d.h. die Zeihenkette ist wesentlih länger ls die Länge des Pttern. 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 1/19

2 teilung Informtik, Fh Progrmmieren 2 Einfhe Suhe Ds Pttern wird zeihenweise n der Zeihenkette entlng geshoen und jeweils von nfng n verglihen, is ds Ende des Pttern oder eine Unstimmigkeit erreiht ist: Unter der nnhme, dss Unstimmigkeiten shon ei den ersten Vergleihen uftreten, ist der lgorithmus reht gut. whrsheinliher ei Textzeihen 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 2/19

3 teilung Informtik, Fh Progrmmieren Proleme git es, wenn der Untershied erst gegen Ende des Pttern uftritt und sih gleihe Zeihensequenzen wiederholen. whrsheinliher ei inären Zeihen Extremfll: Theoretish esitzt diese einfhe Suhe einen ufwnd (nzhl Vergleihe) von der Ordnung Ο(n m). Prktish ist er er oft nur etw roortionl zu n. 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 3/19

4 teilung Informtik, Fh Progrmmieren 2.1 Imlementierung uli int simleserh(string, String ) { int n =.length(); int m =.length(); int i = 0; // index to string int j = 0; // index to ttern do { if (.hrt(i) ==.hrt(j)) { i++; j++; } else { // strt gin t next hr i = i-j+1; j = 0; } } while ((j < m) && (i < n)); if (j == m) return (i-j); // ttern found: index to osition in else return -1; // ttern not found } 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 4/19

5 teilung Informtik, Fh Progrmmieren 3 Suhe mit Zustndsutomt Mit Hilfe von Zustndsutomten knn die Mustersuhe wesentlih shneller durhgeführt werden. Bei inären Pttern ist der ufwnd (nzhl Vergleihe) nur noh von der Ordnung Ο(n). Binäres Pttern: hrt(i++) [hr = '0'] nihts erknnt hrt(i++) [hr = '1'] 1 erknnt 10 erknnt 101 erknnt stte = 1 stte = 10 stte = 101 hrt(i++) [hr = '1'] hrt(i++) [hr = '0'] hrt(i++) [hr = '0'] hrt(i++) [hr = '1'] hrt(i++) [hr = '1'] hrt(i++) [hr = '1'] hrt(i++) [hr = '0'] 1010 erknnt stte = -1 hrt(i++) [hr = '0'] hrt(i++) [hr = '0'] stte = 1010 hrt(i++) [hr = '0'] Pttern erknnt stte = hrt(i++) [hr = '0'] erknnt stte = hrt(i++) [hr = '1'] erknnt hrt(i++) [hr = '1'] erknnt hrt(i++) [hr = '1'] stte = stte = Suhlgorithmen.do, V7 Seite 5/19

6 teilung Informtik, Fh Progrmmieren Textttern: S 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 6/19

7 teilung Informtik, Fh Progrmmieren Bemerkungen: Mit Hilfe eines Zustndsutomten können somit sämtlihe n Zeihen einer Zeihenkette rein sequentiell Zeihen für Zeihen nlysiert werden. Ein "Zurüksringen" ist niht notwendig. Dies ist von Vorteil, wenn die Zeihenkette z.b. einem File gelesen wird. Bei inären Pttern git es für jeden Zustnd genu zwei Möglihkeiten, wie es weiter gehen knn (vgl. üerll genu zwei wegführende Pfeile), nämlih eine für 0 und eine für 1. Für diese Entsheidung genügt lediglih ein einziger Vergleih. Ein inäres Pttern knn somit effektiv mit n Zeihenvergleihen gefunden werden. Bei einem Textttern reiht in der Regel ein einziger Vergleih ro Zustndsüergng niht (vgl. untershiedlih grosse lhete)! Ein Zustndsutomt erüksihtigt seziell die Ttshe, dss ei einer Unstimmigkeit die Suhe niht zwngsläufig gnz neu von vorne egonnen werden muss. llenflls stimmen zuletzt eingelesene Zeihen ereits wieder mit dem Ptternnfng üerein, z.b. (vgl. * oen eim Textttern): 1. = = = = = S =?? 2. S 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 7/19

8 teilung Informtik, Fh Progrmmieren 3.1 Imlementierung Die Imlementierung ist einfh mit Hilfe von einer Shleife und einer swith-nweisung möglih. Leider ist die Zeihensuhe für ein einziges Pttern fix in der Methode einrogrmmiert! uli int stteserh(string ) { int n =.length(); int i = 0; // index to string String = " "; int m =.length(); int stte = -1; // nothing found do { swith (stte) { se -1: se 1: se 10: se 101: se 1010: if (.hrt(i) == '1') stte = 1; rek; if (.hrt(i) == '0') stte = 10; rek; if (.hrt(i) == '1') stte = 101; else stte = -1; rek; if (.hrt(i) == '0') stte = 1010; else stte = 1; rek; if (.hrt(i) == '0') stte = 10100; else stte = 101; rek; 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 8/19

9 teilung Informtik, Fh Progrmmieren } se 10100: se : se : if (.hrt(i) == '1') stte = ; else stte = -1; rek; if (.hrt(i) == '1') stte = ; else stte = 10; rek; if (.hrt(i) == '1') stte = ; else stte = 10; rek; } i++; } while ((stte!= ) && (i < n)); if (stte == ) return (i-m); // ttern found t (i-m) else return -1; // ttern not found 4 Suhe mit KMP-lgorithmus (Knuth, Morris, Prtt) Prinziiell funktioniert der KMP-lgorithmus wie ein Zustndsutomt (vgl. 3.). Sein entsheidender Vorteil ist, dss er elieige Pttern suhen knn und niht fest für eines rogrmmiert ist. Vor der eigentlihen Suhe werden die m Zeihen des Ptterns nlysiert und der Zustndsutomt zw. ein entsrehendes rry next generiert. Gesmthft resultiert deshl ein ufwnd von Ο(n+m). 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 9/19

10 teilung Informtik, Fh Progrmmieren Der eigentlihe Suhvorgng funktioniert wie folgt: i 1. = = = = = S 0 j S (lso j==5) ** Ds rry next wird vorgängig wie folgt erehnet: mx. S S 3 5 next[ 5] = 3 2. j = next[j] i? S S Bemerkungen: j (neu j==3) Ds rry next knn lso einzig durh den Vergleih des Pttern mit sih selst erehnet werden (vgl. **). Bei inären Zeihen kommt mn n der Stelle i mit lediglih einem Vergleih us (vgl. Suhe mit Zustndsutomt). Diese Ttshe knn mn für eine effizientere Berehnung von next erüksihtigen (vgl. Kommentr im Progrmmode, (1) vs. (2)). 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 10/19

11 teilung Informtik, Fh Progrmmieren 4.1 Imlementierung: Folgende Imlementierung ist sehr komkt und etws trikreih, seziell die Hilfsmethode initext(). uli int[] initext(string ) { int m =.length(); int[] next = new int[m]; int i = 0; int j = -1; next[0] = -1; do { if ((j==-1) (.hrt(i)==.hrt(j))) { // (j==-1) first! i++; j++; // (1) version for text strings: next[i] = j; /* (2) version for inry strings: if (.hrt(i)!=.hrt(j)) next[i] = j; else next[i] = next[j]; */ } } else { j = next[j]; } } while (i < (m-1)); return next; 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 11/19

12 teilung Informtik, Fh Progrmmieren uli int kmserh(string, String ) { int n =.length(); int m =.length(); int i = 0; // index to string int j = 0; // index to ttern int[] next = initext(); do { if ((j==-1) (.hrt(i)==.hrt(j))) { // (j==-1) first! i++; j++; } else { j = next[j]; } } while ((j < m) && (i < n)); } if (j == m) return (i-m); // ttern found: index to osition in else return -1; // ttern not found Bemerkungen zur Imlementierung: Ds erste Feld im rry next ist wie folgt zu initilisieren: next[0] = -1 Es ist wihtig, dss ei den ooleshen usdrüken ( (j==-1) (.hrt(i)==.hrt(j)) ) und ( (j==-1) (.hrt(i)==.hrt(j)) ) jeweils der Term (j==-1) ls erster steht! Dmit ist grntiert, dss der zweite Term nur dnn zur uswertung gelngt, wenn j>=0, und somit ein zulässiger rry-index ist! 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 12/19

13 teilung Informtik, Fh Progrmmieren Zusmmenfssend knn mn festhlten, dss die Suhe mit dem Zustndsutomten (vgl. Ο(n)) oder mit dem KMP-lgorithmus (vgl. Ο(n+m)) den ungünstigsten Fll ei der einfhen Suhe (vgl. Ο(n m)) erhelih entshärft. uh knn die Zeihenkette zw. der String rein sequentiell gelesen werden. 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 13/19

14 teilung Informtik, Fh Progrmmieren 5 Quikserh (D. M. Sundy) Folgender lgorithmus erlut eine shnelle Suhe nh Textzeihen. Die Idee ist, niht zeihenweise durh die Zeihenkette zu kriehen, sondern stttdessen möglihst grosse Srünge nh vorne zu mhen: i 1. d j m Ds rry shift d wird vorgängig wie folgt erehnet: i i+m min. 3 shift[ '']=3 2. i = i+shift[.hrt(i+m)] i d? j 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 14/19

15 teilung Informtik, Fh Progrmmieren Bei einer Unstimmigkeit n der Stelle i wird ds Textzeihen unmittelr hinter dem Pttern nlysiert, lso z.b. [i+m] zw. ds Zeihen ''. Ds Pttern lässt sih so weit vorwärts ewegen, is ein Zeihen drin mit dem Textzeihen '' üereinstimmt, lso hier um volle 3 Stellen. Enthielte ds Pttern kein Zeihen '', so könnte mn es sogr komlett n der "Referenzstelle" voreishieen! Doh wie erfährt mn, welhes Zeihen im Pttern mit.hrt(i+m) in der Zeihenkette üereinstimmt? Der Trik siert uf einem rry shift, in welhem vor der Suhe für jedes Zeihen des lhetes entsrehend dem Pttern ein Shift-Wert eingetrgen wird. Beim rry geruht mn direkt die Zeihen ls Indizes, z.b. shift['']=3. lso: Ds rry shift lässt sih einfh ufuen, indem mn zuerst sämtlihe Felder mit m+1 initilisiert und nshliessend die Werte für die im (meist kurzen) Pttern enthltenen Zeihen üershreit. 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 15/19

16 teilung Informtik, Fh Progrmmieren Quikserh lässt sih einfh erweitern, so dss ds Pttern uh Wildrds einhlten drf, z.b.?. Ein Wildrd steht dei stellvertretend für ein elieiges Zeihen. Die Lösungsidee dzu ist wieder sehr einfh: Die Wildrds werden ei der Suhe gr niht verglihen; sie ssen shliesslih immer. Ds rehteste uftreten eines Wildrds im Pttern egrenzt dei lle Shift-Werte. Ist ds letzte Zeihen ein Wildrd, so shrumfen lle Shift-Werte uf 1! lso:?? shift d e f g h i j 3 k 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 16/19

17 teilung Informtik, Fh Progrmmieren In der Prxis stellt sih Quikserh ls äusserst shneller Suhlgorithmus herus. Meistens genügen wesentlih weniger ls n Zeihenvergleihe. Ds Minimum tendiert gegen n/(m+1) Vergleihe! x x d d h h j j k k o o h h e e e e f f Es git er uh Sezilfälle, wo Quikserh lngsm ist zw. rktish zu einer einfhen Suhe degeneriert und fst n m Vergleihe notwendig sind! = = = = = = = = Oiges Beisiel illustriert uh, dss ei Quikserh die Zeihen der Zeihenkette niht rein sequentiell gelesen werden können. 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 17/19

18 teilung Informtik, Fh Progrmmieren 6 Otiml-Mismth (D. M. Sundy) Otiml-Mismth siert uf Quikserh. Letzterer esitzt die Eigenshft, dss die Zeihenvergleihe grundsätzlih in elieiger Reihenfolge stttfinden können. Die Otiml-Mismth-Tehnik siert uf der simlen Ttshe, dss die Zeihenhäufigkeit in den meisten Texten niht gleihverteilt ist. So mht in deutshen Texten ds e etw 12 Prozent ller Zeihen us und ist dmit der mit stnd meistenutzte Buhsten; ds x mht mit etw 0,002 Prozent ds Shlussliht. Ws liegt lso näher, ls zuerst diejenigen Zeihen im Pttern zu vergleihen, die normlerweise m seltensten im Text vorkommen. Die Whrsheinlihkeit ist dnn gross, dss früh ein Mismth uftritt und keine weiteren Zeihen verglihen werden müssen zw. früher geshiftet werden knn. Für die Imlementierung wird ds Pttern in einem rry so geseihert, dss die seltenen Zeihen m nfng stehen: Zuerst wird lso mit dem x, dnn mit den eiden t und erst m Shluss flls üerhut noh notwendig mit dem e verglihen. 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 18/19

19 teilung Informtik, Fh Progrmmieren Oft fehlen Sttistiken zur Zeihenhäufigkeit. Eine interessnte Strtegie esteht in diesem Fll drin, mit einem elieig geordneten Pttern nzufngen, um die Ordnung dnn dynmish nzussen, während die Suhe fortshreitet. Mn könnte ds geordnete Pttern nh einem entdekten Mismth z.b. so reorgnisieren, dss dieses Zeihen zukünftig zuerst verglihen wird. Die nderen Positionen rutshen ddurh einfh eine Stelle nh hinten. oh einfher ist es, ds niht ssende Zeihen im Pttern nur um eine Stelle nh vorn zu vertushen. Otiml-Mismth esitzt zumindest theoretish die gleihen Grenzen wie Quikserh für die minimle und mximle nzhl erforderliher Vergleihe. Prktish liefert Otiml-Mismth er noh shnellere Suhergenisse. 16 Suhlgorithmen.do, V7 Seite 19/19

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