Kleiner Fermatscher Satz, Chinesischer Restsatz, Eulersche '-Funktion, RSA

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1 Kleiner Fermatscher Satz, Chinesischer Restsatz, Eulersche '-Funktion, RSA Manfred Gruber SS 2009, KW 15

2 Kleiner Fermatscher Satz Satz 1. Sei p prim und a 2 Z p. Dann ist a p 1 mod p = 1 Beweis Betrachte die Abbildung f : Z p! Z p ; x 7! a x. f ist injektiv, denn aus a x = a y folgt x = a 1 a x = a 1 a y = y: Da Z p endlich ist, ist f auch surjektiv, also bijektiv. Daher ist f1; 2; : : : ; p 1g = fa 1; a 2; : : : ; a (p 1)g; (wobei hier nicht behauptet wird, dass die Reihenfolge der Aufzählungen links und rechts die gleiche ist). Damit sind auch die folgenden Produkte gleich: 1 (p 1) = f(1) f(p 1) = a p 1 1 (p 1): Dividiert man durch 1 (p 1), steht die Behauptung da. 1

3 Chinesischer Restsatz im Fall Z 6 Beispiel 1. Sei : Z 6! Z 2 Z 3 die Abbildung x 7! ( 1(x); 2(x)) = (x mod 2; x mod 3) : ist bijektiv (nachprüfen!) und es gilt (x y) = ( 1(x) 1(y); 2(x) 2(y)) (1) (x y) = ( 1(x) 1(y); 2(x) 2(y)) (2) Führt man in Z 2 Z 3 eine Addition und eine Multiplikation ein, indem man komponentenweise mit den vorhandenen Additionen und Multiplikationen rechnet, dann kann man (1) und (2) als (x y) = (x) (y) (3) (x y) = (x) (y) (4) schreiben. Diese Eigenschaften machen zu einem Ring-Homomorhismus. 2

4 Die Umkehrabbildung 1 ist ebenfalls ein Ring- Homomorphismus. Für a = (x) und b = (y) aus Z 2 Z 3 gilt nämlich 1 (a b) = 1 ( (x) (y)) = 1 ( (x y)) = x y = 1 (a) 1 (b) ; und 1 (a b) = 1 ( (x) (y)) = 1 ( (x y)) = x y = 1 (a) 1 (b) : 3

5 Wie berechnet man 1 (x; y)? Es genügt, u1 = 1 (1; 0) und u2 = 1 (0; 1) zu kennen, denn 1 (x; y) = 1 (x; 0) 1 (0; y) = x 1 (1; 0) y 1 (0; 1) : Für u1 muss gelten: u1 mod 2 = 1 und u1 mod 3 = 0, Für u2 muss gelten: u2 mod 2 = 0 und u2 mod 3 = 1. 2 und 3 sind teilerfremd und erfüllen in Z die Gleichung ( 1) 2 = 1. In Z 6 liest sich diese Gleichung als 3 4 = 1. Der erste Summand hat die von u1 geforderten Eigenschaften, der zweite Summand hat die von u2 geforderten Eigenschaften. Also ist u1 = 3 und u2 = 4. 4

6 Chinesischer Restsatz Satz 2. [Chinesischer Restsatz] Sei m = m1 m r 2 N mit paarweise teilerfremden Zahlen m i > 1. Dann ist : Z m! Z m1 Z m2 : : : Z mr x 7! (x mod m1; x mod m2; : : : ; x mod m r ) ein bijektiver Homomorphismus der Ringe. Bemerkung 1. Ist m 2 N gegeben, so bietet sich an, die Faktorisierung m = p k1 1 p k r r mit paarweise disjunkten Primzahlen p i zur isomorphen Darstellung von Z m im Sinne des Chinesischen Restsatzes zu nutzen: Z m = Zp k 1 1 Z p kr r : 5

7 Bemerkung 2. Bezeichnet e i das Element in Z m1 Z m2 : : : Z mr, das an der i-ten Stelle eine 1 und an den übrigen Stellen eine 0 hat, so kann man die für die Konstruktion der Umkehrabbildung 1 wichtigen Gröÿen 1 (e i ) 2 Z m der (vom erweiterten euklidischen Algorithmus gelieferten) Gleichung a Y m k + bm i = 1 k6=i entnehmen: 1 (ei ) = a Y k6=i m k 1 A mod m : 6

8 Die Eulersche '-Funktion Sei '(m) die Anzahl der Elemente in Z m (m 2 N) (Eulersche '-Funktion). Sei m = p k 1 1 p k r r mit paarweise disjunkten Primzahlen p i. Nach dem Chinesischen Restsatz ist ein x 2 Z m genau dann invertierbar, wenn alle x mod p k i i in Z p k i i invertierbar sind, also ist '(m) = '(p k 1 1 ) '(pk r r ) : In jedem Z k p i sind alle Elemente zu p k i i teilerfremd i ausser Vielfache von p i ; von diesen gibt es p k 1 i Stück, nämlich 0 p i ; 1 p i ; 2 p i ; : : : ; (p k i 1 i 1) p i. Also ist i '(p k i i ) = p k i i p k 1 i i = p k i i (1 1=p i ) und insgesamt '(m) = Y i p k i i (1 1=p i ) = m Y i (1 1=p i ) : 7

9 Beispiel = '( ) = (1 1=2) (1 1=19) = =2 18=19 = =

10 RSA: Schlüsselerzeugung 1. Man bestimmt groÿe Primzahlen p und q (groÿ sind z.b Bit-Zahlen) und berechnet N = pq. N ist der Modulus. 2. Man berechnet '(N) = (p 1)(q 1) und wählt eine zu '(N) teilerfremde Zahl e zwischen 1 und '(N). e ist der öentliche Exponent. 3. Man bestimmt das '(N)-modulare Inverse d zu e, d.h. diejenige Zahl d zwischen 1 und '(N), für die d e mod '(N) = 1 gilt. d ist der private Exponent. 4. (N; e) ist der öentliche Schlüssel. Es ist keine einfache Methode bekannt, N zu faktorisieren, oder aus (N; e) den privaten Exponenten d zu berechnen. 9

11 RSA: Ver- und Entschlüsseln Ein Sender will einem Empfänger eine geheime Botschaft schicken. Der öentliche Schlüssel des Empfängers sei (N; e). Die Botschaft kann eine beliebige Zahl x 2 Z N = fz mod N j z 2 Zg sein. 1. Der Sender verschlüsselt x mit der Verschlüsselungsfunktion E : Z N! Z N ; x 7! x e mod N und sendet E(x) = x e mod N. 2. Der Empfänger entschlüsselt E(x) mit der Entschlüsselungsfunktion D : Z N! Z N ; y 7! y d mod N und kommt so wegen D(E(x)) = E(x) d mod N = (x e ) d mod N = x zum Klartext der Botschaft. Wesentlich ist hier: (x e ) d mod N = x. 1 1 Erklärung nächste Seite. 10

12 RSA: (x e ) d mod N = x, warum? Betrachte die Botschaft x in Z p Z q : x = (x mod p; x mod q): Es ist (x mod p) ed = x mod p und (x mod q) ed = x mod q, denn ed mod '(N) = 1, d.h. ed = k'(n) + 1 = k(p 1)(q 1) + 1; folglich (Kleiner Fermat!) (x mod p) ed = ((x mod p) p 1 ) k(q 1) (x mod p) {z } =1 (x mod q) ed = ((x mod q) q 1 ) k(p 1) (x mod q): {z } =1 11

13 RSA: Beispiel Beispiel 3. (Unrealistisch, Zahlen viel zu klein.) 1. Wir wählen p = 97; q = 103 ) N = pq = '(N) = (p 1)(q 1) = = Wir wählen als Verschlüsselungsexponent e = 193 (teilerfremd zu 9792). 3. Wir bestimmen pro forma mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus den ggt(193; 9792) (der natürlich 1 ist) und bekommen die Darstellung ( 53) = 1, der wir entnehmen, dass 2689 das 9792-modulare Inverse zu 193 ist. Der Entschlüsselungsexponent d ist also Die Botschaft x sei Die verschlüsselte Botschaft ist dann y = mod 9991 = Zur Entschlüsselung von y berechnet man y 2689 mod 9991 = mod 9991 = 1000 und bekommt so den Klartext der Botschaft wieder. 12

14 Literatur [CM] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley, 1989; second edition, html [AZ] Otto Forster, Algorithmische Zahlentheorie, Vieweg-Verlag, books/azth/algzth.html 13